高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)總教案：10.5　直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)

1、10.5直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)典例精析題型一面面垂直的判定與性質(zhì)【例1】 平面平面，a，b，ab與平面、所成的角分別為和，求ab與，的交線l所成的角的大小.【解析】過a、b分別作aal，bbl，垂足分別為a、b，則aa，bb.連接ab，ab，則aba，bab.設(shè)ab1，則aa，ab，bb，所以ab.過b作bcl且bc，連接ac、ac，則abc為ab與l所成的角，來源:數(shù)理化網(wǎng)因為abbc，且bbab，所以abbc為矩形，所以acbc.又因為aabc，aaaca，所以bc平面aac，所以acbc.在rtacb中，cosabc，所以abc，即ab與l所成的角為.【點(diǎn)撥】此題關(guān)鍵是根據(jù)面面垂直

2、的性質(zhì)，構(gòu)造直角三角形.【變式訓(xùn)練1】如圖一所示，已知四棱柱abcda1b1c1d1的底面為正方形，o1、o分別為上、下底面的中心，且a1在底面abcd內(nèi)的射影是o.求證：平面o1dc平面abcd.【證明】要證明平面o1dc與平面abcd垂直，考慮到圖中已知平面abcd的垂線a1o，因而設(shè)法在平面o1dc中找出a1o的平行線.如圖二所示，連接ac，bd，a1c1，則o為ac、bd的交點(diǎn)，o1為a1c1、b1d1的交點(diǎn).由棱柱的性質(zhì)知：a1o1oc，且a1o1oc，所以四邊形a1oco1為平行四邊形，所以a1oo1c.又a1o平面abcd，所以o1c平面abcd，又o1c平面o1dc，所以平面o

3、1dc平面abcd.題型二線面垂直的判定與性質(zhì)【例2】 rtabc所在平面外一點(diǎn)s滿足sasbsc，d為斜邊ac的中點(diǎn).(1)求證：sd平面abc；(2)若abbc，求證：bd平面sac.【證明】(1)設(shè)e是ab的中點(diǎn).因為d是ac的中點(diǎn).所以debc，又bcab，所以deab.因為sasb，所以seab，又sedee，所以ab平面sde，而sd平面sde，所以absd，又sasc，d為ac的中點(diǎn)，所以sdac.而abaca，所以sd平面abc.(2)若abbc，則bdac.又由(1)知，sd平面abc，所以sdbd，而sdacd，來源:所以bd平面sac.【點(diǎn)撥】證明直線與平面垂直，關(guān)鍵在于

4、證明直線與平面內(nèi)的兩相交直線垂直.【變式訓(xùn)練2】如圖，在斜三棱柱abca1b1c1中，bac90°，bc1ac，則c1在上底面abc上的射影h必在()a.直線ab上b.直線bc上c.直線ac上d.abc內(nèi)部【解析】選a.題型三折疊問題【例3】 在四邊形abcd中，adbc，adab，bcd45°，bad90°，將abd沿對角線bd折起，記折起后點(diǎn)a的位置為p，且使平面pbd平面bcd，如圖所示：(1)求證：平面pbc平面pdc；(2)在折疊前的四邊形abcd中，作aebd于e，過e作efbc于f，求折疊后的圖形中pfe的正切值.【解析】(1)折疊前，在四邊形abc

5、d中，adbc，adab，bad90°，所以abd為等腰直角三角形.又因為bcd45°，所以bdc90°.折疊后，因為平面pbd平面bcd，cdbd，所以cd平面pbd，又因為pb平面pbd，所以cdpb.又因為pbpd，pdcdd，所以pb平面pdc，又pb平面pbc，故平面pbc平面pdc.(2)aebd，efbc，折疊后的這些位置關(guān)系不變，所以pebd，又平面pbd平面bcd，所以pe平面bcd，所以peef，設(shè)abada，則bda，所以peabe，在rtbef中，efbe·sin 45°a×a.在rtpfe中，tanpfe.【

6、點(diǎn)撥】翻折與展開是一個問題的兩個方面，不論是翻折還是展開，均要注意平面圖形與立體圖形各個對應(yīng)元素的相對變化，元素間的大小與位置關(guān)系.一般而言，在翻折過程中， 處在同一個半平面內(nèi)的元素是不變的，弄清這一點(diǎn)是解決這類問題的關(guān)鍵.【變式訓(xùn)練3】如圖，平行四邊形abcd中，dab60°，ab2，ad4.將cbd沿bd折起到ebd的位置，使平面ebd平面abd.(1)求證：abde；來源:(2)求三棱錐eabd的側(cè)面積.【解析】(1)證明：在abd中，來源:因為ab2，ad4，dab60°，所以bd2.所以ab2bd2ad2，所以abbd.又因為平面ebd平面abd，平面ebd平面abdbd，ab平面abd，所以ab平面ebd.因為de平面ebd，所以abde.(2)由(1)知abbd.因為cdab，所以cdbd. 從而debd.在rtdbe中，因為db2，dedcab2，所以sbdedb·de2.又因為ab平面ebd，be平面ebd，所以abbe.因為bebcad4，所以sabeab·be4.來源:數(shù)理化網(wǎng)因為debd，平面ebd平面abd，所以ed平面abd，而ad平面abd，所以edad