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1、第四節(jié)函數(shù)性質(zhì)的綜合問題考點1函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的綜合問題解題思路(1)解決比較大小、最值問題應充分利用奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上具有相同的單調(diào)性,偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的兩個區(qū)間上具有相反的單調(diào)性(2)解決不等式問題時一定要充分利用已知的條件,把已知不等式轉(zhuǎn)化成f(x1)f(x2)或f(x1)f(x2)的形式,再根據(jù)函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性,列出不等式(組),要注意函數(shù)定義域?qū)?shù)的影響(1)(2019·全國卷)設(shè)f(x)是定義域為r的偶函數(shù),且在(0,)單調(diào)遞減,則()afffbfffcfffdfff(2)(2017·全國卷)函數(shù)f(x)在(,)上
2、單調(diào)遞減,且為奇函數(shù)若f(1)1,則滿足1f(x2)1的x的取值范圍是()a2,2b1,1c0,4 d1,3(1)c(2)d(1)f(x)是定義域為r的偶函數(shù),f(x)f(x)ff(log34)f(log34)又log34log331,且1220,log34220.f(x)在(0,)上單調(diào)遞減,f(2)f(2)f(log34)f.故選c.(2)f(x)為奇函數(shù),f(x)f(x)f(1)1,f(1)f(1)1.故由1f(x2)1,得f(1)f(x2)f(1)又f(x)在(,)上單調(diào)遞減,1x21,1x3.逆向問題設(shè)f(x)是定義在2b,3b上的偶函數(shù),且在2b,0上為增函數(shù),則f(x1)f(3)
3、的解集為()a3,3b2,4c1,5 d0,6b因為f(x)是定義在2b,3b上的偶函數(shù),所以有2b3b0,解得b3,由函數(shù)f(x)在6,0上為增函數(shù),得f(x)在(0,6上為減函數(shù),故f(x1)f(3)f(|x1|)f(3)|x1|3,故2x4.(1)函數(shù)值的大小比較問題,可以利用奇偶性把不在同一單調(diào)區(qū)間上的兩個或多個自變量的函數(shù)值轉(zhuǎn)化到同一單調(diào)區(qū)間上,再利用其單調(diào)性比較大小(2)對于抽象函數(shù)不等式的求解,應變形為f(x1)f(x2)的形式,再結(jié)合單調(diào)性脫去法則“f”變成常規(guī)不等式,如x1x2(或x1x2)求解1.已知函數(shù)f(x)滿足以下兩個條件:任意x1,x2(0,)且x1x2,(x1x2
4、)·f(x1)f(x2)0;對定義域內(nèi)任意x有f(x)f(x)0,則符合條件的函數(shù)是()af(x)2x bf(x)1|x|cf(x)x3 df(x)ln(x23)c由條件可知,f(x)在(0,)上單調(diào)遞減,則可排除a、d選項,由條件可知,f(x)為奇函數(shù),則可排除b選項,故選c.2函數(shù)yf(x)在0,2上單調(diào)遞增,且函數(shù)f(x2)是偶函數(shù),則下列結(jié)論成立的是()af(1)ffbff(1)fcfff(1)dff(1)fb函數(shù)yf(x)在0,2上單調(diào)遞增,且函數(shù)f(x2)是偶函數(shù),函數(shù)yf(x)在2,4上單調(diào)遞減,且在0,4上函數(shù)yf(x)滿足f(2x)f(2x),f(1)f(3),ff
5、(3)f,即ff(1)f.3(2019·濱州模擬)設(shè)奇函數(shù)f(x)定義在(,0)(0,)上,f(x)在(0,)上為增函數(shù),且f(1)0,則不等式0的解集為()a(1,0)(1,)b(,1)(0,1)c(,1)(1,)d(1,0)(0,1)d奇函數(shù)f(x)定義在(,0)(0,)上,在(0,)上為增函數(shù),且f(1)0,函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點對稱,且過點(1,0)和(1,0),且f(x)在(,0)上也是增函數(shù)函數(shù)f(x)的大致圖象如圖所示f(x)f(x),不等式0可化為0,即xf(x)0.不等式的解集即為自變量與對應的函數(shù)值異號的x的范圍,據(jù)圖象可知x(1,0)(0,1)考點2函數(shù)的周
