2022年《數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用》教案

1、精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用舉例教學(xué)設(shè)計(jì)平遙中學(xué)史宏剛【教學(xué)目標(biāo) 】學(xué)問(wèn)與技能 ：1. 明白由歸納法得出的結(jié)論具有不行靠性、懂得數(shù)學(xué)歸納法的原理與本質(zhì);2. 把握數(shù)學(xué)歸納法證題的兩個(gè)步驟及其簡(jiǎn)潔應(yīng)用；3. 培育同學(xué)觀看.探究.分析.論證的才能、體會(huì)類比的數(shù)學(xué)思想過(guò)程與方法 :1. 創(chuàng)設(shè)情境,激發(fā)同學(xué)學(xué)習(xí)愛(ài)好,讓同學(xué)體驗(yàn)學(xué)問(wèn)的發(fā)生與進(jìn)展過(guò)程;2. 通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的學(xué)習(xí).應(yīng)用,逐步體驗(yàn)觀看.歸納.猜想.論證的過(guò)程,培育同學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)囊?guī)律推理意識(shí),并初步把握論證方法;3. 通過(guò)發(fā)覺(jué)問(wèn)題.提出問(wèn)題.分析問(wèn)題.解決問(wèn)題的過(guò)程,培育同學(xué)創(chuàng)新才能.情感與價(jià)值觀 :1.

2、通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)歸納法原理的探究,培育同學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度和勇于探究的精神；2. 通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)歸納法原理和本質(zhì)的爭(zhēng)論,培育同學(xué)團(tuán)結(jié)協(xié)作的精神；3. 通過(guò)置疑與探究,培育同學(xué)獨(dú)立的人格與敢于創(chuàng)新的精神；【教學(xué)重點(diǎn)】數(shù)學(xué)歸納法產(chǎn)生過(guò)程的分析,初步懂得數(shù)學(xué)歸納法的原理并能簡(jiǎn)潔應(yīng)用.【教學(xué)難點(diǎn)】數(shù)學(xué)歸納法中兩個(gè)條件的歸納,提煉和懂得、 及數(shù)學(xué)歸納法證明命題的兩個(gè)步驟.【教學(xué)方法】 師生互動(dòng)爭(zhēng)論.共同探究的方法【教學(xué)手段】 多媒體幫助課堂教學(xué)【教學(xué)過(guò)程】一.創(chuàng)設(shè)情境,引入課題精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載情境一.“摸球試驗(yàn)”這盒子中裝的不為糖,而為乒乓球,下面抽幾個(gè)同學(xué)從盒中分別摸

3、出一個(gè)球,并判定乒乓球的顏色,由此猜想這盒子中全部乒乓球的顏色；問(wèn)：這個(gè)猜想對(duì)嗎？答：不對(duì)問(wèn)：怎樣判定這個(gè)猜想為對(duì)的？答：把它全部倒出來(lái)看或一個(gè)一個(gè)摸出來(lái)看；問(wèn)：為什么可以一個(gè)一個(gè)摸出來(lái)看？答：由于為有限的；2問(wèn)：假如為無(wú)限的呢？答：不能采納一個(gè)一個(gè)摸出來(lái)看；再看一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載情境二：已知a n n5n52 （ nn * ）,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載(1) 分別求a1 ； a 2 ； a3 ； a 4 （由同學(xué)齊答a1 ； a2 ； a3 ； a4 的值,老師播放幻燈片）精品學(xué)習(xí)資

4、料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載(2) 由此猜想出 an 的值？這個(gè)猜想正確嗎？精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載檢驗(yàn)： a41、a5251所以這個(gè)猜想為錯(cuò)的；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由上面兩個(gè)例子看出：由幾個(gè)特別的事例得出一般的結(jié)論有時(shí)為對(duì)的,有時(shí)為錯(cuò)的；由此引出歸納法的定義：歸納法： 由一些特別事例推出一般結(jié)論的推理方法. 分為完全歸納法和不完全歸納法；完全歸納法 : 把爭(zhēng)論對(duì)象一一都考查到了而推出結(jié)論的歸納法稱為完全歸納法；不完全歸納法 : 依據(jù)事物的部分 而不為全部 特例得出一般結(jié)論的推理方法 . 下面看一個(gè)比較熟識(shí)的數(shù)學(xué)問(wèn)題：等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：

