高三數(shù)學(xué)人教版A版數(shù)學(xué)（理）高考一輪復(fù)習(xí)教案：9.8 n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布 Word版含答案_20210103224754

1、淘寶店鋪：漫兮教育第八節(jié)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布條件概率、相互獨(dú)立事件及二項(xiàng)分布了解條件概率和兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念，理解n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型及二項(xiàng)分布，并能解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)一條件概率條件概率的定義條件概率的性質(zhì)已知b發(fā)生的條件下，a發(fā)生的概率，稱(chēng)為b發(fā)生時(shí)a發(fā)生的條件概率，記為p(a|b)當(dāng)p(b)>0時(shí)，我們有p(a|b).(其中，ab也可以記成ab)類(lèi)似地，當(dāng)p(a)>0時(shí)，a發(fā)生時(shí)b發(fā)生的條件概率為p(b|a).(1)0p(b|a)1(2)如果b和c是兩個(gè)互斥事件，則p(bc|a)p(b|a)p(c|a)易誤提醒(1)條件概率不一定不等于非條件概率若a，b相

2、互獨(dú)立，則p(b|a)p(b)(2)p(b|a)與p(a|b)易混淆為等同前者是在a發(fā)生的條件下b發(fā)生的概率，后者是在b發(fā)生的條件下a發(fā)生的概率自測(cè)練習(xí)1在100件產(chǎn)品中有95件合格品，5件不合格品，現(xiàn)從中不放回地取兩次，每次任取一件，則在第一次取到不合格品后，第二次取到不合格品的概率為_(kāi)解析：設(shè)事件a為“第一次取到不合格品”，事件b為“第二次取到不合格品”，則p(ab)，所以p(b|a).答案：知識(shí)點(diǎn)二事件的相互獨(dú)立性1定義設(shè)a，b為兩個(gè)事件，如果p(ab)p(a)p(b)，則稱(chēng)事件a與事件b相互獨(dú)立2性質(zhì)(1)若事件a與b相互獨(dú)立，則p(b|a)p(b)，p(a|b)p(a)，p(ab)p

3、(a)p(b)(2)如果事件a與b相互獨(dú)立，那么a與，與b，與也相互獨(dú)立易誤提醒易混“相互獨(dú)立”和“事件互斥”：兩事件互斥是指兩事件不可能同時(shí)發(fā)生，兩事件相互獨(dú)立是指一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒(méi)有影響，兩個(gè)事件相互獨(dú)立不一定互斥自測(cè)練習(xí)2某次知識(shí)競(jìng)賽規(guī)則如下：在主辦方預(yù)設(shè)的5個(gè)問(wèn)題中，選手若能連續(xù)正確回答出兩個(gè)問(wèn)題，即停止答題，晉級(jí)下一輪假設(shè)某選手正確回答每個(gè)問(wèn)題的概率都是0.8，且每個(gè)問(wèn)題的回答結(jié)果相互獨(dú)立則該選手恰好回答了4個(gè)問(wèn)題就晉級(jí)下一輪的概率等于_解析：依題意，該選手第2個(gè)問(wèn)題回答錯(cuò)誤，第3、第4個(gè)問(wèn)題均回答正確，第1個(gè)問(wèn)題回答正誤均有可能由相互獨(dú)立事件概率乘法，所求概

4、率p1×0.2×0.820.128.答案：0.128知識(shí)點(diǎn)三獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)二項(xiàng)分布定義在相同條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱(chēng)為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用x表示事件a發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件a發(fā)生的概率是p，此時(shí)稱(chēng)隨機(jī)變量x服從二項(xiàng)分布，記作xb(n，p)，并稱(chēng)p為成功概率計(jì)算公式ai(i1,2，n)表示第i次試驗(yàn)結(jié)果，則p(a1a2a3an)p(a1)p(a2)p(an)在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件a恰好發(fā)生k次的概率為p(xk)cpk(1p)nk(k0,1,2，n)易誤提醒易混淆二項(xiàng)分布與兩點(diǎn)分布：由二項(xiàng)分布的定義可以發(fā)現(xiàn)，兩點(diǎn)分布是一種特殊的

