第八章多元函數(shù)微分法PPT課件

1、 高等數(shù)學(xué)（XAUAT）練習(xí)題練習(xí)題解答解答重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)難點(diǎn)基本概念基本概念計(jì)算方法計(jì)算方法練習(xí)題練習(xí)題典型例題定理結(jié)論定理結(jié)論習(xí)題課結(jié)構(gòu)高等數(shù)學(xué)（XAUAT）一.本章的重點(diǎn)、難點(diǎn)、此次習(xí)題課達(dá)到的目的重點(diǎn)：偏導(dǎo)數(shù)的概念；全微分的概念；多元函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)；多元重點(diǎn)：偏導(dǎo)數(shù)的概念；全微分的概念；多元函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)；多元 函數(shù)求極值。函數(shù)求極值。難點(diǎn)：二元函數(shù)極限的計(jì)算；多元符合函數(shù)的求導(dǎo)法則、隱函數(shù)難點(diǎn)：二元函數(shù)極限的計(jì)算；多元符合函數(shù)的求導(dǎo)法則、隱函數(shù) 求導(dǎo)法則的運(yùn)用；條件極值的概念與拉格朗日數(shù)乘法的意義。求導(dǎo)法則的運(yùn)用；條件極值的概念與拉格朗日數(shù)乘法的意義。習(xí)題課達(dá)到的目的：使學(xué)生理解偏導(dǎo)數(shù)、全

2、微分的概念，熟練掌習(xí)題課達(dá)到的目的：使學(xué)生理解偏導(dǎo)數(shù)、全微分的概念，熟練掌 握偏導(dǎo)函數(shù)的計(jì)算方法。握偏導(dǎo)函數(shù)的計(jì)算方法。 高等數(shù)學(xué)（XAUAT）2.二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)00000000,limlimxxxxfxx yfxyzfxyxx 記 00000000000,lim,.xxyyfx yDPxyDPDfx yfxyfx yPxy設(shè)函數(shù)在區(qū)域 內(nèi)有定義，是 的內(nèi)點(diǎn)或邊界點(diǎn)，且如果則稱函數(shù)在點(diǎn)連續(xù)00000000000,.,lim,xzfx yPxyyfxx yfxyyzfx yxxyx 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有定義當(dāng) 固定在而極限存在，稱在關(guān)于 的偏導(dǎo)數(shù)存在.1.二元函數(shù)連續(xù).二 基 本 概 念高等

3、數(shù)學(xué)（XAUAT）00000000,limlimyyyyzf xyyf xyfxyyy 0000000,limxxxyyfxyyfxyfxyy 二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義。二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義。同理有同理有軸軸0000.,x yf xyx00,xfx y是曲線是曲線在點(diǎn)在點(diǎn) 的切線與的切線與tan x正向夾角的正切（即切線對(duì)0,zf x yy y軸的斜率）3.全微分全微分 若函數(shù)若函數(shù),z f x y在點(diǎn)在點(diǎn), x y的全增量的全增量z可表為(,)( ,)( )zf xx yyf x yA x B y o 其中, A B與, x y 無(wú)關(guān)，僅與有關(guān)，, x y22xy 高等數(shù)學(xué)（XAUAT）

4、0202(,)( ,)()(liml( ,)( ,)(),(,)imf xx yyfzf x yP x ypplxlpxxx yfpfpyylxy 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某一鄰域U內(nèi)有定義。自點(diǎn) 引射線設(shè) 軸正向到射線 的轉(zhuǎn)角為 ，并設(shè)為 上另一點(diǎn)若存在），（=）( ,),)zf x yx yxB y 在點(diǎn)（的微分 dz=Ayzdzdxdyxy全 微 分 公 式 : 4.方向?qū)?shù)稱函數(shù).ff xyPll（ ， ）在 點(diǎn)沿方向的方向?qū)?shù)存在,記為,)x y稱函數(shù)在點(diǎn)（可微，而函數(shù)高等數(shù)學(xué)（XAUAT）0limfpfpfl既cossi,nffflxzfyyyxp x方向?qū)?shù)計(jì)算公式： 若在是可微的 則 ,1

