高等數(shù)學(xué)：第九章 三重積分

1、三重積分定義，定義9.3.1存在,且極限值不依賴于對的分法,也不依賴于 在子域內(nèi)的取法,則稱此極限值為函數(shù)f(x,y,z)在上的三重積分.),(iii作和式 設(shè)f(x,y,z)是空間有界閉域上的有界函數(shù),將任意分成n個小閉區(qū)域 ,在 上任取一點(diǎn) , ),(iiiiViViiiniiVf),(lim10niiiiiVf1),(當(dāng) 的最大直徑 趨于零時,iV如果積分區(qū)域體積微元dVzyxf),(9.3 3 三三重積分重積分的概念的概念例2.變密度物體的質(zhì)量:設(shè)物體位于空間有界閉域 上,密度為連續(xù)函數(shù) .),(zyxiiiiiVM),(niiiiiVM1),(niiiiiVdVzyxM10),(li

2、m),(三.積分性質(zhì)k為常數(shù)d )M(fkd)M(kf. 1d )M(gd )M(fd)()M(f. 2Mgd )M(fd )M(fd)M(f. 32121d )M(gd)M(f),()(,. 4則均有若對任意的MgMfM6.(估值定理)設(shè) M,m 分別是 f (M) 在上的最大值和最小值,則:的度量）為（，）)()(MdMfm7.（積分中值定理)若 f (M) 在有界閉區(qū)域上連續(xù),則在上至少存在一點(diǎn)M*, 使得下式成立:d | )M(f |d)M(f| . 5)(*)(f)(MdMf 9.49.4 三重積分的計算法三重積分的計算法一一.在直角坐標(biāo)系中的計算法在直角坐標(biāo)系中的計算法化成三次積分

3、仿照二重積分研究其計算方法:dxdydzdV dxdydzzyxfdVzyxf),(),(在直角坐標(biāo)系中,用平行于坐標(biāo)面的平面將積分區(qū)域 分成n 份(大部分是小長方體),可知: 體積元素zxyD1.設(shè)積分區(qū)域 的邊界曲面與平行于 坐標(biāo)軸的直線相交不多于兩點(diǎn).例如,與平行于 z 軸的直線相交不多于兩點(diǎn).D為 在 xoy 面上的投影域.上下曲面為:),(),(21yxzzyxzz DDyxzyxzdyxzyxzddzdVV),(),(1112),(),(21若D是X型域),(),()()(21211yxzyxzxyxybadzdydx先對z后對y再對x的三次積分同理,),(),()()(2121)

4、,(),(yxzyxzxyxybadzzyxfdydxdVzyxf1. 把幾何體切成小條，先求小條體積把幾何體切成小條，先求小條體積2. 把幾何體切成薄片，先求薄片體積把幾何體切成薄片，先求薄片體積所得的平面區(qū)域。截為用平面，其中若)(),( ,| ),(2121cccczDDyxczczyxzzzDccdxdyzyxfdzdVzyxf),(),(21 Dyxzyxzdxdydzzyxfdxdydzzyxf),(),(21),(),(若D是Y型域),(),()()(2121),(yxzyxzyxyxdcdzzyxfdxdy先對z后對x再對y的三次積分同理,可將 投影到 yoz 面或 zox 面

5、上,使三重積分化成其他順序的三次積分: Dxzyxzydzdxdyzyxfdxdydzzyxf),(),(21),(),( Dzyxzyxdydzdxzyxfdxdydzzyxf),(),(21),(),(2.設(shè)積分區(qū)域 的邊界曲面與平行于坐標(biāo)軸的直線相交多于 兩點(diǎn).可以將積分域分成簡單子域,利用積分可加性計算. 例1 計算xdxdydz解yxzxyx210 ,210 , 10:其中 由三個坐標(biāo)面及12zyx圍成481將 向 xoy 面作投影,則yxxxdzdydxxdxdydz2102101021010)21 (xdyyxxdx1032)2(41dxxxx計算三重積分時也要注意積分次序的選擇

