灰色系統(tǒng)理論及其應(yīng)用[1]

1、灰色系統(tǒng)理論及其應(yīng)用第一章 灰色系統(tǒng)的概念與基本原理1.1灰色系統(tǒng)理論的產(chǎn)生和發(fā)展動(dòng)態(tài)1982年，北荷蘭出版公司出版的系統(tǒng)與控制通訊雜志刊載了我國(guó)學(xué)者鄧聚龍教授的第一篇灰色系統(tǒng)理論論文”灰色系統(tǒng)的控制問題”，同年，華中工學(xué)院學(xué)報(bào)發(fā)表鄧聚龍教授的第一篇中文論文灰色控制系統(tǒng)，這兩篇論文的發(fā)表標(biāo)志著灰色系統(tǒng)這一學(xué)科誕生1985灰色系統(tǒng)研究會(huì)成立，灰色系統(tǒng)相關(guān)研究發(fā)展迅速。1989海洋出版社出版英文版灰色系統(tǒng)論文集，同年，英文版國(guó)際刊物灰色系統(tǒng)雜志正式創(chuàng)刊。目前，國(guó)際、國(guó)內(nèi)300多種期刊發(fā)表灰色系統(tǒng)論文，許多國(guó)際會(huì)議把灰色系統(tǒng)列為討論專題。國(guó)際著名檢索已檢索我國(guó)學(xué)者的灰色系統(tǒng)論著3000多次?；疑到y(tǒng)

2、理論已應(yīng)用范圍已拓展到工業(yè)、農(nóng)業(yè)、社會(huì)、經(jīng)濟(jì)、能源、地質(zhì)、石油等眾多科學(xué)領(lǐng)域，成功地解決了生產(chǎn)、生活和科學(xué)研究中的大量實(shí)際問題，取得了顯著成果。1.2幾種不確定方法的比較 概率統(tǒng)計(jì)，模糊數(shù)學(xué)和灰色系統(tǒng)理論是三種最常用的不確定系統(tǒng)研究方法。其研究對(duì)象都具有某種不確定性，是它們共同的特點(diǎn)。也正是研究對(duì)象在不確定性上的區(qū)別，才派生了這三種各具特色的不確定學(xué)科。模糊數(shù)學(xué)著重研究“認(rèn)識(shí)不確定”問題，其研究對(duì)象具有“內(nèi)涵明確，外延不明確”的特點(diǎn)。比如“年輕人”內(nèi)涵明確，但要你劃定一個(gè)確定的范圍，在這個(gè)范圍內(nèi)是年輕人，范圍外不是年輕人，則很難辦到了。概率統(tǒng)計(jì)研究的是“隨機(jī)不確定”現(xiàn)象，考察具有多種可能發(fā)生的

3、結(jié)果之“隨機(jī)不確定”現(xiàn)象中每一種結(jié)果發(fā)生的可能性大小。要求大樣本，并服從某種典型分布?；疑到y(tǒng)理論著重研究概率統(tǒng)計(jì)，模糊數(shù)學(xué)難以解決的“小樣本，貧信息”不確定性問題，著重研究 “外延明確，內(nèi)涵不明確”的對(duì)象。如到2050年，中國(guó)要將總?cè)丝诳刂圃?5億到16億之間，這“15億到16億之間“是一個(gè)灰概念，其外延很清楚，但要知道具體數(shù)值，則不清楚。1.3灰色系統(tǒng)理論的基本概念定義1.3.1信息完全明確的系統(tǒng)稱為白色系統(tǒng)。定義1.3.2信息未知的系統(tǒng)稱為黑色系統(tǒng)。定義1.3.3部分信息明確，部分不明確的系統(tǒng)稱為灰色系統(tǒng)。1.4灰色系統(tǒng)理論的基本原理公理1(差異信息原理)“差異“是信息，凡信息必有差異。

4、公理2（解的非唯一性原理）信息不完全，不確定的解是非唯一的。公理3（最少信息原理）灰色系統(tǒng)理論的特點(diǎn)是充分開發(fā)利用已占有的“最少信息“。公理4(認(rèn)知根據(jù)原理)信息是認(rèn)知的根據(jù)。公理5（新信息優(yōu)先原理）新信息對(duì)認(rèn)知的作用大于老信息。公理6（灰性不滅原理）：信息不完全是絕對(duì)的1.5灰色系統(tǒng)理論的主要內(nèi)容灰色系統(tǒng)理論經(jīng)過20多年的發(fā)展，現(xiàn)在已經(jīng)基本建立起一門新興學(xué)科的結(jié)構(gòu)體系。其主要內(nèi)容包括以灰色代數(shù)系統(tǒng)，灰色方程、灰色矩陣等為基礎(chǔ)的理論體系。以灰色序列生成為基礎(chǔ)的方法體系，以灰色關(guān)聯(lián)空間為依托的分析體系。以灰色模型（GM）為核心的模型體系，以系統(tǒng)分析，評(píng)估，建模，預(yù)測(cè)，決策，控制，優(yōu)化為主體的技術(shù)