5、212,.,1,0,0,1 1,00, 1xyfx yp x yfffx ypxeyexeye 若在點(diǎn)的偏導(dǎo)存在 則在點(diǎn)沿 軸正向軸正向， 軸負(fù)方向， 軸負(fù)方向的方向?qū)?shù)存在1122xxyffffeeffffee 且 高等數(shù)學(xué)（XAUAT）( , )D( , )( , )zf x yffijzf x yp x yxy 設(shè)函數(shù)在平面區(qū)域 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),稱為函數(shù)在點(diǎn)的梯度.22(,)fffx yxy梯 度 的 模 ： grad(,)fffxyijxygra d 記 5 . 梯 度22max( ,)ffffx ylxygrad梯 度 的 方 向 與 取 得 最 大 方 向 導(dǎo) 數(shù) 的 方 向

6、 一 致 ， 它 的模 為 方 向 導(dǎo) 數(shù) 的 最 大 值 ，即 tanfxxfy梯 度 與 軸 正 向 轉(zhuǎn) 角 的 正 切 為高等數(shù)學(xué)（XAUAT）zfufvfwxuxvxwx Z W y v U x三.計(jì)算方法,zfx y1.多元顯函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算2.多元復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)注意：分段表示的函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，各段上用公式求， 分段點(diǎn)一般而言，分段函數(shù)的偏 導(dǎo)數(shù)仍為處用定義求.分段函數(shù). .,.,.,zf u v wuu x y vv x y ww x yxzf u x yv x yw x y若其中那么.的偏導(dǎo)公式為xyyx對(duì)（或 ）求偏導(dǎo).把（或 ）看成常量。高等數(shù)學(xué)（XAUAT）（1） 先畫(huà)出復(fù)

7、合函數(shù)的連鎖圖（如上頁(yè)圖）3 ddxx（ ） 公式中的復(fù)合函數(shù)的中間變量、自變量只有一個(gè)時(shí). 求導(dǎo)記號(hào)用，多于一個(gè)時(shí)用。求多元復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，可用連鎖規(guī)則：具體做法（2） 連線圖中從復(fù)合函數(shù)到達(dá)某自變量的路線有幾條， 公式中就有幾項(xiàng)相加.每條線有幾段則該項(xiàng)就有幾 個(gè)偏導(dǎo)數(shù)（或?qū)?shù)）因子相乘。高等數(shù)學(xué)（XAUAT）, ,xyzFFFx y z求、時(shí)，將看作注意：相互獨(dú)立的。3. 隱函數(shù)求導(dǎo)()()()( , )( , )( , )( , )uvwuxyvxywxydzf duf dvf dwfu dxu dyfv dxv dyfw dxw dyg x y dxh x y dyuug x yh

8、 x yxy則（4） 利用一階全微分形式的不變性質(zhì)yxzzFFzzxFyF ( , , )0( , , )0,( , )F x y zF x y zzx yzf x ya. 如果方程滿足隱函數(shù)存在定理的條件 可由方程確定 是的函數(shù)：高等數(shù)學(xué)（XAUAT）( , )0( , )0 xyF x yFdyF x ydxF b. 方程滿足隱函數(shù)存在定理的條件 確定函數(shù) y=f（x）且 F X Y z XY以上公式可利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)推得 , ,( ,)0,00 xxzxxzxyzyyyF x y f x yx yFzFFffxFFzFFffyF 方程兩邊分別對(duì)求偏導(dǎo)有 得 得 .xxyxzxyFffyF

