高珊畢業(yè)論文

1、 分類號： O172.1 單位代碼： 106 分類號：查詢中圖分類號單位代碼：101密級：一般學號：寫完整學號 密 級： 一般 學 號： 1060711012014 分類號：查詢中圖分類號單位代碼：101密級：一般學號：寫完整學號 本科畢業(yè)論文（設(shè)計）題 目： 幾類多元函數(shù)極值的求法 及其應用 專 業(yè)： 數(shù)學與應用數(shù)學 姓 名： 高 珊 指導教師： 常勝偉 職 稱： 講 師 答辯日期： 二一三年五月十八日 延安大學學士學位論文原創(chuàng)性聲明本人鄭重聲明：所呈交的學位論文，是本人在指導教師的指導下，獨立進行研究所取得的成果.除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本論文不含任何其他個人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的作

2、品成果.對本文的研究做出重要貢獻的個人和集體，均已在文中以明確方式標明.本人完全意識到本聲明的法律結(jié)果由本人承擔.作者簽名： 日期：_ _ 關(guān)于論文使用授權(quán)的說明學位論文作者完全了解延安大學有關(guān)保留和使用論文的規(guī)定，即：本科生在校攻讀學士學位期間論文工作的知識產(chǎn)權(quán)單位屬延安大學，學生公開發(fā)表需經(jīng)指導教師同意.學校有權(quán)保留并向國家有關(guān)部門或機構(gòu)送交論文的復印件，允許學位論文被查閱和借閱；學?？梢怨紝W位論文的全部或部分內(nèi)容，可以允許采用影印、縮印或者其他復制手段保存、匯編學位論文.保密論文注釋：本學位論文屬于保密范圍，在2年解密后適用本授權(quán)書.非保密論文注釋：本學位論文不屬于保密范圍，適用本授權(quán)

3、書.作者簽名： 日期： 指導教師簽名： 日期： 幾類多元函數(shù)極值的求法及其應用摘要：函數(shù)極值問題是初等數(shù)學教學的重點內(nèi)容之一也是應用數(shù)學解決實際問題的一個重要方面本文對函數(shù)極值問題的要點、方法及一般規(guī)律性進行了初步的研究，并通過對幾類多元函數(shù)的極值解法的探討，展示了問題的多解性和靈活性，得出了有益的結(jié)論.目的在于啟發(fā)拓寬關(guān)于函數(shù)極值問題的解題技巧和思路關(guān)鍵詞：多元函數(shù)；極值；解法；應用 The Solution and Application of Several Kinds of the Function Extreme of Many VariablesAbstract: The func

4、tion extreme is not only one of the important contents in junior math teaching but also is an important aspect that applied math solves the actual problem. The points ,methods and general rule having being made preliminary study and the solutions of several kinds of the function extreme of many vari

5、ables have being discussed in the article. These show multiple solutions and flexibility for a problem ,thus come to the beneficial conclusions .The aim is to broaden the skills and methods of solving problems of the function extremeKey words: Function of many variables；Extreme；Solution；Application

6、多元函數(shù)極值問題是數(shù)學分析乃至實際生活中一個重要問題，在管理科學，經(jīng)濟學和許多數(shù)學問題中，常常需要求一個多元函數(shù)的最大值或最小值，他們統(tǒng)稱為最值問題最值問題設(shè)計在工業(yè)、農(nóng)業(yè)、交通運輸業(yè)、 軍事、商品經(jīng)濟等諸多方面，與人們的生活息息相關(guān)而多元函數(shù)的最值與極值有密切的關(guān)系，本文在文獻1-4是總結(jié)了關(guān)于多元函數(shù)的相關(guān)定義，文獻5-9敘述了關(guān)于求解多元函數(shù)極值的方法.使求解多元函數(shù)極值更加簡單，達到事倍功半的效果.1 預備知識11 相關(guān)定義定義1111 設(shè)二元函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)有定義，對該鄰域內(nèi)任一異于的點，（1）如果，則稱是函數(shù)的極大值，點為函數(shù)的一個極大值點（2）如果，則稱是函數(shù)的極小值，點為函

7、數(shù)的一個極小值點定義1122 設(shè)多元函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)有定義，對于該鄰域內(nèi)任何點，成立不等式（或）則說函數(shù)在點處取極大值（或極小值），點稱為函數(shù)的極值點定義1133 設(shè)元函數(shù)在點具有偏導數(shù)，則稱向量為函數(shù)在點的梯度，記作，即定義1144 設(shè)元函數(shù)在點具有偏導數(shù)，則稱矩陣為函數(shù)在點的Hesse矩陣，若二階偏導數(shù)連續(xù)，則H是對稱矩陣12 相關(guān)定理定理1.2.15設(shè)函數(shù)在點具有偏導數(shù)，且在點處有極值，則，注：具有偏導數(shù)的極值點必然是駐點，但駐點不一定是極值點定理1.2.26 設(shè)函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有直到二階的連續(xù)偏導數(shù)，又，及，則在處是否取得極值的條件如下：(1)當時，函數(shù)在點處有極值，且當時，