5、體系。1.6灰數(shù)灰數(shù)是灰色系統(tǒng)理論的基本“單元“或”細(xì)胞“。我們把只知道大概范圍而不知道其確切值的數(shù)稱為灰數(shù)。在應(yīng)用中，灰數(shù)實(shí)際上指在某一個(gè)區(qū)間或某個(gè)一般的數(shù)集內(nèi)取值的不確定數(shù)。通常用記號(hào)“”表示灰數(shù)?；覕?shù)有以下幾類：1. 僅有下界的灰數(shù)。有下界而無上界的灰數(shù)記為，其中a是灰數(shù)的下確界，是確定的數(shù)，我們稱為的取數(shù)域，簡(jiǎn)稱的灰域。2. 僅有上界的灰數(shù)。有上界而無下界的灰數(shù)記為 ，其中是灰數(shù)的上確界，是確定的數(shù)。3. 區(qū)間灰數(shù)。既有下界又有上界的灰數(shù)稱為區(qū)間灰數(shù)，記為4. 連續(xù)灰數(shù)與離散灰數(shù)。5. 黑數(shù)與白數(shù)。當(dāng)，稱為黑數(shù)；當(dāng)且時(shí)，稱為白數(shù)。6. 本征灰數(shù)與非本征灰數(shù)。本征灰數(shù)是指不能或暫時(shí)還不能

6、找到一個(gè)白數(shù)作為其“代表”的灰數(shù)，比如一般的事前預(yù)測(cè)值，宇宙的總能量等。非本征灰數(shù)是指憑先驗(yàn)信息或某種手段，可以找到一個(gè)白數(shù)作為其代表的灰數(shù)。我們稱此白數(shù)為相應(yīng)灰數(shù)的白化值。第二章 序列算子與灰色序列生成 灰色系統(tǒng)理論的主要任務(wù)之一，是根據(jù)社會(huì)，經(jīng)濟(jì)，生態(tài)等系統(tǒng)的行為特征數(shù)據(jù)，尋找不同系統(tǒng)變量之間或某些系統(tǒng)變量自身的數(shù)學(xué)關(guān)系和變化規(guī)律?；疑到y(tǒng)理論認(rèn)為任何隨機(jī)過程都是在一定幅值范圍和一定時(shí)區(qū)內(nèi)變化的灰色量，并把隨機(jī)過程看成灰色過程?；疑到y(tǒng)理論是通過對(duì)原始數(shù)據(jù)的挖掘，整理來尋求其變化規(guī)律的，這是一種就數(shù)據(jù)尋找數(shù)據(jù)的現(xiàn)實(shí)規(guī)律的途徑，我們稱為灰色序列生成。灰色系統(tǒng)理論認(rèn)為，盡管客觀系統(tǒng)表象復(fù)雜，數(shù)

7、據(jù)離亂，但它總是有整體功能的，因此必然蘊(yùn)含某種內(nèi)在規(guī)律。關(guān)鍵在于如何選擇適當(dāng)?shù)姆绞饺ネ诰蛩屠盟?。一切灰色序列都能通過某種生成弱化其隨機(jī)性，顯現(xiàn)其規(guī)律性。例如考慮4個(gè)數(shù)據(jù)，記為，其數(shù)據(jù)見下表：序號(hào)1234符號(hào)數(shù)據(jù)121.54將上表數(shù)據(jù)作圖得上圖表明原始數(shù)據(jù)沒有明顯的規(guī)律性，其發(fā)展態(tài)勢(shì)是擺動(dòng)的。如果將原始數(shù)據(jù)作累加生成，記第K個(gè)累加生成為,并且得到數(shù)據(jù)如下表所示序號(hào)1234符號(hào)數(shù)據(jù)134.57.5上圖表明生成數(shù)列X是單調(diào)遞增數(shù)列。2.1沖擊擾動(dòng)系統(tǒng)與序列算子定義2.1.1 設(shè) 為系統(tǒng)真實(shí)行為序列，而觀察到的系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列為 其中，為沖擊擾動(dòng)項(xiàng)（干擾項(xiàng)）。X稱為沖擊擾動(dòng)序列。所以本章我們的討論

8、圍繞：由XX展開（擾動(dòng)還原真實(shí)）2.2緩沖算子公理定義2.2.1 設(shè)系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列為，1. 若，則稱X為單調(diào)增長(zhǎng)序列；2. 若1中不等號(hào)反過來成立，則稱X為單調(diào)衰減序列；3. 若，則稱X為隨機(jī)振蕩序列。4. 設(shè)，則稱M-m為序列X的振幅定義2.2.2 設(shè)為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)系列，D為作用于X的算子，X經(jīng)過算子D作用后所得序列記為 稱D為序列算子，稱XD為一階算子作用序列。序列算子的作用可以多次，相應(yīng)的，若都是序列算子，我們稱為二階算子，并稱 為二階算子作用序列，同理，為三階序列算子定義2.2.3 稱下述三公理為緩沖算子三公理，滿足緩沖算子三公理的序列算子D稱為緩沖算子，一階，二階，三階緩沖算子作用

