4知識講解_集合的基本關(guān)系及運(yùn)算_提高

1、集合的基本關(guān)系及運(yùn)算【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 理解集合之間包含與相等的含義，能識別一些給定集合的子集在具體情境中，了解空集和全集的 含義.2. 理解兩個集合的交集和并集的含義，會求兩個簡單集合的交集與并集.理解在給定集合中一個子集 的補(bǔ)集的含義，會求給定子集的補(bǔ)集.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、集合之間的關(guān)系1. 集合與集合之間的“包含”關(guān)系集合A是集合B的部分元素構(gòu)成的集合，我們說集合B包含集合A;子集：如果集合 A的任何一個元素都是集合B的元素，我們說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合A是集合B的子集（subset）.記作：AB（或B A），當(dāng)集合A不包含于集合 B時，記作 匸B,用Venn圖表示兩個集合間的“包

2、含”關(guān)系： A B（或B A）要點(diǎn)詮釋:（1） “ A是B的子集”的含義是：A的任何一個元素都是 B的元素，即由任意的x A，能推出x B .（2） 當(dāng)A不是B的子集時，我們記作“ A/B（或B/A）”，讀作：“ A不包含于B ”（或“ B不包含A ”）.真子集：若集合 A B，存在元素x B且x A，則稱集合 A是集合B的真子集（proper subset）. 記作：B（或By A）規(guī)定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集2. 集合與集合之間的“相等”關(guān)系A(chǔ) B且B A，則A與B中的元素是一樣的，因此A=B要點(diǎn)詮釋：任何一個集合是它本身的子集，記作A A .要點(diǎn)二、集合的運(yùn)算1.并

3、集一般地，由所有屬于集合 A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作：AU B讀作：“ A并 B”，即: AU B=x|xA,或 x BVenn圖表示：要點(diǎn)詮釋:(1) “X A,或 x B” 包含三種情況：“ x A,但x B ”； “ x B,但x A”； “ x A,且x B(2)兩個集合求并集，結(jié)果還是一個集合，是由集合A與B的所有元素組成的集合(重復(fù)元素只出現(xiàn)一次).2.交集一般地，由屬于集合 A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A與B的交集；記作：AA B,讀作：“ A交B',即An B=x|x A,且x B;交集的Venn圖表示：要點(diǎn)詮釋：(1)

4、并不是任何兩個集合都有公共元素，當(dāng)集合A與B沒有公共元素時，不能說 A與B沒有交集，而 是 AI B .(2) 概念中的“所有”兩字的含義是，不僅“An B中的任意元素都是 A與B的公共元素”，同時“ A 與B的公共元素都屬于 An B” .(3) 兩個集合求交集，結(jié)果還是一個集合，是由集合A與B的所有公共元素組成的集合.3.補(bǔ)集全集：一般地，如果一個集合含有我們所研究問題中所涉及的所有元素，那么就稱這個集合為全集， 通常記作U.補(bǔ)集：對于全集 U的一個子集A,由全集U中所有不屬于集合 A的所有元素組成的集合稱為集合A相對于全集 U的補(bǔ)集(complementary set)，簡稱為集合 A的

5、補(bǔ)集，記作：痧A ;即U A=x|xU且x A;補(bǔ)集的Venn圖表示：要點(diǎn)詮釋：(1) 理解補(bǔ)集概念時，應(yīng)注意補(bǔ)集QjA是對給定的集合 A和U(A U)相對而言的一個概念，一個 確定的集合 A，對于不同的集合 U,補(bǔ)集不同.(2) 全集是相對于研究的問題而言的，如我們只在整數(shù)范圍內(nèi)研究問題，則Z為全集；而當(dāng)問題擴(kuò)展 到實(shí)數(shù)集時，則 R為全集，這時Z就不是全集.(3) euA表示U為全集時A的補(bǔ)集，如果全集換成其他集合(如R)時，則記號中“ U'也必須換成 相應(yīng)的集合(即).4.集合基本運(yùn)算的一些結(jié)論ABA，ABB, AA=A , AAAB，BAB,AA=A ,A(痧A)A=U,(u A

