隨機(jī)微分方程及其應(yīng)用實(shí)用教案

1、隨機(jī)(su j)微分方程的重要性 近年來，隨機(jī)微分方程，隨機(jī)分析有了迅速發(fā)展，隨機(jī)微分方程的理論廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)、生物、物理、自動(dòng)化等領(lǐng)域。 在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域，用隨機(jī)微分方程來解決期權(quán)定價(jià)的問題，在產(chǎn)品的銷售，市場(chǎng)的價(jià)格等隨機(jī)事件中，可根據(jù)大量的試驗(yàn)數(shù)據(jù)確定某個(gè)隨機(jī)變量，并附加初始條件建立隨機(jī)微分方程的數(shù)學(xué)模型，從而推斷出總體的發(fā)展變化規(guī)律。 在生物領(lǐng)域，用于揭示疾病的發(fā)生規(guī)律以及疾病的傳播流行過程，腫瘤(zhngli)演化機(jī)制等。 在物理領(lǐng)域，用于布朗粒子的逃逸與躍遷問題，反常擴(kuò)散。第1頁/共32頁第一頁，共32頁。22 設(shè)X為n維的隨機(jī)變量,W為m維的維納運(yùn)動(dòng)，b和B是給定(i dn)的函數(shù)，并不

2、是隨機(jī)變量， ， nnRTRb , 0:mnnMTRB , 0:1、隨機(jī)微分方程、隨機(jī)微分方程(wi fn fn chn)的定義：的定義：那么隨機(jī)微分方程可以表示成如下形式：0)0(),(),(XXdWtXBdttXbdX若X滿足等式： 那么X就是此隨機(jī)微分方程的解。dWssXBdsssXbXtXtt000),(),()( 如果系數(shù)b和B分別滿足：b(x,t)=c(t)+D(t)x，B(x,t)=E(t)+F(t)x,那么就稱此方程為線性隨機(jī)微分方程。如果c(t)=E(t)=0，那么線性隨機(jī)微分方程是齊次的。如果F(t)=0，這稱隨機(jī)微分方程狹義上是線性。2第2頁/共32頁第二頁，共32頁。3

3、332、線性隨機(jī)微分方程、線性隨機(jī)微分方程(wi fn fn chn)的解的形的解的形式式 以上(yshng)我們定義的是基于n維隨機(jī)變量和m維布朗運(yùn)動(dòng)的隨機(jī)微分方程，實(shí)際應(yīng)用中大多數(shù)為一維的情況，以下給出一維中隨機(jī)微分方程的解的具體形式 當(dāng)m=n=1時(shí)，線性隨機(jī)微分方程的一般形式如下：0)0()()()()(XXdWXtftedtXtdtcdX)()()()()()()()(01010ttdWsesdssfsescsXttX解為：)2(exp()(002ttfdWdsfdt其中3第3頁/共32頁第三頁，共32頁。隨機(jī)(su j)微分方程舉例2 2、線性隨機(jī)、線性隨機(jī)(su j)(su j)微

4、分方程舉例微分方程舉例例例1、股票價(jià)格、股票價(jià)格 設(shè)P(t)表示在t時(shí)刻股票的價(jià)格，通過股票價(jià)格的變化率可以(ky)建立P(t)的隨機(jī)微分方程：dWdtPdP其中和為常數(shù)，0 表示股票趨勢(shì)項(xiàng)，表示股票波動(dòng)項(xiàng)，則微分方程轉(zhuǎn)化為下面的形式：PdWPdtdP根據(jù)伊藤公式可知：dWdtdtPPPdPPd)2(21)(log(2222第4頁/共32頁第四頁，共32頁。隨機(jī)微分方程(wi fn fn chn)舉例可以解出P(t)：由此可知，若初始價(jià)格為正直(zhngzh)，則股票價(jià)格總是正的。ttWeptP)2()(02)(由隨機(jī)微分方程可知(k zh)： 并且 ，則可知(k zh)：dWPdsPptPt