9、序列稱為一階，二階，三階緩沖序列。公理1（不動(dòng)點(diǎn)公理） 設(shè)為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)系列，D為序列算子，則D滿足 。不動(dòng)點(diǎn)公理限定在序列算子作用下，系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列的數(shù)據(jù)保持不變。根據(jù)定性分析的結(jié)論，亦可使以前的若干個(gè)數(shù)據(jù)在序列算子作用下保持不變。例如，令公理2.（信息充分利用公理）系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列X中的每一個(gè)數(shù)據(jù)，都要充分地參與算子的作用全過程公理3（解析化、規(guī)范化公理） 任意的 ，皆可由一個(gè)統(tǒng)一的的初等解析式表達(dá)。定義2.2.4 設(shè)X為原始數(shù)據(jù)序列，D為緩沖算子，當(dāng)X分別為增長(zhǎng)序列，衰減序列或振蕩序列時(shí)：1.若緩沖序列XD比原始序列X的增長(zhǎng)速度（或衰減速度）減緩或振幅減小，則稱緩沖算子D為弱化算子。2

10、.若緩沖序列XD比原始序列X的增長(zhǎng)速度（或衰減速度）加快或振幅增大，則稱緩沖算子D為強(qiáng)化算子。2.3實(shí)用緩沖算子的構(gòu)造定理2.3.1 設(shè)原始數(shù)據(jù)序列令緩沖序列 其中；k=1,2,，n,則當(dāng)X為增長(zhǎng)序列，衰減序列或振蕩序列時(shí)，D為弱化算子，并稱為平均弱化緩沖算子（AWBO）證明：直接利用的定義，可知定理成立。推論2.3.1對(duì)于定理1中定義的弱化算子D，令，則對(duì)于增長(zhǎng)序列，衰減序列或振蕩序列時(shí)，皆為二階弱化算子。定理2.3.2設(shè)原始序列和其緩沖算子序列分別為 其中 則當(dāng)X為增長(zhǎng)序列，衰減序列或振蕩序列時(shí)，D為強(qiáng)化算子。推論2.3.2 設(shè)D為定理2中定義的強(qiáng)化算子，令 ，其中，則對(duì)于增長(zhǎng)序列，衰減序

11、列或振蕩序列皆為二階強(qiáng)化算子。定理2.3.3 原始數(shù)據(jù)序列和其緩沖算子序列分別為 其中，則當(dāng)X為增長(zhǎng)序列，衰減序列或振蕩序列時(shí)，D為弱化算子，并稱D為加權(quán)平均弱化緩沖算子（WAWBO）定理2.3.4 設(shè)為非負(fù)的系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，令其中。則當(dāng)X為增長(zhǎng)序列，衰減序列或振蕩序列時(shí)，D為弱化緩沖算子，并稱D為幾何平均弱化緩沖算子（GAWBO）定理2.3.5 設(shè)為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，各時(shí)點(diǎn)的權(quán)重向量為，則 其中。則當(dāng)X D皆為弱化緩沖算子，并稱D為加權(quán)平均弱化緩沖算子（WAWBO）。定理2.3.6 設(shè)，各時(shí)點(diǎn)的權(quán)重向量為>0， 令 其中則當(dāng)X D為弱緩沖算子，并稱D為加權(quán)幾何平均弱化緩沖算子（WGA

12、WBO）。定理2.3.7 設(shè)為系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，令其中。則當(dāng)X為增長(zhǎng)序列，衰減序列或振蕩序列時(shí)，D為強(qiáng)化緩沖算子，并稱D為平均強(qiáng)化緩沖算子（ASBO） 定理2.3.8 設(shè)為非負(fù)的系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列，令其中。則當(dāng)X為增長(zhǎng)序列，衰減序列或振蕩序列時(shí)，D為強(qiáng)化緩沖算子，并稱D為幾何平均強(qiáng)化緩沖算子（GASBO）以上列舉了部分緩沖算子，當(dāng)然，我們還可以考慮構(gòu)造其它形式的實(shí)用緩沖算子，緩沖算子不僅可以用于灰色系統(tǒng)建模，而且還可以用于其它各種模型建模。通常在建模之前根據(jù)定性分析結(jié)論對(duì)原始數(shù)據(jù)序列施以緩沖算子，淡化或消除沖擊擾動(dòng)對(duì)系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)序列的影響，往往會(huì)收到預(yù)期的效果。例2.3.1 河南省長(zhǎng)葛縣鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)

