淺談幾何教學(xué)中的“基本圖形”

1、淺談幾何教學(xué)中的“基本圖形”許多同學(xué)在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時都有一種感覺：數(shù)學(xué)知識越學(xué)越多，有時反而不知道 用什么方法去解決了；或者有時遇到一個問題百思不得其解，一經(jīng)別人點(diǎn)撥就 立刻豁然開朗、茅塞頓開，才知如此簡單。特別是對于進(jìn)入初三的同學(xué)，這種 感覺更是明顯。有許多同學(xué)一遇到綜合性題冃就會“手忙腳亂”，不知從何下手, 但經(jīng)老師分析后，他也能很快予以解決。筆者認(rèn)為，造成這種結(jié)果有主客觀兩 方面原因。(-)客觀方面 數(shù)學(xué)題型多變，特別是幾何圖形千變?nèi)f化，同一個知識 點(diǎn)考核方法各不相同，好像捉摸不透；另一個客觀原因是由于知識存儲越來越 多，有時無法很快做出選擇，或猶豫不決、或幾種方法糾纏不清，解題思路不 清晰

2、。(-)主觀方面 許多同學(xué)缺乏對知識進(jìn)行必要的歸納總結(jié)，遇一題、解 一題，“就題論題”，不能找到各個問題間的內(nèi)在聯(lián)系。當(dāng)然最為重耍的一個原 因在于“心中無題，沒有自信”，缺乏敏銳的觀察力。不能從復(fù)雜的圖形中分解 出自己所熟知的基木題型和基木圖形，各個擊破，逐一解決也是許多同學(xué)的困 難所在?？倆,如何真正實(shí)現(xiàn)由“數(shù)學(xué)知識”向“數(shù)學(xué)能力”轉(zhuǎn)化，才是數(shù)學(xué) 教學(xué)的關(guān)鍵所在。如上海市2005年中考數(shù)學(xué)試卷最后一題：在厶abc中,zabc=90°, ab二4, bc二3, 0是邊ac上的一個動點(diǎn)，以點(diǎn)0為圓心 作半圓，與邊ab相切于點(diǎn)i),交線段0c于點(diǎn)e,作ep丄ed,交射線ab于點(diǎn)p,交射

3、線cb于f。(1) 如圖 1,求證：aadeaaep；(2) 設(shè)0a=x, ap=y,求y關(guān)于x的丙數(shù)解析式，并寫出它的定義域；(3) 當(dāng)bf二1時，求線段ap的長。a備用圖此題題目較長，圖形復(fù)雜，看似較難。但是如果我們將其分解成若干個基 本題型或基本圖形，逐一解決，就變得容易多了。而冃大多數(shù)同學(xué)在平時的學(xué) 習(xí)中對以下基本圖形都己經(jīng)相當(dāng)熟悉了。戶基本圖形(1)：直角三角形(勾股定理)，在rtaabc /屮，zabc二90°, ab二4, bc二3,易得ac二5,即厶abc唯一/確定。(基本圖形(2)：圓與切線(切線性質(zhì)定理)半圓0與丿7ad相切于點(diǎn)d,若連結(jié)od （也必定要連接od）

4、,則一定有01）丄ai）成立?！盎緢D形（3）：有一個公共角的兩個相似三角形（相 似三角形判定），已知有一對角相等，由等邊對等角和等式 性質(zhì)，易得 adeaaep o基本圖形（4）：相似三角形三邊對應(yīng)關(guān)系（相似三角形 性質(zhì)定理），已知0a二x,需用x表示其它相關(guān)線段，顯然，od oa nn od x如小 3 日t中，4易'f3 5 5 5'第（2）問。當(dāng)然也可以運(yùn)用相似或銳角三角比基本圖形（5）：對頂直角三角形（有一對非直角的對頂 角的兩個直角三角形一定相似），易得 bpf-aepd,所以 空=竺，即竺=空，由第（1）問得竺=2,所以bp二2bf。pe ed bf edde 1

5、可求第（3）問?；緢D形（6）： “平角上剪去一個直角”，因?yàn)?zped=90°, zcea二 180,所以z1+z2二90°, z2=zape = zbpf,而zbpf+zf=90°,由等角的余角相等得_zf二zfec,所以cf二ce,可求得ae,即求得x,廠由函數(shù)解析式從而得出y值（即ap的長）。怎樣才能從這樣復(fù)雜的圖形屮找出這些“有用的”基本圖形，是一個說起 來簡單，但做起來還是比較難的問題。所以說如何幫助同學(xué)在平時的學(xué)習(xí)中掌 握科學(xué)的學(xué)習(xí)方法，培養(yǎng)學(xué)生對一些基木題型和基木圖形的敏銳觀察力（也就 是借給學(xué)生一雙“數(shù)學(xué)慧眼”）就顯得尤為重要。筆者一直以來，在每

6、學(xué)習(xí)一部分課本內(nèi)容后都嘗試以“專題講座”的教學(xué)模 式，引導(dǎo)學(xué)生口主探索，口我總結(jié)，口我提高。通過各個專題的學(xué)習(xí)，熟練掌 握一些重要的基本圖形和基本題型。學(xué)會從一個復(fù)雜的圖形屮找出它所包含的 基本圖形，并實(shí)現(xiàn)問題的合理轉(zhuǎn)化和知識的正遷移。在研究過程中，學(xué)生能夠 掌握一些數(shù)學(xué)基本研究方法和數(shù)學(xué)思維模式。使學(xué)生感到“數(shù)學(xué)題目萬變不離 其宗”，自然會做到“腦中有題（圖），心不慌”。下而以圓與直角梯形專題為例，介紹一下如何開展基本圖形教學(xué)。一、基本圖形的介紹odcb,= -od=-x, ad=-x,dao(4)bpddep基本圖形1：以直角梯形的一條垂直于底邊的腰為直徑作半圓且與另一腰和切 如圖：已知四

