創(chuàng)新型四邊形探究題（九年級）

1、課題：創(chuàng)新型四邊形探究題 范例精講【創(chuàng)新型四邊形探究題】 1. 如圖，aabc中，點 0是 ac上的一個動點，過點 0作直線 mnbc,設(shè) mn交 zbca的 平分線于 e,交 zbca的外角平分線于 f. 請猜測 0e與 of之間的關(guān)系，并說明你的理山; 2. 如圖，四邊形 abcd是正方形，ce是 zbcd的外角 zdcf的平分線. （1） （供操作用） （供操作用） （如果需要，還可以繼續(xù)操作、實驗與測量） 操作實驗：將直角尺的點角頂點 p 在邊 bc 移動（與點 b. c不重合），且一直角邊經(jīng)過 點 a,另一直角邊與射線 ce交于點 q,不斷移動 p 點， 同時測量線段 pq與線段 p

2、a的長度, 完成下列表格（精確到 0. 1cm）. pa pq 第一次 第二次 觀測測量結(jié)果，猜測它們 z間的關(guān)系： _ : 點 o運動到何處時，四邊形 aecf是矩形? 在什么條件下，四邊形 aecf是正方形？ 嗎出推理過程; 請證明你猜測的結(jié)論； 當點 p 在 bc的延長線上移動時，繼續(xù)的操作實驗，試問：屮的猜測結(jié)論還成立嗎? 若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由. 3. 已知：l7abcd的對角線交點為 0,點 e、f分別在邊 ab、cd ,分別沿 de、bf折疊四 邊形 abcd, a、c兩點恰好都落在點 o 處，且四邊形 debf為菱形（如圖）. 求證：四邊形 abcd是矩形；

3、在四邊形 abcd中，求的值. bc 4. 實驗與推理： 如下圖將一把三角尺放在正方形 abcd ,并便它的直角頂點 p 在對角線 ac 滑動，直 角的一邊始終經(jīng)過點 b,另一邊與線段 da相交于點 e,求證：pb=peo 操作：如圖，已知矩形 abcd, ad=4, dc=3o將一把三用尺放在矩形 abcd .h,并使它 的盲角頂點 p 在對和線上滑動， 玄如的一邊始終經(jīng)過 b點， 另一邊與線段 da相交于點 e。 探究： pb二 pe嗎？如果和等，請證明；如果不相等，請求岀 pb : pe的值。 設(shè)點 p 分別滑動到 pi、p2時，所對應(yīng)的三角形分別是厶 bp|e|、bp2e2,試判斷這兩

4、個三 角形是否相似，請證明你的結(jié)論。（圖、供操作，圖備用） 5. 操作：如圖 1,把正方形 cgef的對角線 ce放在正方形 abcd的邊 bc的延長線上（cg bc）,取線段 ae的中點 m。 探究：線段 md、mf的關(guān)系，并加以證明。 說明：（1）如果你經(jīng)歷反復(fù)探索，沒有找到解決問題的 方法，請你把探索過程中的某種思路寫出來（要求至少 寫 3步）;（2）在你經(jīng)歷說明（1）的過程之后， 可以從 下列、中選取一個補充或更換已知條件，完成 你的證明。 dm 的延長線交 ce于點 n,且 ad = ne； 將正方形 cgef繞點 c逆吋針旋轉(zhuǎn) 45 （如圖 2）, 其他條件不變; 在的條件下且 c

5、f=2ad 附加題： 將正方形 cgef繞點 c旋轉(zhuǎn)任意介度后 （如圖 3）,其他條件不變。探究：線段 md、 mf的關(guān)系,并加以證明。 圖 1 基礎(chǔ)訓(xùn)練【創(chuàng)新型四邊形探究題】 6. 如圖 1,已知正方形 abcd的對角線 ac、bd相交于點 o, e是 ac上一點，連結(jié) eb,過點 a作 am 丄 be,垂足為 m, am 交 bd于點 f. 求證：oe=of； 如圖 2,若點 e在 ac的延長線上， am 丄 be于點 m,交 db的延長線于點 f,其它條件 不變,則結(jié)論“oe=of”還成立嗎?如果成立，請給出證明;如果不成立，請說明理由. 綜合提高【創(chuàng)新型四邊形探究題】 7. 如圖，在

