同濟(jì)大學(xué)信號(hào)與系統(tǒng)第九章第4講_dft

1、信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車學(xué)院 魏學(xué)哲 9-7 9-7 離散傅里葉變換離散傅里葉變換的應(yīng)用的應(yīng)用運(yùn)用運(yùn)用DFT方法，往往伴隨方法，往往伴隨FFT算法的實(shí)施，所謂的應(yīng)算法的實(shí)施，所謂的應(yīng)用幾乎成為用幾乎成為FFT應(yīng)用的同意語(yǔ)。應(yīng)用的同意語(yǔ)。（一）快速卷積（一）快速卷積若長(zhǎng)度為若長(zhǎng)度為N1的序列的序列x (n)與長(zhǎng)度為與長(zhǎng)度為N2的序列的序列h(n)作線作線卷積，得到：卷積，得到：mmnhmxny)()()(y (n)為長(zhǎng)度為為長(zhǎng)度為N1+ N2 1的有限長(zhǎng)序列，要做的有限長(zhǎng)序列，要做N1*N2次乘法運(yùn)算，當(dāng)次乘法運(yùn)算，當(dāng)N1=N2 =N，要做，要做N2次乘法。次乘法。信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車學(xué)院

2、魏學(xué)哲 直接卷積與快速卷積直接卷積與快速卷積如果把求線卷積改為求圓卷積，兩序列分別補(bǔ)零加長(zhǎng)如果把求線卷積改為求圓卷積，兩序列分別補(bǔ)零加長(zhǎng)為為為為N1+ N2 1，則有可能減少運(yùn)算次數(shù)。，則有可能減少運(yùn)算次數(shù)。x(n)y(n)卷積卷積FFTFFT序列相乘序列相乘IFFTx(n)h(n)X(k)H(k)X(k)H(k)y(n)信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車學(xué)院 魏學(xué)哲 在快速卷積過(guò)程中，共需要在快速卷積過(guò)程中，共需要2次次FFT，1次次IFFT，相當(dāng)，相當(dāng)于于3次次FFT運(yùn)算量，在一般數(shù)字濾波中，由運(yùn)算量，在一般數(shù)字濾波中，由h(n)求求H(k)是事先計(jì)算完成放在存儲(chǔ)器中，故只需是事先計(jì)算完成放在存儲(chǔ)器

3、中，故只需2次次FFT的運(yùn)算的運(yùn)算量，若假設(shè)量，若假設(shè)N1=N2 =N ，則補(bǔ)零后：，則補(bǔ)零后：NNN2121故需要故需要NN22log2此外此外X(k)與與H(k)兩序列相乘，還需要兩序列相乘，還需要2N次復(fù)乘，次復(fù)乘，全部復(fù)數(shù)乘法次數(shù)為：全部復(fù)數(shù)乘法次數(shù)為：次復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算次復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算)log1 (22log22222NNNNN隨著隨著N的增大，該運(yùn)算量比的增大，該運(yùn)算量比N2顯著減少。顯著減少。信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車學(xué)院 魏學(xué)哲 以上分析是針對(duì)兩序列長(zhǎng)度相近或相等的情況，如以上分析是針對(duì)兩序列長(zhǎng)度相近或相等的情況，如果一個(gè)序列很短，而另一序列很長(zhǎng)，則需要補(bǔ)很多果一個(gè)序列很短，而另一序列

4、很長(zhǎng)，則需要補(bǔ)很多零，圓卷方案甚至增加運(yùn)算量，可采用分段卷積的零，圓卷方案甚至增加運(yùn)算量，可采用分段卷積的方法，其基本原理是將方法，其基本原理是將x(n)分成若干小段，每小段分成若干小段，每小段長(zhǎng)度與長(zhǎng)度與h(n)接近，將接近，將x(n)的各小段與的各小段與h(n)卷積，最卷積，最后取和，仍可發(fā)揮快速卷積的優(yōu)越性。后取和，仍可發(fā)揮快速卷積的優(yōu)越性。信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車學(xué)院 魏學(xué)哲 重疊相加法重疊相加法 假定h(n), x(n)均為因果序列。h(n)的長(zhǎng)度為N，如圖a x(n)長(zhǎng)度是 現(xiàn)將 等分為若干小段，每段長(zhǎng)M,如圖bNN11,NNh(n)圖a1N圖bMMMN1X(n)信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大