5、二項(xiàng)分布，即n1時(shí)的二項(xiàng)分布自測(cè)練習(xí)3小王通過(guò)英語(yǔ)聽(tīng)力測(cè)試的概率是，他連續(xù)測(cè)試3次，那么其中恰有1次獲得通過(guò)的概率是()a.b.c. d.解析：所求概率pc·1·31.答案：a4某一批棉花種子，如果每一粒發(fā)芽的概率為，那么播下3粒種子恰有2粒發(fā)芽的概率是()a. b.c. d.解析：用x表示發(fā)芽的粒數(shù)，獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)服從二項(xiàng)分布b，p(x2)c21.答案：c考點(diǎn)一條件概率|1(2015·麗江高三檢測(cè))把一枚硬幣連續(xù)拋兩次，記“第一次出現(xiàn)正面”為事件a，“第二次出現(xiàn)反面”為事件b，則p(b|a)等于()a.b.c. d.解析：由古典概型知p(a)，p(ab)，則由條件

6、概率知p(b|a).答案：a2.如圖，efgh是以o為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)接正方形將一顆豆子隨機(jī)地扔到該圓內(nèi)，用a表示事件“豆子落在正方形efgh內(nèi)”，b表示事件“豆子落在扇形ohe(陰影部分)內(nèi)”，則p(b|a)_.解：由題意可得，事件a發(fā)生的概率p(a).事件ab表示“豆子落在eoh內(nèi)”，則p(ab).故p(b|a).答案：條件概率的求法(1)定義法：先求p(a)和p(ab)，再由p(b|a)，求p(b|a)(2)基本事件法：借古典概型概率公式，先求事件a包含的基本事件數(shù)n(a)，再求事件ab所包含的基本事件數(shù)n(ab)，得p(b|a).考點(diǎn)二相互獨(dú)立事件概率|(2015·洛陽(yáng)

7、模擬)某學(xué)校舉行知識(shí)競(jìng)賽，第一輪選拔共設(shè)有1,2,3三個(gè)問(wèn)題，每位參賽者按問(wèn)題1,2,3的順序作答，競(jìng)賽規(guī)則如下：每位參賽者計(jì)分器的初始分均為10分，答對(duì)問(wèn)題1,2,3分別加1分，2分，3分，答錯(cuò)任一題減2分；每回答一題，積分器顯示累計(jì)分?jǐn)?shù)，當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)小于8分時(shí)，答題結(jié)束，淘汰出局；當(dāng)累計(jì)分?jǐn)?shù)大于或等于12分時(shí)，答題結(jié)束，進(jìn)入下一輪；當(dāng)答完三題，累計(jì)分?jǐn)?shù)仍不足12分時(shí)，答題結(jié)束，淘汰出局已知甲同學(xué)回答1,2,3三個(gè)問(wèn)題正確的概率依次為，且各題回答正確與否相互之間沒(méi)有影響(1)求甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪的概率；(2)用x表示甲同學(xué)本輪答題結(jié)束時(shí)的累計(jì)分?jǐn)?shù)，求x的分布列解(1)設(shè)事件a表示“甲同學(xué)問(wèn)題1

8、回答正確”，事件b表示“甲同學(xué)問(wèn)題2回答正確”，事件c表示“甲同學(xué)問(wèn)題3回答正確”，依題意p(a)，p(b)，p(c).記“甲同學(xué)能進(jìn)入下一輪”為事件d，則p(d)p(acabbc)p(ac)p(ab)p(bc)p(a)p()p(c)p(a)p(b)p()p(b)p(c)×××××.(2)x可能的取值是6,7,8,12,13.p(x6)p()×，p(x7)p(a)××，p(x8)p(b)××，p(x12)p(ac)××，p(x13)p(abbc)p(ab)p(bc)×

9、;××.x的分布列為x6781213p求解相互獨(dú)立條件概率問(wèn)題的三個(gè)注意點(diǎn)(1)正確分析所求事件的構(gòu)成，將其轉(zhuǎn)化為幾個(gè)彼此互斥事件的和或相互獨(dú)立事件的積，然后利用相關(guān)公式進(jìn)行計(jì)算(2)注意根據(jù)問(wèn)題情境正確判斷事件的獨(dú)立性(3)在應(yīng)用相互獨(dú)立事件的概率公式時(shí)，對(duì)含有“至多有一個(gè)發(fā)生”“至少有一個(gè)發(fā)生”的情況，可結(jié)合對(duì)立事件的概率求解1.如圖所示的電路有a，b，c三個(gè)開(kāi)關(guān)，每個(gè)開(kāi)關(guān)開(kāi)或關(guān)的概率都是，且是相互獨(dú)立的，則燈泡甲亮的概率為_(kāi)解析：設(shè)“a閉合”為事件a，“b閉合”為事件b，“c閉合”為事件c，則甲燈亮應(yīng)為事件ac，且a，b，c之間彼此獨(dú)立，且p(a)p(b)p(c)，由

