2022年2022年能帶理論

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載能帶理論能帶理論為目前爭(zhēng)論固體中電子運(yùn)動(dòng)的一個(gè)主要理論基礎(chǔ),它預(yù)言固體中電子能量會(huì)落在某些限定范疇或“帶”中,因此,這方面的理論稱為能帶理論；對(duì)于晶體中的電子, 由于電子和四周勢(shì)場(chǎng)的相互作用,晶體電子并不為自由的, 因而其能量與波失間的關(guān)系ek較為復(fù)雜, 而這個(gè)關(guān)系的描述這為能帶理論的主要內(nèi) 容；本章采納一些近似爭(zhēng)論能帶的形成,并通過典型的模型介紹能帶理論的一些 基本結(jié)論和概念；一.三個(gè)近似絕熱近似 ：電子質(zhì)量遠(yuǎn)小于離子質(zhì)量, 電子運(yùn)動(dòng)速度遠(yuǎn)高于離子運(yùn)動(dòng)速度,故相對(duì)于電子的運(yùn)動(dòng), 可以認(rèn)為離子不動(dòng), 考察電子運(yùn)動(dòng)時(shí), 可以不考慮離子運(yùn)動(dòng)的影響,取系統(tǒng)中的離子實(shí)

2、部分的哈密頓量為零；平均場(chǎng)近似 ：讓其余電子對(duì)一個(gè)電子的相互作用等價(jià)為一個(gè)不隨時(shí)間變化的平均場(chǎng)；周期場(chǎng)近似 ： 無論電子之間相互作用的形式如何,都可以假定電子所感受到的勢(shì)場(chǎng)具有平移對(duì)稱性；原本哈密頓量為一個(gè)特別復(fù)雜的多體問題,如不簡(jiǎn)化求解為相當(dāng)困難的,但經(jīng)過三個(gè)近似處理后使復(fù)雜的多體問題成為周期場(chǎng)下的單電子問題,從而本章的中心任務(wù)就為求解晶體周期勢(shì)場(chǎng)中單電子的薛定諤方程,即精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載22urrer2m其中u rrn u r 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載二.兩個(gè)模型（ 1）近自由電子模型1.模型概述在周期場(chǎng)中,如電子的勢(shì)能隨位置的變化（起伏）

3、比較小,而電子的平均動(dòng)能要比其勢(shì)能的肯定值大得多時(shí),電子的運(yùn)動(dòng)就幾乎為自由的；因此,我們可以把自由電子看成為它的零級(jí)近似,而將周期場(chǎng)的影響看成小的微擾來求解；（也稱為弱周期場(chǎng)近似）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2.怎樣得到近自由電子模型近自由電子近似為晶體電子僅受晶體勢(shì)場(chǎng)很弱的作用,ek 為連續(xù)的能級(jí)；由于周期性勢(shì)場(chǎng)的微擾ek 在布里淵區(qū)邊界產(chǎn)生分裂.突變形成禁帶,連續(xù)的 能級(jí)形成能帶, 這時(shí)晶體電子行為與自由電子相差不大,因而可以用自由電子波函數(shù)來描寫今日電子行為；3.近自由電子近似的主要結(jié)果1) 存在能帶和禁帶：在零級(jí)近似下,電子被看成自由粒子,能量本征值ek0 作為 k

4、的函數(shù)具有nk拋物線形式；由于周期勢(shì)場(chǎng)的微擾,e（k）函數(shù)將在2a處斷開,本征能量發(fā)生突變,顯現(xiàn)能量間隔2vn,間隔內(nèi)不存在答應(yīng)的電子能級(jí),稱禁帶；其余區(qū)域仍基本保持自由電子時(shí)的數(shù)值；周期勢(shì)場(chǎng)的變化愈 猛烈,各傅里葉系數(shù)也愈大,能量間隔也將更寬,周期勢(shì)場(chǎng)中電子的能級(jí)形成 能帶為能帶論最基本和最重要的結(jié)果；2) 第一布里淵區(qū)自由電子波矢 k的取值范疇為沒有限制的而在周期勢(shì)場(chǎng)中,就被嚴(yán)格的限 制在第一 brillouin區(qū)內(nèi)；但從能量角度看, 可以將標(biāo)志電子狀態(tài)的波矢k分割為很多區(qū)域,在每個(gè)區(qū)域內(nèi)電子能級(jí)ek隨波矢 k準(zhǔn)連續(xù)變化并形成一個(gè)能帶,波矢 k的這樣一些區(qū)域就被稱為brillouin區(qū),當(dāng)

5、波矢 k被限制在第一 brillouin區(qū)時(shí), ek就成為 k的多值函數(shù),為了區(qū)分,按其能量由低 到高,分別標(biāo)注為e1k、e2ke3k、；有時(shí)也可以用周期布里淵區(qū)圖 式或擴(kuò)展布里淵區(qū)圖式繪出晶體中的能帶；3) 從理論上說明了導(dǎo)體和絕緣體的區(qū)分依據(jù)能帶模型,晶體中每個(gè)原子的傳導(dǎo)電子數(shù)就打算了晶體為導(dǎo)體仍為絕緣體,假如每個(gè)原子供應(yīng)兩個(gè)傳導(dǎo)電子,剛夠填滿第一能的全部狀態(tài),或每個(gè)原子供應(yīng)四個(gè)傳導(dǎo)電子,剛填滿第一.二能帶,鑒于能隙的存在,當(dāng)電子受到外加勢(shì)場(chǎng)作用時(shí) 、 就沒有稍高的容許能態(tài)可以讓它被激發(fā)而遷入,因此就沒有電流流淌,這種晶體就為絕緣體,除非外加勢(shì)場(chǎng)大到足以激發(fā)電子使之跨過能隙而進(jìn)入下一個(gè)能區(qū)

