2022年2022年高三-空間向量及其運算

1、精選學習資料 - - - 歡迎下載復習課： 空間向量及其運算教學目標重點：空間向量的概念,空間向量的線性運算及數量積,空間向量的坐標運算.難點：空間向量的基本定理及其應用.才能點 : 運用向量的學問判定向量的共線與垂直.自主探究點：合理挑選基向量法或坐標法來解決幾何問題,坐標法中,如何適當建系,正確寫出點和向量的坐標.學法與教具1. 學法：同學自學,動手總結規(guī)律、 梳理學問,解決問題.2. 教具：投影儀.一【學問結構】精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載空間向量的加減運算空間向空間向量的數乘運算空量間及向其空間向量的數量積運算量運與算立體空間向量的坐標運算幾立何體幾直線的方向向量與平

2、面的法向量何中用空間向量證平行與垂直問題的向量求空間角方法求空間距離共線向量定理共面對量定理空間向量基本定理平行與垂直的條件向量夾角與距離精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載二.【學問梳理】1空間向量的有關概念(1) 空間向量：在空間中,具有大小和方向的量叫做空間向量(2) 相等向量：方向相同且模相等的向量(3) 共線向量：表示空間向量的有向線段所在的直線相互平行或重合的向量(4) 共面對量：平行于同一個平面的向量2空間向量的線性運算及運算律(1) 定義：同平面對量線性運算的定義.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載(2) 運算律：交換律：av +vrr b = b + a

3、結合律： abcabc精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載數乘安排律：abab3空間向量的數量積及運算律(1) 數量積及相關概念精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載兩向量的夾角：已知兩個非零向量a、b ,在空間任取一點o , 作 oaa、obb ,就精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載aob 叫做向量 a 與 b 的夾角,記作a、 b,且規(guī)定0a、 b精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載 兩 向 量 的 數 量 積 ： 已 知 空 間 兩 向 量a、 b , 就b

4、精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載abc o sa、 b叫 做 向 量a、b的 數 量 積 , 記 作eb ala精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載ab 即 ： ab = abcosa、 b精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載由上述定義可知兩個向量的數量積為一個實數,它等于兩向量的模與其夾角的余弦值之精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載積,此定義對于a、 b為零向量及共線向量的情形仍成立由此可知零向量與任何向量的數精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載

5、量積均為零由上述定義我們不難得到如下結論,對于兩個非零向量a、b 有 ：精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載 cosa、 b= ab . a b2 aaaa 2 . abab0.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載(2) 空間向量數量積的運算律：精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載交換律 : abba結合律 : （a）b（ ab）安排律 :abcabac精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載4基本定理精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載1 共線向量定理：對空間任意兩個向量a、 bb0 ,a / b 的

6、充要條件為存在實數,使精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載ab 精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2 共面對量定理：假如兩個向量a、 b 不共線,就向量p 與向量a、b 共面的充要條件為存在精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載實數對x、 y ,使 pxayb.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載3 空間向量基本定理：假如三個向量a、b、 c 不共面,那么對空間任一向量p 存在唯獨的有精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - -

7、- 歡迎下載序實數組x、 y、 z ,使 pxaybzc.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載由上述定理可知,空間任一向量均可以由空間不共面的三個向量生成不共面的三向量a 、b 、c構成空間的一個基底,任意三個不共面的向量都可以構成空間的一個基底,此定理為空間向量分解的基礎5 空間向量的坐標運算精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載（1） 設 aa1、 b1、 c1 , ba2 、b2 、 c2 就精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載ab； ab；aa b； a / b； ab精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載（2）設a x1 、 y1、 z1 , bx

8、2 、 y2 、 z2 精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載就 ab= o 為坐標原點 （終點坐標減起點坐標）（3）兩個向量的夾角及兩點間的距離公式精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載已知 aa 、 b 、c , b a 、b 、c ,就aa2,精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載111222a bcosa、b,精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載已知ax1、 y1 、 z1 , b x2 、 y2 、 z2 就 ab.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載三.【范例導航】題型一：空間向量的線性運算【

