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文檔簡介

1、平面向量的實際背景及基本概念向量的物理背景與概念 向量的幾何表示 相等向量與共線向量 教學(xué)目標(biāo)1理解向量的有關(guān)概念及向量的幾何表示 (重點 )2理解共線向量、相等向量的概念 (難點 )3正確區(qū)分向量平行與直線平行 (易混點 )基礎(chǔ)·初探教材整理 1 向量及其幾何表示閱讀教材 P74P75例 1 以上內(nèi)容,完成下列問題1向量與數(shù)量(1)向量:既有大小,又有方向的量叫做向量(2)數(shù)量:只有大小,沒有方向的量稱為數(shù)量2向量的幾何表示(1)帶有方向的線段叫做有向線段它包含三個要素:起點、方 向、長度(2)向量可以用有向線段表示 向量 AB的大小,也就是向量 AB的 長度(或稱模 ),記作|A

2、B|向量也可以用字母 a,b,c,表示,或用 表示向量的有向線段的起點和終點字母表示,例如 AB,CD.判斷 (正確的打“”,錯誤的打“×” )(1) 向量可以比較大小 ()(2) 坐標(biāo)平面上的 x 軸和 y 軸都是向量 ()(3) 某個角 是一 個向量 ()(4) 體積、面積和時間都不是向量 ( )解:因為向量之間不可以比較大小,故 (1)錯; x 軸、y 軸只有方 向,沒有大小,故 (2)錯;因為角只有大小沒有方向,故 (3)錯;因為 體積、面積和時間只有大小沒有方向,都不是向量,所以 (4)正確【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)教材整理

3、 2 向量的有關(guān)概念閱讀教材 P75 第十八行以下至 P76 例 2 以上內(nèi)容,完成下列問題 .零向量長度為 0 的向量,記作 0單位向量長度等于 1 個單位的向量平行向量(共線向量 )方向相同或相反的非零向量 向量 a、b 平行,記作 ab 規(guī)定:零向量與任一向量平行相等向量長度相等且方向相同的向量 向量 a 與 b 相等,記作 ab判斷 (正確的打“”,錯誤的打“×” )(1) 單位向量都平行 ()(2) 零向量與任意向量都平行 ()(3) 若 ab,b c,則 ac.()(4) |AB|BA|.()解: (1)錯誤,長度等于 1 個單位長度的向量叫做單位向量,單位向 量有無數(shù)多

4、個且每個都有確定的方向,故單位向量不一定平行; (2) 正確,零向量的方向是任意的,故零向量與任意向量都平行;(3)錯誤,若 b0,則 (3)不成立; (4)正確故只有 (2)(4)正確【答案】 (1)× (2) (3)× (4) 小組合作型 向量的有關(guān)概念 判斷下列命題是否正確,請說明理由:(1)若向量 a與 b同向,且 |a|>|b|,則 a>b; (2)若向量|a|b|,則 a 與 b 的長度相等且方向相同或相反;(3) 對于任意向量 |a|b|,若 a 與 b 的方向相同,則 a b;(4) 由于 0 方向不確定,故 0 不與任意向量平行;(5) 向量

5、a 與向量 b 平行,則向量 a 與 b 方向相同或相反 解答本題應(yīng)根據(jù)向量的有關(guān)概念, 注意向量的大小、 方向兩個要 素(1)不正確因為向量由兩個因素來確定,即大小和方向,所以 兩個向量不能比較大小(2)不正確 由|a|b|只能判斷兩向量長度相等, 不能確定它們的 方向關(guān)系(3) 正確因為 |a|b|,且 a與 b同向,由兩向量相等的條件,可 得 a b.(4) 不正確依據(jù)規(guī)定: 0 與任意向量平行(5) 不正確因為向量 a 與向量 b 若有一個是零向量,則其方向 不定求解向量的平行問題時不可忽視零向量的大小為零,方向任意; 零向量與任一向量平行;所有的零向量相等 再練一題 1給出下列命題:

6、 若|a|b|,則 ab 或 ab; 向量的模一定是正數(shù); 起點不同,但方向相同且模相等的幾個向量是相等向量;向量 AB與CD是共線向量,則 A、B、C、D 四點必在同一直線 上其中正確命題的序號是 解: 錯誤由 |a| |b|僅說明 a 與 b模相等,但不能說明它們方 向的關(guān)系 錯誤 .0 的模|0|0. 正確 對于一個向量只要不改變其大小和方向, 是可以任意移 動的 錯誤共線向量即平行向量,只要求方向相同或相反即可并 不要求兩個向量 AB、CD必須在同一直線上【答案】 向量的表示及應(yīng)用某人從 A 點出發(fā)向東走了 5 米到達(dá) B 點,然后改變方向 按東北方向走了 10 2米到達(dá) C 點,到達(dá)