5、t000)(0)(0dWPEtdssPEptPEt00)()(可以解出：teptPE0)(因此股票價(jià)格的期望值由股票的趨勢(shì)項(xiàng)決定，與股票的波動(dòng)沒有關(guān)系。第5頁/共32頁第五頁，共32頁。6隨機(jī)微分方程(wi fn fn chn)舉例例例2：朗之萬方程：朗之萬方程(fngchng) 存在摩擦力的情況下，布朗粒子的運(yùn)動(dòng)(yndng)模型服從一維的隨機(jī)微分方程， ，其中表示白噪聲，b0表示摩擦系數(shù)，表示擴(kuò)散系數(shù)。在此方程中，X代表布朗粒子的運(yùn)動(dòng)(yndng)速率。X0與維納過程相互獨(dú)立，因?yàn)榘自肼暿蔷S納過程對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，所以此方程等價(jià)于下面的隨機(jī)微分方程：bXX0)0(XXdWbXdtdX 根據(jù)線性

6、隨機(jī)微分方程解的形式可以求得此微分方程的解為：dWeXetXtstbbt0)(0)(第6頁/共32頁第六頁，共32頁。7隨機(jī)(su j)微分方程舉例可以(ky)求出X的期望：)()(0XEetXEbt)1 (2)()()()(2)()(2()(222020)(220)(2020220)(20)(02022btbttstbtstbbtbttstbtstbbtbtebXEedseEdWeEXEeXEedWedWeXeXeEtXE則X的方差(fn ch)為：)1 (2)()(2202btbtebXVetXV則當(dāng)t趨于無窮大時(shí)：btXVtXE2)(0)(2從解的形式來看，當(dāng)t趨于無窮大時(shí)，X的漸近分布

7、為正態(tài)分布 ，與初始分布無關(guān)。)2, 0(2bN第7頁/共32頁第七頁，共32頁。8隨機(jī)(su j)微分方程舉例例例3 3：烏倫貝克過程：烏倫貝克過程(guchng)(guchng)布朗運(yùn)動(dòng)(b ln yn dn)的另一隨機(jī)微分方程模型：10)0(,)0(YYYYYbY 其中Y(t)是t時(shí)刻布朗粒子的位移，Y0與Y1是給定的高斯隨機(jī)變量，b0是摩擦系數(shù)，是擴(kuò)散系數(shù)，通常為白噪聲。 若 ，即X表示速率，則原方程等價(jià)于以下朗之萬方程：YX1)0(YXdWbXdtdX則方程的解為：dWeYetXtstbbt0)(1)(第8頁/共32頁第八頁，共32頁。9隨機(jī)(su j)微分方程舉例則可以(ky)解出

8、原微分方程的解Y(t)：dsXYtYt00)(例例4 4：隨機(jī)諧波：隨機(jī)諧波(xi b)(xi b)振子振子102)0(,)0(XXXXXbXX 其中 表示線性的保守勢(shì)場(chǎng)力， 表示摩擦阻尼力，表示白噪聲，可以通過一般的公式來求解此隨機(jī)微分方程。 當(dāng)X1=0，b=0，=1時(shí)，隨機(jī)微分方程的解為：X2XbdWsttXtXt00)(sin(1)cos()(第9頁/共32頁第九頁，共32頁。1010隨機(jī)諧波振子(zhn z)的微分方程進(jìn)行推廣可以的得到如下方程：10)0(,)0()()(XXXXtxVXbX 阻尼力，b是摩擦系數(shù)保守勢(shì)場(chǎng)力，V(x)即為勢(shì)函數(shù)，在隨機(jī)(su j)諧波振子微分方程中 為線

9、性的，當(dāng)勢(shì)函數(shù)為非線性的時(shí)，就會(huì)存在逃逸的問題。 隨機(jī)力或噪聲項(xiàng)，通常為高斯白噪聲1.摩擦系數(shù)b可以是線性的，也可以是非線性的。2.此方程中X的導(dǎo)數(shù)為一階，然而X的導(dǎo)數(shù)也可以是分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)，即分?jǐn)?shù)階摩擦10XxV2)(第10頁/共32頁第十頁，共32頁。111111 逃逸問題是研究系統(tǒng)在隨機(jī)力作用下從穩(wěn)態(tài)出發(fā)的演化過程，盡管隨機(jī)力很小，但是足以引起布朗粒子的逃逸，從而使原來的穩(wěn)態(tài)發(fā)生質(zhì)的改變，我們基于以上的隨機(jī)微分方程來研究布朗粒子的逃逸問題。 若勢(shì)函數(shù)V(x)是非線性的，且是單勢(shì)阱，結(jié)構(gòu)(jigu)如下圖： 11第11頁/共32頁第十一頁，共32頁。121212 從勢(shì)函數(shù)的結(jié)構(gòu)圖中可以看出該勢(shì)