6、)A=,A B=B A =A, A B=B A若An b=a則A B，反之也成立若AU B=B則A B，反之也成立若 x (A n B)，貝y x A 且 x B若 x (A U B)，貝U x A,或 x B求集合的并、交、補(bǔ)是集合間的基本運(yùn)算，運(yùn)算結(jié)果仍然還是集合，區(qū)分交集與并集的關(guān)鍵是“且”與“或”，在處理有關(guān)交集與并集的問題時，常常從這兩個字眼出發(fā)去揭示、挖掘題設(shè)條件，結(jié)合Venn圖或數(shù)軸進(jìn)而用集合語言表達(dá)，增強(qiáng)數(shù)形結(jié)合的思想方法【典型例題】類型一、集合間的關(guān)系例1.集合Aa |a2k,k N，集合 B1b|b - 1( 1)n (n2 1),n N ，那么 A, B 間的8關(guān)系疋()

7、.A. A - BB.B口 A C. A=BD.以上都不對【答案】B【解析】先用列舉法表示集合A、B，再判斷它們之間的關(guān)系由題意可知，集合 A是非負(fù)偶數(shù)集,0(n為非負(fù)偶數(shù)時)，即 A 0,2,4,6,8,.集合 B 中的元素 b 1 1( 1)n (n21) d.而8- (n 1)(n 1)(n為正奇數(shù)時)41-(n 1)(n 1)( n為正奇數(shù)時)表示 0或正偶數(shù)，但不是表示所有的正偶數(shù)，即n 1,3,5,7,.由41 (n 1)(n 1)依次得 0,2,6,12 ，即 B0,2,6,12,20,4綜上知，B * A，應(yīng)選B.【總結(jié)升華】判斷兩個集合間的關(guān)系的關(guān)鍵在于：弄清兩個集合的元素的

8、構(gòu)成，也就是弄清楚集合是由哪些元素組成的.這就需要把較為抽象的集合具體化(如用列舉法來表示集合)、形象化(用 Venn圖，或數(shù)形集合表示)舉一反三：【變式 1 】若集合 A x |x 2k 1,k z , B x| x 4l 1,l z，則()A. A Ib B. B*A C. A = B D. AU B Z【答案】C例2.寫出集合a，b，c的所有不同的子集.【解析】不含任何元素子集為，只含1個元素的子集為a，b，c，含有2個元素的子集有a，b，a，c，b，c，含有3個元素的子集為a，b，c，即含有3個元素的集合共有 23=8個不同的子集. 如果集合增加第4個元素d，則以上8個子集仍是新集合的

9、子集，再將第 4個元素d放入這8個子集中， 會得到新的8個子集，即含有4個元素的集合共有 24=16個不同子集，由此可推測，含有n個元素的集合共有2個不同的子集.【總結(jié)升華】要寫出一個集合的所有子集，我們可以按子集的元素個數(shù)的多少來分別寫出.當(dāng)元素個數(shù).如本例中要寫出2個元素的子集時，先從 a起，a相同時，應(yīng)依次將每個元素考慮完后，再寫剩下的子集與每個元素搭配有a，b，a，c，然后不看a,再看b可與哪些元素搭配即可同時還要注意兩個特殊的 子集： 和它本身.舉一反三：【變式1】已知a,b Aa,b,c,d,e，則這樣的集合A有個【答案】7個【變式2】(2016湛江一模)已知集合A=1 ,2,3,

10、平面內(nèi)以(x,y)為坐標(biāo)的點(diǎn)集合B=(x,y)|x A, y A, x+y A，貝U B的子集個數(shù)為()A . 3 B. 4 C. 7 D. 8【答案】D【解析】集合A=1 , 2, 3，平面內(nèi)以(x, y)為坐標(biāo)的點(diǎn)集合 B= (x, y)| x A, y A, x+y A, B= (1 , 1), (1, 2), (2, 1) B的子集個數(shù)為：23=8個.故選D .例 3 .集合 A=x|y=x 2+1 , B=y|y=x 2+1, C=(x,y)|y=x 2+1, D=y=x2+1是否表示同一集合？【答案】以上四個集合都不相同【解析】集合 A=x|y=x 2+1的代表元素為x,故集合A表