6、aabc中，zacb = 90 , bc的垂直平分線 de交 bc于 d,交 ab于 e, f 在 de ,并且 af=ce. 求證：四邊形 acef是平行四邊形； / (2)當 zb的大小滿足什么條件時，四邊形 acef是菱形？ / 并給予證明； 四邊形 acef有可能是正方形嗎？為什么？8. 如圖 1,已知 zsabc的高 ae=5, bc=, zabc=45 , f是 ae 的點，g是點 e關(guān) 3 于 f的對稱點，過點 g作 bc的平行線與 ab交于 h、與 ac交于 i,連接 if并延長交 bc 于j,連接 hf并延長交 bc于 k. 仃）請你探索并判斷四邊形 hikj 是怎樣的四邊形

7、？并對你得到的結(jié)論予以證明； 當點 f在 ae上運動并使點 h、i、 k、j 都在 aabc的三條邊上時， 求線段 af長的取值 范圍.（圖 2供思考用） 9. 已知結(jié)論：“從平行四邊形 abcd的頂點 a、b、c、 d向形外的任意肓線 mn引垂線 aa bb cc ddj 垂足分別是 a，、b c dz,如圖 1,等式 aa+ccbb+dd/成立.” 現(xiàn)將直線 mn向上移動， 使得 a點在直線一側(cè)， b、c、 d三點在直線的另一側(cè)，如圖 2,從 a、b、c、d向直線 mn 作垂線，垂足分別是 b c d；那么垂線段 aa bb cc dd2間存在什么關(guān)系？請寫出你的猜想，并加以證明. 如果將

8、 mn再向上移動， 使兩側(cè)各有兩個頂點， 如圖 3, 從a、b、c、d向直線 mn作的垂線段 aa bb ccz ddz z間存在什么關(guān)系？請寫出你的猜想，并加以證明. 圖 a 圖 圖 1 r 圖 3 探究創(chuàng)新【創(chuàng)新型四邊形探究題】 10. 如圖 1,正方形 abcd是邊長為 1的正方形,正方形 efgh的邊 he、hg與正方形 abcd 的邊ab、bc交于點 m、n,頂點在對角線 bd 上移動，設(shè)點 m、n到 bd的距離分別是 hg hn,四邊形 mbnh的面積是 s. 當頂點 h和正方形 abcd的中心 o重合時（圖 1）, s= _ , hm + hn= _ （只 要求寫出結(jié)果，不用證明

9、）； 若頂點 h為 ob的中點（圖 2）,則 s= _ , hm+hn= _ （只要求寫出結(jié) 果，不用證明）； 按要求完成下列問題： 我們準備探索：當 bh = n吋，s= _ , hm + hn= _ ； 簡要寫出你的探索過程； 在上面的橫線上填上你的結(jié)論； 證明你得到的結(jié)論。 11. 有一張矩形紙片 abcd, e、f分別是 bc、ad上的點 （但不與頂點重合） ， 若 ef將矩形 abcd分成面積相等的兩部分，設(shè) ab = a, ad=b, be=x. 求證：af=ec； 用剪刀將該紙片沿直線 ef剪開后， 再將梯形紙片 abef沿 ab對稱翻折， 平移拼接在梯 形ecdf的下方，使一底

10、邊重合，一腰落在 dc的延長線上，拼接后，下方梯形記作 eec. 當 x ： b為何值吋，直線 eze經(jīng)過原矩形的一個頂點？ 在直線 ee經(jīng)過原矩形的一個頂點的情形下， 連結(jié) be，,直線 be，與 ef是否平行？你若認 為平行，請給予證明；你若認為不平行，試探究當 a與 b有何種數(shù)量關(guān)系時，它們就垂直？ 備用圖g d c 課題：創(chuàng)新型四邊形探究題 探內(nèi)容方法【創(chuàng)新型四邊形探究題】 新課程標準特別注重對探究能力、 創(chuàng)新能力的培養(yǎng)， 因此， 探究性試題成為當前中考的一個 熱點。 范例精講【創(chuàng)新型四邊形探究題】 1.如圖，ziabc屮，點 0是 ac 的一個動點，過點 o作直線 mnbc,設(shè) mn