6、計算三重積分時也要注意積分次序的選擇 例2 計算zdxdydz其中 由圓錐面 及1222zyxz圍成zdxdydz., 10| ),222zyxzzyx（4|4110410210zdzzzdxdyzdzzD 例3 計算zdxdydz其中 由 及422zyxz圍成zdxdydz, 4,44, 22:2222zyxxyxx444222222yxxxzdzdydx3644計算過程繁瑣能否把極坐標(biāo)結(jié)合到空間坐標(biāo)系內(nèi)能否把極坐標(biāo)結(jié)合到空間坐標(biāo)系內(nèi)? ?柱面坐標(biāo)系二二.在柱面坐標(biāo)系中的計算法在柱面坐標(biāo)系中的計算法設(shè)空間一點(diǎn)M(x,y,z),點(diǎn)M在xoy面上的投影P 的極坐標(biāo)為),(r則 稱為點(diǎn)M 的柱面坐

7、標(biāo).),(zrzxyMPr變化范圍.,20 ,0zr坐標(biāo)面r常數(shù)z常數(shù)常數(shù)以 z 軸為軸的圓柱面過 z 軸的半平面平行于xoy面的平面與直角坐標(biāo)的關(guān)系zzryrxsincos體積元素dzrdrddV這是因為: 如果用三組坐標(biāo)面劃分 ,大部分子域為小柱體,近似看作長方體,則:dzrdrdzrrfdvzyxf),sin,cos(),(化成三次積分 前面例2 計算zdxdydz其中 由 及422zyxz圍成dzzrdrdzdxdydz20 , 20 , 4:2rzr420202rzdzrdrd3644化為三次積分:先將 向極坐標(biāo)投影，得 )()(,| ),(21rrrrD 確定z的積分上下限： ),

8、(),(21rzzrz),(),()()(2121),sin,cos(),sin,cos(rzrzrrdzzrrfrdrddzrdrdzrrf),()(),(),(| ),(2121rrrrzzrzzr* 利用對稱性和函數(shù)奇偶性計算利用對稱性和函數(shù)奇偶性計算積分積分:三三. 在球面坐標(biāo)系中的計算法在球面坐標(biāo)系中的計算法設(shè)空間一點(diǎn)M(x,y,z)可用下列三個數(shù)確定:則 稱為點(diǎn)M 的球面坐標(biāo).),(r變化范圍0 ,20 ,0r與直角坐標(biāo)的關(guān)系cossinsincossinrzryrx(1).點(diǎn)M與原點(diǎn)的距離 r ;(2). 與 z軸正向的夾角 ;OMOM(3). 在xoy面上的投影向量與x 軸的夾

9、角 .zxyMPr體積元素ddrdrdVsin2這是因為: 如果用三組坐標(biāo)面劃分 ,大部分子域為如圖小立體,近似看作長方體,則:ddrdrrrrfdVzyxfsin)cos,sinsin,cossin(),(2化成三次積分坐標(biāo)面r常數(shù)常數(shù)常數(shù)以原點(diǎn)為心的球面過z軸的半平面以原點(diǎn)為頂點(diǎn),以 為半頂角的圓錐面. 例3 計算dVz2其中 由2222Rzyx圍成.,0 ,0 ,20:Rr Rdrrrdddvz02220202sincos02205sincos5ddR5154R,0 ,40 ,20:Rr Rdrrrdddvx0222240202sinsincos)122532(515R 例4 計算dVx

10、2其中 由222yxRz圍成.22yxz與dVzyxf),(例5.選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,將 化成三次積分.由如圖所示半徑為a 的球面與半頂角為 的內(nèi)接錐面圍成a2a,cos20 ,0 ,20:ar dVzyxf),(cos202020sin)cos,sinsin,cossin(adrrrrrfdd注注:選擇合適的坐標(biāo)系是計算三重積分的關(guān)鍵選擇合適的坐標(biāo)系是計算三重積分的關(guān)鍵(1).區(qū)域由平面圍成,常選擇直角坐標(biāo)系;一般的:(3).區(qū)域由球面錐面圍成,被積函數(shù)形如 常選擇球面坐標(biāo)系.)(222zyxf(2).區(qū)域由圓柱面圍成,被積函數(shù)形如 常選擇柱面坐標(biāo)系;)(22yxf四四.重積分的一般變量代換重