11、示的是函數(shù)y=x2+1中自變量x的取值范圍， 即函數(shù)的定義域A=(,);集合B=y|y=x 2+1的代表元素為y，故集合B表示的是函數(shù)y=x2+1中函數(shù)值y的取值范圍，即函數(shù)的 值域 B=1,);集合C=(x,y)|y=x 2+1的代表元素為點(diǎn)(x, y),故集合C表示的是拋物線 y=x2+1上的所有點(diǎn)組成的 集合；集合D=y=x 2+1是用列舉法表示的集合，該集合中只有一個元素：方程y=x2+1.【總結(jié)升華】認(rèn)清集合的屬性，是突破此類題的關(guān)鍵.首先應(yīng)當(dāng)弄清楚集合的表示方法，是列舉法還是描述法；其次對于用描述法表示的集合一定要認(rèn)準(zhǔn)代表元素，準(zhǔn)確理解對代表元素的限制條件.舉一反三：【變式 1 】

12、 設(shè)集合 M ( x,y)| y 3x 4 , N ( x, y) | y 3x 2，則 MIN ()A. 1,1B. x 1,y 1 C. ( 1,1) D. ( 1,1)【答案】D【解析】排除法：集合 M、N都是點(diǎn)集，因此 M I N只能是點(diǎn)集，而選項(xiàng) A表示二元數(shù)集合，選項(xiàng) B 表示二元等式集合，選項(xiàng) C表示區(qū)間(1,1)(無窮數(shù)集合)或單獨(dú)的一個點(diǎn)的坐標(biāo)(不是集合)，因此可以判斷選D.【變式2】設(shè)集合M x| y 2x 1,x Z ,N y| y 2x 1,x Z，則M與n的關(guān)系是()A.N u MB.M u NC.N MD.NI M【答案】A【解析】集合 集合M表示函數(shù)y 2x1,x

13、Z的定義域，有M 整數(shù);集合 集合N表示函數(shù)y 2x1,xZ的值域，有N奇數(shù)，故選A.【高清課堂：集合的概念、表示及關(guān)系377430例2】2 2【變式 3】 設(shè) M=x|x=a +1, a Z, N=x|x=b -4b+5 , b Nk，貝U M與 N 滿足()A. M=N B. M 艮 N C. N 空M D. M n N=【答案】B【解析】 當(dāng)a N+時，元素 x=a2+1,表示正整數(shù)的平方加1對應(yīng)的整數(shù)，而當(dāng) b N+時，元素x=b2-4b+5=(b-2) 2+1,其中b-2可以是0,所以集合N中元素是自然數(shù)的平方加 1對應(yīng)的整數(shù)，即M中元素 都在N中，但N中至少有一個元素 x=1不在M

14、中，即M- N,故選B.【高清課堂：集合的概念、表示及關(guān)系377430例3】例 4已 知 M x,xy, x y, N 0, x, y, 若 M=N , 則2 2 100 100 (x y) (x y ) (x y )=.A . - 200B. 200C. - 100d . 0【思路點(diǎn)撥】解答本題應(yīng)從集合元素的三大特征入手，本題應(yīng)側(cè)重考慮集合中元素的互異性.【答案】D【解析】由M=N知M, N所含元素相同.由O 0, |x| , y可知O x,xy, Jx-y若x=0 ,則xy=0，即x與xy是相同元素，破壞了M中元素互異性，所以x豐0.若x y=0,則x=0或y=0,其中x=0以上討論不成立

15、，所以y=0,即N中元素0, y是相同元素，破壞了 N中元素的互異性，故xy豐0若Jx-y二0 ,則x=y , M N可寫為M=x, x2, 0, N=0, |x| , x由M=N可知必有 x =|x|，即|x| =|x|x|=0 或|x|=1若|x|=0即x=0，以上討論知不成立若 |x|=1 即 x= ± 1當(dāng)x=1時，M中元素兇 與x相同，破壞了 M中元素互異性，故 x工1當(dāng) x=-1 時，M=-1，1，0，N=0， 1，-1符合題意，綜上可知，x=y=-12 2 100 100、(x y) (x y ) (x y )=-2+2-2+2+ +2=0【總結(jié)升華】解答本題易忽視集合

16、的元素具有的“互異性”這一特征，而找不到題目的突破口因此， 集合元素的特征是分析解決某些集合問題的切入點(diǎn).舉一反三：【變式 1 】設(shè) a, b R,集合1,a+b,a=0, ,b，則 b-a=()a【答案】2【解析】由元素的三要素及兩集合相等的特征：1 0, - ,b,01,a+b,a，又Qa 0, a b=0a.當(dāng) b=1 時，a=-1 ,0,b,b=0,-1,1a當(dāng)=1 時， b=a 且 a+b=0,. a=b=0(舍)a綜上：a=-1 , b=1,. b-a=2.類型二、集合的運(yùn)算例 5.設(shè)集合 A x|x 3k,k Z ,B y|y 3k 1,k Z , C z|z 3k 2,k ZD