5、學(xué)汽車學(xué)院 魏學(xué)哲 以 表示x（n）序列的第i小段（i為正整數(shù)， ），為完成 各 與h（n）之圓卷積，應(yīng)將 長(zhǎng)度補(bǔ)足至N+M-1，在圖c中已用虛線示意補(bǔ)零。MNP1,-Pi01 nxi nxi nxiN+M-1N+M-1N+M-1N+M-1 nxi圖c信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車學(xué)院 魏學(xué)哲 輸入序列可表示為 其中 相應(yīng)地，輸出序列也可分解為 10Piinxnx 為其他值nMiniMnxnxi01) 1( nhnxnhnxnyPii10信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車學(xué)院 魏學(xué)哲 利用卷積分配律可得 由于 的長(zhǎng)度為N+M-1，而 的有效長(zhǎng)度只有M，故相鄰兩段的 必有N-1長(zhǎng)度的重疊。見(jiàn)圖dnhnxnyny

6、nhnxnyiiPiiPii這里1010N+M-1重疊N+M-1重疊 niy圖d重疊N+M-1 nyi nyi nxi信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車學(xué)院 魏學(xué)哲 按照上述原理，此方法的運(yùn)算過(guò)程可分為兩部分： 首先求每個(gè) 與h(n)的圓卷積，樣點(diǎn)數(shù)為N+M-1，共需P次，求各 ，其原理仍按圖b； 然后將 取和（實(shí)際上是重疊部分的相加），即得 nxi nyi nyi ny圖e y(n)N+N1-1信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車學(xué)院 魏學(xué)哲 有時(shí)，N1可能很長(zhǎng)，以致趨于無(wú)限大，例如語(yǔ)音信號(hào)、地震波動(dòng)信號(hào)、宇宙通信中產(chǎn)生的某些信號(hào)等，如果不采用分段卷積的方法將遲遲不能給出結(jié)果，而且，無(wú)法找到那樣大的存儲(chǔ)設(shè)備來(lái)滿足

7、N1的需要。因此，即使在分段措施改善速度不顯著的情況下，仍有可能采用這種方法。 借助FFT不僅可完成快速卷積運(yùn)算，也可利用它進(jìn)行解卷積運(yùn)算，具體計(jì)算公式可仿照z變換解卷積方法求得。信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車學(xué)院 魏學(xué)哲 （二）快速相關(guān)（二）快速相關(guān)相關(guān)和自相關(guān)也可借助相關(guān)和自相關(guān)也可借助FFT完成。完成。x(n)y(n)相關(guān)相關(guān)FFTFFT序列相乘序列相乘IFFTx(n)h(n)X(k)H(k)X(k)H*(k)y(n)h(n)共軛共軛H*(k)信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車學(xué)院 魏學(xué)哲 相關(guān)運(yùn)算常見(jiàn)于雷達(dá)和聲納系統(tǒng)中，應(yīng)用該運(yùn)算確相關(guān)運(yùn)算常見(jiàn)于雷達(dá)和聲納系統(tǒng)中，應(yīng)用該運(yùn)算確定信號(hào)的時(shí)間延遲。定信號(hào)的