11、積分的一般變量代換1222222222222.)(1Iczbyaxdxdydzczbyax：設(shè)x=x(r,s,t),y=y(r,s,t),z=z(r,s,t),則 dV=|J|drdsdt,其中解：作變量代換tzszrztysyrytxsxrxtsrzyxJ),(),(例計算三重積分 cossinsincossincrzbryarxsin),(),(2abcrtsrzyxJ, 10 ,0 ,20:r.sin1I22ddrdabcrrabcdrrrabcdrrrdd4sin14sin1210221022020題型解析2222.)(1lim)(. 122240tzyxtdxdydzzyxftuf具

12、有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，求設(shè).0)0(,0)0(),0( )(lim4)(4limd)(22limd)(dsind1limd)(1lim03200040200202040222402222fffttftttftrrrfrrrftVzyxfttttttttzyxt解.54ddcossin6dcosdsind3d3d2d2d2dddd)(.ddd, 0ddd5040202402022222222RrrrrVzVxzVyzVxyVzVyVxVzyxVzVyVxVxzVyzVxyRR由對稱性知22222:,d)(. 2RzyxVzyx第五節(jié)第五節(jié) 積分的應(yīng)用積分的應(yīng)用一一.幾何應(yīng)用幾何應(yīng)用解法一:將立體看作曲頂柱

13、體,利用二重積分計算.兩種解法1.立體體積DdyxfV),(解法二:利用三重積分性質(zhì)計算.dvV 例1 計算由 和 圍成的立體體積.222Ryx222Rzx由對稱性,只要求出第一卦限部分的體積,再乘以8倍即可.看作曲頂柱體 例2 計算由 和三個坐標(biāo)面圍成的四面體體積.1czbyax)1 (0),1 (0 ,0:byaxczaxbyaxdvV)1(0)1(00byaxcaxbadzdydx6abc,0 ,0:22xRyRxDDDdxRdyxfV221),(曲頂,22xRz220220 xRRdyxRdx332Rabc313168RVV所圍的體積。內(nèi)部被球面求例22222242. 3azyxaxy

14、x2a2a2axyzO由對稱性知的第一卦限部分為設(shè),11d4VV2240cos2020ddd4raazrrcos202220d4d4arrra2033dsin1332a343163a2.曲面面積曲面面積),(yxzz D為 S 在 xoy 面上的投影區(qū)域.在D上有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)設(shè)曲面S :dSdA微元法: 在D上任取小區(qū)域 ,dcosd相應(yīng)的得到S上小曲面dS.用切平面近似代替dAds dzzyx221DyxdzzA221面積微元同理,若曲面 S 的方程為 x = x( y,z ) 或 y = y( z,x ),可分別把 S 投影到 yoz 面或 zox 面上,得面積公式:yzDzydydzxxA

15、221或zxDxzdzdxyyA221S 在 yoz 面上投影區(qū)域S 在 zox 面上投影區(qū)域 例3 計算例1中立體的表面積.由對稱性,只要求出第一卦限陰影部分的面積,再乘以16倍.DyxdzzA2211,0 ,0:22xRyRxD曲面方程,22xRzDdxdyxRR222R211616RAA二二.物理應(yīng)用物理應(yīng)用1.物體重心(1).平面薄板:設(shè)薄板占有平面區(qū)域D,面密度 在D上連續(xù).),(yxDxy在D上任取小區(qū)域 及其上面任意一點(diǎn) (x , y),dd的質(zhì)量dyxdM),(d對 x 軸 y 軸的靜力矩分別為:,),(,),(dyxxdMdyxydMyxDyDxdyxxMdyxyM,),(,

16、),(于是平面薄板的重心為:DDxDDydyxdyxyMMydyxdyxxMMx),(),(;),(),(2).空間物體:dvzyxdvzyxzzdvzyxdvzyxyydvzyxdvzyxxx),(),(;),(),(;),(),(物體占有空間區(qū)域 ,密度 在 上連續(xù).),(zyx則物體的重心為:例4.半徑為1的半圓形薄板,各點(diǎn)處的密度等于該點(diǎn)到圓心的距 離,求此半圓的重心.xy22),(yxyx由對稱性:0 xDDDDdyxdyxydyxdyxyy2222),(),(1020100sindrrdrdrrrd23于是重心:)23,0(2.轉(zhuǎn)動慣量(1).平面薄板:設(shè)薄板占有平面區(qū)域D,面密度 在D上連續(xù).),(yx由靜力學(xué)及微元法,薄板對x 軸, y 軸以及原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動慣量分別為:DoDyDxdyxyxIdyxxIdyxyI,),()(,