11、交 zbca的 平分線于 e,交 zbca的外角平分線于 f. （高新區(qū) 0506） 請猜測 oe與 of之間的關(guān)系，并說明你的理由； 點 o運動到何處時，四邊形 aecf是矩形？寫出推理過程; 在什么條件下，四邊形 aecf是正方形？ 解：猜測結(jié)論:oe=of； .mnbc, zoec=zecb, xv zoce=zecb,*.zoec=zoce, oe=oc,同理可得 oc=of, oe=of； 當點 o移動到 ac的屮點時，四邊形 aecf是矩形. 證明：由（1）知 oc=*ef 時，ac = ef,當 ao=oc 時, 四邊形 aecf是矩形；只有當 zoec=zoce=45 n 時，

12、即 zacb=90 ,且點 o為 ac的中點時，四邊形 aecf是正方形. 2.如圖，四邊形 abcd是正方形，ce是 zbcd的外角 zdcf的平分線.（高新區(qū) 0506） （1） （供操作用） （供操作用） （如果需要，還可以繼續(xù)操作、實驗與測量） 操作實驗：將宜角尺的宜角頂點 p 在邊 bc 移動（與點 b、c不重合），且一肓角邊經(jīng)過 點 a,另一直角邊與射線 ce交于點 q,不斷移動 p 點， 同時測量線段 pq與線段 pa的長度, 完成下列表格（精確到 0. 1cm）. pa pq 第一次 第二次 觀測測量結(jié)果，猜測它們之間的關(guān)系： _ ；請證明你猜測的結(jié)論; 當點 p 在 bc的延

13、長線上移動時，繼續(xù)的操作實驗，試問：屮的猜測結(jié)論還成立嗎? 若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由. 解:略；猜測結(jié)論:pa=pq；證明：如圖 1,在 ba上取 bh=bp,連結(jié) ph, a ah = pc, zahp=zpcq=135 ,且 zhap=zcpq （同為 zapb 的余角）, .ab = bc, apcq, pa=pq； b p c f 圖 1 b c p f 圖 2 當點 p 在 bc的延長線上時，如圖 2,仍有結(jié)論 pa=pq, 證明：在 ba的延長線上取 ah = cp,連結(jié) ph,則有 bh=bp, zahp=45 , 而 zpcq=45 , zahp=zpcq, 乂

14、 vad/7bp, a zdap= zcpa, zhap = zcpq, aaahpapcq, apa=pq； 3. 已知：z7abcd的對用線交點為 o,點 e、f分別在邊 ab、cd ,分別沿 de、bf折疊四 邊形abcd, a、c兩點恰好都落在點 o處，且四邊形 debf為菱形（如圖）.（江蘇金湖實 驗區(qū) 05） 求證：四邊形 abcd是矩形； 在四邊形 abcd中，求 的值. bc （1）證明： 連結(jié)oe,四邊形abcd是平行四邊 形,do=ob,四邊形 debf是菱形，.de= be, eo 丄 bd, az doe = 90 ,即 z dae=90 ,又四邊形 abcd是平行四邊

15、形，.四邊形 abcd是矩形; （2）解：四邊形 debf是菱形，zfdb=zedb, 乂由題 意知 zedb = zeda, 由（1）知四邊形 abcd是矩形，azadf=90 , 即 zfdb + zedb + zade=90 ,則 zadb=60 , 在 rtaadb +，有 ad：ab=1：巧，即叢=侖 bc 4. 實驗與推理: 如下圖將一把三如尺放在正方形 abcd ,并使它的肓也頂點 p 在對角線 ac上滑動，直 角的一邊始終經(jīng)過點 b,另一邊與線段 da相交于點 e,求證：pb=peo 操作：如圖，已知矩形 abcd, ad=4, dc=3o 將一把三角尺放在矩形 abcd .h

16、，并使它 的直角頂點 p 在對角線上滑動，直角的一邊始終經(jīng)過 b點，另一邊與線段 da相交于點 e。 探究： pb=pe嗎？如果相等，請證明；如果不相等，請求出 pb : pe的值。 設(shè)點 p 分別滑動到 pi、p2時，所對應(yīng)的三角形分別是厶 bp|e|、abp2e2，試判斷這兩個三 角形是否相似，請證明你的結(jié)論。（圖、供操作，圖備用） .zl = z2o . 1 分 乂 vam=em, z3=z4, . 2分 aaadmaenm .3分 ad=en, md=mno . 4 分 tad二 dc,dc=neo . 5分 又正方形 cgef, *. zfce=znef=45 , fc=fe, zc