17、 w|w 6k 1,k Z，求 AI B, AI C, BI C, B I D .【答案】AI B AI C BIC ,BID D【解析】先將集合 A、B、C、D轉(zhuǎn)化為文字語言敘述，以便弄清楚它們的構(gòu)成，再求其交集即可集合Ax | x3k,kZ表示3的倍數(shù)所組成的集合；集合Bx | x3k1,kZ表示除以3余1的整數(shù)所組成的集合；集合Cx | x3k2,kZ表示除以3余2的整數(shù)所組成的集合;集合Dx | x6k1,kZ表示除以6余1的整數(shù)所組成的集合;AI BAIC BI C,BI DD.【總結(jié)升華】求兩個集合的交集或并集，關(guān)鍵在于弄清兩個集合由哪些元素所構(gòu)成的，因而有時需要 對集合進(jìn)行轉(zhuǎn)化，

18、或具體化、形象化.如本例中轉(zhuǎn)化為用自然語言來描述這些集合，有利于弄清集合的元素的構(gòu)成類似地，若一個集合元素的特征由不等式給出時，利用數(shù)軸就能使問題直觀形象起來舉一反三：【變式】(2014河南洛陽期中)已知集合M x y 2 x , Nyyx2，則M nN =()AB 1,1C xx 0D. y y 0【答案】C【解析】集合M中的代表元素是 x,集合N的代表元素是y,表示構(gòu)成相關(guān)函數(shù)的因變量取值范圍，故可知：M=x|x R, N= y|y> 0，所以 M AN= x|x> 0，選 C.例 6. ( 2016 春福建期中)已知全集 U = R，集合 A=x R | x2-3x-4 v

19、0, B=x R| 2a v xv 4a, a R(1 )當(dāng) a=1 時，求 AI (qB)；(2 )若A U B=A，求a的取值范圍.【思路點(diǎn)撥】(1)將a=1代入B,求出B,得到B的補(bǔ)集，從而求出其和 A的交集即可；(2)根據(jù)A、B的包含關(guān)系，通過討論B得到關(guān)于a的不等式組，解出即可.1【答案】(1) AI GB) x R| 1 x 2 ； (2) a 0或 a>42【解析】A=x R | x2 3x- 4 v 0,(1 )當(dāng) a=1 時，B=x R | 2v xv5,二 AI © B) x R| 1 x 2(2)由已知AU B=A，得B A ；當(dāng)b時 2a > 4+

20、a ,即 a >4,滿足 B A ;2a 4 a1 a2當(dāng)b時 2a1：4 a 4,即0時，滿足B A;綜上所述a的取值范圍為1a20或a > 4.舉一反三：【變式 1 】(1)已知：M=x|x > 2 , P=x|x 2-x-2=0，求 MU P 和 M P;(2) 已知：A=y|y=3x ,B=y|y=-x+4, 求：AA B, AU B;(3) 已知集合 A=-3 , a , 1+a ,B=a-3 , a +1 , 2a-1,其中a R,若AAB=-3，求 AU B.【答案】(1) x|x >2 或 x=-1 , 2; (2) y|0 < y< 4 ,

21、 R;(3) -4,-3 ,0,1 ,2.【解析】(1) P=2 , -1 , MU P=x|x> 2 或 x=-1 , MA P=2.(2) v A=y|y > 0, B=y|y < 4 , A A B=y|0 < y < 4 , A U B=R.(3) v AA B=-3 , -3 B,則有： a-3=-3a=0 , A=-3, 0 , 1 ,B=-3 , 1, -1AAB=-3 , 1,與已知不符，二 a工 0; 2a-1=-3a=-1 ,/A=-3 , 1 , 0 , B=-4 , 2 ,-3,符合題設(shè)條件，二 AU B=-4 , -3,0 , 1,2.【

