淺談_微元法_在物理上的應用

1、淺談“微元法”在物理上的應用福州第一中學呂聲康（350001）在高中物理中，由于數(shù)學學習上的局限，對于高等數(shù)學中可以使用積分來進行計算的一 些問題，在高中很難的加以解決。例如對于求變力所做的功或者對于物休做曲線運動時某恒 力所做的功的計算；又如求做曲線運動的某質(zhì)點運動的路程，這些問題對于中學牛來講， 成為一大難題。但是如果應用積分的思想，化整為零，化1川為直，采用“微元法”，可以很 好的解決這類問題?！拔⒃ā蓖ㄋ椎卣f就是把研究對象分為無限多個無限小的部分，取出 有代表性的極小的一部分進行分析處理，再從局部到全體綜合起來加以考慮的科學思維方 法，在這個方法里充分的體現(xiàn)了積分的思想。高中物理中的

2、瞬時速度、瞬時加速度、感應電 動勢等等，都是用這種方法定義的。下而我們通過兒個求變力做功的例題來加以說明。一、利用在“微元”中變力做功的特點推導出力所做的總功。（例題1試證明：對于做勻速圓周運動的物體，英向心力所做的功為零。分析與解：在勻速圓周運動中，向心力始終指向圓心，是一個變力，因此不能使用 w = fscos &來求解?？梢钥紤]在極短的時間4內(nèi)物體所走過的一極小的圓弧as ,圖（1） 所示。由于所収的圓弧足夠小，因而可以將圓弧作為直線來處理。時間足夠小，對于向心力 也可認為其方向未發(fā)牛變化，視為恒力來處理，且向心力和as相互垂直。則在ar時間內(nèi)， 向心力所做的功為：w = fsc

3、os90° =0考慮整個過程，對于圓周上的每段圓弧a5皆有上述結(jié) 杲，則在整個過程中向心力所做的功為：w = zaiv = 0（注由上可知,無論物體做什么運動,如果在物體的運動過 程中，某個力的方向與其運動方向始終是垂直關系，則在物體 的運動過程屮，由“微元法”可知，這個力對物體不做功，帶 電粒子在磁場中運動時，洛倫茲力不做功正是這個道理。（例題2）如圖（2） a所示，質(zhì)量為m的小車以恒定的速率v沿半徑為r的豎直圓環(huán)做 岡周運動，小車與岡環(huán)間的動摩擦因數(shù)為“，試求小車從軌道最低點運動-至最話點的過程分析與解：本題中小車的運動為岡周運動，小車對軌道的壓力大小方向在不斷的變化, 導致軌道

4、與小車間的摩擦力大小方向也在不斷的變化也是個求變力做功的問題。把握住小車 的運動相對圓點有明顯的對稱，利用“微元法”，我們?nèi)蓚€對稱的微元進行研究。如圖（2） -b,在圓環(huán)上去兩個対稱點a和b, oa和ob與豎直的直徑的夾角均為， 小車在做勻速圓周運動，在a、b兩點的向心力為：v2fa = n、- mg cos 0 = m y2fr = n2 七 mg cos 0 = m 在a、b兩點取兩段無窮小的員|弧，摩擦力在a、b兩點所做的微元功為:2v w = 一pn、= -#(mf mg cos 0) rv2aw2 = a52 = 一mg cos 0) a2rv則+ aw2 = -m“($ + av

5、2)r則小車由最低點運動至最高點的過程屮，摩擦力所做的總功為:w總=" + aw2 + aw3 + aw4 + =-m“x ($ + a.y2 + a.y3 +)rv2=_ mu- 7tk = u7t mvr（注）“對稱”是本題的特點，“微元法”是具體的解法。若本題不采用対稱的方法求解，乂 不能用w = fscoso求功，則必須研究小車的牽引力，利用動能立理來求解。而這對于本 題是不可能有結(jié)果的?！皩ΨQ法”也是物理解題中一種常用的方法。二、“化曲為直”求變力所做的功。（例題3如圖（3） -a所示，某個力f=10n作用于半徑 r=lm的轉(zhuǎn)盤的邊緣上，力f的大小保持不變，但方向保持任 何

6、時刻均與作用點的切線一致，則轉(zhuǎn)動一周，這個力f做的總 功為多少？分析與解：由于力f的方向與作用點的速度方向一致，因 此力f做功不為零，fl此力不為恒力。可以考慮把関周劃分為 很多“微元”來研究。如圖（3） b所示。當各小段的弧長山足夠?。╝s t0）時，在這山內(nèi)f的方向幾乎與該小段的位移重介，則f做的總功為：w = fasj + fas2 + f 企=f-27? = 20（ j）圖(3) -a這等效于將本是曲線的冏周拉直。在這里，力f所做的功相當 于力和物體運動路程的乘積。三、結(jié)合數(shù)學歸納法，巧求變力所做的功。(例題4)如圖(4) a所示，半徑為的半球形水池，裝滿密度為p的水，要將池內(nèi)的 水抽

7、十，至少耍做多少功？分析與解：按題目的要求，只要將水抽至水面的高度就可以了。可以設想將水分成n 層，則每層水的厚度為r/n,將一層一層的水，即“微元”抽至水面即可。如圖(4) b所示，取水而下第i層水考慮，則第i層水的厚度為r/n,其距水而的高度為ir/n,則第i層水的半徑為:d =r/n9 r° r r則這層水的質(zhì)量為：mi = p兀幾 = p7ir -(/)! nn n將這層水抽至水面所做的功為：叱=misi .-) = r2-(z-)2.-.§.(/-) nn n n= 7rr4 -rt n所以，將全部抽至水面所需要做的功為:4+ 2 + 3 + + a? 1 +2 +3 + +n21 + n n2(n +1)2 n a114 = r4-n4 4/r叫=喚r 】42=%g 廠7rt當 n > 00,即"y>0,貝 |j:4nw總(注)此題使用“微元法”，還要結(jié)合使用數(shù)學方法求和得出結(jié)杲，若此題不用這種方法， 會很難卜手?！拔⒃ā彪m然是在物理竟賽中使用比較多，但在我們平常的訓練中也不失為一