8、時(shí)間延遲。當(dāng)當(dāng)x(n)與與h(n)是同一信號(hào)，是同一信號(hào)， y(n) 是自相關(guān)函數(shù)，是自相關(guān)函數(shù)，而而Y(k)是是x(n)的功率譜。的功率譜。信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車學(xué)院 魏學(xué)哲 （三）利用（三）利用DFTDFT對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)的逼近對(duì)連續(xù)時(shí)間信號(hào)的逼近hsff2hsffT211其中其中,T為抽樣間隔。為抽樣間隔?；蛘呋蛘咭灰?用用DFT計(jì)算連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅氏變換可能造成的誤計(jì)算連續(xù)時(shí)間信號(hào)的傅氏變換可能造成的誤差差1.混疊現(xiàn)象混疊現(xiàn)象為避免混疊為避免混疊,由抽樣定理可知，須滿足由抽樣定理可知，須滿足其中其中fs為抽樣頻率為抽樣頻率; fh為信號(hào)的最高頻率分量為信號(hào)的最高頻率分量對(duì)于時(shí)間有限信號(hào)

9、，其傅立葉變換不可能是有限帶對(duì)于時(shí)間有限信號(hào)，其傅立葉變換不可能是有限帶寬，抽樣后必然帶來(lái)混疊寬，抽樣后必然帶來(lái)混疊(aliasing)，減小抽樣間，減小抽樣間隔可減弱混疊，但總不可避免。隔可減弱混疊，但總不可避免。信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車學(xué)院 魏學(xué)哲 若信號(hào)頻譜有限，則時(shí)間函數(shù)必然是無(wú)限的。在實(shí)若信號(hào)頻譜有限，則時(shí)間函數(shù)必然是無(wú)限的。在實(shí)際應(yīng)用中，為利用際應(yīng)用中，為利用FFT對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析，必須把時(shí)對(duì)信號(hào)進(jìn)行分析，必須把時(shí)間截取一定范圍，也就是說(shuō)，在時(shí)域?qū)π盘?hào)進(jìn)行截間截取一定范圍，也就是說(shuō)，在時(shí)域?qū)π盘?hào)進(jìn)行截?cái)嗖僮?，或稱作加時(shí)間窗，亦即用時(shí)間窗函數(shù)乘以斷操作，或稱作加時(shí)間窗，亦即用時(shí)間窗函數(shù)

10、乘以信號(hào)，由卷積定理可知，時(shí)域相乘，頻域?yàn)榫矸e，信號(hào)，由卷積定理可知，時(shí)域相乘，頻域?yàn)榫矸e，時(shí)間加窗使頻譜產(chǎn)生失真，它從原有的頻率受限圖時(shí)間加窗使頻譜產(chǎn)生失真，它從原有的頻率受限圖中擴(kuò)散出來(lái)，這就造成拖尾現(xiàn)象，稱之為頻譜泄漏中擴(kuò)散出來(lái)，這就造成拖尾現(xiàn)象，稱之為頻譜泄漏（leakage）。）。2.2.頻譜泄漏頻譜泄漏信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車學(xué)院 魏學(xué)哲 0n0)(1nx)(1jeXn)(2nx)(2jeXn )()(21nxnxnyjeY信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車學(xué)院 魏學(xué)哲 pTF13.3.柵欄效應(yīng)柵欄效應(yīng)用用DFT計(jì)算頻譜時(shí)，只是知道為頻率計(jì)算頻譜時(shí)，只是知道為頻率的整數(shù)倍處的頻譜。在兩個(gè)譜線

11、之間的情況就不的整數(shù)倍處的頻譜。在兩個(gè)譜線之間的情況就不知道知道,這相當(dāng)通過(guò)一個(gè)柵欄觀察景象一樣，故稱作這相當(dāng)通過(guò)一個(gè)柵欄觀察景象一樣，故稱作柵欄效應(yīng)。補(bǔ)零點(diǎn)加大周期，可使柵欄效應(yīng)。補(bǔ)零點(diǎn)加大周期，可使F變小來(lái)提高變小來(lái)提高分辨力，以減少柵欄效應(yīng)。分辨力，以減少柵欄效應(yīng)。信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車學(xué)院 魏學(xué)哲 例例 有一頻譜分析用的有一頻譜分析用的FFT處理器，其抽樣點(diǎn)數(shù)必須是處理器，其抽樣點(diǎn)數(shù)必須是2的整數(shù)冪。的整數(shù)冪。 假定沒(méi)有采用任何特殊的數(shù)據(jù)處理措施，已知條件為假定沒(méi)有采用任何特殊的數(shù)據(jù)處理措施，已知條件為（1）頻）頻 率分辨率為率分辨率為 ，（2） 信號(hào)的最高頻率信號(hào)的最高頻率 ，試確