10、阱的高度為 ，勢(shì)能最小值的位置坐標(biāo)為xs ，也是V(x)的穩(wěn)定點(diǎn)，最大值的位置坐標(biāo)為xu，也是V(x)的不穩(wěn)定點(diǎn)。當(dāng) 時(shí)， ，因此系統(tǒng)在負(fù)x方向是被束縛的，xxu,系統(tǒng)會(huì)自動(dòng)(zdng)趨于無窮，所以xxu叫做逃逸區(qū)。研究系統(tǒng)從束縛區(qū)進(jìn)入逃逸區(qū)的問題，就叫“逃逸問題”。Vx)(xV12 當(dāng)勢(shì)阱函數(shù)V(x)為雙穩(wěn)勢(shì)阱時(shí)，在隨機(jī)力的作用下，兩個(gè)勢(shì)阱中的運(yùn)動(dòng)不再相互獨(dú)立，初始在某一勢(shì)阱內(nèi)的系統(tǒng)(xtng)，會(huì)在不同時(shí)間以不同的概率進(jìn)入另一勢(shì)阱。逃逸問題也就轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)(xtng)在隨機(jī)力的作用下兩個(gè)穩(wěn)態(tài)之間的躍遷問題。第12頁/共32頁第十二頁，共32頁。131313 如圖所示：它在x的正負(fù)無窮上都是

11、受束縛的，勢(shì)函數(shù)有兩個(gè)極小值（穩(wěn)定解）和一個(gè)極大值（不穩(wěn)定解 ）。如果不存在隨機(jī)力的作用，初態(tài)處于的勢(shì)阱內(nèi)的粒子將逗留在原勢(shì)阱內(nèi)，它們將各自趨于初態(tài)所處勢(shì)阱的極小值，即到達(dá)系統(tǒng)的穩(wěn)定解。而一旦到達(dá)了此穩(wěn)態(tài)，粒子將永遠(yuǎn)不再偏離。但若存在隨機(jī)力激勵(lì)(jl)的條件下，則粒子就可能在兩個(gè)穩(wěn)態(tài)之間躍遷。13V(x)的雙勢(shì)阱(sh jn)結(jié)構(gòu)圖第13頁/共32頁第十三頁，共32頁。1414 逃逸率和平均首次穿越時(shí)間是用來刻畫逃逸過程和躍遷過程的兩個(gè)重要的特征量，布朗粒子首次穿過勢(shì)壘所用的時(shí)間即為首通時(shí)間，由于隨機(jī)力的作用，在同樣(tngyng)條件的各次實(shí)驗(yàn)中，首通時(shí)間是各不相同的，即從一個(gè)穩(wěn)態(tài)出發(fā)系統(tǒng)越

12、過勢(shì)壘進(jìn)入另一勢(shì)阱所用時(shí)間在各次試驗(yàn)中是不同的，這些時(shí)間的平均值叫作平均第一渡越時(shí)間（MFPT）。14第14頁/共32頁第十四頁，共32頁。15非線性摩擦(mc)下的逃逸率ModelModel：)(2)()(,0tDxUvvvmvx粒子(lz)的質(zhì)量，假設(shè)m=1高斯(o s)白噪聲，噪聲強(qiáng)度為D15（1）(v)表示非線性摩擦函數(shù)，在非平穩(wěn)問題中，摩擦函數(shù)有RH和SET兩種形式。RH摩擦函數(shù)的表達(dá)式：u0表示在沒有噪聲激勵(lì)下，粒子最終到達(dá)的速度，假設(shè)u0=1,0=20,SET摩擦函數(shù)的表達(dá)式： ,假設(shè)=2)()(2020uvv1),11 ()(20vv)3()(3xxAxU（2）勢(shì)函數(shù)U(x)的

