2014年高考(福建卷)文科數(shù)學

1、2014 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(福建卷 ) 數(shù)學試題 (文史類 ) 第卷 (選擇題共 60 分) 一、選擇題：本大題共12 小題，每小題5 分，共 60 分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1(2014 福建，文1)若集合 px|2x4，q x|x3 ，則 pq 等于 ()ax|3x4 bx|3 x4 cx|2x3 dx|2 x3 答案： a 解析： 結合數(shù)軸，得pqx|3x4 故選 a. 2(2014 福建，文2)復數(shù) (32i)i 等于 ()a 23i b 23i c23i d 23i 答案： b 解析： (32i)i 3i2i2 23i.故選 b. 3(2014

2、 福建，文 3)以邊長為1 的正方形的一邊所在直線為旋轉軸，將該正方形旋轉一周所得圓柱的側面積等于()a2bc2 d1 答案： a 解析： 根據(jù)題意，可得圓柱側面展開圖為矩形，長為2 12 ，寬為1， s2 12.故選 a. 4 (2014 福建，文 4)閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應的程序， 輸出的 n 的值為 ()a1 b2 c3 d4 答案： b 解析： 第一次循環(huán)n1，判斷2112成立，則n11 2；第二次循環(huán)，判斷2222不成立，則輸出n2.故選 b. 5(2014 福建，文5)命題“x0， )，x3x0”的否定是 ()ax(， 0)，x3x0 bx(， 0)，x3x0 cx00，

3、 )，3000 xxdx00， )，3000 xx答案： c 解析： 全稱命題的否定是特稱命題，故該命題的否定是x00， )，3000 xx.故選 c. 6(2014 福建，文 6)已知直線l 過圓 x2 (y 3)24 的圓心， 且與直線xy10 垂直，則 l 的方程是 ()axy 20 bxy20 cxy30 dxy30 答案： d 解析： 直線過圓心 (0,3)，與直線xy10 垂直，故其斜率k1.所以直線的方程為y31 (x 0)，即 xy 30.故選 d. 7(2014 福建，文 7)將函數(shù) ysin x 的圖象向左平移2個單位， 得到函數(shù)yf(x)的圖象，則下列說法正確的是()ay

4、f(x)是奇函數(shù)byf(x)的周期為cyf(x)的圖象關于直線2x對稱dyf(x)的圖象關于點(,0)2對稱答案： d 解析： ysin x 的圖象向左平移2個單位，得( )=sin=cos 2yf xxx的圖象，所以 f(x)是偶函數(shù)， a 不正確； f(x)的周期為2 ，b 不正確； f(x)的圖象關于直線x k( k z)對稱，c 不正確； f(x)的圖象關于點( ,0)2k(kz)對稱，當 k 1 時，點為(,0)2，故 d正確綜上可知選d. 8(2014 福建，文8)若函數(shù) ylogax(a0，且 a1)的圖象如圖所示，則下列函數(shù)圖象正確的是 ()答案： b 解析： 由題中圖象可知l

5、oga3 1，所以 a 3.a 選項，133xxy為指數(shù)函數(shù)，在r上單調遞減，故a 不正確 b 選項， yx3為冪函數(shù)，圖象正確c 選項， y(x)3 x3，其圖象和b 選項中 yx3的圖象關于x 軸對稱，故c 不正確 d 選項， ylog3(x)，其圖象與 ylog3x 的圖象關于y 軸對稱，故d 選項不正確綜上可知選b. 9(2014 福建，文 9)要制作一個容積為4 m3，高為 1 m 的無蓋長方體容器已知該容器的底面造價是每平方米20 元，側面造價是每平方米10 元，則該容器的最低總造價是()a80 元b120 元c160 元d240 元答案： c 解析： 設容器的底長x 米，寬 y

6、米，則 xy4. 所以4yx，則總造價為：f(x)20 xy2(xy)1108080 x20 x420()xx80，x(0， )所以4202+80160fxxx，當且僅當4xx，即 x2 時，等號成立，所以最低總造價是160 元故選c. 10(2014 福建， 文 10)設 m 為平行四邊形abcd 對角線的交點， o 為平行四邊形abcd所在平面內任意一點，則oaobocod等于 ()aomb2omc3omd4om答案： d 解析： 因為 m 是 ac 和 bd 的中點，由平行四邊形法則，得2oaocom，2obodom，所以4oaobocodom.故選 d. 11(2014 福建，文 11

