初中數(shù)學因式分解(含答案)競賽題精選1

1、初中數(shù)學因式分解 （ 一）因式分解是代數(shù)式恒等變形的基本形式，是解決數(shù)學問題的有力工具是掌握因式分解對于培養(yǎng)學生解題技能，思維能力，有獨特作用 1運用公式法整式乘法公式，反向使用，即為因式分解22(1) a 2-b 2=(a+b)(a-b) ；222(2) a 2±2ab+b2=(a ±b) 2；3 3 2 2(3) a 3+b3=(a+b)(a 2-ab+b 2)；3 3 2 2(4) a -b =(a-b)(a +ab+b ) 幾個常用的公式：(5) a 2+b2 +c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c) 2；(6) a 3+b3 +c3-3abc=(a+b+c)

2、(a 2+b2+c2-ab-bc-ca) ；(7) a n-bn=(a-b)(a n-1+an-2b+an-3b2+abn-2+bn-1)其中 n 為正整數(shù)；(8) a n-bn=(a+b)(a n-1-a n-2b+an-3b2-+abn-2-bn-1)，其中 n 為偶數(shù)；(9) a n+bn=(a+b)(a n-1-a n-2b+an-3b2-ab n-2+bn-1)，其中 n 為奇數(shù). 分解因式，根據(jù)多項式字母、系數(shù)、指數(shù)、符號等正確恰當?shù)剡x擇公式例1 分解因式：5n-1 n 3n-1n+2n-1n+4333(1)-2x 5n-1yn+4x3n-1 yn+2-2xn-1 yn+4； (2

3、)x 3-8y3-z3-6xyz ；(3)a 2+b2+c2-2bc+2ca-2ab ；(4)a 7-a 5b2+a2b5-b 7.例2 分解因式： a3+b3+c3-3abc例 3 分解因式： x15+x14+x13+x2+x+1.2拆項、添項法拆項、因式分解是多項式乘法的逆運算在多項式乘法運算時，整理、化簡常將幾個同類項合并為一項，或?qū)蓚€僅 符號相反的同類項相互抵消為零在對某些多項式分解因式時，需要恢復那些被合并或相互抵消的項，即把多項 式中的某一項拆成兩項或多項， 或者在多項式中添上兩個僅符合相反的項， 前者稱為拆項， 后者稱為添項 添項的目的是使多項式能用分組分解法進行因式分解例4

4、分解因式： x3-9x+8 例 5 分解因式：(1)x 9+x6 +x3-3 ； (2)(m 2- 1)(n 2-1)+4mn ；4 2 2 4 3 3 2 2 (3)(x+1) 4+(x 2-1) 2+(x-1) 4； (4)a 3b-ab 3+a2+b2+13換元法 換元法指的是將一個較復雜的代數(shù)式中的某一部分看作一個整體，并用一個新的字母替代這個整體來運算，從 而使運算過程簡明清晰22例 6 分解因式： (x 2+x+1)(x 2+x+2)-12 22例 7 分解因式： (x 2+3x+2)(4x 2+8x+3)-90 例 8 分解因式：2 2 2(x 2+4x+8)2+3x(x 2+4

5、x+8)+2x 2432例 9 分解因式：6x +7x -36x -7x+6 .2 2 2 2例 10 分解因式：(x +xy+y )-4xy(x +y ).1 .分解因式：(1)+ xn+ - j105小+x -2G) k4 -2.2y2+4K3y +ya C4k2s543225(4)(x +x +x +x +x+1) -x .練習一2分解因式：3 2 4 2 2 2(1)x 3+3x2-4 ；(2)x 4-11x 2y2+y2；3 2 4(3)x 3+9x2+26x+24；(4)x 4-12x+323 3分解因式：2 2 2 4 3 2(1)(2x 2-3x+1) 2-22x 2+33x-

6、1 ； (2)x 4+7x3+14x2+7x+1；32(3)(x+y) 3+2xy(1-x-y)-1 ； (4)(x+3)(x 2-1)(x+5)-20初中數(shù)學因式分解 （ 一） 答案多項式的因式分解是代數(shù)式恒等變形的基本形式之一，它被廣泛地應用于初等數(shù)學之中，是我們解決許多 數(shù)學問題的有力工具因式分解方法靈活，技巧性強，學習這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內(nèi)容所 必需的，而且對于培養(yǎng)學生的解題技能，發(fā)展學生的思維能力，都有著十分獨特的作用初中數(shù)學教材中 主要介紹了提取公因式法、 運用公式法、 分組分解法和十字相乘法 本講及下一講在中學數(shù)學教材基礎(chǔ)上， 對因式分解的方法、技巧和應用作進一步的

7、介紹1運用公式法在整式的乘、 除中， 我們學過若干個乘法公式， 現(xiàn)將其反向使用， 即為因式分解中常用的公式， 例如：(1) a 2-b2=(a+b)(a -b) ；(2) a 2±2ab+b2=(a±b) 2；(3) a 3+b3=(a+b)(a 2-ab+b2) ；(4) a 3-b3=(a-b)(a 2+ab+b2) 下面再補充幾個常用的公式：2 2 2 2(5) a +b +c +2ab+2bc+2ca=(a+b+c) ；3 3 3 2 2 2(6) a +b +c -3abc=(a+b+c)(a +b +c -ab-bc-ca) ；(7) a n-bn=(a-b)(