13、表達(dá)式為： ，A表示振幅，則U(x)的結(jié)構(gòu)圖如下：第15頁/共32頁第十五頁，共32頁。16非線性摩擦(mc)下的逃逸率如圖所示，勢(shì)能(shnng)最小值坐標(biāo)x-min=-1,為穩(wěn)定點(diǎn)，勢(shì)能(shnng)最大值坐標(biāo)x-max=1，為不穩(wěn)定點(diǎn)，x1為逃逸區(qū)。A43 如果振幅很小的話，粒子會(huì)很容易逃出勢(shì)壘，存在臨界值振幅Ac，使得不存在噪聲激勵(lì)時(shí)，粒子逗留在原勢(shì)阱內(nèi)，不會(huì)逃逸。對(duì)于(duy)不同的摩擦函數(shù)，臨界值的表達(dá)式不同。根據(jù)V的零切線的分叉可以可以計(jì)算出振幅的臨界值。 該勢(shì)阱的高度為3/4A。第16頁/共32頁第十六頁，共32頁。17非線性摩擦(mc)下的逃逸率 零切線：在不存在噪聲的情況下

14、， 所表示的直線就是v的零切線。那么v的零切線為方程 的圖像，該方程是關(guān)于v的三次方程，如果給定x的值，速率v存在三個(gè)解，位于中間的解是動(dòng)態(tài)不穩(wěn)定的，上下解的分支形成粒子的軌跡，x零切線與v的切斜線相交僅僅(jnjn)形成兩個(gè)不穩(wěn)定的固定點(diǎn)。通過上下解的分歧情況可以求出振幅的臨界值。0v 0)1 ()(20 xAvv17對(duì)于(duy)SET摩擦函數(shù)臨界振幅為： 當(dāng)=2時(shí)，Ac=0.3)8 (, 2)2()()3 (ddddAc對(duì)于RH摩擦函數(shù)臨界振幅為： ，當(dāng)u0=1時(shí)， Ac=0.38 )3/(22330uAc第17頁/共32頁第十七頁，共32頁。18非線性摩擦(mc)下的逃逸率 如圖所示，

15、可以看出，當(dāng)振幅小于臨界值時(shí)，粒子的軌跡與零切線(qixin)很接近，并且很快逃出穩(wěn)定區(qū)，當(dāng)振幅大于臨界值時(shí)，粒子保持在最小值附近，軌跡類似于一極限環(huán)，即布朗粒子的運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定在極限環(huán)內(nèi)。在無噪聲激勵(lì)下，布朗粒子的樣本(yngbn)路徑如圖：18第18頁/共32頁第十八頁，共32頁。19非線性摩擦(mc)下的逃逸率Escape Escape statisticsstatistics： 由以上討論可知，在沒有噪聲激勵(lì)的情況下，如果(rgu)振幅大于臨界值，布朗粒子將逗留在穩(wěn)定區(qū)內(nèi)，在一極限環(huán)內(nèi)運(yùn)動(dòng)。如果(rgu)存在噪聲的激勵(lì)，粒子將逃離穩(wěn)定區(qū)，隨著噪聲強(qiáng)度的增大，粒子越容易逃離，用逃逸率來衡量粒子

16、逃逸的容易度，研究隨著噪聲強(qiáng)度的增大，逃逸率將如何變化。 在此逃逸率是用平均首次穿越時(shí)間的倒數(shù)來計(jì)算的。為了測(cè)量(cling)不同噪聲強(qiáng)度下粒子的逃逸率，選取初始狀態(tài)為x(0)=-1，v(0)=-1，計(jì)算粒子首次通過極限值xth=5的平均時(shí)間，也可以選取穩(wěn)定區(qū)內(nèi)的其他初始狀態(tài)，這并不影響我們模擬的結(jié)果。第19頁/共32頁第十九頁，共32頁。20非線性摩擦(mc)下的逃逸率逃逸率隨噪聲強(qiáng)度(qingd)的變化如下圖：20第20頁/共32頁第二十頁，共32頁。21非線性摩擦(mc)下的逃逸率結(jié)論：結(jié)論： （1）逃逸率并不是單調(diào)增加的隨著噪聲強(qiáng)度的增加，明顯地，）逃逸率并不是單調(diào)增加的隨著噪聲強(qiáng)度的

