2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）第3節(jié) 等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和 教案 (2)

1、第三節(jié)等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和最新考綱1.理解等比數(shù)列的概念.2.掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式.3.能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等比關(guān)系，并能用等比數(shù)列的有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題.4.了解等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系1等比數(shù)列的有關(guān)概念(1)定義：如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個常數(shù)(不為零)，那么這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示，定義的表達(dá)式為q(nn*，q為非零常數(shù))(2)等比中項(xiàng)：如果a，g，b成等比數(shù)列，那么g叫做a與b的等比中項(xiàng)即g是a與b的等比中項(xiàng)a，g，b成等比數(shù)列g(shù)2ab.2等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式(1)通項(xiàng)公式

2、：ana1qn1.(2)前n項(xiàng)和公式：3等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式與函數(shù)的關(guān)系(1)ana1qn1·qn(q0，且q1)，則數(shù)列an的圖象是函數(shù)y·qx的圖象上一系列孤立的點(diǎn)(2)snqn(q1)，若設(shè)a，則snaqna，由此可知，數(shù)列sn的圖象是函數(shù)yaqxa圖象上一系列孤立的點(diǎn)4等比數(shù)列的常用性質(zhì)(1)通項(xiàng)公式的推廣：anam·qnm(n，mn*)(2)若mnpq，則amanapaq；若2spr，則apara，其中m，n，p，q，s，rn*.(3)若數(shù)列an，bn(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，則an，a，an·bn，(0)仍然是等比數(shù)列(4)在等比數(shù)

3、列an中，等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個等比數(shù)列，即an，ank，an2k，an3k，為等比數(shù)列，公比為qk.(5)當(dāng)q1時，數(shù)列sm，s2msm，s3ms2m，成等比數(shù)列(6)若數(shù)列an的項(xiàng)數(shù)為2n，則s偶s奇·q；若項(xiàng)數(shù)為2n1，則s奇a1s偶·q.1“g2ab”是“a，g，b成等比數(shù)列”的必要不充分條件2若q0，q1，則snkkqn(k0)是數(shù)列an成等比數(shù)列的充要條件，此時k.一、思考辨析(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)滿足an1qan(nn*，q為常數(shù))的數(shù)列an為等比數(shù)列()(2)三個數(shù)a，b，c成等比數(shù)列的充要條件是b2ac.()(3)如果數(shù)列an

4、為等比數(shù)列，bna2n1a2n，則數(shù)列bn也是等比數(shù)列()(4)如果數(shù)列an為等比數(shù)列，則數(shù)列l(wèi)n an是等差數(shù)列()答案(1)×(2)×(3)×(4)×二、教材改編1等比數(shù)列an中，a312，a418，則a6等于()a27b36c.d54c公比q，則a6a4q218×.2在等比數(shù)列an中，a3，s3，則a1，q的值分別為()a6， b6，c.，1 d.，1或6，d由s3a1a2a3a3(q2q11)，得q2q113，即2q2q10，解得q1或q.當(dāng)q1時，a1；當(dāng)q時，a16，故選d.373與73的等比中項(xiàng)為 ±2由g2(73)(7

5、3)4得g±2.4在9與243中間插入兩個數(shù)，使它們同這兩個數(shù)成等比數(shù)列，則這兩個數(shù)為 27,81設(shè)該數(shù)列的公比為q，由題意知，2439×q3，q327，q3.插入的兩個數(shù)分別為9×327,27×381.考點(diǎn)1等比數(shù)列的基本運(yùn)算(1)等比數(shù)列基本運(yùn)算的通法是設(shè)出首項(xiàng)a1和公比q，通過方程組求出結(jié)果，進(jìn)而解決問題，體現(xiàn)了方程的思想(2)在使用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時，應(yīng)注意判斷公比q是不是1，從而選擇不同的求和公式(1)(2019·全國卷)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列an的前4項(xiàng)和為15，且a53a34a1，則a3()a16b8c4d2(2)(201