17、fe=90 。 又正方形 abcd, zbcd = 90 。 azdcf=znef=45 , . 6 分 aafdcafneo . 7 分 fd=fn, z5=z6 . 8 分 vzcfe=90 ,zdfn=90 。 . 9 分 又 vdm=mn, md=mf, dm 丄 mf。1()分 證法二：如圖 7,連結(jié) ac、fd,延長 dm 交 ce于 n,連結(jié) cm 并延長交 fe于 h。 正方形 abcd, adbe。azl = z2o 1 分 5. 操作：如圖 1,把正方形 cgef的對角線 ce放在正方形 abcd的邊 bc的延長線上（cg bc）,取線段 ae的中點 m。（大連課改（）5）

18、 探究：線段 md、mf的關(guān)系，并加以證明。 說明：（1）如果你經(jīng)歷反復(fù)探索，沒有找到解決問題 的方法， 請你把探索過程中的某種思路寫出來 （要求 至少寫 3步）;（2）在你經(jīng)歷說明（1）的過程之后， 可以從下列、中選取一個補充或更換已知條 件，完成你的證明。 dm的延長線交 ce于點 n, r ad=ne； 將正方形 cgef繞點 c逆吋針旋轉(zhuǎn) 45 （如圖 2）, 其他條件不變； 在的條件下且 cf=2ad 附加題： 將正方形 cgef繞點 c旋轉(zhuǎn)任意介度后 （如圖 3）,其他條件不變。 探究： 線段 md、 mf的關(guān)系，并加以證明。 解：關(guān)系是：md=mf, md丄 mf。 證法一：如圖

19、 6,延長 dm 交 ce于 n,連結(jié) fd、fno 正方形 abcd, adbe, 圖1 圖 6 f a b c g 4、2 e n 圖 7 vam=em, z3=z4, .2 分 aaadmaenm . 3 分 amd=mno . 4 分 vac和 ce分別是正方形 abcd和 cgef的對角線， ,.zacb=zfec=45 , zfcn=45 , acef。同理可證厶 acmaehmo . 5分 *.cm=mho . 6 分 正方形 abcd和正方形 cgef, .zdcn=zcfh=90 , mc=md=mn=mf=mh。 . 7 分 點 d、c、n、f在以點 m 為圓心，md為半徑

20、的圓上， zfdn=zdfmo . 8 分 zfdn=zfcn=45 , a zfdn= zdfm=45 。 . 9 分 amd=mf, dm 丄 mf。 . 10 分 證法三：如圖 7,同證法二證出 mc=md=mn = mf=mho . 7分 zmcn=zmnc, zmcf=zmfco . zdmc= zmcn + zmnc=2zmcn, zfmh= zmcf+ zmfc=2zmcfo . 8 分 zdmc+ z fmh=2 z mcn+ zmcf=2 ( zmcn+zmcf) = 2zfce=90 . 9 分 zdmf=180 -90 =90 , adm 丄 fm。 . 10 分 思路一

21、： 止方丿呂 abcd、 cgef, ab=bc=cd=ad, zb= zbcd=zcda= z b ad = 90 cf=ef=eg=cg, zg=zgef=zefc=zfcg=90 , zfce=zfec=45 . 1 分 azdcf=zfeco 2 分 思路二： 延長 dm 交 ce于 n。 正方形 abcd、 cgef,adce,zdam=znemo 1 分 乂 vzdma=znme, am=em, aaadmaenmo 2 分 思路三： 正方形 cgef, azfce=zfec=45 。1 分 乂正方形 abcd, .-.zdcf=i8o - zdcb-zfce=45 , zdcf=

22、zfec=45 2 分 選取條件 證明：如圖 6, 正方形 abcdadbe, ad=dc, az1 = z2 . 1 分 vad=ne, z3=z4, aaadmaenmo . 2 分 .md=mno . 3 分 又 tad二 dc,*.dc=neo . 4 分 又正方形 cgef, /.fc=fe, zfce=zfen=45 。 *. zfcd=zfen=45 。 . 5 分 aafdcafneo . 6 分 afd=fn, z5 = z6, a zdfn=zcfe=90 。 . 7 分 amd=mf, md丄 mf。 . 8 分 選取條件 證明：如圖 8,延長 dm 交 fe于 n。 丁