7、)已知圓 c：(x a)2(yb)2 1，平面區(qū)域：70,30,0.xyxyy若圓心 c ，且圓 c 與 x軸相切，則a2b2的最大值為 ()a5 b29 c37 d49 答案： c 解析： 由題意，畫出可行域 ，圓心 c ，且圓 c 與 x 軸相切，所以b 1. 所以圓心在直線y1 上， 求得與直線x y30， xy 70 的兩交點坐標分別為a(2,1)，b(6,1)，所以 a 2,6所以 a2b2a211,37 ，所以 a2 b2的最大值為37.故選 c. 12(2014 福建， 文 12)在平面直角坐標系中，兩點 p1(x1，y1)，p2(x2，y2)間的“ l距離”定義為 |p1p2|

8、x1x2|y1y2|，則平面內與x 軸上兩個不同的定點f1，f2的“ l距離”之和等于定值 (大于 |f1f2|)的點的軌跡可以是()答案： a 解析： 不妨設 f1(a,0)，f2(a,0)，其中 a0，點 p(x，y)是其軌跡上的點，p 到 f1，f2的“l(fā)距離 ” 之和等于定值b(大于 |f1f2|)，所以 |x a|y| |xa|y| b，即|xa|xa|2|y|b. 當 x a，y0 時，上式可化為2byx =；當 axa，y0 時，上式可化為2bya=；當 xa，y0 時，上式可化為2bx y+ =；當 x a，y0 時，上式可化為2bx y+-；當 axa，y0 時，上式可化為y

9、ab2；當 xa，y0 時，上式可化為2bxy=；可畫出其圖象(也可利用前三種情況，再關于x 軸對稱 )故選 a. 第卷 (非選擇題共 90 分) 二、填空題：本大題共4 小題，每小題4 分，共 16 分把答案填在答題卡的相應位置13 (2014 福建，文 13)如圖，在邊長為1 的正方形中隨機撒1 000 粒豆子，有180 粒落到陰影部分，據(jù)此估計陰影部分的面積為_答案： 0.18 解析： 由幾何概型可知18010001sss陰影陰影正方形，所以 s陰影0.18.故答案為 0.18. 14 (2014 福建，文 14)在 abc 中，a60 ， ac2，3bc， 則 ab 等于 _答案： 1

10、 解析： 由余弦定理可知：2222431cos 2222bcacabcc，所以 c1.故答案為1. 15 (2014 福建，文 15)函數(shù)22,0,26ln ,0 xxfxxx x的零點個數(shù)是 _答案： 2 解析： 當 x0 時，令 f(x)x220，得2x，2x. 當 x0 時， f(x)2x 6ln x，12+0fxx. 所以 f(x)單調遞增，當x 0 時， f(x) 0；當 x 時， f(x)0，所以 f(x)在(0， )上有一個零點綜上可知共有兩個零點故答案為2. 16 (2014 福建，文 16)已知集合 a，b， c 0,1,2 ，且下列三個關系：a2； b2； c 0 有且只有

11、一個正確，則100a 10bc 等于 _答案： 201 解析： 由題意可知三個關系只有一個正確分為三種情況：(1)當成立時，則a2，b2，c 0，此種情況不成立；(2)當成立時，則a2，b2，c 0，此種情況不成立；(3)當成立時，則a2，b2，c 0，即 a2，b0， c1，所以 100a10bc10021001201. 故答案為201. 三、解答題：本大題共6 小題，共74 分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟17 (本小題滿分12 分)(2014 福建，文17)在等比數(shù)列 an中， a2 3，a581. (1)求 an；(2)設 bnlog3an，求數(shù)列 bn的前 n 項和 sn.

12、分析： (1)等比數(shù)列中已知兩項，從而求得公比q，結合通項公式an a1qn1或 anamqnm得 an的通項公式(2)借助 (1)的結論，先求得bn，可得 bn為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列求和公式12nnn aas，求得 sn. 解： (1)設 an的公比為q，依題意，得1413,81,a qa q解得11,3.aq因此， an3n1. (2)因為 bnlog3ann1，所以數(shù)列 bn 的前 n 項和21()22nnn bbnns. 18 (本小題滿分12 分)(2014 福建，文18)已知函數(shù)f(x)2cos x(sin x cos x)(1)求5()4f的值；(2)求函數(shù) f(x)的最小正周