9、例 1】如下列圖, 在平行六面體abcd -a1b1c1d1 中, g 為 v abc 的精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載uuurruururuururrrr精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載中心,設ab =uuura , ad = buuruaa1 =c ,試用a、b 、 c 表示以下各向量：精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載（1） ac1 ；（ 2） ag .【分析】正確運用空間向量的加法運算用已知向量表示出未知向量.uuuruuuruuuruuru精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載【解析】ac

10、1 =ab +bc +ca1精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載uuuruuruuururrr精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載=ab + ad +aa1 = a + b + c精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載uuruuuruuuuruuur1uuuruuur精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載ag =aa1 +a1g =aa1 + a1 d +3a1b 精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載uuur1uuuruuur1uuuruuur精品學習資料精

11、選學習資料 - - - 歡迎下載=aa1 + a1 d -aa1 + ab -aa1精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載33精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載1 uuur1 uuru1 uuur1rrr精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載=aa1 +ad +ab = a + b + c 精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載3333uuur1 uuur精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載【點評】 1 通過以上表示可以看出ag =ac13,即證明a、g、 c1 三點共線,g 為ac1 的精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載一個三等分點.

12、2解決幾何問題的難點為作幫助線,而利用向量解決幾何問題恰好回避了這一難點問題,把證明轉化為運算精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載【變式訓練】如右圖, 已知 m .n 分別為四周體abcd 的面 bcd 與面 acd 的重心, g精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載uuurruuurruururrrr精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載為 am 上一點,且gm : ga =1: 3 . 設 ab =a , ac = bad =c ,試用a、 b、 c 表示精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載uuur bguuru bn .精品學習資料精選學習資料 - -

13、 - 歡迎下載uuuruuruuruuur3 uuur精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載解:bg = ba + ag =ba +am 4精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載r1rrr3 r1 r1 r精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載 - a +a + b + c = -a +b +c4444精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載uuuruuruuruuur1uuruuurur1 r1 r精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載bn = ba + an =ba+ ac +3ad = -a +b +c .33精品學習資料精選學習資料 - - - 歡

14、迎下載題型二：共線共面定理的應用【例 2】已知 e . f . g . h 分別為空間四邊形abcd 的 邊ab . bc . cd . da 的中點,求證：（1） e . f . g . h 四點共面；（2） bd 平 面 efgh ；（ 3 ） 設 m為 eg 和 fh的 交 點 , 對 空 間 任 一 點 o , 有精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載uuur1uuruuuruuruuuru精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載om =oa +4ob +oc +od .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載【分析】四點共面,考慮構造有關向量,然后利用共面對量定理

15、證明精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載uuuruuruuuruur1uuuruuur精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載【解析】（ 1）連接 bg ,就eg =eb +bg =eb + bc +2bd ,精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載uuruuuruuuruuuruuur=eb + bf + eh = ef + eh ,由共面對量定理知：g 在平面 efh 上,即 e . f . g . h 四點共面 .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載uuuruuuruuur1uuuruuur1 uuur精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載（2）由

16、于 eh =ah -ae = ad -ab =bd ,22所 以 eh /bd .又 eh ì平面 efgh,bd . 平 面 efgh ,所 以 bd / 平 面 efgh.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載（3）連接om 、oa、ob、 oc 、od 、oe 、 og精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載uruuru1uuru1 uuuruuuruurueh=fgehfg精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載由（ 2） 知 eh=bd 2,同理fg =bd , 所 以 fg =2eh ,即且/,精品學習資料

17、精選學習資料 - - - 歡迎下載所以四邊形efgh 為平行四邊形. 所 以 eg . fh 交 于 一點m 且 被 m 平 分 .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載uuur1uuuruuru1uuruuuruuruuuru精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載故 om =oe +2og =oa +4ob +oc +od .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載【點評】證明e . f . g . h 四點共面,只須證明hgefeh 即可,即證hg.ef.eh三個向量共面這也為證明直線與平面平行的方法精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載【變式訓練】如圖,在三

