考研高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)資料大全~李逸

1、李逸高等數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教程第一講 函數(shù)、連續(xù)與極限一、理論要求1.函數(shù)概念與性質(zhì)函數(shù)的基本性質(zhì)（單調(diào)、有界、奇偶、周期）幾類常見函數(shù)（復(fù)合、分段、反、隱、初等函數(shù)）2.極限極限存在性與左右極限之間的關(guān)系夾逼定理和單調(diào)有界定理會用等價無窮小和羅必達(dá)法則求極限3.連續(xù)函數(shù)連續(xù)（左、右連續(xù)）與間斷理解并會應(yīng)用閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（最值、有界、介值）二、題型與解法A.極限的求法（1）用定義求（2）代入法（對連續(xù)函數(shù)，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）變量替換法（4）兩個重要極限法（5）用夾逼定理和單調(diào)有界定理求（6）等價無窮小量替換法（7）洛必達(dá)法則與Taylor級數(shù)法（8）其他（微積分性質(zhì)，數(shù)列與級

2、數(shù)的性質(zhì)）1.（等價小量與洛必達(dá)）2.已知解： （洛必達(dá)）3. （重要極限）4.已知a、b為正常數(shù)，解：令（變量替換）5.解：令（變量替換）6.設(shè)連續(xù)，求 （洛必達(dá)與微積分性質(zhì)）7.已知在x=0連續(xù)，求a解：令 （連續(xù)性的概念）三、補充習(xí)題（作業(yè)） 1. （洛必達(dá)）2. （洛必達(dá)或Taylor）3. （洛必達(dá)與微積分性質(zhì)）第二講 導(dǎo)數(shù)、微分及其應(yīng)用一、理論要求1.導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)與微分的概念、幾何意義、物理意義會求導(dǎo)（基本公式、四則、復(fù)合、高階、隱、反、參數(shù)方程求導(dǎo)）會求平面曲線的切線與法線方程2.微分中值定理理解Roll、Lagrange、Cauchy、Taylor定理會用定理證明相關(guān)問題3.

3、應(yīng)用會用導(dǎo)數(shù)求單調(diào)性與極最值、凹凸性、漸進(jìn)線問題，能畫簡圖會計算曲率（半徑）二、題型與解法A.導(dǎo)數(shù)微分的計算基本公式、四則、復(fù)合、高階、隱函數(shù)、參數(shù)方程求導(dǎo)1.決定，求2.決定，求解：兩邊微分得x=0時，將x=0代入等式得y=13.決定，則 B.曲線切法線問題4.求對數(shù)螺線處切線的直角坐標(biāo)方程。解：5.f(x)為周期為5的連續(xù)函數(shù)，它在x=1可導(dǎo)，在x=0的某鄰域內(nèi)滿足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。求f(x)在（6，f(6)）處的切線方程。解：需求，等式取x->0的極限有：f(1)=0C.導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問題6.已知，求點的性質(zhì)。解：令，故為極小值點。7.，求單調(diào)區(qū)間

4、與極值、凹凸區(qū)間與拐點、漸進(jìn)線。解：定義域8.求函數(shù)的單調(diào)性與極值、漸進(jìn)線。解：，D.冪級數(shù)展開問題9.或：10.求解：= E.不等式的證明11.設(shè)，證：1）令 2）令F.中值定理問題12.設(shè)函數(shù)具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，求證：在（-1，1）上存在一點證：其中將x=1，x=-1代入有兩式相減：13.，求證： 證：令令 （關(guān)鍵：構(gòu)造函數(shù)）三、補充習(xí)題（作業(yè)）1.2.曲線3.4.證明x>0時 證：令 第三講 不定積分與定積分一、理論要求1.不定積分掌握不定積分的概念、性質(zhì)（線性、與微分的關(guān)系）會求不定積分（基本公式、線性、湊微分、換元技巧、分部）2.定積分理解定積分的概念與性質(zhì)理解變上限定積分是