6、8·全國卷)等比數(shù)列an中，a11，a54a3.求an的通項(xiàng)公式；記sn為an的前n項(xiàng)和若sm63，求m.(1)c(1)設(shè)正數(shù)的等比數(shù)列an的公比為q，則解得a3a1q24，故選c.(2)解設(shè)an的公比為q，由題設(shè)得anqn1.由已知得q44q2，解得q0(舍去)或q2或q2.故an(2)n1或an2n1.若an(2)n1，則sn.由sm63得(2)m188，此方程沒有正整數(shù)解若an2n1，則sn2n1.由sm63得2m64，解得m6.綜上，m6.把s4表示成s4a1a1qa1q2a1q3，不需要考慮q是不是1的情況，如本例t(1)教師備選例題已知等比數(shù)列an單調(diào)遞減，若a31，a2

7、a4，則a1()a2 b4 c. d2b設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由題意知0q1，由a31，a2a4得，整理得2q25q20，解得q或q2(舍去)，所以a14，故選b.1.已知等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為sn，若a22，s6s46a4，則a5()a4 b10 c16 d32c設(shè)公比為q(q0)，s6s4a5a66a4，因?yàn)閍22，所以2q32q412q2，即q2q60，所以q2或q3(舍去)，則a52×2316.2(2019·全國卷)記sn為等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若a11，s3，則s4 .設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則ana1qn1qn1.a11，s3，a1a2a31q

8、q2，即4q24q10，q，s4.3(2017·江蘇高考)等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，其前n項(xiàng)和為sn.已知s3，s6，則a8 .32設(shè)an的首項(xiàng)為a1，公比為q，則解得所以a8×272532.考點(diǎn)2等比數(shù)列的判定與證明判定等比數(shù)列的四種方法(1)定義法：若q(q為非零常數(shù)，nn*)，則an是等比數(shù)列(2)等比中項(xiàng)法：若數(shù)列an中，an0，且aan·an2(nn*)，則數(shù)列an是等比數(shù)列(3)通項(xiàng)公式法：若數(shù)列通項(xiàng)公式可寫成anc·qn(c，q均是不為0的常數(shù)，nn*)，則an是等比數(shù)列(4)前n項(xiàng)和公式法：若數(shù)列an的前n項(xiàng)和snkqnk(k為常數(shù)且k

9、0，q0,1)，則an是等比數(shù)列(2018·全國卷)已知數(shù)列an滿足a11，nan12(n1)an.設(shè)bn.(1)求b1，b2，b3；(2)判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列，并說明理由；(3)求an的通項(xiàng)公式解(1)由條件可得an1an.將n1代入得，a24a1，而a11，所以a24.將n2代入得，a33a2，所以a312.從而b11，b22，b34.(2)bn是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列由條件可得，即bn12bn，又b11，所以bn是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列(3)由(2)可得2n1，所以ann·2n1.本例中由bn12bn，不能判定bn是等比數(shù)列，還要驗(yàn)證b10.(201

10、6·全國卷)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和sn1an，其中0.(1)證明an是等比數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；(2)若s5，求.解(1)證明：由題意得a1s11a1，故1，a1，故a10.由sn1an，sn11an1得an1an1an，即an1(1)an.由a10，0得an0，所以.因此an是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，于是an.(2)由(1)得sn1.由s5得15，即5.解得1.教師備選例題設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，已知a11，sn14an2.(1)設(shè)bnan12an，證明：數(shù)列bn是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解(1)證明：由a11及sn14an2，有a1a2s24a12.a25，b1

11、a22a13.又，得an14an4an1(n2)，an12an2(an2an1)(n2)bnan12an，bn2bn1(n2)，故bn是首項(xiàng)b13，公比為2的等比數(shù)列(2)由(1)知bnan12an3·2n1，故是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列(n1)·，故an(3n1)·2n2.考點(diǎn)3等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用(多維探究)應(yīng)用等比數(shù)列性質(zhì)的兩個關(guān)注點(diǎn)(1)轉(zhuǎn)化意識：在等比數(shù)列中，兩項(xiàng)之積可轉(zhuǎn)化為另外兩項(xiàng)之積或某項(xiàng)的平方，這是最常用的性質(zhì)(2)化歸意識：把非等比數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列問題解決，例如有關(guān)sm，s2m，s3m的問題可利用sm，s2msm，s3ms2m成等比數(shù)列求解等

