2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）第3講　第2課時(shí)　簡單的三角恒等變換

1、第 2 課時(shí)簡單的三角恒等變換考點(diǎn)一三角函數(shù)式的化簡(基礎(chǔ)型)復(fù)習(xí)指導(dǎo)|三角函數(shù)式化簡的方法弦切互化，異名化同名，異角化同角，降冪或升冪在三角函數(shù)式的化簡中“次降角升”和“次升角降”是基本的規(guī)律， 根號中含有三角函數(shù)式時(shí)，一般需要升次化簡：(1)sin()cos()cos()sin()_；(2)1tan2tan21tan tan2 _【解析】(1)sin()cos()cos()sin()sin()cos()cos()sin()sin()()sin()(2)原式cos2sin2sin2cos21sin cos sin2cos2cos22sin22sin2cos2cos cos2sin sin2c

2、os cos22cos sin cos2cos cos22sin .【答案】(1)sin()(2)2sin 三角函數(shù)式的化簡要遵循“三看”原則1(2020長沙模擬)化簡：2sin（）sin 2cos22_解析：2sin（）sin 2cos222sin 2sin cos 12（1cos ）4sin （1cos ）1cos 4sin .答案：4sin 2化簡：2cos4x2cos2x122tan4xsin24x.解：原式2sin2xcos2x122sin4xcos24xcos4x12（1sin22x）2sin4xcos4x12cos22xsin22x12cos 2x.考點(diǎn)二三角函數(shù)式的求值(綜合型

3、)復(fù)習(xí)指導(dǎo)|三角函數(shù)的求值包括給角求值、給值求值、給值求角三類角度一給角求值計(jì)算2cos 102 3cos（100）1sin 10_【解析】2cos 102 3cos（100）1sin 102cos 102 3sin 101sin 10412cos 1032sin 1012sin 5cos 54cos 50cos 5sin 54cos 502cos 502 2.【答案】2 2給角求值問題的解題策略在三角函數(shù)的給角求值問題中， 已知角常常是非特殊角， 但非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系基本思路觀察所給角與特殊角之間的關(guān)系，利用和、差、倍角公式等將非特殊角的三角函數(shù)值轉(zhuǎn)化為：角度二給值求值已知，為銳角

4、，tan 43，cos()55.(1)求 cos 2的值；(2)求 tan()的值【解】(1)因?yàn)?tan 43，tan sin cos ，所以 sin 43cos .因?yàn)?sin2cos21，所以 cos2925，因此，cos 22cos21725.(2)因?yàn)?，為銳角，所以(0，)又因?yàn)?cos()55，所以 sin() 1cos2（）2 55，因此 tan()2.因?yàn)?tan 43，所以 tan 22tan 1tan2247，因此，tan()tan2()tan 2tan（）1tan 2tan（）211.給值求值問題的解題策略已知某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值解題關(guān)鍵：把“所求

5、角”用“已知角”表示當(dāng)“已知角”有兩個時(shí)， “所求角”一般表示為兩個“已知角”的和或差的形式或和或差的二倍形式；當(dāng)“已知角”有一個時(shí)， 此時(shí)應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和、 差或倍數(shù)關(guān)系，然后應(yīng)用誘導(dǎo)公式、和差公式、倍角公式求解角度三給值求角(一題多解)在平面直角坐標(biāo)系 xoy 中，銳角，的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn) o，始邊為 x軸的非負(fù)半軸，終邊與單位圓 o 的交點(diǎn)分別為 p，q.已知點(diǎn) p 的橫坐標(biāo)為2 77，點(diǎn) q 的縱坐標(biāo)為3 314，則 2的值為_【解析】法一：由已知可知 cos 2 77，sin 3 314.又，為銳角，所以 sin 217，cos 1314.因此 cos 22cos21