13、產(chǎn)值數(shù)據(jù)（1983年-1986年）為 其增長(zhǎng)勢(shì)頭很猛，1983-1986年每年平均遞增51.6%，尤其是1984-1986年，每年平均遞增67.7%。因此普遍認(rèn)為今后不可能一直保持這么高的發(fā)展速度。經(jīng)過認(rèn)真分析，大家認(rèn)識(shí)到增長(zhǎng)速度高主要是基數(shù)低，而基數(shù)低的原因是過去對(duì)有利與鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)發(fā)展的政策沒有用足，用活，用好。要弱化序列增長(zhǎng)趨勢(shì)，就要將鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)發(fā)展比較有利的現(xiàn)行政策因素附加到過去的年份中去，為此，引進(jìn)推論1所示的二階弱化算子，得二階緩沖序列 用XD建模預(yù)測(cè)得，1986-2000年該縣鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)每年平均遞增9.4%，這一結(jié)果是1987年得到的，與“八五”后半期和“九五”期間該縣鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)發(fā)展實(shí)際基

14、本吻合。2.4均值生成算子 在收集數(shù)據(jù)時(shí)，常常由于一些不易克服的困難導(dǎo)致數(shù)據(jù)序列出現(xiàn)空缺（也稱空穴），有些數(shù)據(jù)序列雖然完整，但由于系統(tǒng)行為在某個(gè)時(shí)點(diǎn)上發(fā)生突變而形成異常數(shù)據(jù)，剔除異常數(shù)據(jù)就會(huì)留下空穴，如何填補(bǔ)空穴，自然成為數(shù)據(jù)處理過程中首先遇到的問題，均值生成是常用的構(gòu)造新數(shù)據(jù)，填補(bǔ)原序列空穴，生成新序列的方法。定義2.4.1 設(shè)序列X在出現(xiàn)有空穴，記為，即則稱定義2.4.2設(shè)序列為k處有空穴的序列，而稱為非緊鄰均值生成數(shù)，所得序列稱為非緊鄰生成序列。定義2.4.3 設(shè)序列，若，則稱為緊鄰生成數(shù)，由緊鄰生成數(shù)構(gòu)成的序列稱為緊鄰均值生成序列。2.5序列的光滑性定義2.5.1設(shè)序列，Z是X的均值生

15、成序列： ，其中， X是某一可導(dǎo)函數(shù)的代表序列，d為n維空間的距離函數(shù)，我們將X刪去后所得的序列仍記X，若X滿足1. 當(dāng)k充分大時(shí)，2.則稱為光滑序列，為序列光滑條件。定義.稱為序列的光滑比。定義.若序列滿足. . .則稱為準(zhǔn)光滑序列。.級(jí)比生成算子定義.設(shè)序列，則稱為序列的級(jí)比。.累計(jì)生成算子與累減生成算子累加生成是使灰色過程由灰變白的一種方法，它在灰色系統(tǒng)理論中占有極其重要的地位。通過累加可以看出灰量積累過程的發(fā)展態(tài)勢(shì)，使離亂的原始數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含的積分特性或規(guī)律充分顯露出來。定義.設(shè)，為序列算子，其中。則稱為的一次累加生成算子，記為-（Accumulating Generation Opera

16、tor）,稱r階算子 為 的r 次累加生成算子，記為r-AGO,習(xí)慣上，我們記 其中定義2.7.2設(shè)，D為序列算，其中 2.8灰指數(shù)律 定義2.8.1 設(shè)序列，若對(duì)于 1. 則稱X為齊次指數(shù)序列。 2. ，稱X為齊次指數(shù)序列。定義2.8.2 設(shè)序列若1.，則稱序列X具有負(fù)的灰指數(shù)規(guī)律。2. ，則稱序列X具有正的灰指數(shù)規(guī)律。3. 則稱序列X具有絕對(duì)灰度為的灰指數(shù)規(guī)律。4.時(shí)，稱X具有準(zhǔn)指數(shù)規(guī)律。定理2.8.1設(shè)序列為非負(fù)準(zhǔn)光滑序列，則的一次累加生成序列具有準(zhǔn)指數(shù)規(guī)律。注：定理2.8.1是灰色系統(tǒng)建模的理論基礎(chǔ)第三章 灰色關(guān)聯(lián)分析 一般的抽象系統(tǒng)，如社會(huì)系統(tǒng)，經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)，農(nóng)業(yè)系統(tǒng)，生態(tài)系統(tǒng)等都包含有

