2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（原卷版）第6節(jié) 雙曲線 教案 (2)

1、第六節(jié)雙曲線最新考綱1.了解雙曲線的實(shí)際背景，了解雙曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用.2.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程，知道其簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率、漸近線).3.理解數(shù)形結(jié)合思想.4.了解雙曲線的簡(jiǎn)單應(yīng)用1雙曲線定義平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)f1，f2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)(小于|f1f2|)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距集合pm|mf1|mf2|2a，|f1f2|2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0.(1)當(dāng)2a<|f1f2|時(shí)，p點(diǎn)的軌跡是雙曲線；(2)當(dāng)2a|f1f2|時(shí)，p點(diǎn)的軌跡是兩條

2、射線；(3)當(dāng)2a>|f1f2|時(shí)，p點(diǎn)不存在2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程1(a0，b0)1(a0，b0)圖形范圍xa或xa，yrxr，ya或ya對(duì)稱性對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸；對(duì)稱中心：原點(diǎn)頂點(diǎn)坐標(biāo)a1(a,0)，a2(a,0)a1(0，a)，a2(0，a)漸近線y±xy±x性質(zhì)離心率e(1，)實(shí)、虛軸線段a1a2叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長(zhǎng)|a1a2|2a；線段b1b2叫做雙曲線的虛軸，它的長(zhǎng)|b1b2|2b；a叫做雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)，b叫做雙曲線的虛半軸長(zhǎng)a，b，c的關(guān)系c2a2b2(ca0，cb0)3.等軸雙曲線實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線叫做等軸雙曲線，其漸近線方程為y&

3、#177;x，離心率為e.1過(guò)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)且與實(shí)軸垂直的弦的長(zhǎng)為，也叫通徑2雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為b.3若p是雙曲線右支上一點(diǎn)，f1，f2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則|pf1|minac，|pf2|minca.4與雙曲線1(a0，b0)有共同漸近線的方程可表示為t(t0)5當(dāng)已知雙曲線的漸近線方程為bx±ay0，求雙曲線方程時(shí)，可設(shè)雙曲線方程為b2x2a2y2(0)一、思考辨析(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)平面內(nèi)到點(diǎn)f1(0,4)，f2(0，4)距離之差的絕對(duì)值等于8的點(diǎn)的軌跡是雙曲線()(2)方程1(mn>0)表示焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線()(3)雙

4、曲線(m>0，n>0，0)的漸近線方程是0，即±0.()(4)等軸雙曲線的漸近線互相垂直，離心率等于.()答案(1)×(2)×(3)(4)二、教材改編1雙曲線1的焦距為()a5b.c2d1c由雙曲線1，易知c2325，所以c，所以雙曲線1的焦距為2.2以橢圓1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線方程為()ax21 b.y21cx21 d.1a設(shè)要求的雙曲線方程為1(a0，b0)，由橢圓1，得橢圓焦點(diǎn)為(±1,0)，在x軸上的頂點(diǎn)為(±2,0)所以雙曲線的頂點(diǎn)為(±1,0)，焦點(diǎn)為(±2,0)所以a1，c2，所以b2c

5、2a23，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x21.3已知雙曲線1(a>0)的離心率為2，則a()a2 b. c. d1d依題意，e2，2a，則a21，a1.4經(jīng)過(guò)點(diǎn)a(5，3)，且對(duì)稱軸都在坐標(biāo)軸上的等軸雙曲線方程為 1設(shè)雙曲線的方程為x2y2，把點(diǎn)a(5，3)代入，得16，故所求方程為1.考點(diǎn)1雙曲線的定義及應(yīng)用雙曲線定義的兩個(gè)應(yīng)用(1)判定平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)的軌跡是否為雙曲線，進(jìn)而根據(jù)要求可求出雙曲線方程(2)在“焦點(diǎn)三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，結(jié)合|pf1|pf2|2a，運(yùn)用平方的方法，建立與|pf1|·|pf2|的關(guān)系(1)設(shè)p是雙曲線1上一點(diǎn)，f1，f2分別是雙曲線的

