成人高考講義(七)

1、成人高考講義（七）第七章 三 角 函 數(shù)在初中我們已經(jīng)學(xué)過銳角三角函數(shù)sin、cos和tan，的范圍是到，它是解直角三角形用的。為了今后解決更多的實際問題，我們還需要吧角的范圍擴(kuò)大的任意角，所以我們現(xiàn)在講的是任意角三角函數(shù)。一、有關(guān)角的概念 1、定義：角可以看作是平面上一條射線，繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而成的圖形。 所以每個角它都有始邊、終邊和頂點(diǎn)。 我們規(guī)定：射線繞著它的端點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)而成的角為正角；射線繞著它的端點(diǎn)順時針旋轉(zhuǎn)而成的角為負(fù)角；射線不作任何旋轉(zhuǎn)稱為零角。 正角 負(fù)角 零角2、終邊相同的角：同一始邊且終邊所在的位置相同的角叫做終邊相同的角。如，3，-，-，因為它們的終邊相同，所以把這些角

2、稱為終邊相同的角。 又因為 3=1×3+，=2×3+，-=-1×3+，-=-2×3+， 由此規(guī)律，把與角終邊相同的角可以表示成k3+（k為整數(shù)）。 因此，我們把與終邊相同的角表示成 = k3+（k為整數(shù)） 3、象限角： 今后我們研究角是要借助直角坐標(biāo)系的。所以把角放進(jìn)直角坐標(biāo)系中有規(guī)定，即角的頂點(diǎn)要與坐標(biāo)系原點(diǎn)重合，始邊要與x軸的正半軸重合。那么角的終邊落在那個象限內(nèi)，則稱這個角為那個象限的角。 如果角的終邊落在了x軸或y軸上，那我們就說它不屬于任何象限的角。 練習(xí)題：指出下列各角所在的象限： 500°， -240°， -823

3、76;， 1008° 4、弧度制： 以前我們說一個角的大小，是說這個角多少度，這種表示法是叫角的角度制，它的來源于是把一個圓周分成360等份，一等份圓弧所對的圓心角我們稱為一度。而度量角還有一種方法，就是用弧度來表述一個角的大小。這個弧度制它是來源于，在一個圓周上取一段圓弧，使它的長等于圓的半徑，那么這段圓弧所對的圓心角我們稱為一弧度。 弧度制與角度制的互化：我們知道一圓周等于，而一圓周等于多少弧度呢，根據(jù)弧度制的定義，一圓周等于圓的周長比上圓的半徑個弧度，即弧度。 所以有=2弧度（以后我們說角多少弧度時可以把弧度二字省略），180°=， 90°=， 60

4、6;=，45°=， 30°=，。今后對于特殊角的互化要記熟。 另外 1°=， 1弧度=（）°=57°18.練習(xí)題：把下列各角的弧度化成度： ， ， - 把下列各角的度化成弧度： -135°， 210°， 600°， -75°二、三角函數(shù) 1、定義：如圖，設(shè)P（，）為角終邊 上任一點(diǎn)，表示P點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，故。 則角的三角函數(shù)定義如下： Sin=， cos= tan= cot=.我們把正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)和余切函數(shù)統(tǒng)稱三角函數(shù) 練習(xí)題：角終邊上一點(diǎn)P（4a，-3a）（a0），求 2sin+cos的值

5、. 2、三角函數(shù)的符號： 由于角所在的象限不同，所以它在各個象限的符號也不同 ，根據(jù)三角函數(shù)的定義容易的角在各象限的符號如下： 第一象限內(nèi)正弦、余弦、正切、余切均為正的；第二象限內(nèi)正弦為正，余弦、正切、余切均為負(fù)的；第三象限內(nèi)正切、余切為正，正弦、余弦均為負(fù)的；第四象限內(nèi)余弦為正，正弦、正切、余切均為負(fù)的. 歸納起來十二個字： 一全正，二正弦，三切正，四余弦. 三角函數(shù)在各象限內(nèi)的符號，很重要，經(jīng)常用到，所以一定要記住。練習(xí)題：不求下列各三角函數(shù)的值，判斷它們的符號： Sin105°， cos（-）， tan585°， cot.已知tan0，cos0，則所在的象限為（ ）.