17、增加，明顯地，當(dāng)振幅足夠大時(shí)，噪聲強(qiáng)度超過一定的范圍，逃逸率隨噪聲強(qiáng)當(dāng)振幅足夠大時(shí)，噪聲強(qiáng)度超過一定的范圍，逃逸率隨噪聲強(qiáng)度的增大度的增大(zn d)而減小，隨后又隨著噪聲強(qiáng)度的增加而增大而減小，隨后又隨著噪聲強(qiáng)度的增加而增大(zn d)，產(chǎn)生了最大值和最小值。，產(chǎn)生了最大值和最小值。 （2）當(dāng)）當(dāng)A=0.41時(shí)，逃逸率的最大值是更顯著的，一般而言，時(shí)，逃逸率的最大值是更顯著的，一般而言，當(dāng)振幅比較大時(shí)，對(duì)所有的噪聲強(qiáng)度而言。逃逸率都會(huì)減小，當(dāng)振幅比較大時(shí)，對(duì)所有的噪聲強(qiáng)度而言。逃逸率都會(huì)減小，但是在噪聲強(qiáng)度較弱時(shí)，減小的更明顯。但是在噪聲強(qiáng)度較弱時(shí)，減小的更明顯。 （3）隨著振幅的增加，逃逸

18、率的最大值將會(huì)在更大的噪聲）隨著振幅的增加，逃逸率的最大值將會(huì)在更大的噪聲強(qiáng)度處取得，當(dāng)振幅足夠大時(shí)，逃逸率的最大值將消失，逃逸強(qiáng)度處取得，當(dāng)振幅足夠大時(shí)，逃逸率的最大值將消失，逃逸率隨著噪聲強(qiáng)度的增大率隨著噪聲強(qiáng)度的增大(zn d)嚴(yán)格遞增。嚴(yán)格遞增。21第21頁/共32頁第二十一頁，共32頁。22非線性摩擦(mc)下的逃逸率 為了更好的理解逃逸率與噪聲強(qiáng)度的關(guān)系，畫出了在不同(b tn)噪聲強(qiáng)度下的粒子逃逸軌跡如下圖：無噪聲激勵(lì)的情況無噪聲激勵(lì)的情況(qngkung)下，下，粒子在極限環(huán)內(nèi)運(yùn)粒子在極限環(huán)內(nèi)運(yùn)動(dòng)，沒能逃出勢(shì)壘動(dòng)，沒能逃出勢(shì)壘在噪聲強(qiáng)度很小的在噪聲強(qiáng)度很小的情況下，粒子在極情況

19、下，粒子在極限環(huán)內(nèi)運(yùn)動(dòng)一段時(shí)限環(huán)內(nèi)運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間，最后通過分界間，最后通過分界線逃出勢(shì)壘線逃出勢(shì)壘隨著噪聲強(qiáng)度的隨著噪聲強(qiáng)度的增大，粒子更有增大，粒子更有可能逃出勢(shì)壘，可能逃出勢(shì)壘，在極限環(huán)內(nèi)只運(yùn)在極限環(huán)內(nèi)只運(yùn)動(dòng)幾圈動(dòng)幾圈在一定的噪聲強(qiáng)度在一定的噪聲強(qiáng)度范圍內(nèi)，隨著噪聲范圍內(nèi)，隨著噪聲強(qiáng)度的增大，逃逸強(qiáng)度的增大，逃逸率減小，粒子穩(wěn)定率減小，粒子穩(wěn)定在極限環(huán)內(nèi)，降低在極限環(huán)內(nèi)，降低了逃逸的可能，但了逃逸的可能，但是最終也逃出勢(shì)壘是最終也逃出勢(shì)壘22第22頁/共32頁第二十二頁，共32頁。23非線性摩擦(mc)下的逃逸率Summary:Summary: 論文研究了在非線性摩擦函數(shù)的情況下，逃逸率與噪