23、 正方形 abcd、cgef, cf二 ef, ad=dc, zcfe=90 , adfe ：.z1 = z2 xvma = me, z3=z4 a aamdaemn . 2 分 amd=mn, ad=eno tad 二 dc, adc=neo . 3 分 xvfc=fe, afd=fno . 4 分 乂 v zdfn=90 , md, mf二 md。 選取條件 證明：如圖 8,延長 dm 交 fe于 n。 正方形 abcd、cgef, acf=ef, ad=dc, zcfe=90 , adfe ：.z1 = z2 . 1 分 乂 vma = me, z3=z4 /. aamdaemn . 2

24、 分 aad=en, md=mn, vcf=2ad, ef=2en, 圖 8 fd=fno xvzdfn=90 , md, mf二 md。 . 3 分 附加題： 證法一：如圖 9,延長 dm 到 n, 使 mn=md,連結(jié) fd、fn、en, 延長 en與 dc延長線交于點 ho vma=me, z1 = z2, md=mn, aaamdaemn az3=z4, ad=neo 乂 正方形 abcd、cgef, cf=ef, ad=dc, zadc = 90 , z cfe= z adc= z feg= z fcg=90 。 adc=neo 7z3=z4, adeh。a zh=zadc = 90

25、 。 vzg=90 , z5 = z6, az7=z8o t z7+ zdcf= z8+zfen=90 azdcf=zfeno vfc=fe, aadcfanefo afd=fn, zdfc=znfeo v zcfe=90 , .*.zdfn=90o。 fm 丄 md, mf=mdo 證法二：如圖 9,過點 e作 ad的平行線分別交 dm、dc的延怏線于 n、h,連結(jié) df、fno azadc=zh, z3=z4o tam 二 me, z1 = z2, a aamdaemn a dm=nm, ad=eno t 正方形 abcd、cgef, ,4 2 3 m 5分 n f a 圖 9 ad二 d

26、c, fc=fe, zadc= zfcg= zcfe=90 , cgfe。 zh=9(t , z5=znef, dc=ne。 zdcf+ z7= z5+ z7=90 azdcf=z5=znefo vfc=fe, aadcfanefo afd=fn, zdfc=znfeo v zcfe=90 , r.zdfn=90 。 fm 丄 md, mf=mdo 基礎(chǔ)訓(xùn)練【創(chuàng)新型四邊形探究題】 6. 如圖 1,已知正方形 abcd的對角線 ac、bd相交于點 o, e是 ac上一點，連結(jié) eb,過點 a作 am 丄 be,垂足為 m, am 交 bd于點 f.（山東臨沂實驗區(qū) 05） 求證：oe=of； 如

27、圖 2,若點 e在 ac的延長線上， am 丄 be于點 m,交 db的延長線于點 f,其它條件 不變,則結(jié)論“oe=of”還成立嗎?如果成立，請給出證明;如果不成立，請說明理由. 解：證明：四邊形 abcd是正方形，zboe=zaof=90 , ob=oa, 乂 vam 丄 be, zmea + z mae = zafo + z mae=90 .rtaboertaaof, .oe=of； (2)oe=of 成立. 證明：四邊形 abcd 是止方形，.,.zboe=zaof=90 , ob=oa, 又 vam 丄 be, .zf+zmbf=90 =zb + zobe, 乂 vzmbf=zobe

28、, azf=ze, .rtaboertaaof, .,.oe=of. 綜合提高【創(chuàng)新型四邊形探究題】 7. k探究條件型如圖，在 zxabc中，zacb=90 , bc的垂直平分線 de交 bc于 d,交 ab于 e, f在 de 一上，并且 af=ce. 求證：四邊形 acef是平行四邊形； 當 zb的大小滿足什么條件時，四邊形 acef是菱形? 并給予證明； 四邊形 acef有町能是正方形嗎？為什么？ 解析： 木題是四邊形的判別綜合性較強的題目， 涉及到平行四邊形、 菱形、 正方形， 證明的方法 較多，證明時應(yīng)選用較簡便的方法。 （dvdf 是 bc 的垂直平分線，adf丄 bc, db