17、許多種因素，多種因素共同作用的結(jié)果決定了該系統(tǒng)的發(fā)展態(tài)勢(shì)。我們常常希望知道眾多的因素中，哪些是主要因素，哪些是次要因素，哪些因素對(duì)系統(tǒng)發(fā)展影響大，哪些因素對(duì)系統(tǒng)發(fā)展影響小，哪些因素對(duì)系統(tǒng)發(fā)展起推動(dòng)作用需加強(qiáng)，哪些因素對(duì)系統(tǒng)發(fā)展起阻礙作用需抑制數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的回歸分析，方差分析，主成分分析等都是用來進(jìn)行系統(tǒng)特征分析的方法。但數(shù)理統(tǒng)計(jì)中的分析方法往往需要大量數(shù)據(jù)樣本，且服從某個(gè)典型分布?；疑P(guān)聯(lián)分析方法彌補(bǔ)了采用數(shù)理統(tǒng)計(jì)方法作系統(tǒng)分析所導(dǎo)致的缺憾.它對(duì)樣本量的多少和樣本有無規(guī)律都同樣適用,而且計(jì)算量小,十分方便,更不會(huì)出現(xiàn)量化結(jié)果與定性分析結(jié)果不符的情況?；疑P(guān)聯(lián)分析的基本思想是根據(jù)序列曲線幾何形狀的

18、相似程度來判斷其聯(lián)系是否緊密。曲線越接近，相應(yīng)序列之間關(guān)聯(lián)度就越大，反之就越小。例如某地區(qū)農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值,種植業(yè)總產(chǎn)值，畜牧業(yè)總產(chǎn)值和林業(yè)總產(chǎn)值，從1997-2002年共6年的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下：從直觀上看，與農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值曲線最相似的是種植業(yè)總產(chǎn)值曲線，而畜牧業(yè)總產(chǎn)值曲線和林果業(yè)總產(chǎn)值去與農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值曲線在幾何形狀上差別較大。因此我們可以說該地區(qū)的農(nóng)業(yè)仍然是以種植業(yè)為主的農(nóng)業(yè)，畜牧業(yè)和林果業(yè)還不夠發(fā)達(dá)。3.1灰色關(guān)聯(lián)因素和關(guān)聯(lián)算子集進(jìn)行系統(tǒng)分析，選準(zhǔn)系統(tǒng)行為特征的映射量后，還需進(jìn)一步明確影響系統(tǒng)行為的有效因素。如要作量化研究分析，則需要對(duì)系統(tǒng)行為特征映射量和各有效因素進(jìn)行處理，通過算子作用，使之化為數(shù)量級(jí)大

19、體相近的無量綱數(shù)據(jù)，并將負(fù)相關(guān)因素轉(zhuǎn)化為正相關(guān)因素。定義3.1.1設(shè)為因素的行為序列，為序列算子，且其中，則稱為初值化算子。為在初值化算子的象，簡(jiǎn)稱初值象。定義3.1.2設(shè)為因素的行為序列，為序列算子，且其中，則稱為均值化算子。為在均值化算子的象，簡(jiǎn)稱均值象。定義3.1.3設(shè)為因素的行為序列，為序列算子，且其中，則稱為區(qū)間化算子。為在區(qū)間化算子的象，簡(jiǎn)稱區(qū)間值象。定義3.1.4設(shè)，為因素的行為序列，為序列算子，且其中，則稱為逆化算子。為在逆化算子的象，簡(jiǎn)稱逆化象。定義3.1.5設(shè)，為因素的行為序列，為序列算子，且其中，則稱為逆化算子。為在倒數(shù)化算子的象，簡(jiǎn)稱倒數(shù)化象。定義3.1.6稱為灰色關(guān)聯(lián)

20、算子集。定義3.1.7 設(shè)X為系統(tǒng)因素集合，D為灰色關(guān)聯(lián)算子集，稱（X,D）為灰色關(guān)聯(lián)因子空間。3.2灰色關(guān)聯(lián)公理與灰色關(guān)聯(lián)度定義3.2.1（灰色關(guān)聯(lián)公理） 設(shè)為系統(tǒng)特征序列，且為相關(guān)因素序列，給定實(shí)數(shù)，若實(shí)數(shù)，滿足1.規(guī)范性 2.整體性 對(duì)于有 3. 偶對(duì)對(duì)稱性 ，有4.接近性 越小，越大。則稱為的灰色關(guān)聯(lián)度，其中為在點(diǎn)的關(guān)聯(lián)系數(shù)，并稱條件1.2.3.4為灰色關(guān)聯(lián)四公理。在灰色關(guān)聯(lián)公理中，規(guī)范性表明系統(tǒng)中任何兩個(gè)行為序列都不可能嚴(yán)格無關(guān)聯(lián)。整體性則體現(xiàn)了環(huán)境對(duì)灰色關(guān)聯(lián)比較的影響，環(huán)境不同，灰色關(guān)聯(lián)度也隨之變化，因此對(duì)稱性不一定滿足。偶對(duì)對(duì)稱性表明，當(dāng)灰色關(guān)聯(lián)因子集中只有兩個(gè)序列時(shí)，滿足對(duì)稱性