5、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載ana1 n1d （由同學(xué)齊答,老師在黑板上書寫）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載回憶等差數(shù)列an通項(xiàng)公式推導(dǎo)過(guò)程：a2a1da3a2da12d（同學(xué)齊答, 老師放幻燈）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載a4a3da13d猜想ana1n1d精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載問(wèn)：這個(gè)猜想對(duì)嗎？精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載同學(xué)答：不肯定對(duì)但我們已把它當(dāng)成一個(gè)公式在用,說(shuō)明這個(gè)猜想為對(duì)的,怎樣證明？法一：一個(gè)一個(gè)的檢驗(yàn),由于n 為無(wú)限的,

6、這個(gè)方法不行行,除非我們把有限的生命投入到無(wú)限的驗(yàn)算中去；問(wèn)：有沒(méi)有更好的方法呢？從而引出課題：數(shù)學(xué)歸納法；（放幻燈片）二.師生互動(dòng),探究學(xué)問(wèn)先看一個(gè)大家比較熟識(shí)的嬉戲：演示多米諾骨牌嬉戲視頻.我們把剛才的視頻簡(jiǎn)化一下,得到這樣的一個(gè)試驗(yàn)（老師彈出事先預(yù)備好的簡(jiǎn)化的多米諾骨牌嬉戲的動(dòng)畫 、 并再次演示一遍）提問(wèn)：滿意什么條件能使全部的骨牌全部倒下？（把同學(xué)按前后四個(gè)同學(xué)分組,每組選一個(gè)代表發(fā)言,爭(zhēng)論時(shí)間大約3 分鐘左右）同學(xué)代表發(fā)言（老師在黑板上書寫） ：條件 1：第一塊要倒下 ;條件 2：當(dāng)前面一塊倒下時(shí),后面一塊必需倒下問(wèn)：其它組仍有其它看法嗎？（給同學(xué)提出的條件老師進(jìn)行歸納整理）問(wèn)：為否

7、滿意這兩個(gè)條件就可以保證全部的骨牌倒下？給出推理（播放幻燈片） ：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由條件 1第 1 塊倒下由條件 2第 2 塊倒下由條件 2第 3 塊倒下精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載由條件 2第 n 塊倒下由條件 2全部的骨牌全部倒下；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載對(duì)多米諾骨牌嬉戲的原理進(jìn)行推廣：由于骨牌為 1 塊,2 塊,、 很多塊 、 而我們要證的等差數(shù)列的通項(xiàng)公式也為要證明n1、n2、 成立 、 所以可將多米諾骨牌嬉戲的原理類比到與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題上.精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料

8、 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載多米諾骨牌嬉戲的原理與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題(1) 第一塊要倒下1 n1 時(shí)命題成立精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載(2) 當(dāng)前面一塊倒下時(shí),后面一塊2假 設(shè)nkk1、kn * 成 立 , 就精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載必需倒下 ;nk1時(shí)結(jié)論也成立；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載依據(jù) 1 和2、可知無(wú)論多少塊骨牌都能全部倒下依據(jù)1 和2、可知對(duì)任意的正整數(shù)n,命題都成立；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（全部由同學(xué)總結(jié)提煉,老師播放幻燈片）進(jìn)一步總結(jié)數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟：(1) n1 時(shí)命題成立

9、；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載(2) 假設(shè) nk k1、kn * 成立,就 nk1 時(shí)結(jié)論也成立；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載我們把用這種模式來(lái)證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題叫作數(shù)學(xué)歸納法；下面說(shuō)明一下用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證題為可行的,有效的：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載1. 推理過(guò)程：依據(jù)第 1 步n1 成立依據(jù)第 2 步n2成立依據(jù)第 2 步n3 成立精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載依據(jù)第 2 步依據(jù)第 2 步對(duì)全部的正整數(shù)n 都成立；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2. 假設(shè) nk 成立的依據(jù)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料