6、左、右焦點(diǎn)，若|pf1|9，則|pf2|等于()a1b17c1或17 d以上均不對(duì)(2)已知?jiǎng)訄Am與圓c1：(x4)2y22外切，與圓c2：(x4)2y22內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心m的軌跡方程為()a.1(x) b.1(x)c.1(x) d.1(x)(3)已知f1，f2為雙曲線c：x2y21的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)p在c上，f1pf260°，則|pf1|·|pf2|等于()a2b4 c6d8(1)b(2)a(3)b(1)根據(jù)雙曲線的定義得|pf1|pf2|8|pf2|1或17.又|pf2|ca2，故|pf2|17，故選b.(2)設(shè)動(dòng)圓的半徑為r，由題意可得|mc1|r，|mc2|r，所以|

7、mc1|mc2|2，故由雙曲線的定義可知?jiǎng)狱c(diǎn)m在以c1(4,0)，c2(4,0)為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為2a2的雙曲線的右支上，即a，c4b216214，故動(dòng)圓圓心m的軌跡方程為1(x)，故選a.(3)由雙曲線的方程得a1，c，由雙曲線的定義得|pf1|pf2|2.在pf1f2中，由余弦定理得|f1f2|2|pf1|2|pf2|22|pf1|·|pf2|cos 60°，即(2)2|pf1|2|pf2|2|pf1|·|pf2|(|pf1|pf2|)2|pf1|·|pf2|22|pf1|·|pf2|，解得|pf1|·|pf2|4，故選b.母題探究

8、1本例(3)中，若將條件“f1pf260°”改為|pf1|2|pf2|，試求cosf1pf2的值解根據(jù)雙曲線的定義知，|pf1|pf2|pf2|2，則|pf1|2|pf2|4，又|f1f2|2cosf1pf2.2本例(3)中，若將條件“f1pf260°”，改為·0，則f1pf2的面積是多少？解不妨設(shè)點(diǎn)p在雙曲線的右支上則|pf1|pf2|2a2，由·0，得.在f1pf2中，|pf1|2|pf2|2|f1f2|2，即(|pf1|pf2|)22|pf1|pf2|8，|pf1|pf2|2.sf1pf2|pf1|pf2|1.(1)求雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離時(shí)，要

9、注意取舍，如本例t(1)；(2)利用定義求雙曲線方程時(shí)，要注意所求是雙曲線一支，還是整個(gè)雙曲線，如本例t(2)1.已知點(diǎn)f1(3,0)和f2(3,0)，動(dòng)點(diǎn)p到f1，f2的距離之差為4，則點(diǎn)p的軌跡方程為()a.1(y0)b.1(x0)c.1(y0) d.1(x0)b由題設(shè)知點(diǎn)p的軌跡方程是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的右支，設(shè)其方程為1(x0，a0，b0)，由題設(shè)知c3，a2，b2945，所以點(diǎn)p的軌跡方程為1(x0)2已知雙曲線x21的兩個(gè)焦點(diǎn)為f1，f2，p為雙曲線右支上一點(diǎn)若|pf1|pf2|，則f1pf2的面積為()a48b24c12d6b由雙曲線的定義可得|pf1|pf2|pf2|2a2，

10、解得|pf2|6，故|pf1|8，又|f1f2|10，由勾股定理可知三角形pf1f2為直角三角形，因此sf1pf2|pf1|·|pf2|24.3若雙曲線1的左焦點(diǎn)為f，點(diǎn)p是雙曲線右支上的動(dòng)點(diǎn)，a(1,4)，則|pf|pa|的最小值是()a8 b9 c10 d12b由題意知，雙曲線1的左焦點(diǎn)f的坐標(biāo)為(4,0)，設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為b，則b(4,0)，由雙曲線的定義知|pf|pa|4|pb|pa|4|ab|4459，當(dāng)且僅當(dāng)a，p，b三點(diǎn)共線且p在a，b之間時(shí)取等號(hào)考點(diǎn)2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求雙曲線方程的思路(1)如果已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，且確定了焦點(diǎn)在x軸上或y軸上，則設(shè)出相應(yīng)形式的標(biāo)