5、其上限的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)求法會求定積分、廣義積分會用定積分求幾何問題（長、面、體）會用定積分求物理問題（功、引力、壓力）及函數(shù)平均值二、題型與解法A.積分計算1.2.3.設(shè)，求解：4.B.積分性質(zhì)5.連續(xù)，,且，求并討論在的連續(xù)性。解： 6. C.積分的應(yīng)用7.設(shè)在0，1連續(xù)，在（0，1）上，且，又與x=1,y=0所圍面積S=2。求，且a=?時S繞x軸旋轉(zhuǎn)體積最小。解： 8.曲線，過原點作曲線的切線，求曲線、切線與x軸所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)的表面積。解：切線繞x軸旋轉(zhuǎn)的表面積為 曲線繞x軸旋轉(zhuǎn)的表面積為 總表面積為三、補充習(xí)題（作業(yè)）1.2.3.第四講 向量代數(shù)、多元函數(shù)微分與空間解析幾何一、理論要求

6、1.向量代數(shù)理解向量的概念（單位向量、方向余弦、模）了解兩個向量平行、垂直的條件向量計算的幾何意義與坐標(biāo)表示2.多元函數(shù)微分理解二元函數(shù)的幾何意義、連續(xù)、極限概念，閉域性質(zhì)理解偏導(dǎo)數(shù)、全微分概念能熟練求偏導(dǎo)數(shù)、全微分熟練掌握復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)求導(dǎo)法3.多元微分應(yīng)用理解多元函數(shù)極值的求法，會用Lagrange乘數(shù)法求極值4.空間解析幾何掌握曲線的切線與法平面、曲面的切平面與法線的求法會求平面、直線方程與點線距離、點面距離二、題型與解法A.求偏導(dǎo)、全微分1.有二階連續(xù)偏導(dǎo)，滿足，求解：2.3.，求B.空間幾何問題4.求上任意點的切平面與三個坐標(biāo)軸的截距之和。解：5.曲面在點處的法線方程。C.極值問題

7、6.設(shè)是由確定的函數(shù)，求的極值點與極值。三、補充習(xí)題（作業(yè)）1.2.3. 第五講 多元函數(shù)的積分一、理論要求1.重積分熟悉二、三重積分的計算方法（直角、極、柱、球）會用重積分解決簡單幾何物理問題（體積、曲面面積、重心、轉(zhuǎn)動慣量）2.曲線積分理解兩類曲線積分的概念、性質(zhì)、關(guān)系，掌握兩類曲線積分的計算方法熟悉Green公式，會用平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件3.曲面積分理解兩類曲面積分的概念（質(zhì)量、通量）、關(guān)系熟悉Gauss與Stokes公式，會計算兩類曲面積分二、題型與解法A.重積分計算1.為平面曲線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周與z=8的圍域。解：2.為與圍域。（3.，求 (49/20)B.曲線、曲面積分4.

8、解：令 5.,。解：取包含(0,0)的正向， 6.對空間x>0內(nèi)任意光滑有向閉曲面S， ，且在x>0有連續(xù)一階導(dǎo)數(shù)，,求。解： 第六講 常微分方程一、理論要求1.一階方程熟練掌握可分離變量、齊次、一階線性、伯努利方程求法2.高階方程會求3.二階線性常系數(shù)(齊次)(非齊次)(非齊次)二、題型與解法A.微分方程求解1.求通解。（2.利用代換化簡并求通解。（）3.設(shè)是上凸連續(xù)曲線，處曲率為，且過處切線方程為y=x+1，求及其極值。解：三、補充習(xí)題（作業(yè)）1.已知函數(shù)在任意點處的增量。(）2.求的通解。（）3.求的通解。（）4.求的特解。（第七講 無窮級數(shù)一、理論要求1.收斂性判別級數(shù)斂散

9、性質(zhì)與必要條件常數(shù)項級數(shù)、幾何級數(shù)、p級數(shù)斂散條件正項級數(shù)的比較、比值、根式判別法交錯級數(shù)判別法2.冪級數(shù)冪級數(shù)收斂半徑、收斂區(qū)間與收斂域的求法冪級數(shù)在收斂區(qū)間的基本性質(zhì)（和函數(shù)連續(xù)、逐項微積分）Taylor與Maclaulin展開3.Fourier級數(shù)了解Fourier級數(shù)概念與Dirichlet收斂定理會求的Fourier級數(shù)與正余弦級數(shù)第八講 線性代數(shù)一、理論要求1.行列式會用按行（列）展開計算行列式2.矩陣幾種矩陣（單位、數(shù)量、對角、三角、對稱、反對稱、逆、伴隨）矩陣加減、數(shù)乘、乘法、轉(zhuǎn)置，方陣的冪、方陣乘積的行列式矩陣可逆的充要條件，會用伴隨矩陣求逆矩陣初等變換、初等矩陣、矩陣等價用