6、期性與奇偶性已知f(x)是周期函數(shù)且為偶函數(shù),求函數(shù)值,常利用奇偶性及周期性進行交換,將所求函數(shù)值的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的函數(shù)定義域內(nèi),把未知區(qū)間上的函數(shù)性質(zhì)轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)性質(zhì)求解(2019·福州質(zhì)量檢測)已知函數(shù)f(x)對任意的xr都滿足f(x)f(x)0,f為偶函數(shù),當0x時,f(x)x,則f(2 017)f(2 018)_.2依題意,f(x)f(x),ff,所以f(x3)f(x)f(x),所以f(x6)f(x),所以f(2 017)f(1)1,f(2 018)f(2)fff(1)1,所以f(2 017)f(2 018)2.解奇偶性、周期性的綜合性問題的2個關(guān)鍵點(1)
7、利用奇偶性和已知等式求周期(2)將未知區(qū)間上的問題轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的問題求解1.已知定義在r上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x)f,且f(1)2,則f(2 018)_.2因為f(x)f,所以f(x3)fff(x)所以f(x)是以3為周期的周期函數(shù)則f(2 018)f(672×32)f(2)f(1)f(1)2.2已知f(x)是定義在r上以3為周期的偶函數(shù),若f(1)1,f(5)2a3,則實數(shù)a的取值范圍為_(,2)f(x)是定義在r上的周期為3的偶函數(shù),f(5)f(56)f(1)f(1),f(1)1,f(5)2a31,即a2.考點3單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性等綜合問題函數(shù)的奇偶性、周期性
8、及單調(diào)性是函數(shù)的三大性質(zhì),在高考中常常將它們綜合在一起命題,解題時,往往需要借助函數(shù)的奇偶性和周期性來確定另一區(qū)間上的單調(diào)性,即實現(xiàn)區(qū)間的轉(zhuǎn)換,再利用單調(diào)性解決相關(guān)問題一題多解(2018·全國卷)已知f(x)是定義域為(,)的奇函數(shù),滿足f(1x)f(1x)若f(1)2,則f(1)f(2)f(3)f(50)()a50 b0c2 d50c法一:(直接法)f(x)是奇函數(shù),f(x)f(x),f(1x)f(x1)由f(1x)f(1x),得f(x1)f(x1),f(x2)f(x),f(x4)f(x2)f(x),函數(shù)f(x)是周期為4的周期函數(shù)由f(x)為奇函數(shù)得f(0)0.又f(1x)f(1
9、x),f(x)的圖象關(guān)于直線x1對稱,f(2)f(0)0,f(2)0.又f(1)2,f(1)2,f(1)f(2)f(3)f(4)f(1)f(2)f(1)f(0)20200,f(1)f(2)f(3)f(4)f(49)f(50)0×12f(49)f(50)f(1)f(2)202.法二:(特例法)由題意可設(shè)f(x)2sin,作出f(x)的部分圖象如圖所示由圖可知,f(x)的一個周期為4,所以f(1)f(2)f(3)f(50)12f(1)f(2)f(3)f(4)f(49)f(50)12×0f(1)f(2)2.(1)函數(shù)的奇偶性與對稱性的關(guān)系若函數(shù)f(x)滿足f(ax)f(ax),則