18、棱柱ac1 d .abc -a1b1c1 中, d 為 bc 邊上的中點,試證a1b 平面精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載uurruururuuurr精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載證明：ba =a 、 bb1 =c、 bc = b ,精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載uuruuuruururr精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載就ba1 =ba +aa1 a + c ,精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載uuruuuuruuuruuur1 uuurr1 r精品學習資料精選學習資料 - -

19、 - 歡迎下載ad =ab +bd =ab +bc = - a +b ,精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載22精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載uuuruuuruuuruuuruuruururrr精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載ac1 =ac +cc1 =bc -ba+bb1 = b -a + c ,精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載uuruuuuruuru精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載ba1 = ac1 -2ad a1 b . 平面ac1d 、精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載因此 a1 b 平面 ac1 d .題

20、型三：空間向量數量積的應用【例 3】如下列圖,已知空間四邊形abcd 的各邊和對角線的長都等于 a ,點 m . n 分 別 為 ab . cd 的 中 點 .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載（1）求證：mn ab 、 mn cd ；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載（2）求 mn 的長；（3）求異面直線an 與 cm 所成角的余弦值.【分析】（ 1）可通過證明兩直線的方向向量的數量積為0 來證明兩直線垂直（ 2）通過精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載uuur 2mn=uuur 2mn求線段 mn 的長度,（ 3）利用向量的數量積求兩向量的夾角,轉化為兩異

21、面精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載直線直線所成的角,留意二者之間的關系.【解析】 1 設 abp 、acq , adr .由題意可知：pqra ,且 p、 q、 r 三向量兩兩夾角均為60° .mnanam1 acad 1 ab1 qrp ,222112精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載 mnabqrp pqprpp 精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載22精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載1 a2 cos 602a 2 cos60a 2 0 .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載 mn ab 、 同理可證mn 1cd .精品

22、學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載（2）由（ 1）可知 mnqrp2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2 mnmn11 qrp 241q 2r 24a2a2a2222a2p 22qrpqrp 精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載a2a24a22.2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載 mn2 a 、 mn 的 長為2 a .22精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載(3) 設向量an 與 mc 的夾角為.111精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載 an acad qr 、2211mcacamqp 、2a 2精品學習資料精選學習資料 -

23、- - 歡迎下載 anmcqr qp =.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2223又anmca , 2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載 cosanmc an mc1 a222 .3 a3 a3精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載22向量 an 與 mc 的夾角的余弦值為2 ,從而異面直線an 與 cm 所成角的余弦值2 .33精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載【點評】利用向量方法解決幾何問題的“三步曲”即：幾何問題代數化,進行代數運算,再 把代數運算的結果轉化幾何結論. 特殊留意此題中異面直線所成的角為銳角或直角,留意其和向量夾角的區(qū)分與聯(lián)系.

24、精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載【變式訓練】如下列圖,平行六面體abcd -a1 b1c1 d1 中,以頂點a 為端點的三條棱長度精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載都為 1,且兩兩夾角為60o .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載(1) 求ac1 的長；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載(2) 求 bd1 與ac1 夾角的余弦值.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載【解析】（ 1）設aa1a、 abb、 adc 、 就ac1a bc ,精品學習

25、資料精選學習資料 - - - 歡迎下載2221 acac abc11121136112 ac16精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載（2）bd1b ca ,bd12 ,精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載ac1bd1abc bca =23設 bd1 與 ac 夾 角為, cos3精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載1即 bd 與 ac 夾角的余弦值為3 .3題型四：空間向量的坐標運算精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載【例 4】（ 1）求與向量a2、1、2 共線且滿意方程ax18 的向量 x 的坐標；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習