6、的容許能態(tài)； 相反,假如電子只為在某個(gè)能區(qū)填充了部分能態(tài),就會(huì)猶如自由電子那樣,可以在勢(shì)場(chǎng)作用下自由移動(dòng),成為導(dǎo)體；然而在真實(shí)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載晶體中,情形并不像上述模型那樣簡(jiǎn)潔,由于晶體為各向異性的,因此可能在某些方向上,矢量kf 同能區(qū)邊界重合,另外一些方向上不重合,于為,就可能有某些晶體的性質(zhì)介于導(dǎo)體和絕緣體之間,比如半金屬鉍和銻；（ 2）緊束縛模型：1.模型概述假定原子勢(shì)很強(qiáng),因此, 當(dāng)一個(gè)電子在晶體中運(yùn)動(dòng)并被一個(gè)離子束縛住的時(shí)候, 在它被釋放或隧穿到另一個(gè)離子之前,將會(huì)停留相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間,在受束縛期間, 電子軌道主要為環(huán)繞單個(gè)離子,其態(tài)函數(shù)基本上為一個(gè)原子軌

7、道,受其它原子的影響很小； 該模型主要適合于晶體中原子間距較大時(shí),或能帶低而窄. 殼層半徑比晶格常數(shù)小得多的情形, 這時(shí)的原子軌道只受到其它原子很柔弱的作用,比如過渡金屬中很重要的3d 能帶問題；2.為何引入緊束縛近似緊束縛近似的動(dòng)身點(diǎn)為：電子在一個(gè)原子鄰近時(shí),將主要受到該原子勢(shì)作用, 其它原子勢(shì)作用弱, 可當(dāng)作微擾作用； 此時(shí)晶體中電子的波函數(shù)不能用自由電子波函數(shù)表示,而為應(yīng)由全部原子的電子波函數(shù)的線性組合來表示；3.緊束縛近似的主要結(jié)論在 n 個(gè)原子相距較遠(yuǎn)時(shí),每個(gè)原子有不同的原子能級(jí),整個(gè)體系的單電子態(tài)為 n 重簡(jiǎn)并的,當(dāng)把它們放在一起形成晶體后,由于最緊鄰原子波函數(shù)的交疊,n 重簡(jiǎn)并解

8、除,展寬成能帶；每個(gè)能帶都包含n 個(gè) k 值；由于能帶從原子的能級(jí)演化而來,所以內(nèi)層電子能帶常用原子能級(jí)的量子數(shù)標(biāo)記,如3s、3p、3d 等 三.晶體能帶的對(duì)稱性晶體能帶的對(duì)稱性和晶格振動(dòng)色散關(guān)系所具有的對(duì)稱性相同,都為在倒空間里面進(jìn)行爭(zhēng)論,且解均在第一布里淵區(qū),可以參照到來懂得；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載平移對(duì)稱性：e n ke n kgh 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載注,該式只為對(duì)同一能帶才成立精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載點(diǎn)群對(duì)稱性：e n k e n k 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載為晶體所屬點(diǎn)群的任一點(diǎn)對(duì)稱操作,

9、該式說明能帶與晶格有相同的對(duì)稱性；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載反演對(duì)稱性：e n k en k 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載不管晶體中為否有對(duì)稱中心,在k 空間中 enk 總為有反演對(duì)稱的；這實(shí)際上為時(shí)間反演對(duì)稱性的結(jié)果；四.能太密度和費(fèi)米面1.近自由電子的能態(tài)密度和自由電子情形不同,這里的等能面,需要依據(jù)等能面外形詳細(xì)積分才行；受周期場(chǎng)的柔弱影響,近自由電子的等能面偏離自由電子的球形、并受到布里淵區(qū)界面影響周期場(chǎng)的微擾使布里淵區(qū)附 近界面內(nèi)的能量下降,而等 能面的凸出正意味著達(dá)到同 樣的能量e ,需要更大的k 值,當(dāng)能量e 超過邊界上 a點(diǎn)的能量ea,始終

10、到e 接近于在頂角c 點(diǎn)的能量ec（即達(dá)到第一能帶的頂點(diǎn)）時(shí),等能面將不再為完整的閉合面,而成為分割在各個(gè)頂角鄰近的曲面；2.費(fèi)米面定義:費(fèi)米面為k 空間能量為恒值ef 的曲面,性質(zhì)：肯定零度下費(fèi)米面為未填滿電子軌道和被填滿電子軌道的分界面,晶體的性質(zhì)主要由費(fèi)米面的體積和外形打算,只有費(fèi)米面鄰近的電子才有可能參加各種 過程；在金屬的自由電子模型中、電子的狀態(tài)為勻稱地分布在k 空間一個(gè)半徑為kf 的球內(nèi), kf 稱為費(fèi)米半徑,相應(yīng)的能量為費(fèi)米能；費(fèi)米能級(jí)ef 的數(shù)值由電子濃度打算；重點(diǎn)題型：晶體費(fèi)米面的構(gòu)造步驟：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載.就依據(jù)晶體結(jié)構(gòu)畫出倒易空間中擴(kuò)展的布里淵區(qū)圖形；.按自由電子模型由電子濃度求出相應(yīng)的費(fèi)米半徑,并作出費(fèi)米球（或費(fèi)米圓）；.將處在各個(gè)布里淵區(qū)中的費(fèi)米球（