6、 A. 第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3、特殊角的三角函數(shù)值： 這里我們主要說一下0°，30°,45°,60°,90°,180°,270°和360°，這些特殊角的三角函數(shù)值.根據(jù)三角函數(shù)的定義和軸、軸上點(diǎn)的坐標(biāo)的特性，我們?nèi)菀淄瞥?0°90°,180°,270°和360°的三角函數(shù)值。列表如下： 特殊角的三角函數(shù)值角函數(shù)0°030°45°60°90°180°270°360&#

7、176;2sin010-10cos10-101tan01不存在0不存在0cot不存在10不存在0不存在 4、同角三角函數(shù)間的關(guān)系式：在三角函數(shù)的計算問題中，往往會遇到利用已知的三角函數(shù)值五求另外的三角函數(shù)值。比如已知角的正弦值求出其它的三角函數(shù)值。這就需要四個三角函數(shù)之間的關(guān)系式。平方關(guān)系： +=1這個平方關(guān)系式特別重要，并且用它還可以推出=1-， =1-，=±， 在計算過程中正負(fù)號的選取是由角所在的象限決定的。 商數(shù)關(guān)系：tan= 倒數(shù)關(guān)系：tan= 練習(xí)題：設(shè)sin=，為第二象限角，求cos和tan的值. 三、三角函數(shù)變換公式： 在三角函數(shù)的計算、證明、化簡過程中，也往往需要進(jìn)行

8、變換。我們這里再學(xué)習(xí)三類公式，即誘導(dǎo)公式、兩角和與差公式和倍角公式。 1、誘導(dǎo)公式： 誘導(dǎo)公式就是利用這些公式，把任意角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化成銳角的三角函數(shù)來計算。 我們首先要記住下面的形式角： 第一象限的表示形式 k·360°+或2k+； 第二象限的表示形式 180°-或-； 第三象限的表示形式 180°+或+； 第四象限的表示形式 360°-或2-， -. 因為象限決定三角函數(shù)的取正取負(fù)。另外在使用公式時我們不管是多少，只要符合上面哪種形式，就把所求的角看那個象限的角，來確定符號。 公式一：sin（k·360°+）= sin

9、公式二：sin（180°-）= sin cos（k·360°+）= cos cos（180°-）= -cos tan（k·360°+）= tan tan（180°-）= -tan 公式三：sin（180°+）= -sin 公式四：sin（360°-）= -sincos（180°+）= -coscos（360°-）= cos tan（180°+）= tan tan（360°-）= -tan 公式五：sin（-）= -sincos（-）= cos tan（-）= -ta

10、n 這五組公式中的符號也可以概括為十個字：函數(shù)同名稱，符號看象限. 練習(xí)題：計算下列函數(shù)值： cos（-） sin585° 2、兩角和與兩角差公式： 兩角和與兩角差公式就是把任意角先分成兩個角的和或者是差，再利用這些公式轉(zhuǎn)化成單角的三角函數(shù)來計算任意角的三角函數(shù)。 如cos75°=cos（45°+30°），cos15°= cos（45°-30°） 這樣就可以用45°和30°的三角函數(shù)值求出75°和15°的三角函數(shù)值。 公式： sin（±）=sincos±cossin

11、 cos（±）=coscossinsintan（±）= 練習(xí)題：計算下列各題： sin105° sin（45°+）cos- cos（45°+）sin 3、倍角公式： 倍角公式就是把任意角先化成二倍角，再利用這些公式轉(zhuǎn)化成單角的三角函數(shù)來計算任意角的三角函數(shù)。 如sin120°=sin（2×60°）這樣就可以用60°的三角函數(shù)值求出120°的三角函數(shù)值。 公式： sin2=2sincos cos2=con2-sin2=2 con2-1=1-2 sin2 tan2= 練習(xí)題：已知cos2=，計算和.

12、四、三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)： 在本部分我們只簡單介紹正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的定義、圖像及性質(zhì)，正弦型函數(shù)和余弦型函數(shù)的周期和最值的求法。 1、正弦函數(shù)： 定義：形如（）的函數(shù)叫正弦函數(shù) . 圖像：我們用五個關(guān)鍵點(diǎn)描出它的圖像 02010-10 y 正弦函數(shù)的圖像是條向兩端無限延伸的曲線，我們把它叫做正弦曲線。 性質(zhì)：定義域： 值域： 單調(diào)性：函數(shù)在 （kZ）為增函數(shù)； 函數(shù)在 （kZ）為減函數(shù). 奇偶性：正弦函數(shù)為奇函數(shù)，圖像是關(guān)于原點(diǎn)對稱的. 周期性：正弦函數(shù)為周期函數(shù)，最小正周期是2. 在這里特別強(qiáng)調(diào)幾點(diǎn)：）要熟記02這一段函數(shù)的圖像， 當(dāng)0時，函數(shù)為增函數(shù)；當(dāng)時，函數(shù)為減函數(shù)；當(dāng)2時