10、獨(dú)立事件概率公式知p(a c)p(a)p()p(c)××.答案：考點(diǎn)三獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布|(2015·江蘇西亭中學(xué)模擬)某氣象站天氣預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確率為80%，計(jì)算(結(jié)果保留到小數(shù)點(diǎn)后第2位)(1)5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確的概率；(2)5次預(yù)報(bào)中至少有2次準(zhǔn)確的概率；(3)5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確，且其中第3次預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的概率解令x表示5次預(yù)報(bào)中預(yù)報(bào)準(zhǔn)確的次數(shù)，則xb，故其分布列為p(xk)ck5k(k0,1,2,3,4,5)(1)“5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確”的概率為p(x2)c×2×310××0.05.(2)“5次預(yù)報(bào)中至少有2次準(zhǔn)

11、確”的概率為p(x2)1p(x0)p(x1)1c×0×5c××410.000 320.006 40.99.(3)“5次預(yù)報(bào)中恰有2次準(zhǔn)確，且其中第3次預(yù)報(bào)準(zhǔn)確”的概率為c××3×0.02.利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)概率公式可以簡(jiǎn)化求概率的過(guò)程，但需要注意檢查該概率模型是否滿(mǎn)足公式pn(k)cpk(1p)nk的三個(gè)條件：(1)在一次試驗(yàn)中某事件a發(fā)生的概率是一個(gè)常數(shù)p；(2)n次試驗(yàn)不僅是在完全相同的情況下進(jìn)行的重復(fù)試驗(yàn)，而且各次試驗(yàn)的結(jié)果是相互獨(dú)立的；(3)該公式表示n次試驗(yàn)中事件a恰好發(fā)生了k次的概率2挑選空軍飛行員可以說(shuō)是“萬(wàn)里挑

12、一”，要想通過(guò)需要過(guò)五關(guān)：目測(cè)、初檢、復(fù)檢、文考(文化考試)、政審若某校甲、乙、丙三位同學(xué)都順利通過(guò)了前兩關(guān)，根據(jù)分析甲、乙、丙三位同學(xué)能通過(guò)復(fù)檢關(guān)的概率分別是0.5,0.6,0.75，能通過(guò)文考關(guān)的概率分別是0.6,0.5,0.4，由于他們平時(shí)表現(xiàn)較好，都能通過(guò)政審關(guān)，若后三關(guān)之間通過(guò)與否沒(méi)有影響(1)求甲、乙、丙三位同學(xué)中恰好有一人通過(guò)復(fù)檢的概率；(2)設(shè)只要通過(guò)后三關(guān)就可以被錄取，求錄取人數(shù)的期望解：(1)設(shè)a，b，c分別表示事件“甲、乙、丙通過(guò)復(fù)檢”，則所求概率pp(a )p( b )p( c)0.5×(10.6)×(10.75)(10.5)×0.6

13、15;(10.75)(10.5)×(10.6)×0.750.275.(2)甲被錄取的概率為p甲0.5×0.60.3，同理p乙0.6×0.50.3，p丙0.75×0.40.3.甲、乙、丙每位同學(xué)被錄取的概率均為0.3，故可看成是獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，即b(3,0.3)，e()3×0.30.9.24.混淆相互獨(dú)立事件與獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)致誤【典例】(2015·高考湖南卷)某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷(xiāo)活動(dòng)，顧客購(gòu)買(mǎi)一定金額的商品后即可抽獎(jiǎng)每次抽獎(jiǎng)都是從裝有4個(gè)紅球、6個(gè)白球的甲箱和裝有5個(gè)紅球、5個(gè)白球的乙箱中，各隨機(jī)摸出1個(gè)球，在摸出的2個(gè)球中，若都是

14、紅球，則獲一等獎(jiǎng)；若只有1個(gè)紅球，則獲二等獎(jiǎng)：若沒(méi)有紅球，則不獲獎(jiǎng)(1)求顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)的概率；(2)若某顧客有3次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，記該顧客在3次抽獎(jiǎng)中獲一等獎(jiǎng)的次數(shù)為x，求x的分布列和數(shù)學(xué)期望解(1)記事件a1從甲箱中摸出的1個(gè)球是紅球，a2從乙箱中摸出的1個(gè)球是紅球，b1顧客抽獎(jiǎng)1次獲一等獎(jiǎng)，b2顧客抽獎(jiǎng)1次獲二等獎(jiǎng)，c顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)由題意，a1與a2相互獨(dú)立，a1與a2互斥，b1與b2互斥，且b1a1a2，b2a1a2，cb1b2.因?yàn)閜(a1)，p(a2)，所以p(b1)p(a1a2)p(a1)p(a2)×，p(b2)p(a1a2)p(a1)p(a2)p(a1)p()p()