12、比數(shù)列項(xiàng)的性質(zhì)(1)若等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a10a11a9a122e5，則ln a1ln a2ln a20 .(2)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，若an0，q1，a3a520，a2a664，則s5 .(1)50(2)31(1)因?yàn)閍10a11a9a122a10a112e5，所以a10a11e5.所以ln a1ln a2ln a20ln(a1a2a20)ln(a1a20)·(a2a19)··(a10a11)ln(a10a11)1010ln(a10a11)10ln e550ln e50.(2)由等比數(shù)列的性質(zhì)，得a3a5a2a664，于是由且an0，q1，得

13、a34，a516，所以解得所以s531.本例t(2)也可以先求出a1和q，再求s5，但運(yùn)算量大，易出錯等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)(1)一題多解設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，若，則 .(2)已知等比數(shù)列an共有2n項(xiàng)，其和為240，且奇數(shù)項(xiàng)的和比偶數(shù)項(xiàng)的和大80，則公比q .(1)(2)2(1)法一：(整體代入法)因?yàn)閟6s312，所以an的公比q1.由÷，得q3，所以.法二：(性質(zhì)法)由題意知s3，s6s3，s9s6成等比數(shù)列又，即s32s6，所以2s6，s6，s9s6成等比數(shù)列s9s6s6，即s9s6.(2)由題意，得解得所以q2.對于本例t(2)，熟練掌握s偶與s奇的關(guān)系為解答本題

14、提供了保障，避免了繁瑣的運(yùn)算1.在等比數(shù)列an中，a3，a15是方程x26x20的根，則的值為()a bc. d或b設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，因?yàn)閍3，a15是方程x26x20的根，所以a3·a15a2，a3a156，所以a30，a150，則a9，所以a9，故選b.2設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，s21，s45，則s6等于()a9 b21 c25 d63b因?yàn)閟210，所以q1，由等比數(shù)列性質(zhì)得s2，s4s2，s6s4成等比數(shù)列，即1×(s65)(51)2，所以s621，故選b.考點(diǎn)4等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合計算等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合計算的策略(1)將已知條件轉(zhuǎn)化為等差與

15、等比數(shù)列的基本量之間的關(guān)系，利用方程思想和通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式求解求解時，應(yīng)“瞄準(zhǔn)目標(biāo)”，靈活應(yīng)用數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)，簡化運(yùn)算過程求解方程中注意合理選擇有關(guān)公式，正確判斷是否需要分類討論(2)一定條件下，等差數(shù)列與等比數(shù)列之間是可以相互轉(zhuǎn)化的，即an為等差數(shù)列aan(a0且a1)為等比數(shù)列；an為正項(xiàng)等比數(shù)列l(wèi)ogaan(a0且a1)為等差數(shù)列(1)已知等比數(shù)列an的各項(xiàng)都為正數(shù)，且a3，a5，a4成等差數(shù)列，則的值是()a. b.c. d.(2)(2018·北京高考)設(shè)an是等差數(shù)列，且a1ln 2，a2a35ln 2.求an的通項(xiàng)公式；求ea1ea2ean.(1)a設(shè)等比數(shù)列an的

16、公比為q，由a3，a5，a4成等差數(shù)列可得a5a3a4，即a3q2a3a3q，故q2q10，解得q或q(舍去)，由，故選a.(2)解設(shè)an的公差為d.因?yàn)閍2a35ln 2，所以2a13d5ln 2.又a1ln 2，所以dln 2.所以ana1(n1)dnln 2.因?yàn)閑a1eln 22，eanan1eln 22，所以數(shù)列ean是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列所以ea1ea2ean2×2(2n1)2n12.本例t(2)中，解答第問的關(guān)鍵是證明數(shù)列ean是等比數(shù)列1.已知an為等比數(shù)列，數(shù)列bn滿足b12，b25，且an(bn1bn)an1，則數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為()a3n1 b3n1c. d.c設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，an(bn1bn)an1，bn1bnq(常