8、a n-1+an-2b+an-3b2+abn-2+bn-1)其中 n 為正整數(shù)；(8) a n-bn=(a+b)(a n-1_an-2b+an-3b2_+abn-2-bn-1)，其中 n 為偶數(shù)；(9) a n+bn=(a+b)(a n-1_an-2b+an-3 b2-abn-2+bn-1)，其中 n 為奇數(shù).運用公式法分解因式時， 要根據(jù)多項式的特點， 根據(jù)字母、 系數(shù)、 指數(shù)、 符號等正確恰當?shù)剡x擇公式例 1 分解因式：5n-1 n 3n-1n+2n-1n+4(1) -2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4；333(2) x -8y -z -6xyz ；222(3) a

9、 +b +c -2bc+2ca -2ab；752257(4) a 7-a5b2+a2b5-b7.解(1)原式=-2xn-1 yn(x 4n-2x2ny2+y4)=-2xn-1 yn(x 2n) 2-2x2ny2+(y 2) 2=-2xn-1 yn(x 2n-y2) 2n-1 n n2 n2=-2x y (x -y) (x +y) . 原式=x3+(-2y) 3+( -z) 3-3x(-2y)( -Z)2 2 2=(x -2y-z)(x 2+4y2+z2+2xy+xz-2yz) .(3) 原式 =(a2-2ab+b2)+( -2bc+2ca)+c2=(a-b) +2c(a - b)+c =(a

10、-b+c) 2.本小題可以稍加變形，直接使用公式 (5) ，解法如下：原式 =a2+(-b) 2+c2+2( -b)c+2ca+2a( -b)292=(a -b+c)(4)原式=(a7-a5b2)+(a 2b5-b7)5/ 2 25/ 2 2、=a (a -b )+b (a -b )5. 5=(a -b)(a +b)4 32234=(a+b)(a -b)(a+b)(a -a b+a b -ab +b )=(a+b) 2(a-b)(a 4-a3b+a2b2-ab3+b*)例 2 分解因式：a3+b3+c3-3abc.本題實際上就是用因式分解的方法證明前面給出的公式(6).分析我們已經(jīng)知道公式(a

11、+b) 3=a3+3a2b+3ab2+b3的正確性，現(xiàn)將此公式變形為3 33a +b =(a+b) -3ab(a+b).這個-式也是一個常用的公式，本題就借助于它來推導.解原式=(a+b) 3-3ab(a+b)+c3abc=(a+b)3+c 3 -3ab(a+b+c)2 2=(a+b+c) (a+b) -c(a+b)+c -3ab(a+b+c)=(a+b+c)(a 2+b+c-ab-bc-ca).說明公式(6)是一個應用極廣的公式，用它可以推出很多有用的結(jié)論，例如：我們將公式(6)變形為3,33a +b +c -3abc=舟a + b + c) 2 J+2c"-2曲-Sbc 仏耳)(

12、a + b + c) (ab) 3 4- (,c) 3 +3.333333333顯然，當 a+b+c=0 時，貝U a +b +c =3abc；當 a+b+c>0 時，貝U a +b +c -3abc> 0，即卩 a +b +c >3abc，而且，當且僅當a=b=c時，等號成立.如果令 x=a3> 0，y=b3>0，z=c3 >0，則有等號成立的充要條件是 x=y=z .這也是一個常用的結(jié)論.例 3 分解因式：x15+x14+x13+x2+x+1.分析這個多項式的特點是：有16項，從最高次項x15開始，x的次數(shù)順次遞減至0，由此想到應用公式an-bn來分解.

13、解因為161514132x -仁(x-1)(x +X +X + x +x+1)，所以11盟-1)(藍"十藍"十誥十一七十3：十1)-1厘兀=:*llK - 1(Xs +1)仗 4 +1窗 + lXx +1)伍-D工TH=(ZB + l)(x* + 1)(32 + l)(x + 1>說明在本題的分解過程中，用到先乘以(X-1)，再除以(X-1)的技巧，這一技巧在等式變形中很常用.2 .拆項、添項法因式分解是多項式乘法的逆運算在多項式乘法運算時，整理、化簡常將幾個同類項合并為一項，或 將兩個僅符號相反的同類項相互抵消為零在對某些多項式分解因式時，需要恢復那些被合并或相互抵

14、 消的項，即把多項式中的某一項拆成兩項或多項，或者在多項式中添上兩個僅符合相反的項，前者稱為 拆項，后者稱為添項拆項、添項的目的是使多項式能用分組分解法進行因式分解.例4分解因式：x3-9x+8.分析本題解法很多，這里只介紹運用拆項、添項法分解的幾種解法，注意一下拆項、添項的目的與技巧.解法1將常數(shù)項8拆成-1+9.原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+92=(x_1)(x +x+1) -9(x-1)2=(x-1)(x +x-8).解法2將一次項-9x拆成-x-8x.原式=x3-x-8x+8/3=(x -x)+( -8x+8)=x(x+1)(x -1) -8(x -1)=(x -1)(