10、其函數(shù)圖象關(guān)于直線xa對稱;當a0時可以得出f(x)f(x),函數(shù)為偶函數(shù),即偶函數(shù)為特殊的線對稱函數(shù)若函數(shù)f(x)滿足f(2ax)2bf(x),則其函數(shù)圖象關(guān)于點(a,b)對稱;當a0,b0時得出f(x)f(x),函數(shù)為奇函數(shù),即奇函數(shù)為特殊的點對稱函數(shù)(2)函數(shù)的對稱性與周期性的關(guān)系若函數(shù)f(x)關(guān)于直線xa與直線xb對稱,那么函數(shù)的周期是2|ba|.若函數(shù)f(x)關(guān)于點(a,0)對稱,又關(guān)于點(b,0)對稱,那么函數(shù)的周期是2|ba|.若函數(shù)f(x)關(guān)于直線xa對稱,又關(guān)于點(b,0)對稱,那么函數(shù)的周期是4|ba|.(3)函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性的關(guān)系其中a0,上面每組三個結(jié)論中的
11、任意兩個能夠推出第三個教師備選例題(1)已知f(x)是定義在r上的偶函數(shù),且f(x1)f(x),若f(x)在1,0上單調(diào)遞減,則f(x)在1,3上是()a增函數(shù)b減函數(shù)c先增后減的函數(shù)d先減后增的函數(shù)(2)已知定義在r上的連續(xù)奇函數(shù)f(x)滿足f(x4)f(x),且在區(qū)間0,2上是增函數(shù),有下列命題:函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x4k2(kz)對稱;函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為8k6,8k2(kz);函數(shù)f(x)在區(qū)間(2 018,2 018)上恰有1 008個極值點;若關(guān)于x的方程f(x)m0在區(qū)間8,8上有根,則所有根的和可能為0或±4或±8.其中真命題的個數(shù)為()a1b
12、2c3 d4(1)d(2)c(1)根據(jù)題意,因為f(x1)f(x),所以f(x2)f(x1)f(x),所以函數(shù)f(x)的周期是2.又因為f(x)在定義域r上是偶函數(shù),在1,0上是減函數(shù),所以函數(shù)f(x)在0,1上是增函數(shù),所以函數(shù)f(x)在1,2上是減函數(shù),在2,3上是增函數(shù),所以f(x)在1,3上是先減后增的函數(shù),故選d.(2)正確,定義在r上的連續(xù)奇函數(shù)f(x)滿足f(x4)f(x),f(x4)4f(x4)f(x),即f(x8)f(x),f(x)是以8為周期的周期函數(shù),8k(kz且k0)也是其周期又f(x)為r上的連續(xù)奇函數(shù),由f(x4)f(x),即f(x)f(x4),得f(x)f(4x)
13、,函數(shù)f(x)的一條對稱軸為x2.又8k(kz且k0)是f(x)的周期,f(x)f(x8k)f(4x),函數(shù)的對稱軸為x4k2(kz且k0)綜上,函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x4k2(kz)對稱,故正確;錯誤,作圖如下:由圖可知,函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為8k6,8k2(kz),故錯誤;正確,由圖可知,f(x)在一個周期內(nèi)有兩個極值點,在區(qū)間(2 016,2 016)上有504個完整周期,有1 008個極值點,在區(qū)間(2 018,2 016和2 016,2 018)上沒有極值點,故在區(qū)間(2 018,2 018)上有1 008個極值點,正確;正確,由圖中m1,m2,m3,m4,m5五條直線可知
14、, 關(guān)于x的方程f(x)m0在區(qū)間8,8上有根,則所有根的和可能為0或±4或±8,故正確綜上所述,正確,故選c.1.(2016·全國卷)已知函數(shù)f(x)(xr)滿足f(x)2f(x),若函數(shù)y與yf(x)圖象的交點為(x1,y1),(x2,y2),(xm,ym),則 (xiyi)()a0 bmc2m d4mb函數(shù)f(x)(xr)滿足f(x)2f(x),即f(x)f(x)2,可得f(x)的圖象關(guān)于點(0,1)對稱,函數(shù)y,即y1的圖象關(guān)于點(0,1)對稱,函數(shù)y與yf(x)圖象的交點也關(guān)于(0,1)對稱,關(guān)于(0,1)對稱的兩個點的橫坐標和為0,縱坐標和為2.當交點
