三角形的等積變形(一)

1、1 / 4 年級四年級學科奧數(shù)版本通用版課程標題三角形的等積變形（一）編稿老師允一校林卉二校琦鋒審核舒這節(jié)課， 我們一起來學習三角形的等積變形，它是幾何問題中在求直線型面積時，很重要的一個部分，下面我們就來研究一下三角形的面積與它的底和高三者之間的關(guān)系。三角形面積的計算公式：s底高2三角形面積、底和高之間的關(guān)系：從公式我們可以發(fā)現(xiàn)：三角形面積的大小，取決于三角形底和高的乘積。如果三角形的底不變，高越大（?。切蚊娣e也就越大（?。?；如果三角形的高不變，底越大（?。?，三角形面積也就越大（?。?；當三角形的面積變化時，它的底和高之中至少有一個要發(fā)生變化。當三角形的底和高同時發(fā)生變化時，三角形的面積

2、不一定變化。一個三角形的面積變化與否取決于它的底和高的乘積，而不僅僅取決于底或高的變化。一個三角形在面積不改變的情況下，可以有無數(shù)多個不同的形狀。重要結(jié)論：等底等高的兩個三角形面積相等。若兩個三角形的高相等，其中一個三角形的底是另一個三角形的幾倍，那么這個三角形的面積也是另一個三角形面積的幾倍。若兩個三角形的底相等，其中一個三角形的高是另一個三角形的幾倍，那么這個三角形的面積也是另一個三角形面積的幾倍。例 1如圖，在abc中，d是bc邊上一點，bd 12 厘米，dc4 厘米。（1）求abc的面積是abd面積的多少倍；（2）求abd的面積是adc面積的多少倍。分析與解： 因為abd、abc和ad

3、c分別以bd、bc和dc為底時，它們的高都是過a點向bc邊上所作的垂線，也就是說三個三角形的高相等。因為，12416，161234，所以abc的底是abd的底的34倍，所以，abc的面積是abd面積的34倍；同理，因為 124 3，所以abd的面積是adc面積的 3 倍。鞏固理解結(jié)論：兩個三角形等高時，面積的倍數(shù)底邊長的倍數(shù)。2 / 4 例 2如圖，e在ad上，ad垂直于bc，ad12 厘米，de3 厘米。求abc的面積是ebc面積的幾倍。分析與解： 因為ad垂直于bc，所以當bc為abc和ebc的底時，ad是abc的高，ed是ebc的高。于是：abc的面積bc122 bc6；ebc的面積bc

4、32 bc1.5 。所以abc的面積是ebc的面積的4 倍。鞏固理解結(jié)論：兩個三角形等底時，面積的倍數(shù)高的倍數(shù)。例 3 如圖，在梯形abcd中，ac與bd是對角線，其交點為o，求證：aob與cod面積相等。分析與解： abc與dbc等底等高，abcsdbcs。又 aobsabcsbocs，docsdbcsbocs，aobscods。例 4如圖，abc的面積是24，d、e和f分別是bc、ac和ad的中點。求def的面積。分析與解： d是bc的中點，adc的面積是abc面積的一半，即242 12。e是ac的中點，ade的面積是adc面積的一半，即122 6。f是ad的中點，3 / 4 def的面積

5、是ade面積的一半，即def的面積 62 3。例 5如下圖，在平行四邊形abcd中，e為ab的中點，af2cf，afe（圖中陰影部分）的面積為8 平方厘米。則平行四邊形abcd的面積是多少平方厘米？分析與解： 連結(jié)fb。因為af2cf，所以afb的面積是cfb的面積的 2 倍。又因為e為ab的中點，所以afb的面積是aef的面積的2 倍。所以abc的面積是aef的面積的3 倍。又因為平行四邊形abcd的面積是abc的面積的2 倍，所以平行四邊形abcd的面積是afe的面積的32 6 倍。因此，平行四邊形abcd的面積為 86 48（平方厘米） 。（答題時間： 30 分鐘）1. 用兩種不同的方法

6、，把任意一個三角形分成四個面積相等的三角形。2. 如圖，在長方形abcd中，ad為 8 厘米，ab為 3 厘米。請問：陰影部分的面積是多少平方厘米？3. 如圖，在abc中，d、e、f分別是bc、ad、be的三等分點，已知abcs27 平方厘米，求defs。4. 如下圖，梯形abcd的上底ad長為 5 厘米，下底bc長為 12 厘米，腰cd的長為 8 厘米，過b點作cd的垂線be，be的長為 9 厘米。那么梯形abcd的面積是多少？5. 如下圖， 正方形abcd的邊長為10，三角形bef的面積為30。那么bf的長度為多少？4 / 4 1. 解：解法一： 如圖（1） ，將bc邊四等分， 連接a與各

7、等分點， 則abd、ade、aef、afc的面積相等。解法二：如圖（ 2） ，d是bc的二等分點，e、f分別是ac、ab的中點，從而得到四個等積三角形adf、bdf、dce、ade。解法三： 如圖（3） ，d是bc的四等分點，e、f是ad的三等分點， 從而得到abd、aec、ecf、fcd的面積相等。2. 解：可以通過等積變形把三個陰影三角形變成長方形的一半，所以陰影部分的面積為832 12（平方厘米） 。3. 解：因為d為bc邊的三等分點， 所以adcs31abcs9 平方厘米。 同理abes31abds6 平方厘米，bdfs31bdes4 平方厘米，所以defs279648平方厘米。4. 解：連接bd，作出梯形的一條高df。三角形bcd以cd為底、be為高， 面積為 89236（平方厘米） ；也可以看做以bc為底、df為高，由bc12 厘米可知df為 362126（厘米）。在梯形abcd中，上底為5 厘米，下底為12 厘米，高為6 厘米，面積為（512）62 5