9、zyf 2.求二階偏導(dǎo)數(shù)時(shí)，方程繼續(xù)對(duì) 求偏導(dǎo)， 是x, 的函數(shù)，解出其他同理。1.,.x yzx y注意：方程兩邊求導(dǎo)時(shí)，相互獨(dú)立， 是的函數(shù)高等數(shù)學(xué)（XAUAT） 00001,(,)xtytzw tttM xyz（ ）若向量曲線 由方程給出 則曲線 上對(duì)應(yīng)于的點(diǎn)的切向量為,(,)0(,)uvuvu vx yFFF GGGU VF（x，y，u，v）=0c. 如果方程組 滿足隱函數(shù)存G（x，y，u，v）=0 在定理?xiàng)l件則方程組可確定是的函數(shù)，這時(shí)， 若 J= ,xuvuvxxyy 則：方程組中的每個(gè)方程兩邊對(duì) 求偏導(dǎo)數(shù)， 得到新方程組，解出 同理可得4. 空間曲線的切線和法平面方程高等數(shù)學(xué)（X

10、AUAT）0Tt 00（t ）， （t ）， （ ）0000)()0yyzztzz0000000 x-x切線方程： （t） （t）（t）法平面方程：（ )(x-x）+ (t )(y-y( ,)0( ,)0Fx y zGx y z若 曲 線為 曲 線的 切 向 量 為,yzxyzxyzxyzxMMMFFFFFFTGGGGGG高等數(shù)學(xué)（XAUAT）5. 曲面的切平面與法線 000zxyzxyzxyzxyMMMxxyyzzFFFFFFGGGGGG切線： 0000000( , , )0(,)xyznFMFF x y zMx y zMF M 若曲面 由方程給出，則曲面 在點(diǎn) 法向量為 處的0000yzx

11、yzxyzxyzxMMMFFFFFFxxyyzzGGGGGG法平面：高等數(shù)學(xué)（XAUAT）000000(,), 1xynfxyfxyM xy在點(diǎn)處的法向量: 000000 xyzF MxxF MyyF Mzz切平面： 00000 xyzxxyyzzFMFMFM 法 線： 00( , )( ,)zf x yM x y特殊：若 由給出，則 在點(diǎn)處0000000,1xyxxyyzzfxyfxy法 線 ： 0000000,0 xyfx yx xfx yyyzz切平面：高等數(shù)學(xué)（XAUAT）+注意：根號(hào)前要取“ ”號(hào)都取“ ”號(hào)，表示法線的一個(gè)方向。 根號(hào)前要取“-”號(hào)都取“-”號(hào)，表示法線的另一個(gè)方向

12、。 0000000000( , ),( , ),xxxyyyzf x yxyxyf xfxyBfxfxyyyC1 設(shè)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)存在直到二階連續(xù)偏導(dǎo)， 且為的駐點(diǎn) A= 記 222222222cos,cos111coscoscoscos11yxxyxyxyffffffrrff 有法向量的方向余弦為6. 求多元函數(shù)極值高等數(shù)學(xué)（XAUAT）該駐點(diǎn)處的函數(shù)值即為所求的最值。2)0ACi iBi 時(shí),不能判斷。200)0,ACBfiix y 時(shí),處不取極值。2000,0) iACBfx yA時(shí), 在點(diǎn)處取極限。且A0,y0 z0)的條件極值。 極值。 高等數(shù)學(xué)（XAUAT）2u12( , )dU.

13、,f.=e cos ,sin ,.1345ux yzx yzzv yev zuvxyxyz lnyy5. 求下列函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù) （ ） z=x （ ）U=f(x,xy,xyz),z=6. 設(shè) U=f(x,z),z(x,y)是有方程z=x+y (z)確定 的隱函數(shù)，求7. z=f(u,x,y),u=xe 其中 具有連續(xù)的二階偏導(dǎo) 數(shù)，求8. 設(shè) x求9. 求平面和22柱面 X +Y =1的交線上 到 XOY平面距離最短的點(diǎn)。高等數(shù)學(xué)（XAUAT）七. 練習(xí)題答案222222222222ln1ln123231.141212 sincos02.( , )00( , )014.8ln5.(1)(ln)(2)()(