21、。接近性是對(duì)關(guān)聯(lián)量化的約束。定義3.2.2 設(shè)系統(tǒng)行為序列對(duì)于 令記為，則滿足灰色關(guān)聯(lián)公理，其中稱為分辨系數(shù)。稱為的灰色關(guān)聯(lián)度，記為。根據(jù)關(guān)聯(lián)度的定義，可得關(guān)聯(lián)度的計(jì)算步驟如下：1根據(jù)評(píng)價(jià)目的確定評(píng)價(jià)指標(biāo)體系，收集評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)設(shè)個(gè)數(shù)據(jù)序列形成如下矩陣：其中為指標(biāo)的個(gè)數(shù)，2確定參考數(shù)據(jù)列 參考數(shù)據(jù)列應(yīng)該是一個(gè)理想的比較標(biāo)準(zhǔn)，可以以各指標(biāo)的最優(yōu)值 （或最劣值）構(gòu)成參考數(shù)據(jù)列，也可根據(jù)評(píng)價(jià)目的選擇其它參照值記作3對(duì)指標(biāo)數(shù)據(jù)序列用關(guān)聯(lián)算子進(jìn)行無量綱化（也可以不進(jìn)行無量綱化），無量綱化后的數(shù)據(jù)序列形成如下矩陣：常用的無量綱化方法有均值化像法、初值化像法等4逐個(gè)計(jì)算每個(gè)被評(píng)價(jià)對(duì)象指標(biāo)序列與參考序列對(duì)應(yīng)元素的絕

22、對(duì)差值即 ； 5確定 與6計(jì)算關(guān)聯(lián)系數(shù) 分別計(jì)算每個(gè)比較序列與參考序列對(duì)應(yīng)元素的關(guān)聯(lián)系數(shù) 式中為分辨系數(shù)，在（0，1）內(nèi)取值，越小，關(guān)聯(lián)系數(shù)間的差異越大，區(qū)分能力越強(qiáng)通常取0.57.計(jì)算關(guān)聯(lián)度8依據(jù)各觀察對(duì)象的關(guān)聯(lián)序，得出綜合評(píng)價(jià)結(jié)果3.3灰色關(guān)聯(lián)分析的應(yīng)用舉例利用灰色關(guān)聯(lián)分析對(duì)6位教師工作狀況進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)1評(píng)價(jià)指標(biāo)包括：專業(yè)素質(zhì)、外語水平、教學(xué)工作量、科研成果、論文、著作與出勤2對(duì)原始數(shù)據(jù)經(jīng)處理后得到以下數(shù)值，見下表教師考評(píng)數(shù)據(jù)表編號(hào)專業(yè)外語教學(xué)量科研論文著作出勤8987529787573897966476888436866983889576483確定參考數(shù)據(jù)列：4計(jì)算，見下表編號(hào)專業(yè)外語教

23、學(xué)量科研論文著作出勤1012470212426102033523111563133016110423515 6依據(jù)式，取計(jì)算，得 同理得出其它各值，見表（125 ）編號(hào)i10.7781.0000.7780.6360.4670.3331.00020.6360.7780.6360.4670.6360.3680.77831.0000.6361.0000.5380.5380.4120.63640.5380.7780.7780.7780.4120.3680.53850.7780.5380.5381.0000.7780.3680.77860.7781.0000.4670.6360.5380.4120.77

24、87分別計(jì)算每個(gè)人各指標(biāo)關(guān)聯(lián)系數(shù)的均值（ 關(guān)聯(lián)度）：同理 ， 8如果不考慮各指標(biāo)權(quán)重（認(rèn)為各指標(biāo)同等重要），六個(gè)被評(píng)價(jià)對(duì)象由好到劣依次為1號(hào)（），5號(hào)（），3號(hào)（），6號(hào)（），2號(hào)（），4號(hào)（）即3.4廣義灰色關(guān)聯(lián)度命題3.4.1 設(shè)，而和分別為與的始點(diǎn)化像，即，則記 ， 及定義3.4.1 設(shè)序列，如命題3.3.1中所示，則稱為與的灰色絕對(duì)關(guān)聯(lián)度，簡(jiǎn)稱絕對(duì)關(guān)聯(lián)度。絕對(duì)關(guān)聯(lián)度滿足灰色關(guān)聯(lián)公理中規(guī)范性，偶對(duì)對(duì)稱性與接近性，但不滿足整體性。定理3.4.1 灰色絕對(duì)關(guān)聯(lián)度具有如下的性質(zhì)：1. 2. 只與與幾何形狀有關(guān)，而與其它無關(guān)，或者說，平移不改變絕對(duì)關(guān)聯(lián)度的值。3.任何兩個(gè)序列都不是絕對(duì)無關(guān)的，即