13、期及單調遞增區(qū)間分析： 對于 (1)，可把5()4x代入 f(x)的解析式，認真運算，便可求得結果，另外也可先化簡再求值，化簡時要把兩角和與差的三角函數(shù)、二倍角公式、輔助角公式及誘導公式利用好，注意化簡的最終形式一般為f(x)asin(x )對于 (2)，根據(jù)化簡的結果結合三角函數(shù)的圖象與性質以及三角函數(shù)的單調性，準確求出周期與單調區(qū)間解法一： (1)5555()2cos(sincos)4444f2cos( sincos)4442. (2)因為 f(x)2sin xcos x2cos2xsin 2xcos 2x1 2sin(2)14x，所以22t. 由2 22 242kxk，kz，得388kx

14、k， kz. 所以 f(x)的單調遞增區(qū)間為3 , 88kk，k z. 解法二： f(x) 2sin xcos x2cos2xsin 2xcos 2x132 sin14. (1)5113()2 sin12 sin12444f. (2)22t. 由2 2242kxk，kz，得388kxk， kz. 所以 f(x)的單調遞增區(qū)間為3 , 88kk，k z. 19 (本小題滿分12 分 )(2014 福建，文19)如圖，三棱錐abcd 中， ab平面 bcd，cdbd. (1)求證： cd平面 abd ；(2)若 abbdcd1，m 為 ad 中點，求三棱錐ambc 的體積分析： (1)線面垂直的證

15、法有線線垂直與面面垂直兩種，結合本題條件，可證明cd 垂直于平面 abd 內的兩條相交直線即可證得cd 垂直于平面abd.(2)三棱錐體積13vsh=，但要注意轉換頂點和底面，對于本題，可將sabm求出，高即為cdh，代入公式可求得，也可借助圖中關系，利用vambcvabcd vmbcd求得解法一： (1)ab平面 bcd，cd? 平面 bcd ，abcd. 又 cdbd，abbdb，ab? 平面 abd，bd? 平面 abd， cd平面 abd. (2)由 ab平面 bcd ，得 ab bd，abbd1，12abds. m 是 ad 的中點，1124abmabdss. 由(1)知， cd平面

16、 abd ，三棱錐cabm 的高 hcd1，因此三棱錐ambc 的體積vambcvcabm13abmsh112. 解法二： (1)同解法一(2)由 ab平面 bcd 知，平面abd平面 bcd，又平面 abd平面 bcdbd，如圖，過點m 作 mnbd 交 bd 于點 n，則 mn平面 bcd ，且1122mnab. 又 cd bd，bdcd 1，12bcds. 三棱錐ambc 的體積 vambcvabcdvmbcd13ab sbcd13mn sbcd112. 20(本小題滿分12 分)(2014 福建，文 20)根據(jù)世行2013 年新標準， 人均 gdp 低于 1 035美元為低收入國家；

17、人均 gdp 為 1 0354 085 美元為中等偏下收入國家；人均 gdp 為 4 08512 616 美元為中等偏上收入國家；人均gdp 不低于 12 616 美元為高收入國家某城市有5個行政區(qū)，各區(qū)人口占該城市人口比例及人均gdp 如下表：行政區(qū)區(qū)人口占城市人口比例區(qū)人均 gdp(單位：美元 ) a 25% 8 000 b 30% 4 000 c 15% 6 000 d 10% 3 000 e 20%10 000 (1)判斷該城市人均gdp 是否達到中等偏上收入國家標準；(2)現(xiàn)從該城市5 個行政區(qū)中隨機抽取2 個，求抽到的2 個行政區(qū)人均gdp 都達到中等偏上收入國家標準的概率分析：

18、(1)該城市人均gdp 即為求平均值，利用公式代入認真運算，可得人均gdp，判斷其所在范圍，可知是否達到中等偏上收入國家標準(2)從 5 個行政區(qū)中隨機抽取2 個，列出所有基本事件，再找出抽到的2 個行政區(qū)人均gdp 都達到中等偏上收入國家標準的基本事件利用古典概型概率公式可求得其概率解： (1)設該城市人口總數(shù)為a，則該城市人均gdp 為80000.2540000.3060000.1530000.10100000.20aaaaaa6 400. 因為 6 400 4 085,12 616)，所以該城市人均gdp 達到了中等偏上收入國家標準(2)“從 5 個行政區(qū)中隨機抽取2 個”的所有的基本事