6、17，sin 22sin cos 4 37，所以 sin(2)4 371314173 31432.因?yàn)闉殇J角，所以 02.又 cos 20，所以 022，又為銳角，所以222，又 sin(2)32，所以 23.法二：同法一得，cos 1314，sin 217.因?yàn)?，為銳角，所以2，2 .所以 sin()sin cos cos sin 21713142 773 3142114.所以 sin()0，故0，2 ，故 cos() 1sin2（）1211425 714.又0，2 ，所以 2()(0，)所以 cos(2)cos()cos cos()sin sin()2 775 714217211412.所

7、以 23.【答案】3(1)給值求角問題的解題策略求相關(guān)角的某一個三角函數(shù)值由求得的三角函數(shù)值求角， 如果根據(jù)求得的函數(shù)值無法唯一確定角的大小， 應(yīng)根據(jù)已知角的范圍和已知角的三角函數(shù)值把所求角的大小作相對精確的估計(jì)，以排除多余的解(2)在選取函數(shù)時(shí)，遵照以下原則：已知正切函數(shù)值，選正切函數(shù)；已知正、余弦函數(shù)值，若角的范圍是0，2 ，選正、余弦函數(shù)皆可；已知正、余弦函數(shù)值，若角的范圍是(0，)，選余弦函數(shù)；已知正、余弦函數(shù)值，若角的范圍是2，2 ，選正弦函數(shù)1已知 tan4 17，且為第二象限角，若8，則 sin(2)cos 2cos(2)sin2()a35b35c45d45解析：選 dtan4

8、1tan 1tan 17，所以 tan 34，又為第二象限角，所以 cos 45，所以 sin(2)cos 2cos(2)sin 2sin(4)sin2 cos 45，故選d2.3tan 123sin 12（4cos2122）_解析：原式3sin 12cos 123sin 12（4cos2122）3sin 123cos 122sin 12cos 12（2cos2121）2 312sin 1232cos 12sin 24cos 242 3sin（1260）12sin 484 3.答案：4 33(2020湖南長郡中學(xué)模擬改編)若，為銳角，且 sin 55，sin 1010，則 cos()_，_解析

9、：因?yàn)?，為銳角，sin 55，sin 1010，所以 cos 2 55，cos3 1010，所以 cos()cos cos sin sin 2 553 101055101022.又 0，所以 cos()22，4.答案：224基礎(chǔ)題組練1計(jì)算：4tan123tan2123()a2 33b2 33c2 39d2 39解析：選 d原式232tan121tan21223tan623332 39.2若 tan(80)4sin 420，則 tan(20)的值為()a35b3 35c319d37解析：選 d由 tan(80)4sin 4204sin 602 3，得 tan(20)tan(80)60tan（8

10、0）tan 601tan（80）tan 602 3 312 3 337.故選 d3已知 cos23 13，則 sin6 cos ()a33b63c63d63解析： 選 d sin6 cos sin cos6cos sin6cos sin6 ， 而 cos2312sin26 13，則 sin6 63，所以 sin6 cos 63，故選 d4若2cos 2cos4 3sin 2，則 sin 2()a13b23c23d13解析：選 c由題意知2（cos2sin2）cos sin 3sin 2，所以 2(cos sin ) 3sin 2，則 4(1sin 2)3sin22，因此 sin 223或 si

11、n 22(舍)5 (2020湖北八校聯(lián)考)已知34， 且1cos 21cos 262， 則()a103或113b3712或4712c134或154d196或236解析：選 d因?yàn)?34，所以3222，所以 cos20，sin20，則1cos 21cos 2cos22sin22cos2sin2 2cos24 62，所以 cos24 32，所以2462k或2462k，kz，即64k或564k，kz.因?yàn)?34，所以196或236，故選 d6(2020貴州黔東南一模改編)已知 sin 3cos 10，則 tan 2_解析：因?yàn)?sin 3cos )2sin26sin cos 9cos210(sin2

12、cos2)，所以 9sin26sin cos cos20，則(3tan 1)20，即 tan 13.所以 tan 22tan 1tan234.答案：347(2020平頂山模擬)已知 sin 4532，2，若sin（）cos 2，則 tan()_解析：因?yàn)?sin 45，32，2，所以 cos 35.由sin（）cos 2， 得 sin()2cos()， 即65cos()135sin()，所以 tan()613.答案：6138tan 70cos 10( 3tan 201)等于_解析：tan 70cos 10( 3tan 201)sin 70cos 70cos 103sin 20cos 201co