15、x 2+x-8).解法3將三次項x3拆成9x3-8x3 .原式=9x3-8x3-9x+8=(9x 3-9x)+( -8x3+8)=9x(x+1)(x -1)-8(x-1)(x 2+x+1)=(x -1)(x 2+x-8).解法4添加兩項-x'+x?.原式=x3-9x+83 22=X -X +X -9x+8=x2(x -1)+(x -8)(x -1)=(x -1)(x 2+x-8).說明由此題可以看出，用拆項、添項的方法分解因式時，要拆哪些項，添什么項并無一定之規(guī)，主要 的是要依靠對題目特點的觀察，靈活變換，因此拆項、添項法是因式分解諸方法中技巧性最強的一種.例 5 分解因式：(1) x

16、 9+x6+x3-3；22(2) (m 2-1)(n 2 -1)+4mn；4 2 2 4(3) (x+1) 4+(x 2-1) 2+(x-1)4；3 3 2 2(4) a b-ab +a +b+1解 (1) 將-3拆成 -1-1-1原式 =x9+x6+x3-1-1-19 6 3=(x 9-1)+(x 6-1)+(x 3-1)3 6 3 3 3 3=(x 3-1)(x 6+x 3+1)+(x 3-1)(x 3+1)+(x 3-1) 3=(x 3-1)(x6+2x3+3)=(x -1)(x 2+x+1)(x 6+2x3+3) (2) 將 4mn 拆成 2mn+2mn 原式 =(m -1)(n -

17、1)+2mn+2mn =m2n2-m2- n2+1+2mn+2mn =(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2) =(mn+1) 2-(m- n) 2=(mn+m- n+1)(mn -m+n+1)(3) 將(x2-i)2拆成 2(x2-1)2-(x 2-1)2.4 2 2 2 2 4原式=(x+1) +2(x -1)-(x -1) +(x -1)=(x+1) 4+2(x+1) 2(x-1)2+(x-1)4-(x2-1)2=(x+1) 2+(x-1)22-(x 2-1)2=(2x2+2)2-(x 2-1)2=(3x2+1)(x 2+3).(4) 添加兩項 +ab- ab .原式=a3b-a

18、b3 +a +b2+1+ab- ab=(a 3b-ab3)+(a 2-ab)+(ab+b 2+1)2=ab(a+b)(a -b)+a(a -b)+(ab+b 2+1)2=a(a-b) b(a+b)+1+(ab+b 2+1)=a(a -b)+1(ab+b 2+1)=(a 2-ab+1)(b 2+ab+1) .+ab-ab，而且添加項這道題目使我們體說明 (4) 是一道較難的題目，由于分解后的因式結(jié)構(gòu)較復雜，所以不易想到添加后分成的三項組又無公因式，而是先將前兩組分解，再與第三組結(jié)合，找到公因式.會到拆項、添項法的極強技巧所在，同學們需多做練習，積累經(jīng)驗.3.換元法換元法指的是將一個較復雜的代數(shù)式

19、中的某一部分看作一個整體，并用一個新的字母替代這個整體來運算，從而使運算過程簡明清晰例 6 分解因式： (x 2 +x+1)(x 2+x+2) -12 分析將原式展開，是關(guān)于x的四次多項式，分解因式較困難我們不妨將X2+X看作一個整體，并用字母 y 來替代，于是原題轉(zhuǎn)化為關(guān)于 y 的二次三項式的因式分解問題了解設(shè)x2+x=y，則原式 =(y+1)(y+2) -12=y2+3y-10=(y -2)(y+5)=(x 2+x-2)(x 2+x+5)=(x -1)(x+2)(x 2+x+5) 說明本題也可將x2+x+1看作一個整體，比如今 x2+x+1=u，樣可以得到同樣的結(jié)果，有興趣的同學不 妨試一

20、試.例 7 分解因式：22(x 2+3x+2)(4x 2+8x+3)-90.分析 先將兩個括號內(nèi)的多項式分解因式，然后再重新組合.解原式 =(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90=(x+1)(2x+3)(x+2)(2x+1)-90=(2x 2+5x+3)(2x 2+5x+2) -90.令 y=2x2+5x+2，則原式 =y(y+1) -90=y2+y-90=(y+10)(y -9)=(2x 2+5x+12)(2x 2+5x-7)=(2x 2+5x+12)(2x+7)(x -1) .說明 對多項式適當?shù)暮愕茸冃问俏覀冋业叫略?(y) 的基礎(chǔ).例 8 分解因式：2 2 2(x 2+4x+8)2+3x(x 2+4x+8)+2x 2.解設(shè) x2+4x+8=y，則原式 =y2+3xy+2x 2=(y+2x)(y+x)=(x 2+6x+8)(x 2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8) .說明 由本題可知，用換元法分解因式時，不必將原式中的元都用新元代換，根據(jù)題目需要，引入必要 的新元，原式中的變元和新變元可以一起變形，換