25、恒不為零。4. 與幾何形狀相似程度越大，越大。5. 當(dāng)或中任一觀測(cè)數(shù)據(jù)變化了，將隨之變化。6. 與長(zhǎng)度變化，也變化。7. 8. 3.5 灰色相對(duì)關(guān)聯(lián)度定義3.5.1設(shè)序列與長(zhǎng)度相同，且初值皆不等于零，與分別為與的初值像，則稱與的灰色絕對(duì)關(guān)聯(lián)度為與的灰色相對(duì)關(guān)聯(lián)度，簡(jiǎn)稱為相對(duì)關(guān)聯(lián)度，記為。相對(duì)關(guān)聯(lián)度表征了序列與相對(duì)與始點(diǎn)的變化速率之間的關(guān)系，與的變化速率越接近，越大，反之越小。定理3.5.1 設(shè)序列與長(zhǎng)度相同，且初值皆不等于零，若，其中為常數(shù)，則定理3.5.2灰色相對(duì)關(guān)聯(lián)度具有如下的性質(zhì)：1. 2. 只與序列與的相對(duì)于始點(diǎn)的變化率有關(guān)，而與各觀測(cè)值的大小無關(guān)，或者說，數(shù)乘不改變相對(duì)關(guān)聯(lián)度的值。3

26、.任何兩個(gè)序列的變化率都不是毫無聯(lián)系的，即恒不為零。4. 與相當(dāng)于始點(diǎn)的變化速度越接近，越大。5. 當(dāng)或中任一觀測(cè)數(shù)據(jù)變化了，將隨之變化。6. 與長(zhǎng)度變化，也變化。7. 8. 3.6 灰色綜合關(guān)聯(lián)度定義3.6.1設(shè)序列設(shè)序列與長(zhǎng)度相同，且初值皆不等于零，和分別為與的灰色絕對(duì)關(guān)聯(lián)度和相對(duì)關(guān)聯(lián)度，則稱為與的灰色綜合關(guān)聯(lián)度，簡(jiǎn)稱綜合關(guān)聯(lián)度。綜合關(guān)聯(lián)度既體現(xiàn)了折線與的相似程度，又反映了與相對(duì)于始點(diǎn)的變化速率的接近程度，是較為全面的表征序列之間聯(lián)系是否緊密的一個(gè)數(shù)量指標(biāo)。例3.6.1河南省長(zhǎng)葛縣鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)經(jīng)濟(jì)的灰色關(guān)聯(lián)分析20世紀(jì)80年代中期，長(zhǎng)葛縣鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)發(fā)展比較快，1983年到1986年，平均每年增長(zhǎng)

27、51.6%，鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)經(jīng)濟(jì)在全縣經(jīng)濟(jì)發(fā)展中占有重要地位，1986全縣鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)產(chǎn)值35388萬元，占工農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值的60%。如何有效的加快鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)的發(fā)展，是大家普遍關(guān)心的問題。據(jù)分析，鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)產(chǎn)值主要與固定資產(chǎn)，流動(dòng)資產(chǎn)，勞動(dòng)力，企業(yè)留利四個(gè)因素有關(guān)。該縣鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)產(chǎn)值及相關(guān)因素行為數(shù)據(jù)如下表：年份變量1983198419851986(產(chǎn)值)10155125882340835388(固定資產(chǎn))3799360554606982(流動(dòng)資產(chǎn))1752216022134753(勞動(dòng)力：人)24186455905768585540(企業(yè)留利)1164178831344478 單位：萬元1.求絕對(duì)關(guān)聯(lián)度。令即始點(diǎn)

28、零化像，則由得由得由；得2.求相對(duì)關(guān)聯(lián)度。先求出的初值像，由得 諸的始點(diǎn)零化像為從而有由由得由；得3.求綜合關(guān)聯(lián)度。取，由綜合關(guān)聯(lián)度得4.結(jié)果分析。由得知相對(duì)來說，為最優(yōu)因素，次之，又次之，最差。也就是說，勞動(dòng)力對(duì)鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)的產(chǎn)值影響最大，企業(yè)留利對(duì)產(chǎn)值的影響僅次于勞動(dòng)力，固定資產(chǎn)對(duì)產(chǎn)值的影響最小。這一結(jié)果與該縣的實(shí)際情況吻合。這個(gè)縣的鄉(xiāng)鎮(zhèn)企業(yè)主要是勞動(dòng)密集型產(chǎn)業(yè)，產(chǎn)值的增長(zhǎng)在很大程度上是靠增加勞動(dòng)力來實(shí)現(xiàn)的。第四章 灰色系統(tǒng)模型研究一個(gè)系統(tǒng)，一般應(yīng)首先建立系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而對(duì)系統(tǒng)的整體功能，協(xié)調(diào)功能以及系統(tǒng)各因素之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系，因果關(guān)系進(jìn)行具體的量化研究。這種研究必須以定性分析為先導(dǎo)，定量與