13、s 20cos 10sin 203sin 20cos 20cos 20cos 102sin（2030）sin 20sin 20sin 201.答案：19已知 tan 13，cos 55，2，0，2 ，求 tan()的值，并求出的值解：由 cos 55，0，2 ，得 sin 2 55，tan 2.所以 tan()tan tan 1tan tan 1321231.因?yàn)?，0，2 ，所以232，所以54.10已知 sin4 210，2，.求：(1)cos 的值；(2)sin24 的值解：(1)sin4 210，即 sin cos4cos sin4210，化簡得 sin cos 15，又 sin2co

14、s21，由解得 cos 35或 cos 45，因?yàn)?，.所以 cos 35.(2)因?yàn)?，cos 35，所以 sin 45，則 cos 212sin2725，sin 22sin cos 2425，所以 sin24 sin 2cos4cos 2sin417 250.綜合題組練1設(shè)0，2 ，0，4 ，且 tan 1sin 2cos 2，則下列結(jié)論中正確的是()a4b4c24d24解析：選 atan 1sin 2cos 2（sin cos ）2cos2sin2cos sin cos sin 1tan 1tan tan4 .因?yàn)?，2 ，44，2 ，所以4，即4.2若 sin 255，sin()101

15、0，且4，32 ，則的值是()a74b94c54或74d54或94解析：選 a因?yàn)?，32 ，所以 22，2.又 0sin 25512，所以 256，即512，2 ，所以2，1312 ，所以 cos 2 1sin222 55.又 sin()1010，所以 cos() 1sin2（）3 1010，所以 cos()cos2()cos 2cos()sin2sin()2 553 101055101022.又512，2 ，32 ，所以1712，2，所以74，故選 a3(2020江西省五校協(xié)作體試題)若6，12 ，且 2sin2 3sin 215，則tan212 _解析： 由 2sin2 3sin 215

16、， 得 1cos 2 3sin 215， 得 cos 2 3sin 265，2cos23 65，即 cos23 35，又6，12 ，所以 230，2 ，則 tan23 43，所以 tan212 tan23 4tan23 tan41tan23 tan417.答案：174(2019高考江蘇卷)已知tan tan423，則 sin24 的值是_解析：tan tan 11tan tan （1tan ）tan 123，解得 tan 2 或 tan 13，當(dāng) tan 2 時(shí)，sin 22sin cos sin2cos22tan tan2145，cos 2cos2sin2sin2cos21tan2tan21

17、35，此時(shí) sin 2cos215，同理當(dāng) tan 13時(shí)，sin 235，cos 245，此時(shí) sin 2cos 215，所以 sin(24)22(sin 2cos 2)210.答案：2105.(應(yīng)用型)如圖，有一塊以點(diǎn) o 為圓心的半圓形空地，要在這塊空地上劃出一個內(nèi)接矩形 abcd 開辟為綠地， 使其一邊 ad 落在半圓的直徑上， 另兩點(diǎn) b， c 落在半圓的圓周上 已知半圓的半徑長為 20 m，如何選擇關(guān)于點(diǎn) o 對稱的點(diǎn) a，d 的位置，可以使矩形 abcd 的面積最大，最大值是多少？解：連接 ob，設(shè)aob，則 abobsin 20sin ，oaobcos 20cos ，且0，2 .因?yàn)?a，d 關(guān)于原點(diǎn) o 對稱，所以 ad2oa40cos .設(shè)矩形 abcd 的面積為 s，則sadab40cos 20sin 400sin 2.因?yàn)?，2 ，所以當(dāng) sin 21，即4時(shí)，smax400(m2)此時(shí) aodo10 2(m)故當(dāng)點(diǎn) a，d 到圓心 o 的距離為 10 2 m 時(shí)，矩形 abcd 的面積最大，其最大面