7、 C 點后又改變方向向西走了 10 米到達(dá) D 點(1) 作出向量 AB, BC, CD;(2) 求AD的模 . 【導(dǎo)學(xué)號: 00680033】 可先選定向量的起點及方向, 并根據(jù)其長度作出相關(guān)向量 可把AD放在直角三角形中求得 |AD|.解: (1)作出向量 AB,BC,CD,如圖所示:(2)由題意得,BCD 是直角三角形, 其中BDC90°,BC10 2 米,CD10 米,所以 BD10 米ABD 是直角三角形, 其中ABD 90°,AB5 米, BD10米,所以 AD 52(10)25 5(米), 所以 |AD|5 5米1向量的兩種表示方法: (1)幾何表示法:先確定

8、向量的起點,再確定向量的方向,最后 根據(jù)向量的長度確定向量的終點(2) 字母表示法:為了便于運算可用字母 a,b,c 表示,為了聯(lián)系 平面幾何中的圖形性質(zhì), 可用表示向量的有向線段的起點與終點表示 向量,如 AB, CD,EF等2兩種向量表示方法的作用: (1)用幾何表示法表示向量,便于用幾何方法研究向量運算,為 用向量處理幾何問題打下了基礎(chǔ)(2)用字母表示法表示向量,便于向量的運算 再練一題 2一輛汽車從點 A 出發(fā),向西行駛了 100 公里到達(dá)點 B,然后 又改變方向,向西偏北 50°的方向行駛了 200 公里到達(dá)點 C,最后 又改變方向,向東行駛了 100 公里達(dá)到點 D(1)

9、作出向量 AB, BC, CD;(2)求|AD|.解: (1)如圖所示(2)由題意知 AB與CD方向相反, AB與 CD共線, 在四邊形 ABCD 中, ABCD, 又|AB|CD|,四邊形 ABCD 為平行四邊形, |AD|BC|200(公里) 探究共研型 相等向量與共線向量 探究 1 向量 a,b 共線,向量 b,c 共線,向量 a 與 c 是否共線? 向量 a 與 c 不一定共線,因為零向量與任意向量都共線,若 b0,則向量 a 與 c不一定共線探究 2 兩個相等的非零向量的起點與終點是否都分別重合?不一定因為向量都是自由向量,只要大小相等,方向相同就是 相等向量,與起點和終點位置無關(guān)(

10、1) (2016 濰·坊高一檢測 )如圖 21 1,在等腰梯形 ABCD中 AB與CD是共線向量; ABCD; AB>CD.以上結(jié)論中正確的個數(shù)是 ( )A 0B1C 2D 3(2) 下列說法中,正確的序號是 若AB與CD是共線向量, 則 A,B,C,D 四點必在一條直線上; 零向量都相等; 任一向量與它的平行向量不相等; 若四邊形 ABCD 是平行四邊形,則 ABDC; 共線的向量,若始點不同,則終點一定不同可借助幾何圖形性質(zhì)及向量相關(guān)概念進(jìn)行判斷解: 因為AB與CD的方向不相同,也不相反,所以 AB與CD不 共線,即不正確; 由可知也不正確; 因為兩個向量不能比 較大小,所

11、以 不正確(2)因為向量 AB與 CD是共線向量,它們的基線不一定是同一個, 所以 A,B,C,D 也不一定在一條直線上,所以 錯誤;因為零向量 的長度都為零,且其方向任意,所以零向量相等,所以 正確;因為 平行向量的方向可以相同且大小也可以相等, 所以任一向量與它的平 行向量可能相等,即錯誤;畫出圖形,可得 ABDC,所以正確; 由共線向量的定義可知:共線的向量,始點不同,終點可能相同,所 以不正確【答案】 (1)A (2) 相等向量與共線向量需注意的四個問題: (1)相等向量一定是共線向量,但共線向量不一定是相等向量(2)兩個向量平行與兩條直線平行是兩個不同的概念;兩個向量 平行包含兩個向

12、量有相同基線,但兩條直線平行不包含兩條直線重 合(3) 平行 (共線 )向量無傳遞性 (因為有 0)(4) 三點 A,B,C 共線? AB,AC共線 再練一題 3.如圖 212所示,O 是正六邊形 ABCDEF 的中心圖 2 12 分別寫出圖中與 OA,OB, OC相等的向量; 與OA的長度相等、方向相反的向量有哪些?解:與OA相等的向量有 EF,DO,CB;與 OB相等的向量有 DC, EO, FA;與 OC相等的向量有 FO,ED ,AB.與 OA的長度相等、方向相反的向量有 OD,BC,AO,F(xiàn)E.構(gòu)建·體系1下列說法中正確的個數(shù)是 (身高是一個向量;AOB 的兩條邊都是向量;