8、有極小值；時，有極大值；(2)當時，函數(shù)在點處沒有極值；(3)當時，函數(shù)在點處可能有極值，也可能沒有極值注:(1)對于二元函數(shù)，在定義域內(nèi)求極值，這是一種方法，但是這種方法對二元及更多元的函數(shù)不適用 (2)時，函數(shù)在點處可能有極值，也可能沒有極值，這需要作討論 (3)如果函數(shù)在個別點處的偏導數(shù)不存在，這些點必然不是駐點但也可能是極值點，討論函數(shù)的極值問題時還需討論定理 1.2.37 設(shè)二元函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)具有三階連續(xù)偏導數(shù)，且點為穩(wěn)定點，又=0，時，在點無極值例1 判別函數(shù)是否存在極值解 由于，則有 ， 由方程組解得 ，從而方程組的穩(wěn)定點為由于函數(shù)在上可微,所以只可能在穩(wěn)定點取極值.因為 ,

9、，即，則用二階偏導數(shù)判別法不能得到結(jié)論但 ，由定理3，得,所以函數(shù)在點處不取極值即函數(shù)不存在極值.定理1.2.42 設(shè)元函數(shù)在點存在偏導數(shù)，且在該點處取得極值，則，即定理1.2.58 對于目標函數(shù)在等式約束條件，下的充分條件為： 設(shè)，在維空間區(qū)域上具有連續(xù)的一階偏導數(shù)， ，且點為拉格朗日函數(shù)的穩(wěn)定點，則 (1) 時，有設(shè)，在維空間區(qū)域上有連續(xù)的二階偏導數(shù)，點為的穩(wěn)定點，令 ；其中， ， ， ，則，當，若，則在點處取到條件極大值 ；若，則在點處取到條件極小值當時，在點處不取條件極值；當時，不能斷定在點處是否取到條件極值（2）時，有設(shè)，在維空間區(qū)域有連續(xù)二階偏導數(shù)，為的穩(wěn)定點，則當時，在點處取到條

10、件極值，且當時，在點處取到條件極小值；當時，在點處取到條件極大值其中 定理69 設(shè)多元函數(shù)在點的某鄰域內(nèi)存在一階及二階連續(xù)偏導數(shù)，又，則（1）當是正定矩陣時，函數(shù)在點處取得極小值；（2）當是負定矩陣時，函數(shù)在點處取得極大值；（3）當是非定矩陣時，函數(shù)在點處不取極值注：若二次齊次多項式為零，即時，不能用為正定或負定來判斷是否為極值或判定是極大值或極小值，需根據(jù)二次齊次多項式后邊的高次項去判定2條件極值的求法21 條件極值的特殊求法在高等數(shù)學教材中確定函數(shù)在條件，下的條件極值問題，通常應用拉格朗日乘數(shù)法，可把以上條件極值問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的無條件極值問題由極值的必要條件知，需求解如下的方程組 . 一

11、般教科書及參考教材的處理方法有兩種：一種方法是直接由方程組,解出駐點，即在方程組中把當成未知量進行求解；另一種方法是從方程組中消去參數(shù)及，僅對未知量求解由于需要消去兩個參數(shù)，故以上兩種辦法的難易程度相當方程組是含有五個未知量的方程組，未知量的個數(shù)相對較多，以上兩種方法求解均很不方便，尤其對于稍微復雜的函數(shù)，直接求解相當困難甚至是不可能的.下面兩種新的方法可以簡化計算（1）不考慮參數(shù)，僅求方程組關(guān)于的解，這樣可以把方程的數(shù)減少到三個，這里給出以下的結(jié)果：如果是方程組的解，則必是方程組的解例2 求在，之下的條件極值解 因為 ，故方程組為 ， 由方程組的第一個方程可得：或或由 ，可得駐點，由 ，可得

12、駐點，由 ，可得駐點，而，故，（2）可根據(jù)題設(shè)條件，把方程組化為僅對參數(shù)求解，而不考慮.這種解法常用于方程組中含有字母常數(shù)的情況22 條件極值與矩陣特征值的結(jié)合例3 求實函數(shù)在單位球面上的極值 解 令矩陣 構(gòu)造Lagrange輔助函數(shù)，則由 ， 可以得到 方程組還可改寫為 ，因此，求函數(shù)的極值，也就是計算的最大最小特征值其中單位球面的約束也就是要求的特征向量為單位向量例4 求實函數(shù)在條件下的極值，其中. 解 可令，構(gòu)造Lagrange輔助函數(shù)，則由 , 可得 又方程還可改寫為，因而，求函數(shù)的極值，也就是計算的最大最小特征值，考慮約束條件也就是要求的特征向量為單位向量.例5求函數(shù)在條件的約束下的