26、資料精選學習資料 - - - 歡迎下載（2）已知a、 b 、c 三點坐標分別為（2, -1 ,2）,（ 4, 5, -1 ）,（ -2 , 2, 3）,求點 p 的坐標精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載使 得 ap1 abac ；2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載（3）已知 a3、5、4 , b2、1、8 ,求： a b ； a 與 b 夾角的余弦值；確定,精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載的值使得ab 與 z 軸垂直,且abab 53.【分析】 此題考綜合考察了空

27、間向量的平行.垂直的充要條件以及坐標運算,為空間向量的重點內容,留意運算的精確性.【解析】（ 1） x 與 a 共線,故可設xka ,由 ax18精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載得 a kaka2k4149k ,精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載 9k18故 k2 x2a4、2、4 .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載（2）設p x、 y、 z ,就 ap x2、 y1、 z2 , ab2、6、3 , ac4、3、1,精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載1 abac 3、 3 、2 ap1 abac 222x23x5精品學習資料精選學習資料 -

28、- - 歡迎下載y13,解得y1 22精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載z22z0 p 點的坐標為5、 1 、0 .2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載（3） ab32514821 .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載 a32524 2= 52 、 b22128269 、精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載 cosa ba、 b217138.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載a b5269230精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載 a 與 b 夾角的余弦值為-7 138 .230精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載取

29、 z 軸上的單位向量n0、0、1, ab5、6、4 .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載依題意abn04801,即,解得1 .294853精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載abab532【點評】此題第問也可以先利用向量的運算律綻開,再代入坐標運算.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載【變式訓練】如下列圖,在空間直角坐標系中bc2 ,原點 o 為 bc 的中點,點a 的坐精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載標 為 3 、 1 、022, 點d在 平 面yoz 內 , 且bdc90,精品學習資料精選學習資料

30、- - - 歡迎下載dcb30 .（1）求 od 的坐標；（ 2）設 ad 和 bc 的夾角為,求 cos的值 .【解析】1如下列圖,過d 作 debc ,垂足為e ,精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載在 rtbdc 中,由bdc90 、dcb30 , bc2 ,得 bd1 ,精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載cd3 .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載 decdsin 303、 oeobbd211cos 601.22精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載 d 0、1 、3 , 即 od0、1 、3 .精

31、品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載22（2）依題意：oa223 、 1 、0 ,ob220、1、0, oc0、1、0 .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載 adodoa3 、1、3 ,bcocob0、2、0 .精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載22設 ad 和 bc 的 夾 角為,精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載就 cosadbc=adbc302231 2231202=-230 22 20 2210 .5精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載 cos10 .5四.【解法小結】（1）對于共面對量

32、定理和空間向量基本定理可對比共線向量定理進行學習懂得空間向量基本定理為適當選取基底的依據,共線向量定理和共面對量定理為證明三點共線.線線平行.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載四點共面. 線面平行的工具,三個定理保證了由向量作為橋梁由實數運算方法完成幾何證明問題的完善“嫁接”；（2）空間向量的坐標運算為用來解決立體幾何中求角度和距離的有力工具,建立適當的空間直角坐標系.精確地寫出幾何體中各點的坐標為解決問題的關鍵所在；五.【布置作業(yè)】1. 已知點o . a . b . c 為空間不共面的四點,且向量aoaoboc ,向量boaoboc, 就 oa . ob . oc 中 不 能 與

33、 a、 b 構 成 空 間 基 底 的 向 量精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載為.2. 已知向量a8、 12x、 x b x、1、2 ,其中 x0 如 a b ,就 x 的值為.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載3. 已知向量a、b 滿 足 a2 , b3 , 2ab37 ,就 a 與 b 的夾角為.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載4. 已知空間四邊形abcd 的每條邊和對角線的長都等于a 、 點 e . f 分 別 為 bc . ad 的中點,就ae · af的值為.精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載5. 已知a4、1、3b 2、 -5、1 ,c 為線段 ab 上一點,且 acab1,就 c 點的坐標為.3精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載6. a .b .c .d 為空間不共面的四點,且滿意abac0,aca