13、 溫度含零上和零下溫度,所以溫度是向量; 物理學(xué)中的加速度是向量A 0B1C 2D 3解:只有 中物理學(xué)中的加速度既有大小又有方向是向量, 錯誤 正確【答案】 B 2在下列判斷中,正確的是 ()長度為 0 的向量都是零向量;零向量的方向都是相同的; 單位向量的長度都相等; 單位向量都是同方向; 任意向量與零向量都共線A BCD解:由定義知 正確,由于零向量的方向是任意的,故兩個零 向量的方向是否相同不確定, 故不正確顯然 、正確,不正確, 故選 D【答案】 D3(2016 ·三明市期末 )設(shè) e1,e2 是兩個單位向量,則下列結(jié)論中正確的是 ()A e1 e2B e1e2C |e1|

14、e2|D以上都不對解:單位向量的模都等于 1 個單位,故 C正確【答案】 C4在下列命題中:平行向量一定相等;不相等的向量一定 不平行;共線向量一定相等;相等向量一定共線;長度相等的 向量是相等向量;平行于同一個非零向量的兩個向量是共線向 量正確的命題是 解: 由向量的相關(guān)概念可知 正確【答案】 5.如圖 213所示,四邊形 ABCD 是平行四邊形,四邊形 ABDE是矩形,找出與向量 AB相等的向量解:由四邊形 ABCD 是平行四邊形,四邊形 ABDE 是矩形,知DC, ED與 AB的長度相等且方向相同,所以與向量 AB相等的向量為 DC和 ED.學(xué)業(yè)分層測評學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo) 一、選擇題 1下列說法正

15、確的個數(shù)是 ()(1) 溫度、速度、位移、功這些物理量都是向量;(2) 零向量沒有方向;(3) 非零向量的單位向量是唯一的A 0B1C 2D 3解: (1)中溫度和功不是向量; (2)零向量的方向不確定,而不是 沒有方向,所以 (1)(2)錯誤【答案】 B2下列結(jié)論正確的是 ()A向量必須用有向線段來表示B表示一個向量的有向線段是唯一的C有向線段 AB和BA是同一向量D有向線段 AB和BA的大小相等 解:向量除了可以用有向線段表示以外, 還可用坐標(biāo)或字母表示, 所以選項 A 錯誤;向量為自由向量,只要大小相等,方向相同就為 同一個向量, 而與它的具體位置無關(guān), 所以表示一個向量的有向線段 不是

16、唯一的, 選項 B 錯誤;有向線段 AB和BA的方向相反, 大小相等, 不為同一向量,所以選項 C 錯誤、D 正確【答案】 D3給出下列四個命題:若|a|0,則 a0;若|a|b|,則 ab 或 ab;若 ab, 則|a|b|;若 a0,則 a0.其中的正確命題有 ( )A1 個B2 個C3 個D4 個解:對于 ,前一個零是實數(shù),后一個應(yīng)是向量 0.對于,兩個 向量的模相等,只能說明它們的長度相等,它們的方向并不確定對 于,兩個向量平行,它們的方向相同或相反,模未必相等只有 正確故選 A 【答案】 A4數(shù)軸上點 A、B 分別對應(yīng) 1、2,則向量 AB的長度是 ()A 1B2C1D3解: 易知

17、|AB|2(1)3,故選 D【答案】 D5 (2016 ·長春十一中期末 )若|AB| |AD |且BA CD ,則四邊形ABCD 的形狀為 ( )A 平行四邊形B矩形C菱形D等腰梯形解:由BACD知四邊形為平行四邊形; 由|AB|AD|知四邊形 ABCD 為菱形故選 C【答案】 C二、填空題6已知 A,B,C 是不共線的三點,向量 m 與向量 AB是平行向 量,與 BC是共線向量,則 m .解:因為 A,B,C 三點不共線,所以 AB與BC不共線,又因為 mAB 且 m BC,所以 m 0.【答案】 07給出以下五個條件: ab;|a|b|;a與 b 的方向相反;|a|0 或|b|

18、0; a 與 b 都是單位向量其中能使 ab 成立的是解:共線向量指的是方向相同或相反的向量,它只涉及方向,不 涉及大小很明顯僅有 .【答案】 三、解答題8.O 是正方形 ABCD 對角線的交點,四邊形 OAED,OCFB 都是 正方形,在如圖 214 所示的向量中:圖 2 14(1) 分別找出與 AO,BO相等的向量;(2) 找出與 AO共線的向量;(3) 找出與 AO模相等的向量;(4) 向量AO與CO是否相等?解: (1)AOBF,BOAE.(2)與 AO共線的向量有: BF,CO,DE.(3) 與 AO模相等的向量有: CO, DO,BO, BF,CF, AE,DE.(4) 向量AO與CO不相等,因為它們的方向不相同9如圖 215 所示,已知四邊形 ABCD 中,M,N 分別是 BC, AD 的中點,又 AB DC且CN MA,求證: DN MB.圖 2 15【證明】 因為 ABDC , 所以|AB|DC|且 ABDC, 所以四邊形 ABCD 是平行四邊形, 所以|DA|CB|且 DACB又因為 DA與CB的方向相同,所以CB DA.同理可證,四邊形 CNAM 是平行四邊形,所以CM NA.因為|

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