20、聲強(qiáng)度呈現(xiàn)非單調(diào)的關(guān)系，這與線性情況下的單調(diào)關(guān)系完全不一致。 依賴噪聲的非單調(diào)逃逸率并非僅僅限制(xinzh)在一維的模型中，也可能在高維的模型中存在。23第23頁/共32頁第二十三頁，共32頁。進(jìn)一步研究(ynji)的問題 1. 1.非高斯型噪聲非高斯型噪聲 2. 2.分?jǐn)?shù)階摩擦分?jǐn)?shù)階摩擦 3. 3.生物生物(shngw)(shngw)系統(tǒng)中的應(yīng)用：腫瘤模型和神經(jīng)元模型系統(tǒng)中的應(yīng)用：腫瘤模型和神經(jīng)元模型 基于隨機(jī)微分方程的腫瘤演化機(jī)制及動(dòng)力學(xué)行為研究基于隨機(jī)微分方程的腫瘤演化機(jī)制及動(dòng)力學(xué)行為研究第24頁/共32頁第二十四頁，共32頁。1.非高斯型的噪聲(zoshng) 以上我們提到的噪聲都是

21、高斯白噪聲，即概率密度函數(shù)服從正態(tài)分布，功率譜密度是常數(shù)的噪聲，自然界中并不存在真正的白噪聲，只是在噪聲相關(guān)時(shí)間遠(yuǎn)小于確定性系統(tǒng)的弛豫時(shí)間時(shí)，噪聲之間的關(guān)聯(lián)才可以近似地忽略，當(dāng)作白噪聲來處理。則概率密度函數(shù)不服從正態(tài)分布的噪聲為非高斯型噪聲，可以通過(tnggu)高斯白噪聲的線性表達(dá)形成非高斯型噪聲。假設(shè)(t)為非高斯(o s)噪聲，則(t)滿足下列線性方程：)(2)2/() 1(22tDDqdtd其中，表示相關(guān)時(shí)間，(t)表示高斯白噪聲，D表示噪聲強(qiáng)度，q表示(t)偏離高斯分布的程度。第25頁/共32頁第二十五頁，共32頁。26261、Grunwald-Letnikov（GL）分?jǐn)?shù)）分?jǐn)?shù)(f

22、nsh)階導(dǎo)數(shù)定義階導(dǎo)數(shù)定義 對(duì)于連續(xù)函數(shù)對(duì)于連續(xù)函數(shù)y=f(t)，依據(jù)整數(shù)階導(dǎo)數(shù)的定義，它的一階，依據(jù)整數(shù)階導(dǎo)數(shù)的定義，它的一階導(dǎo)數(shù)定義式為：導(dǎo)數(shù)定義式為：hhtftfdttdfh)()(lim)(0依據(jù)相同的定義，可以(ky)推出二階導(dǎo)數(shù)的定義式：200022)2()(2)(lim)2()()()(1lim)()(lim)(hhtfhtftfhhtfhtfhhtftfhhhtftfdttfdhhh同理可得函數(shù)的三階導(dǎo)數(shù)為：26第26頁/共32頁第二十六頁，共32頁。27272.分?jǐn)?shù)(fnsh)階導(dǎo)數(shù)GL定義3033)3()2(3)(3)(lim)(hhtfhtfhtftfdttfdh以此類

23、推，n階導(dǎo)數(shù)的一般(ybn)定義可以記為：njjnhnnjhtfjnhdttfd00)() 1(1lim)(式中：) 1() 1() 1()!( !jnjnjnjnjn推廣以上等式，當(dāng)n為任意正實(shí)數(shù)，可以導(dǎo)出GL分?jǐn)?shù)(fnsh)階導(dǎo)數(shù)的形式：00)() 1(1lim)(jjhtjhtfjhtfD27第27頁/共32頁第二十七頁，共32頁。282828) 1() 1() 1()!( !jjjjj其中(qzhng)：2、黎曼、黎曼-劉維爾（劉維爾（RL）分?jǐn)?shù)）分?jǐn)?shù)(fnsh)階微積階微積分定義分定義（1）RL分?jǐn)?shù)階積分分?jǐn)?shù)階積分 首先定義2階積分函數(shù)，設(shè)函數(shù)f(x)定義在區(qū)間 ，且函數(shù)f(x)的一階積分函數(shù)在該區(qū)