29、定性緊密結(jié)合，系統(tǒng)模型的建立，一般要經(jīng)過思想開發(fā)，因素分析，量化，動(dòng)態(tài)化，優(yōu)化五個(gè)步驟。即語言模型，網(wǎng)絡(luò)模型，量化模型，動(dòng)態(tài)模型，優(yōu)化模型。在建模過程中，要不斷的將下一階段中所得的結(jié)果回饋，經(jīng)過多次循環(huán)往返，使整個(gè)模型逐步趨于完善。4.1 GM(1,1)模型G表示gray（灰色），m表示model（模型），Gm（1，1）表示1階的、1個(gè)變量的模型。定義4.1.1設(shè)，則稱為GM(1,1)模型的原始形式。定義4.1.2設(shè)，其中則稱 為GM(1,1)模型的基本形式。定義4.1.3 設(shè)為非負(fù)序列：為的1-AGO（即一次累加）序列：，其中；為的緊鄰均值生成序列，其中若為參數(shù)列，且則GM(1,1)模型的最

30、小二乘估計(jì)參數(shù)列滿足定義4.1.設(shè)為非負(fù)序列，為的1-AGO（即一次累加）序列，為的緊鄰均值生成序列，則稱為（，）模型的白化方程，也叫影子方程。定理.設(shè)如定理.所述，則. 白化方程的解（也稱時(shí)間響應(yīng)函數(shù)）為. GM(1,1)模型的時(shí)間響應(yīng)函數(shù)序列為.還原值定義4.1.稱GM(1,1)模型中的參數(shù)為發(fā)展系數(shù)，為灰色作用量。反映了 與的發(fā)展態(tài)勢(shì)。一般情況下，系統(tǒng)作用量應(yīng)是外生的或者前定的，而GM(1,1)是單序列建模，只用到系統(tǒng)的行為序列（或稱輸出序列，背景值），而無外生作用序列（或稱輸入序列，驅(qū)動(dòng)量）。GM(1,1)模型中的灰色作用量是從背景值挖掘出來的數(shù)據(jù)，它反映數(shù)據(jù)變化的關(guān)系，其確定內(nèi)涵是灰

31、色的，灰色作用量是內(nèi)涵外延化的具體表現(xiàn)，它的存在，是區(qū)別灰色建模與一般輸入輸出建模的分水嶺，也是區(qū)別灰色系統(tǒng)觀點(diǎn)與灰箱觀點(diǎn)的重要標(biāo)志。定理.GM(1,1)模型可轉(zhuǎn)化為，其中.殘差（，）模型當(dāng)（，）模型的精度不符合要求時(shí)，可用殘差序列建立（，）模型，對(duì)原來的模型進(jìn)行修正，以提高精度。定義.設(shè)為原始序列，為的-序列，（，）模型的時(shí)間響應(yīng)式則稱為導(dǎo)數(shù)還原值。命題.設(shè)為導(dǎo)數(shù)還原值，為累減還原值，則由此命題知，（，）模型既不是微分方程，也不是差分方程。但當(dāng)充分小時(shí)，有。這說明了微分與差分的結(jié)果十分接近，因此（，）模型既可以看成微分方程，也可以看成差分方程。鑒于導(dǎo)數(shù)還原值與累減還原值不一致，為減少往返運(yùn)算

32、造成的誤差，往往用的殘差修正的模擬值。定義.設(shè)其中為的殘差序列。若存在，滿足.的符號(hào)一致。.，則稱為可建模殘差尾段，仍記為命題.2設(shè)為可建模殘差尾段，其-序列為的（，）的時(shí)間響應(yīng)式為則殘差尾段的模擬序列為其中定義.3若，則相應(yīng)的殘差修正時(shí)間響應(yīng)式稱為累減還原式的殘差修正模型。定義.4若，則相應(yīng)的殘差修正時(shí)間響應(yīng)式稱為導(dǎo)數(shù)還原式的殘差修正模型。例4.2.1湖北省云夢(mèng)縣油菜發(fā)病率數(shù)據(jù)為建立GM（1，1）模型，得時(shí)間響應(yīng)式為作累減還原，得檢驗(yàn)其精度：列出誤差檢驗(yàn)表如下。序號(hào)原始數(shù)據(jù)模擬數(shù)據(jù)殘差相對(duì)誤差22035.6704-15.670478.3540%34033.43036.567916.4242%42531.3308-6.330825.3232%54029.368210.6318.26.5795%64527.519217.480838.8642%73525.79019.209926.3140%82124.1719-3.171915.1043%91422.6534-8.653461.8100%101821.2307-3.230717.9483%1115.519.8974-4397428.3703%121718.6478-1.64789.6926%131517.4768-2.478616.5120% 由表可以看出，模擬誤差較大，進(jìn)一步計(jì)算殘差平方和平均相對(duì)誤差 殘差平方和