15、不在對稱軸上時,m為偶數(shù), (xiyi)xiyi0×2×m;當有交點在對稱軸上時,m為奇數(shù),則 (xiyi)xiyi0×02×1m.綜上, (xiyi)m.2已知定義在r上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x4)f(x),且在區(qū)間0,2上是增函數(shù),則()af(25)f(11)f(80)bf(80)f(11)f(25)cf(11)f(80)f(25)df(25)f(80)f(11)d因為f(x)滿足f(x4)f(x),所以f(x8)f(x),所以函數(shù)f(x)是以8為周期的周期函數(shù),則f(25)f(1),f(80)f(0),f(11)f(3)由f(x)是定義在r上的奇
16、函數(shù),且滿足f(x4)f(x),得f(11)f(3)f(1)f(1)因為f(x)在區(qū)間0,2上是增函數(shù),f(x)在r上是奇函數(shù),所以f(x)在區(qū)間2,2上是增函數(shù),所以f(1)f(0)f(1),即f(25)f(80)f(11)課外素養(yǎng)提升數(shù)學運算用活函數(shù)性質(zhì)中的三個結(jié)論數(shù)學運算是解決數(shù)學問題的基本手段,通過運算能夠促進學生數(shù)學思維的發(fā)展通過常見的“二維結(jié)論”解決數(shù)學問題,可優(yōu)化數(shù)學運算的過程,使學生逐步形成規(guī)范化、程序化的思維品質(zhì),養(yǎng)成一絲不茍、嚴謹求實的科學精神奇函數(shù)的最值性質(zhì)已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間d上的奇函數(shù),則對任意的xd,都有f(x)f(x)0.特別地,若奇函數(shù)f(x)在d上有最
17、值,則f(x)maxf(x)min0,且若0d,則f(0)0.【例1】設(shè)函數(shù)f(x)的最大值為m,最小值為m,則mm_.2顯然函數(shù)f(x)的定義域為r,f(x)1,設(shè)g(x),則g(x)g(x),g(x)為奇函數(shù),由奇函數(shù)圖象的對稱性知g(x)maxg(x)min0,mmg(x)1maxg(x)1min2g(x)maxg(x)min2.【素養(yǎng)提升練習】已知函數(shù)f(x)ln(3x)1,則f(lg 2)f(lg )()a1b0c1 d2d設(shè)g(x)ln(3x),易知函數(shù)的定義域為r,關(guān)于原點對稱,g(x)g(x)ln(3x)ln(3x)ln(3x)(3x)ln 10,g(x)為奇函數(shù),g(lg 2
18、)g(lg )g(lg 2)g(lg 2)0,又f(x)g(x)1,f(lg 2)f(lg )g(lg 2)1g(lg )12.抽象函數(shù)的周期性(1)如果f(xa)f(x)(a0),那么f(x)是周期函數(shù),其中一個周期t2a.(2)如果f(xa)(a0),那么f(x)是周期函數(shù),其中的一個周期t2a.(3)如果f(xa)f(x)c(a0),那么f(x)是周期函數(shù),其中的一個周期t2a.【例2】已知函數(shù)f(x)為定義在r上的奇函數(shù),當x0時,有f(x3)f(x),且當x(0,3)時,f(x)x1,則f(2 017)f(2 018)()a3b2c1 d0c因為函數(shù)f(x)為定義在r上的奇函數(shù),所以
19、f(2 017)f(2 017),因為當x0時,有f(x3)f(x),所以f(x6)f(x3)f(x),即當x0時,自變量的值每增加6,對應函數(shù)值重復出現(xiàn)一次又當x(0,3)時,f(x)x1,f(2 017)f(336×61)f(1)2,f(2 018)f(336×62)f(2)3.故f(2 017)f(2 018)f(2 017)31.【素養(yǎng)提升練習】(2019·山西八校聯(lián)考)已知f(x)是定義在r上的函數(shù),且滿足f(x2),當2x3時,f(x)x,則f_.f(x2),f(x4)f(x),ff,又2x3時,f(x)x,f,f.抽象函數(shù)的對稱性已知函數(shù)f(x)是定義在r上的函數(shù)(1)若f(ax)f(bx)恒成立,則yf(x)的圖象關(guān)于直線x對稱,特別地,若f(ax)f(ax)恒成立,則
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