29、= dc, a zfdb= zacb=90 , dfac, e為斜邊 ab的屮點，ce=ae=*ab, az1 = z2, azmea=zafo, 圖 1 a c 乂.efac, af=ce=ae, a z2= z1 = z3= zf, aaaceaefa, .*.ac = ef,.以邊形 acef是平行四邊形： 當 zb = 30 時，四邊形 acef是菱形。 在厶 abc 中，zacb=90 , zb = 30 , z.ac=|ab, 由可知，e是 ab的中點，ce=*ab, ac=ce, dacef是菱形； 四邊形 acef不可能是正方形。理由如下： 由知，e是 ab的屮點，ce在厶 a

30、bc的內(nèi)部，a zacebe, gihg, ackbj, 當點 f在 ae 運動吋，點 k、j 隨之在 bc 運動, 如圖2,當點f的位置使得b、j重合時， 這時 點k仍為 ce上的某一點(不與 c、e重合)，而 且點 h、i 也分別在 ab、ac , 設(shè) ef=x, vzahg=zabc=45 , ae=5, 40 be = 5=gi, ag = hg = 52x, ce=y-5, vaagiaaec,.ag ： ae=gi ： ce, .*.x=l, aaf=5x=4, 邁 vafw4. (5-2x) : 5=5 : (y-5), a 解析：對于圖 2情況，可平行移動直線 mn到mw.s，

31、使mn，在平行四邊形 abcd的形外 如圖所示。 設(shè) aa bb cc dd， 分別交 mn于 a、b、d,則 a!卍=bb=cc=dd,由已知結(jié)論得: aa+cc=bb+dd，即（aa一 aa） + （cc+cc”）= （bbbv7） + （ddz 對于圖 3悄況，町類似于上述作法，從而 得到結(jié)論： cc/-aa/=ddjbbi 探究創(chuàng)新【創(chuàng)新型四邊形探究題】 10. k旋轉(zhuǎn)問題如圖 1,正方形 abcd是邊長為 1的正方形,正方形 efgh的邊 he、hg與 正方形 abcd的邊 ab、bc交于點 m、n,頂點在對角線 bd 移動，設(shè)點 m、n到 bd的 距離分別是 hm、hn,四邊形 m

32、bnh的面積是 s. 當頂點 h和正方形 abcd的中心 o重合時（圖 1）, s= _ , hm + hn= _ （只 要求寫出結(jié)杲，不用證明）； 若頂點 h為 ob的中點（圖 2）,則$= _ , hm+hn= _ （只要求寫出結(jié) 果，不用證明）； 按要求完成下列問題： 我們準備探索：當 bh = n吋，s= _ , hm+hn= _ ； 9. k平移論證型已知結(jié)論：“從平行四邊形 abcd的頂點 mn引垂線 aa bb cc ddz,垂足分別是 a b c d 如圖 i,等式 aa+ccbb+dd/成立 現(xiàn)將肓線 mn向上移動，使得 a點在肓線一側(cè)，b、 c、d三點在直線的另一側(cè)，如圖

33、2,從 a、b、c、d向 直線 mn作垂線，垂足分別是 a，、b c d那么垂線 段 aa bb cc ddz間存在什么關(guān)系？請寫出你的 猜想，并加以證明. 如果將 mn再向上移動，使兩側(cè)各有兩個頂點，如圖 a、b、c、d向形外的任意直線 3,從 a、b、c、d向直線 mn作的垂線段 aa bb cc dd，之間存在什么關(guān)系？請寫 出你的猜想,并加以證明. +d，d），&一 aatb+ddi n c 圖 3 圖 2 簡要寫出你的探索過程； 在上而的橫線上填上你的結(jié)論； 證明你得到的結(jié)論。 11. 有一張矩形紙片 abcd, e、f分別是 bc、ad上的點 （但不與頂點重合） ， 若 ef將矩形 abcd分成面積相等的兩部分,設(shè) ab = a, ad=b, be=x.（江西 03） 求證：af=ec； 用剪刀將該紙片沿直線ef剪開后， 再將梯形紙片abef沿ab對稱翻折， 平移拼接在梯 形ecdf的卜方，使-底邊重合，一腰落在 dc 的延長線上，拼接后，下方