10、 - - - 歡迎下載依據(jù)第 1 步, n1 成立,取 k1 ,這時(shí)假設(shè) nk1成立就不為假設(shè)而為一個(gè)已經(jīng)成精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載立的事實(shí)了, 再依據(jù)第 2 步,由 nk1成立就可推出 nk1112 成立,再取 k2 ,精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載這時(shí)假設(shè) nk2 成立就不為假設(shè)而為一個(gè)已經(jīng)成立的事實(shí)了；如此取下去,每一個(gè)假設(shè)nk 成立都為有依據(jù)的；所以用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明數(shù)學(xué)問(wèn)題為有效的和牢靠的,大家可以放心大膽使用；三.通過(guò)實(shí)例,運(yùn)用學(xué)問(wèn)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載例：用數(shù)學(xué)歸納法證明等

11、差數(shù)列通項(xiàng)公式ana1n1d精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載 師生共同完成 、 老師在黑板上書寫并強(qiáng)調(diào)步驟及留意點(diǎn)證明： 1當(dāng) n1 時(shí)、 左=a1 ,右= a111da1 ,所以左 =右,即 n=1 時(shí)結(jié)論成立；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載2假設(shè)當(dāng)nk k1、kn * 時(shí)結(jié)論成立 、即 aa1 k1d 、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載k就 nk1時(shí),a k 1akd= a1 k11d 、精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載即 n

12、k1 時(shí)等式也成立精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載綜合1、2、對(duì)一切的nn *, ana1n1) d成立精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載數(shù)學(xué)歸納法原理的強(qiáng)調(diào) 同學(xué)表述 、 老師補(bǔ)正 ：*（1）（遞推奠基）：驗(yàn)證 n1 時(shí)命題成立；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（2）（遞推依據(jù)）：假設(shè)nkk1、kn 時(shí)結(jié)論正確； 去證明當(dāng) nk1 時(shí)結(jié)論也正精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載確. （肯定要用到假設(shè)）數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)： 無(wú)窮的歸納 有限的演繹（遞推關(guān)系）四.反饋練習(xí) 、鞏固學(xué)問(wèn)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載用數(shù)學(xué)歸納法證明：多

13、邊形的內(nèi)角和為an n2180精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載（同學(xué)獨(dú)立完成,通過(guò)投影儀指出同學(xué)在書寫過(guò)程中的不足,最終老師播放幻燈片寫出規(guī)范的解答）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載通過(guò)這個(gè)練習(xí),我們發(fā)覺(jué)數(shù)學(xué)歸納法的第一步不肯定為從n1 開(kāi)頭的,所以對(duì)數(shù)學(xué)精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載歸納法的兩步略作改動(dòng)：(1) n1 時(shí)命題成立；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載(2) 假設(shè) nk k1、kn * 成立,就 nk1 時(shí)結(jié)論也成立；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載000時(shí)命題成立；改為：精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - -

14、歡迎下載(1) 驗(yàn)證 nn n1、nn * 精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載(2) 假設(shè) nk kn0、 kn * 成立,就 nk1時(shí)結(jié)論也成立；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載五.總結(jié)歸納,加深懂得（先由同學(xué)總結(jié),最終老師再總結(jié),最終播放幻燈片）1.兩個(gè)方法：歸納法和數(shù)學(xué)歸納法；2.歸納法為一種由特別到一般的推理方法,它可以分為完全歸納法和不完全歸納法兩種；精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載學(xué)習(xí)必備歡迎下載歸納法的本質(zhì)： 特別到一般歸納法的作用： 發(fā)覺(jué)規(guī)律歸納法的缺陷： 具有不行靠性3.數(shù)學(xué)歸納法基本思想： 遞推的思想適用范疇： 與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題兩個(gè)步驟：(1) 驗(yàn)證 nn n1、nn * 時(shí)命題成立；（遞推的基礎(chǔ) ）000精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載(2) 假設(shè) nkkn0、 kn * 成立,就 nk1時(shí)接結(jié)論也成立；（遞推的依據(jù) ）精品學(xué)習(xí)資料精選學(xué)習(xí)資料 - - - 歡迎下載兩個(gè)條件缺一不行,相互依存附數(shù)學(xué)歸納法打油詩(shī)一首：兩個(gè)步驟一結(jié)論,遞推基礎(chǔ)不行少,歸納假設(shè)要用到,結(jié)論寫明莫忘掉；數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用為特別