10、初等變換求矩陣的秩與逆理解并會計算矩陣的特征值與特征向量理解相似矩陣的概念、性質(zhì)及矩陣對角化的沖要條件掌握將矩陣化為相似對角矩陣的方法掌握實對稱矩陣的特征值與特征向量的性質(zhì)3.向量理解n維向量、向量的線性組合與線性表示掌握線性相關(guān)、線性無關(guān)的判別理解并向量組的極大線性無關(guān)組和向量組的秩了解基變換與坐標(biāo)變換公式、過渡矩陣、施密特方法了解規(guī)范正交基、正交矩陣的概念與性質(zhì)4.線性方程組理解齊次線性方程組有非零解與非齊次線性方程組有解條件理解齊次、非齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系及通解掌握用初等行變換求解線性方程組的方法5.二次型二次型及其矩陣表示，合同矩陣與合同變換二次型的標(biāo)準(zhǔn)形、規(guī)范形及慣性定理掌握用正

11、交變換、配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法了解二次型的對應(yīng)矩陣的正定性及其判別法第九講 概率統(tǒng)計初步一、理論要求1.隨機事件與概率了解樣本空間（基本事件空間）的概念，理解隨機事件的關(guān)系與運算會計算古典型概率與幾何型概率掌握概率的加減、乘、全概率與貝葉斯公式2.隨機變量與分布理解隨機變量與分布的概念理解分布函數(shù)、離散型隨機變量、連續(xù)型變量的概率密度掌握0-1、二項、超幾何、泊松、均勻、正態(tài)、指數(shù)分布，會求分布函數(shù)3.二維隨機變量理解二維離散、連續(xù)型隨機變量的概率分布、邊緣分布和條件分布理解隨機變量的獨立性及不相關(guān)概念掌握二維均勻分布、了解二維正態(tài)分布的概率密度會求兩個隨機變量簡單函數(shù)的分布4.數(shù)字特征

12、理解期望、方差、標(biāo)準(zhǔn)差、矩、協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)的概念掌握常用分布函數(shù)的數(shù)字特征，會求隨機變量的數(shù)學(xué)期望5.大數(shù)定理了解切比雪夫不等式，了解切比雪夫、伯努利、辛欽大數(shù)定理了解隸莫弗-Laplace定理與列維-林德伯格定理6.數(shù)理統(tǒng)計概念理解總體、簡單隨機樣本、統(tǒng)計量、樣本均值、樣本方差及樣本矩了解分布、t分布、F分布的概念和性質(zhì)，了解分位數(shù)的概念了解正態(tài)分布的常用抽樣分布7.參數(shù)估計掌握矩估計與極大似然估計法了解無偏性、有效性與一致性的概念，會驗證估計量的無偏性會求單個正態(tài)總體的均值和方差的置信區(qū)間8.假設(shè)檢驗掌握假設(shè)檢驗的基本步驟了解單個及兩個正態(tài)總體的均值和方差的假設(shè)檢驗第十講 總結(jié)1.極限求解變量替換（作對數(shù)替換），洛必達(dá)法則，其他（重要極限，微積分性質(zhì)，級數(shù)，等價小量替換）1. (幾何級數(shù))2. (對數(shù)替換)3.4.5.6.，求2.導(dǎo)數(shù)與微分復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)、參數(shù)方程求導(dǎo)1.2.，求dy/dx3.決定函數(shù)，求dy4.已知，驗證5.,求3.一元函數(shù)積分1.求函數(shù)在區(qū)間上的最小值。（0）2.3.4.5.6.4.多元函數(shù)微分1.，求2.由給出，求證：3.求在O(0,0),A(1,1),B(4,2)的梯度。4.，求6.證明滿足7.求內(nèi)