初中數(shù)學(xué)論文：“最值”問題的認(rèn)識與解決策略

1、若a>0當(dāng)x»舟時(shí)ac-b2畑二飛廠若avo當(dāng)x=- 時(shí)2a、_ 4ac -h2ymax= "4a若x冇范圍限制且不能取總時(shí)，則最值應(yīng)結(jié)合圖像分析求得。例 2 實(shí)數(shù) x、y 滿足 2x2-6x+y2=0, 解：由題意得y2=6x-2x20 0wxw3原式=x2+(-2x2+6x)+2x=-(x-4)2+160wxw3i原式放犬值=15運(yùn)用不等式或不等分析求最值(石亦)2 2 0 (a上0,b上0)則x2+y2+2x的最大值為“最值”問題的認(rèn)識與解決策略摘要：木文對代數(shù)屮最值的求法與幾何屮最值的求法進(jìn)入深入探究。充分展 示最值的豐富內(nèi)涵。通過探究一般規(guī)律，給出解決問題的

2、基本方法。提高對最值 問題有深入的理解，同時(shí)在學(xué)生及同行中營造良好的探究氛圍。關(guān)鍵詞：最值，二次函數(shù)，基本不等式，判別式，構(gòu)造圖形。數(shù)學(xué)問題中常見的一類問題是：求某個(gè)變量的最大值或最小值。在生產(chǎn)實(shí)踐 屮，我們經(jīng)常帶有“最”字問題，如投入多少、利益最高、時(shí)間最短、效益最大、 耗材最少等。我們把這類問題稱為“最值”問題。最值問題也是數(shù)學(xué)競賽中的熱 點(diǎn)問題，它內(nèi)容豐富，涉及面廣，解決靈活。下面對最值問題進(jìn)行一些探索，并 捉出具體的解決方法，供大家淫習(xí)參考。(一)代數(shù)中的最值問題1. 利用一次函數(shù)y=kx+b(mwxwn)的圖像是一條 線段，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最大(小)值 例1已知一次函數(shù)y=3x+l(

3、l wxw2),求最大值 與最小 值。解：如圖，當(dāng) x= 1 時(shí)，ymin=4,當(dāng) x=2 時(shí),ymax=7。一次函數(shù)的最大值是7,最小值是4。2. 利用配方法求最值對于二次函數(shù) y=ax2+bx+c(a#o)2a 4aa+b22上述不等式的等號當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)成立。例3正實(shí)數(shù)x、y滿足xy=l,那么4 +的最小值為x 4yt xy=lde*®a4. 建立二次方程，在方程有解的條件下，利用判別式求最值 對于方程 ax2+bx+c=o (aho)若方程有解二b24ac20 若a、b、c中只冇一個(gè)字母，則求岀該字母的范圍。例4已知x、y、z為實(shí)數(shù)，口 x+y+z=5,xy+yz+zx=3

4、。試求出z的最大 值與最小值。解：由題意得 x+y=5-z, xy=3-z(x+y)=3-z(5-z)=z -5z+3.x、y是關(guān)于t的方程t2-(5-z)t+z2-5z+3=o的兩實(shí)根 =(5-z)2-4(z2-5z+3)0hp： 3z2-1oz-13o3 故z的最大值為旦,最小值為1。35. 構(gòu)造圖形求最值用圖形求最值，在競賽數(shù)學(xué)中冇廣泛的應(yīng)用，往往冇事半功倍的效率。例5已知a、b均為正實(shí)數(shù)，且a+b=6,求jo? +4 + j/異+9的最小值。分析本題由題設(shè)中數(shù)量特征，聯(lián)想到有關(guān)兒何圖形的性質(zhì)(勾股定 理)，并構(gòu)造符合條件的圖形，通過對圖形的研究，使問題獲 得解決，這是數(shù)形結(jié)合的解題方法

5、，是重要的數(shù)學(xué)思想方法。解：設(shè) ab=2, cd=3, bc=a+b=6 月.ab丄bc, cd丄bc,連 ad 交bc于e貝ij be=a, ce=b,再過 d 作 ab的垂線交ab的延長線于f。由勾股定理：ae= j/+4 , ad=ae+de= j/+4+j 臚+ 9由矩形 bcdf 知：bf=cd=3, df=bc=6,而 af二ab+bf=5 ad= af2 +df2 = a/62 +52 = v61即(j/+4 + 加+9 )min= v6t演變已知a、b是止實(shí)數(shù)，且b-a=2,求'7&2+9-va2+4的最大值。解：在 rtaabc 中，zb-9o0, de

6、77;ab d 于d,交ac于e, ef丄bc于f, 令 ab=b, ad=a, de=2, bc=3, 則 ef=bd=b-a=2icf=bc-de=3-2=1,而 ae二 j/+4 ,ac=7/?2+9 , ce=a/£f2+cf2 =v5(如 +9 j/+4 )max= v5 。（二）幾何屮的最值問題1. 應(yīng)用幾何中的不等量性質(zhì)、定理解幾何最值問題常用以下幾何不等量性質(zhì)： 兩點(diǎn)間線段最短 點(diǎn)直線上各點(diǎn)的連線中，垂線段最短 定圓屮直徑最長 “點(diǎn)與圓的位置關(guān)系”和“直線與圓的位置關(guān)系”中的冇關(guān)定理等 以上不等量的性質(zhì)學(xué)與軸對稱變換、平移變換、旋轉(zhuǎn)變換結(jié)合，化曲 為直，使分散的條件加

7、以集屮，為性質(zhì)運(yùn)用創(chuàng)造條件。例6 a點(diǎn)是半圓上一個(gè)三等分點(diǎn)，b是鬲的小點(diǎn)，p點(diǎn)是直徑mn上一個(gè)動點(diǎn)，若（do的半徑為1,貝ij pa+pb的最小值為。解：作b關(guān)于mn的對稱點(diǎn)b',連結(jié)ab'交mn于p,連結(jié)ap、bp、 0b，ta為半圓3等分點(diǎn) zaon二60°, 乂b是喬中點(diǎn)zb0n=30°,a zn0b, =30°aza0b,二90°toa 二 ob' =1ab' =v2aap+bp=v22. 著眼于揭示問題屮變動元素的代數(shù)關(guān)系，構(gòu)造一元二次方程、二次函 數(shù)等。 具體方法：構(gòu)造二次方程，利用二次方程必定有解的代數(shù)模型，利 用判別式求幾何最值； 構(gòu)造二次函數(shù)求幾何最值。例7已知邊長為4的正方形鋼板，冇一個(gè)角銹蝕，其中af=2, bf=1, 為了合理利用這塊鋼板，將正方形eabcd內(nèi)截取一個(gè)矩形mdnp,使點(diǎn)p 在ab上，且要求面積最大，求鋼板的最大利用率。因3wyw4,而y=|不在自變量的 取值范圍內(nèi)，所以尸：不是極值點(diǎn)，解：延長 np 交 ef 于 q,設(shè) dn=x, pn=y,貝0 s=xy,由apqsabf2i >o<