22、總結(jié)升華】此例題既練習(xí)集合的運(yùn)算，又考察了集合元素的互異性.其中(1)易錯點(diǎn)為求并集時，是否意識到要補(bǔ)上孤立點(diǎn) -1 ;而(2)中結(jié)合了二次函數(shù)的值域問題；(3)中根據(jù)集合元素的互異性，需要進(jìn)行分類討論，當(dāng)求出 a的一個值時，又要檢驗(yàn)是否符合題設(shè)條件.【高清課堂：集合的運(yùn)算377474例5】【變式 2】設(shè)集合 A=2 , a -2a , 6 , B=2 , 2a , 3a-6,若 AA B=2, 3,求 AU B.【答案】2 , 3 , 6 , 18【解析】由AA B=2 , 3,知元素2 , 3是A, B兩個集合中所有的公共元素，所以 32 , a2-2a , 6,則必有a2-2a=3 ,解

23、方程 a2-2a-3=0得a=3或a=-1當(dāng) a=3 時，A=2 , 3 , 6 , B=2 , 18 , 3 AU B=2 , 3, 6 U 2, 18, 3 = 2, 3, 6, 18當(dāng) a=-1 時,A=2, 3, 6 , B=2, 2, -9這既不滿足條件 AH B=2 , 3，也不滿足B中元素具有互異性，故a=-1不合題意，應(yīng)舍去綜上 AU B= 2, 3, 6, 18例 7.已知全集 U 1,2,3,4,5 , Ax|x2 px 4 0，求 CUA.【思路點(diǎn)撥】CuA隱含了 A U，對于A U，注意不要忘記 A 的情形.【答案】當(dāng) 4 p 4 時，CUA= 1,2,3,4,5 ;當(dāng)

24、 p4 時，GA= 1,3,4,5 ;當(dāng) p 5 時，CuA= 2,3,5 .【解析】當(dāng)A時，方程x2 px 4 0無實(shí)數(shù)解.此時 p216 0, 4 p 4.6A=U當(dāng)A時，二次方程x2 px 4 0的兩個根x-i, x2，必須屬于U .因?yàn)閄/24，所以只可能有下述情形：當(dāng) x1 x2 2 時，p 4，此時 A 2 , CuA= 1,3,4,5 ；當(dāng) x11,x24 時，p 5，此時 A 1,4 , CuA= 2,3,5 .綜上所述，當(dāng) 4 p 4時，GA=1,2,3,4,5 ;當(dāng) p 4 時，CuA= 1,3,4,5 ;當(dāng) p 5 時，CuA= 2,3,5 .【總結(jié)升華】求集合 A的補(bǔ)集

25、，只需在全集中剔除集合A的元素后組成一個集合即可.由于本題中集合A的元素不確定，因此必須分類討論才行.舉一反三：【變式 1 】設(shè)全集 U=x Nk|x W 8，若 AH (CuB)=1 , 8, (CuA) H B=2, 6 , (CuA) H (CuB)=4 , 7，求 集合A , B.【答案】1 , 3 , 5 , 8 , 2 , 3 , 5 , 6.【解析】全集 U=1, 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8由AH (CuB)=1 , 8知，在A中且不在B中的元素有1 , 8 ;由(CuA) H B=2 , 6,知 不在A中且在B中的元素有 2 , 6;由(CuA) H (

26、CuB)=4 , 7,知不在 A中且不在 B中的 元素有4 , 7 ,則元素3 , 5必在AH B中.由集合的圖示可得A=1 , 3 , 5, 8 , B=2 , 3 , 5 , 6.類型三、集合運(yùn)算綜合應(yīng)用例 8. ( 2014 北京西城學(xué)探診)已知集合A=x| 4< xv 2 , B=x| 1 W xv 3, C= x|x>a , a R.(1)若(AU B) HC=,求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若(AU B) UC ,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【思路點(diǎn)撥】(1 )畫數(shù)軸；(2)注意是否包含端點(diǎn).【答案】(1) a > 3( 2) aw 4【解析】nC=，如圖，a> 3;(2)畫數(shù)軸同理可得：aw 4.但其本質(zhì)是一個定區(qū)間，和一個動區(qū)間的問題思路(1)v A=x 4w xv 2, B=x 1 w xv 3，又(A U B)【總結(jié)升華】此問題從表面上看是集合的運(yùn)算, 是，使動區(qū)間沿定區(qū)間滑動，數(shù)形結(jié)合解決問題.舉一反三：【變式1】已知集合P= x | x2wl ,M= a 若PU M=P,則a的取值范圍是()A . (- a,-1B. 1, +aC. -1,1D . (-