15、p(a2)p(a1)(1p(a2)(1p(a1)p(a2)××.故所求概率為p(c)p(b1b2)p(b1)p(b2).(2)顧客抽獎(jiǎng)3次可視為3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，由(1)知，顧客抽獎(jiǎng)1次獲一等獎(jiǎng)的概率為，所以xb.于是p(x0)c03，p(x1)c12，p(x2)c21，p(x3)c30.故x的分布列為x0123px的數(shù)學(xué)期望為e(x)3×.易誤點(diǎn)評(píng)(1)本題中所給出的事件較多，在求解第(1)問(wèn)時(shí)注意事件分析與表示尤其是顧客抽獎(jiǎng)1次獲二等獎(jiǎng)易表示錯(cuò)(2)對(duì)于第(2)問(wèn)中事件易與相互獨(dú)立事件混淆其實(shí)為三次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)防范措施(1)正確理解相互獨(dú)立事件與n次獨(dú)立重復(fù)試

16、驗(yàn)的定義及區(qū)別(2)審題時(shí)要學(xué)會(huì)分析事件，并準(zhǔn)確記事件與表示事件跟蹤練習(xí)(2015·高考全國(guó)卷)投籃測(cè)試中，每人投3次，至少投中2次才能通過(guò)測(cè)試已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為()a0.648b0.432c0.36 d0.312解析：由題意得所求概率pc×0.62×(10.6)c×0.630.648.答案：aa組考點(diǎn)能力演練1打靶時(shí)甲每打10次，可中靶8次；乙每打10次，可中靶7次若兩人同時(shí)射擊一個(gè)目標(biāo)，則它們都中靶的概率是()a.b.c. d.解析：甲中靶的概率為，乙中靶的概率為，兩人打靶相互獨(dú)

17、立，同時(shí)中靶的概率為×.答案：d2若某人每次射擊擊中目標(biāo)的概率均為，此人連續(xù)射擊三次，至少有兩次擊中目標(biāo)的概率為()a. b.c. d.解析：本題考查概率的知識(shí)至少有兩次擊中目標(biāo)包含僅有兩次擊中，其概率為c2；或三次都擊中，其概率為c3，根據(jù)互斥事件的概率公式可得，所求概率為pc2c3，故選a.答案：a3已知盒中裝有3只螺口燈泡與7只卡口燈泡，這些燈泡的外形與功率都相同且燈口向下放著，現(xiàn)需要一只卡口燈泡，電工師傅每次從中任取一只并不放回，則在他第1次抽到的是螺口燈泡的條件下，第2次抽到的是卡口燈泡的概率為()a.b.c. d.解析：設(shè)事件a為“第1次抽到的是螺口燈泡”，事件b為“第2

18、次抽到的是卡口燈泡”，則p(a)，p(ab)×.則所求概率為p(b|a).答案：d4設(shè)隨機(jī)變量xb，則p(x3)等于()a. b.c. d.解析：xb，p(x3)c3·3.答案：a5(2016·廣州模擬)甲、乙兩人同時(shí)報(bào)考某一所大學(xué)，甲被錄取的概率為0.6，乙被錄取的概率為0.7，兩人是否被錄取互不影響，則其中至少有一人被錄取的概率為()a0.12 b0.42c0.46 d0.88解析：因?yàn)榧?、乙兩人是否被錄取相互?dú)立，又因?yàn)樗笫录膶?duì)立事件為“兩人均未被錄取”，由對(duì)立事件和相互獨(dú)立事件概率公式知，p1(10.6)(10.7)10.120.88.答案：d6在一段