12、定以下參量：（試確定以下參量：（1）最小記錄長(zhǎng)度）最小記錄長(zhǎng)度 ;(2) 抽樣點(diǎn)間的最大時(shí)間抽樣點(diǎn)間的最大時(shí)間間隔間隔T; (3) 在一個(gè)記錄中的最小點(diǎn)數(shù)在一個(gè)記錄中的最小點(diǎn)數(shù)N。ZH10ZkH4PT解：解： （a） 最小記錄長(zhǎng)度最小記錄長(zhǎng)度sFTP1 . 01011sTP1 . 0，（b）最大的抽樣時(shí)間間隔）最大的抽樣時(shí)間間隔TsffThs3310125. 01042/ 1/ 1/ 1msT1 . 0(c) 最小記錄點(diǎn)數(shù)最小記錄點(diǎn)數(shù)N1024280010/1042/2103NFfNh取信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車學(xué)院 魏學(xué)哲 dejXtxdtetxjXtjtj21)(2.連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)傅氏級(jí)數(shù)

13、變換對(duì)連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)傅氏級(jí)數(shù)變換對(duì) ktjkTTtjkejkXtxdtetxTjkXpp0002/2/01二二.DFT.DFT與連續(xù)信號(hào)傅氏變換相對(duì)數(shù)值的確定與連續(xù)信號(hào)傅氏變換相對(duì)數(shù)值的確定1.連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)傅氏變換對(duì)連續(xù)時(shí)間非周期信號(hào)傅氏變換對(duì)信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車學(xué)院 魏學(xué)哲 10 ,)(1)(10 ,)()(1010NnWkXNnxNkWnxkXNknkNNnnkN3.DFT變換時(shí)變換時(shí):信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車學(xué)院 魏學(xué)哲 1sfT4.4.用用DFTDFT計(jì)算非周期信號(hào)的傅氏變換計(jì)算非周期信號(hào)的傅氏變換幅度電平未受到影響。幅度電平未受到影響。用用DFT計(jì)算所得的頻譜分量乘以計(jì)算

14、所得的頻譜分量乘以T， 就等于頻譜的正就等于頻譜的正常幅度電平；用常幅度電平；用IDFT計(jì)算非周期信號(hào)的傅氏反變換，計(jì)算非周期信號(hào)的傅氏反變換，再乘以再乘以fs就得到所需信號(hào)的正常幅度電平。所以就得到所需信號(hào)的正常幅度電平。所以,從從時(shí)間到頻率時(shí)間到頻率, 再?gòu)念l率到時(shí)間，整個(gè)過(guò)程總共乘了再?gòu)念l率到時(shí)間，整個(gè)過(guò)程總共乘了信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車學(xué)院 魏學(xué)哲 設(shè)設(shè)nTdtnTt,10)()()()(NnnTjnnTjtjenTxTenTxdtetxjX用用DFT計(jì)算所得的頻譜分量乘以計(jì)算所得的頻譜分量乘以T的理由：的理由：信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車學(xué)院 魏學(xué)哲 )()(1,.1 , 0,)()(10/210/20nxDFTTenxTNkenTxTkXNnNknjNnNfTjkns1,.1 , 0,/200NkkNfs又信號(hào)與系統(tǒng) 同濟(jì)大學(xué)汽車學(xué)院 魏學(xué)哲 0000,2,2kdNNFfFs)()(1)(2)(21)(1102021000000kXDFTfekjXNfekjXejkXnTxsNkknNjsknNTfjNkknTjks 用用IDFT計(jì)算非周期