11、準(zhǔn)方程，然后根據(jù)條件確定關(guān)于a，b，c的方程組，解出a2，b2，從而寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程(求得的方程可能是一個(gè)，也有可能是兩個(gè)，注意合理取舍，但不要漏解)(2)當(dāng)焦點(diǎn)位置不確定時(shí)，有兩種方法來(lái)解決：一種是分類討論，注意考慮要全面；另一種是設(shè)雙曲線的一般方程為mx2ny21(mn0)求解(1)(2019·荊門模擬)方程1表示雙曲線的一個(gè)充分不必要條件是()a3m0 b1m3c3m4 d2m3(2)一題多解已知雙曲線過(guò)點(diǎn)(2,3)，漸近線方程為y±x，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是()a.1 b.1cx21 d.1(3)(2018·天津高考)已知雙曲線1(a>0，b&g

12、t;0)的離心率為2，過(guò)右焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線與雙曲線交于a，b兩點(diǎn)設(shè)a，b到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為d1和d2，且d1d26，則雙曲線的方程為()a.1 b.1c.1 d.1(1)b(2)c(3)c(1)方程1表示雙曲線，則(m2)(m3)0，解得2m3.要求充分不必要條件，選項(xiàng)范圍是2m3的真子集，只有選項(xiàng)b符合題意故選b.(2)法一：當(dāng)其中的一條漸近線方程yx中的x2時(shí)，y23，又點(diǎn)(2,3)在第一象限，所以雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是1(a0，b0)，由題意得解得所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x21，故選c.法二：因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為y±x，即±

13、;x，所以可設(shè)雙曲線的方程是x2(0)，將點(diǎn)(2,3)代入，得1，所以該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x21，故選c.(3)如圖，不妨設(shè)a在b的上方，則a，b.其中的一條漸近線為bxay0，則d1d22b6，b3. 又由e2，知a2b24a2，a.雙曲線的方程為1. 故選c.已知雙曲線的漸近線方程，用漸近線方程設(shè)出雙曲線方程，運(yùn)算過(guò)程較為簡(jiǎn)單教師備選例題設(shè)雙曲線與橢圓1有共同的焦點(diǎn)，且與橢圓相交，其中一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)為(，4)，則此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 1 法一：橢圓1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0，±3)，設(shè)雙曲線方程為1(a>0，b>0)，根據(jù)雙曲線的定義知2a|4，故a2.又b232225，故所

14、求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.法二：橢圓1的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0，±3)設(shè)雙曲線方程為1(a>0，b>0)，則a2b29，又點(diǎn)(，4)在雙曲線上，所以1，聯(lián)立解得a24，b25.故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為1.1.(2019·湘潭模擬)以雙曲線1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，且漸近線互相垂直的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()ax2y21 b.y21c.1 d.1d由題可知，所求雙曲線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(±3,0)又因?yàn)殡p曲線的漸近線互相垂直，所以ab3，則該雙曲線的方程為1.故選d.2已知雙曲線1(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)分別為f1，f2，點(diǎn)p在雙曲線的右支上，若|pf1|pf2|4b，且雙曲線的焦

15、距為2，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為()a.y21 b.1cx21 d.1a由題意可得解得則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.3經(jīng)過(guò)點(diǎn)p(3,2)，q(6，7)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 1設(shè)雙曲線方程為mx2ny21(mn0)，因?yàn)樗箅p曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)p(3,2)，q(6，7)，所以解得故所求雙曲線方程為1.考點(diǎn)3雙曲線的幾何性質(zhì)求雙曲線的離心率(或其范圍)求雙曲線的離心率或其范圍的方法(1)求a，b，c的值，由1直接求e.(2)列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助于b2c2a2消去b，然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程(或不等式)求解(1)(2019·全國(guó)卷)設(shè)f為雙曲線c：1(a0，b0)的右焦點(diǎn)，o