19、件是：a ，b ，a ，c ，a ，d ，a ， e，b ，c ，b ，d ，b ，e ，c ，d ，c ，e， d ，e，共 10 個設事件 “抽到的 2 個行政區(qū)人均gdp 都達到中等偏上收入國家標準”為 m，則事件 m 包含的基本事件是：a ，c ， a ，e， c ，e ，共 3 個，所以所求概率為310p m. 21(本小題滿分12 分 )(2014 福建，文 21)已知曲線 上的點到點f(0,1)的距離比它到直線 y 3 的距離小2. (1)求曲線 的方程；(2)曲線 在點 p 處的切線l 與 x 軸交于點a，直線 y3 分別與直線l 及 y 軸交于點m，n.以 mn 為直徑作圓c

20、，過點 a 作圓 c 的切線， 切點為 b.試探究： 當點 p 在曲線 上運動 (點p 與原點不重合 )時，線段ab 的長度是否發(fā)生變化？證明你的結論分析： (1)根據(jù)題意，可知曲線上的點到點f(0,1)的距離等于它到直線y 1 的距離，結合拋物線的定義可得曲線的方程； 或利用求方程的一般做法，設點坐標， 建立幾何關系，轉化為代數(shù)關系，整理便可得到其方程對于(2)，先求導，得斜率，利用點斜式可得直線l的方程，與y0 聯(lián)立，得a 點坐標，與y3 聯(lián)立，得m 點坐標，直線y3 與 y 軸的交點n 易知，進而得出圓心和半徑，結合勾股定理可得|ab|為定值，問題得證解法一： (1)設 s(x，y)為曲

21、線 上任意一點，依題意，點s到 f(0,1) 的距離與它到直線y 1 的距離相等，所以曲線是以點 f(0,1)為焦點、直線y 1 為準線的拋物線，所以曲線的方程為x24y. (2)當點 p 在曲線 上運動時，線段ab 的長度不變證明如下：由(1)知拋物線的方程為214yx，設 p(x0，y0)(x0 0)，則20014yx，由12yx，得切線l 的斜率 ky |xx0012x，所以切線l 的方程為yy0012x(xx0)，即2001124yx xx. 由20011,240yx xxy得01,02ax. 由20011,243yx xxy得0016,32mxx. 又 n(0,3)，所以圓心0013

22、,34cxx，半徑00113| |24rmnxx，222220000011313|36244abacrxxxxx. 所以點 p 在曲線 上運動時，線段ab 的長度不變解法二： (1)設 s(x，y)為曲線 上任意一點，則|22|( 3) |(0)(1)2yxy，依題意，點s(x，y)只能在直線y 3 的上方，所以 y 3，所以22(0)(1)1xyy，化簡得，曲線的方程為x24y. (2)同解法一22 (本小題滿分14 分)(2014 福建，文22)已知函數(shù)f(x)exax(a 為常數(shù) )的圖象與y 軸交于點 a，曲線 yf(x)在點 a 處的切線斜率為1. (1)求 a 的值及函數(shù)f(x)的

23、極值；(2)證明：當x0 時， x2ex；(3)證明：對任意給定的正數(shù)c，總存在x0，使得當x(x0， )時，恒有xcex. 分析： (1)由題意可知點a 的橫坐標為0，先求出 f(x)的導函數(shù)f(x)，則曲線 yf(x)在點 a處的切線斜率為f(0)，由 f(0) 1 可求得 a 的值再利用求極值的步驟求解即可對于(2)，常對此類問題構造新函數(shù)g(x)exx2，只需 g(x) 0在(0， )上恒成立即可，利用導數(shù)得到 g(x)的單調性，從而得證(3)中存在性問題處理，可結合(2)的結論，合理利用exx2，只是將 ex x2的 x2中一個 x 賦值即可，所以可令01xc，當 xx0時，21ex

24、xxc，利用不等式的傳遞性來解決問題或根據(jù) c 的值與 1 的大小關系分類進行證明當 c1 時，可直接根據(jù) (2)中的結論得證； 當 0c1 時，證明的關鍵是找出x0.可構造函數(shù)， 然后利用導數(shù)研究其單調性，在該函數(shù)的增區(qū)間內找出一個值x0滿足條件即可得證解法一： (1)由 f(x)exax，得 f (x)exa. 又 f(0)1 a 1，得 a2. 所以 f(x)ex 2x，f(x)ex2. 令 f(x)0，得 xln 2. 當 xln 2 時， f(x)0，f(x)單調遞減；當 xln 2 時， f(x)0，f(x)單調遞增所以當 xln 2 時，f(x)有極小值， 且極小值為f(ln 2) eln 22ln 22 ln 4， f(x)無極大值(2)令 g(x)exx2，則 g(x)ex2x. 由(1)得， g(x)f(x)f(ln 2)2ln 40，即 g (x)0. 所以 g(x)在 r