19、時(shí)間內(nèi)，甲去某地的概率是，乙去此地的概率是，假定兩人的行動(dòng)相互之間沒(méi)有影響，那么在這段時(shí)間內(nèi)至少有1人去此地的概率是_解析：由題意知，兩個(gè)人都不去此地的概率是×，至少有一個(gè)人去此地的概率是1.答案：7某大廈的一部電梯從底層出發(fā)后只能在第18,19,20層?？?，若該電梯在底層有5個(gè)乘客，且每位乘客在這三層的每一層下電梯的概率為，用表示5位乘客在第20層下電梯的人數(shù)，則p(4)_.解析：考查一位乘客是否在第20層下電梯為一次試驗(yàn)，這是5次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，故b，即有p(k)ck×5k，k0,1,2,3,4,5.故p(4)c4×1.答案：8高三畢業(yè)時(shí)，甲、乙、丙等五位同學(xué)站

20、成一排合影留念，已知甲、乙二人相鄰，則甲、丙相鄰的概率是_解析：設(shè)“甲、乙二人相鄰”為事件a，“甲、丙二人相鄰”為事件b，則所求概率為p(b|a)，由于p(b|a)，而p(a).答案：9如圖，由m到n的電路中有4個(gè)元件，分別標(biāo)為t1，t2，t3，t4，電流能通過(guò)t1，t2，t3的概率都是p，電流能通過(guò)t4的概率是0.9，電流能否通過(guò)各元件相互獨(dú)立已知t1，t2，t3中至少有一個(gè)能通過(guò)電流的概率為0.999.(1)求p；(2)求電流能在m與n之間通過(guò)的概率解：記ai表示事件“電流能通過(guò)ti”，i1,2,3,4，a表示事件“t1，t2，t3中至少有一個(gè)能通過(guò)電流”，b表示事件“電流能在m與n之間通

21、過(guò)”(1)123，a1，a2，a3相互獨(dú)立，p()p(123)p(1)p(2)p(3)(1p)3，又p()1p(a)10.9990.001，故(1p)30.001，解得p0.9.(2)ba4(4a1a3)(41a2a3)，p(b)p(a4)p(4a1a3)p(4 1a2a3)p(a4)p(4)p(a1)p(a3)p(4)p(1)p(a2)p(a3)0.90.1×0.9×0.90.1×0.1×0.9×0.90.989 1.10(2016·石家莊模擬)某市的教育研究機(jī)構(gòu)對(duì)全市高三學(xué)生進(jìn)行綜合素質(zhì)測(cè)試，隨機(jī)抽取了部分學(xué)生的成績(jī)，得到如圖所示

22、的成績(jī)頻率分布直方圖(1)估計(jì)全市學(xué)生綜合素質(zhì)成績(jī)的平均值；(2)若評(píng)定成績(jī)不低于80分為優(yōu)秀，視頻率為概率，從全市學(xué)生中任選3名學(xué)生(看作有放回的抽樣)，變量表示3名學(xué)生中成績(jī)優(yōu)秀的人數(shù)，求變量的分布列及期望e()解：(1)依題意可知55×0.1265×0.1875×0.4085×0.2295×0.0874.6，所以綜合素質(zhì)成績(jī)的平均值為74.6.(2)由頻率分布直方圖知優(yōu)秀率為10×(0.0080.022)0.3，由題意知，b，p(k)ck3k，故其分布列為0123pe()3×.b組高考題型專(zhuān)練1(2014·高

23、考陜西卷)在一塊耕地上種植一種作物，每季種植成本為1 000元，此作物的市場(chǎng)價(jià)格和這塊地上的產(chǎn)量均具有隨機(jī)性，且互不影響，其具體情況如下表：作物產(chǎn)量(kg)300500概率0.50.5作物市場(chǎng)價(jià)格(元/kg)610概率0.40.6(1)設(shè)x表示在這塊地上種植1季此作物的利潤(rùn)，求x的分布列；(2)若在這塊地上連續(xù)3季種植此作物，求這3季中至少有2季的利潤(rùn)不少于2 000元的概率解：(1)設(shè)a表示事件“作物產(chǎn)量為300 kg”，b表示事件“作物市場(chǎng)價(jià)格為6元/kg”，由題設(shè)知p(a)0.5，p(b)0.4，利潤(rùn)產(chǎn)量×市場(chǎng)價(jià)格成本，x所有可能的取值為500×101 0004 000,500×61 0002 000，300×101 0002 000,300×61 000800.p(x4 000)p()p()(10.5)×(10.4)0.3，p(x2 000)p()p(b)p(a)p()(10.5)×0.40.5×(10.4)0.5，p(x800)p(a)p(b)0.5×0.40.2，所以x的分布列為x4 0002 000800p0.30.50.2(2)設(shè)ci表示事件“第i季利潤(rùn)不少于2 000元”(i1,2,3)，由題意知c1，c2，