16、為坐標(biāo)原點(diǎn)，以of為直徑的圓與圓x2y2a2交于p，q兩點(diǎn)若|pq|of|，則c的離心率為()a. b. c2 d.(2)已知雙曲線1(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)分別為f1，f2，點(diǎn)p在雙曲線的右支上，且|pf1|4|pf2|，則雙曲線離心率的取值范圍是()a. b.c(1,2 d.(1)a(2)b(1)令雙曲線c：1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)f的坐標(biāo)為(c,0)，則c.如圖所示，由圓的對(duì)稱性及條件|pq|of|可知，pq是以of為直徑的圓的直徑，且pqof.設(shè)垂足為m，連接op，則|op|a，|om|mp|，由|om|2|mp|2|op|2，得a2，即離心率e.故選a.(2)由雙曲

17、線的定義可知|pf1|pf2|2a，又|pf1|4|pf2|，所以|pf2|，由雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最短距離為ca，可得ca，解得，即e，又雙曲線的離心率e1，故該雙曲線離心率的取值范圍為，故選b.本例t(2)利用雙曲線右支上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離不小于ca建立不等式求解，同時(shí)應(yīng)注意雙曲線的離心率e1.教師備選例題(2019·沈陽(yáng)模擬)設(shè)f1，f2分別為雙曲線c：1(a0，b0)的左、右焦點(diǎn)，p是雙曲線c上一點(diǎn)，若|pf1|pf2|4a，且pf1f2的最小內(nèi)角的正弦值為，則雙曲線c的離心率為()a2b3c.d.c不妨設(shè)p是雙曲線右支上的一點(diǎn)，由雙曲線的定義可知|pf1|pf2|2a，|f

18、1f2|2c，所以|pf1|3a，|pf2|a.pf1f2的最小內(nèi)角的正弦值為，其余弦值為，因?yàn)閨pf1|pf2|，|f1f2|pf2|，所以pf1f2為pf1f2的最小內(nèi)角由余弦定理可得|pf2|2|f1f2|2|pf1|22|f1f2|pf1|cospf1f2，即a24c29a22×2c×3a×，所以離心率e.故選c.與漸近線有關(guān)的問(wèn)題與漸近線有關(guān)的結(jié)論(1)雙曲線1(a0，b0)的漸近線方程為y±x，雙曲線1(a0，b0)的漸近線方程為y±x.(2)e21e21.(1)(2019·武漢模擬)已知雙曲線c：1(m0，n0)的離心率

19、與橢圓1的離心率互為倒數(shù)，則雙曲線c的漸近線方程為()a4x±3y0b3x±4y0c4x±3y0或3x±4y0d4x±5y0或5x±4y0(2)(2019·張掖模擬)已知雙曲線c：1(a0，b0)的頂點(diǎn)到其一條漸近線的距離為1，焦點(diǎn)到其一條漸近線的距離為，則其一條漸近線的傾斜角為()a30° b45° c60° d120°(1)a(2)b(1)由題意知，橢圓中a5，b4，橢圓的離心率e，雙曲線的離心率為，雙曲線的漸近線方程為y±x±x，即4x±3y0.故選a.(2)設(shè)雙曲線1的右頂點(diǎn)a(a,0)，右焦點(diǎn)f2(c,0)到漸近線yx的距離分別為1和，則有即.則1211，即1.設(shè)漸近線yx的傾斜角為，則tan 1.所以45°，故選b.雙曲線中，焦點(diǎn)到一條漸近線的距離等于b是常用的結(jié)論教師備選例題(2019&