13、極值解 當同號時，不妨令，則在約束條件下為標準類型，可令，則其特征值及對應的特征向量分別為 ， ， 所以有當異號時，必有兩個同號，不妨先令則有矩陣，其特征值及對應的特征向量分別為 ， ， 因此時的特征向量并不滿足約束條件，有效特征值只有和故 或可令則有矩陣，其特征值及特征向量分別為 ， ， 因此時的特征向量和都不滿足約束條件，有效特征值只有所以 3 多元函數(shù)極值的求法利用二次型求元函數(shù)極值的步驟：第一步:求出函數(shù)可能極值點首先，求出函數(shù)的駐點，根據(jù)極值存在的必要條件，解方程組 ，方程的解即為駐點再考慮一階導數(shù)不存在的點第二步:對每一個可能的極值點進行檢查，根據(jù)極值存在的充分條件，計算在點的矩陣

14、第三步:根據(jù)定理判定是否極值點，并求出極值例6 求函數(shù)的極值解 在二階偏導數(shù)連續(xù)且可微，先求穩(wěn)定點令 ，求得穩(wěn)定點為和二階偏導數(shù)為，在點處，為正定矩陣，所以在處有極小值，在點處，為負定矩陣，所以在處有極大值，在點和點處，為不定矩陣所以它們都不是極值點例7 求函數(shù)的極值 解 因為 令 得駐點 又的二階導數(shù)為得矩陣 在點處得矩陣 而的順序主子式故不定矩陣，不是函數(shù)的極值點在點處得矩陣 而的順序主子式為故正定矩陣，是函數(shù)極小值點極小值為4 條件極值及多元函數(shù)極值的應用41多元函數(shù)極值在幾何中的應用 例8 過點的所有平面中，哪一個平面與坐標面在第一象限所圍立體體積最小，并求最小體積解 由于所求平面通過

15、點,所以.設(shè)所求平面與三個坐標面在第一卦限所圍立體中的體積為，則，現(xiàn)在求在條件下的最小值引進輔助函數(shù)，令 ，由此推出，因為，故由問題的實際意義可知，最小值必定存在現(xiàn)只求得惟一的一個駐點，所以使立體體積最小的平面為，最小體積為42 利用多元函數(shù)極值求在定義域內(nèi)的上確界和下確界例9 ，若解 考慮函數(shù)在區(qū)域內(nèi)的穩(wěn)定點,由于 在區(qū)域內(nèi)無解故連續(xù)函數(shù)的最大值和最小值必在邊界上達到考慮函數(shù)在邊界的條件極值設(shè)函數(shù)，解方程組，可得穩(wěn)定點，由于，故得，43多元函數(shù)極值在數(shù)學中的其他應用例10 分解已知正數(shù)為個相加數(shù)，使得它們的平方和最小解 考慮函數(shù)在條件下的極值設(shè)，解方程組，得，當個相加數(shù)中若干個加數(shù)趨于無窮時

16、，平方和也趨于無窮，因此函數(shù)在有限區(qū)域內(nèi)取得最小值，于是正數(shù)分解為個相等的相加數(shù)時，其平方和最小例11 求點到平面的最短距離解 按題意，我們應求函數(shù)在條件的極值設(shè)，解方程組 ，得，從而可得，進一步得到當中有任一個趨于無窮時，也趨于無窮于是點到平面的最短距離為.5 小結(jié)本文不僅給出了二元 、多元函數(shù)極值及其應用，而且還給出了條件極值的求法和條件極值在實際生活中的應用，此外還給出了多元函數(shù)的極值在定義域內(nèi)的上確界和下確界；本文有利于初學者對函數(shù)極值的研究學習另外，關(guān)于Bootstrap法的樣本函數(shù)條件極值請參考文獻10參考文獻：1李承家，胡曉敏數(shù)學分析 M西安：西北工業(yè)大學出版社，20032徐森林

17、，薛春華數(shù)學分析（第二冊）M北京：清華大學出版社，20063華東師范大學數(shù)學系數(shù)學分析（下冊）（第三版）M北京：高等教育出版社，20014華東師范大學數(shù)學系數(shù)學分析（下冊）（第四版）M北京：高等教育出版社，20055馬知恩，王綿森工科數(shù)學分析基礎(chǔ)（第二版 下冊）M北京：高等教育出版社，20066陳紀修，於崇華，金路數(shù)學分析（第二版）M北京：高等教育出版社，20047高麗關(guān)于多元函數(shù)極值的判別準則J河南科學，2009，27(10):1191-11928楊斌,干曉蓉等約束條件下多元函數(shù)條件極值的充分條件J云南師范大學學報，2012， 32(4):49-519梅加強數(shù)學分析M北京：高等教育出版社，201110Research of Estimate of Variance for the Extreme of Conditional Sample Function Based on BootstrapJ大學數(shù)學，2008，24（6）:23-26 謝 辭 經(jīng)過了一個多月的努力，我終于完