13、，函數(shù)為增函數(shù). ）為奇函數(shù). ）為周期是2周期函數(shù). 2、余弦函數(shù)： 定義：形如（）的函數(shù)叫余弦函數(shù) . 圖像：我們用五個關(guān)鍵點(diǎn)描出它的圖像0210-101 y 余弦函數(shù)的圖像是條向兩端無限延伸的曲線，我們把它叫做余弦曲線。 性質(zhì)：定義域： 值域： 單調(diào)性：函數(shù)在 （kZ）為增函數(shù)； 函數(shù)在 （kZ）為減函數(shù). 奇偶性：余弦函數(shù)為偶函數(shù)，圖像是關(guān)于y軸對稱的. 周期性：余弦函數(shù)為周期函數(shù)，最小正周期是2. 在這里特別強(qiáng)調(diào)幾點(diǎn)：）要熟記02這一段函數(shù)的圖像， 當(dāng)0時，函數(shù)為減函數(shù)；當(dāng)2時，函數(shù)為增函數(shù). ）為偶函數(shù). ）為周期是2周期函數(shù). 3、正切函數(shù)定義：形如（，kZ）的函數(shù)叫正切函數(shù).圖

14、像：它的圖像是多條不連續(xù)的曲線.如圖， 性質(zhì)：定義域：. 值域：. 單調(diào)性：函數(shù)在區(qū)間 （kZ）均為增函數(shù). 奇偶性：正切函數(shù)為奇函數(shù)，圖像是關(guān)于原點(diǎn)對稱的 周期性：正切函數(shù)為周期函數(shù)，最小正周期是. 4、正弦型函數(shù)、余弦型函數(shù)和正切型函數(shù)的周期及最值: 在正弦型函數(shù)和余弦型函數(shù)（A0）中，它們的最大值為A，最小值為-A，A是三角函數(shù)符號前面的系數(shù)；它們的周期是公式求得的，是自變量的系數(shù).如都是正弦型函數(shù).例如，函數(shù)y=2sinx的最小正周期是=6，最大值為2，最小值為-2.函數(shù)y=cos2x的最小正周期是=，最大值為，最小值為-. 但是在實際做題中，往往所給的函數(shù)不是標(biāo)準(zhǔn)正弦型函數(shù)或余弦型函

15、數(shù)，這就需要我們通過變形化成正弦型函數(shù)或余弦型函數(shù)來求它們的周期及最值。 把化成正弦型函數(shù)，公式是 =則它的周期是，最大值為，最小值為-. 把化成正弦型函數(shù)，一般方法是利用正弦的2倍角公式進(jìn)行變形.公式是 = 則=它的周期是，最大值為，最小值為 - . 正切型函數(shù)它沒有最值，只有周期，它的周期為. 如它的周期是.五、解三角形 1、三角形的分類: 三角形 2、解三角形： 我們都知道三角形有六個元素,即三條邊和三個角。解三角形就是利用已知的角或邊，通過一定的公式去求出其它的邊和角，這個過程就叫解三角形。 3、解直角三角形： 解直角三角形的公式有兩類： 勾股定理 銳角三角函數(shù) 4、解斜三角形： 解斜

16、三角形的公式有兩類： 正弦定理 在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等.即 . 這組公式使用的條件是已知兩角和任一邊，求其它兩邊和一角（這種解法結(jié)果只有一解）。已知兩邊和其中一邊的對角，求其它兩角和一邊（這種解法結(jié)果可能一解也可能兩解）。 另外這個定理還可以變形為 . 余弦定理 三角形任何一邊的平方等于其它兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角余弦值的積的兩倍. 即 這組公式使用的條件是已知三邊，求三個角.已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其它兩角.另外這個定理還可以變形為 三角形的面積 斜三角形的面積公式為 練習(xí)題： 在銳角中，AC=8，BC=7，sinB=，求AB. 解：sinB= 且A為銳

17、角 cosB= 由余弦定理可得 AB=-3 （舍去） AB=5. 在中，AB=2， B=60°，A=45°，求的面積.（結(jié)果精確到0.01） 解：C=180°-60°-45°=75° Sin75°=sin（45°+30°） =sin45°cos30°+cos45°sin30°= 由正弦定理得 BC= . 作 業(yè) 題1、填空： °， ° ， °， °.2、設(shè)sin=，為第二象限角，則cos=（ ）.（A） （B） （C） （D）

18、3、設(shè)角的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為x軸的非負(fù)半軸，終邊過點(diǎn) （-，），則sin=（ ）.（A） （B） （C） （D）4、如果0，則（ ）.（A）cos sin （B）cos tan （C）tancos （D）sintan 5、設(shè)是第二象限角，則（ ）（A）cos 0，且tan0 （B）cos 0，且tan0 （C）cos 0，且tan0 （D）cos 0，且tan06、若0，則（ ）（A）sincos （B）cos （C）sin （D）sin 7、cos（）=（ ）.（A） （B） （C） （D）8、sin585°=（ ）.（A） （B） （C） （D）9、cos=（ ）.（A） （B） （C） （D）10、在ABC中，C=30°，則cosAcosBsinAsinB的值等于（ ）.（A） （B） （C） （D）11、sin（45°）cos+cos（45°）sin的值為 . 12、sin15°cos15°= . 13、函數(shù)y=sin2x的最小