7、邊形abcd是梯形，adbc, zc=90°, dc是刁©0的直徑，且00切ab于點(diǎn)e。觀察此圖，你可以得出哪些結(jié)i論？（可添加輔助線）推送步首先老師揭示圖形特征“圓與直角梯形”（即研究對象），/yc并結(jié)論開放。一方面鍛煉學(xué)生的猜想能力，另一方面使學(xué)生掌3匕尸c握一些常見輔助線作法，而且口己發(fā)現(xiàn)的結(jié)論會更容易理解，更容易記憶。學(xué)生踴躍發(fā)言，根據(jù)添加輔助線情況，可以得到以下五類結(jié)論：()不添線：(1) ad二ae (2) be二bc (3) ab二ad+bc(二) 連結(jié)0e： (4) 0e丄ab (zoea二90°)(三) (連結(jié)0a、0b： (5) rtaador

8、taaeo (6) rtabeortabc0 (7) zl= z2, z3=z4(8)z2+z3=90°(a0丄b0)(9)rtzad0srt/0cb( 10)odad -bc(四) 連結(jié)de、ce： (11) de丄ec (zdec-900)(五) 過點(diǎn)a作af丄bc,垂足為f： (12) ab2=af2+bf2 (其中af二dc, bf=bc-ad)在整個研究過程中，完全任由學(xué)生的思維發(fā)散。讓學(xué)生通過研究，發(fā)現(xiàn)一 個看似簡單的圖形原來可以得出這么多的結(jié)論。沒有發(fā)現(xiàn)的同學(xué)也會不自覺地 接受了其他同學(xué)分析問題的方法和常見輔助線作法。如此以來，學(xué)生再一次看 到滿足此特征的基本圖形就立刻

9、能夠得到以上相關(guān)結(jié)論。基本圖形2：以直角梯形不垂直于底邊的腰為直徑作圓與另一腰相切。是將 基本圖形1稍作變動，學(xué)生經(jīng)過探究同基木圖形1一樣可以得出四類結(jié)論。(一)連結(jié) 0e： (1) 0e丄dc (2) oeadbc (3) de二ec (4) 0e 是梯形 abcd 的中位線，即 0e二丄(ad+bc) (5) ab=2e0=ad+be“ d(二)連結(jié)ae、be： (6) zaeb=90° (7) aadeaecb(8) de2二ad bc/齊丿(三) 連結(jié)0d、0e： (9) 0e垂直平分線段dc (即od=oc)(四) 過點(diǎn)a作af丄bc,垂足為f： (10) ab2=af2+

10、bf2 (其中ab二ad+bc, bf二bc-ad) 當(dāng)然，在這兩個基本圖形中又隱含了多個其它基本圖形，一旦發(fā)現(xiàn)就可以實(shí)現(xiàn)基本圖形間的整合和轉(zhuǎn)化。二、基本圖形比較不僅從相同的“圓與直角梯形”中找出不同點(diǎn)：條件不同點(diǎn)：基本圖形1是以垂直于底邊的腰為直徑作圓；基木圖形2則是以 不垂直于底邊的腰為直徑作圓結(jié)論不同點(diǎn)：基本圖形1中圓與兩底相切，但基本圖形2不成立；基本圖形2 中圓心與切點(diǎn)的連線是梯形的中位線，但基本圖形1不成立又可以從不同的基本圖形中找出相同之處：特征相同點(diǎn)：圓與直角梯形，都是以一腰為直徑且與另一腰相切 結(jié)論相同點(diǎn)：兩個基木圖形都有ab二ad+bc成立通過對兩個基本圖形進(jìn)行對比研究，加

11、強(qiáng)對基本圖形特征的記憶和理解。三、基本圖形的運(yùn)用運(yùn)用(一)：直接運(yùn)用研究成果分析：(1)從已知條件出發(fā):(1)從已知條件出發(fā):(ad + bc)(2)從未知條件出發(fā)：求半徑r例1、在梯形abcd中，adbc, zbcd-9o0,以cd為直徑的半圓0切ab于點(diǎn)e,這 個梯形的面積為21 cm2 ,周長為20 cm ,求半圓0的半徑長4 n(3) 找等量關(guān)系，列方程組(aq + bc)v = 21解得嚴(yán)+ bc = 3或(a£> + bc) + r = 20 r = 7ad + bctr = 3(4) 結(jié)論取舍：過點(diǎn)a作af丄bc,垂足為f, ab>af,即必須滿足ad+bc

12、>2r,所以求得r二3cm。運(yùn)用(二人從復(fù)雜圖形中分解出基本圖形例2、在矩形abcd中，以ab為直徑作半圓0, e是bc的中點(diǎn)，若de是半圓0的切線，切點(diǎn)為f,試求如的值。ab分析：四邊形abed是直角梯形，滿足基本圖形1, 利用研究結(jié)論可以求解；或利用圓的切線長 定理轉(zhuǎn)化到rtadce中利用勾股定理可求竺的值。ab運(yùn)用(三人聯(lián)系基本圖形，代數(shù)與幾何知識的綜合運(yùn)用例3、如圖，已知直線mn和00切于點(diǎn)c, ab是。0的直徑，ae±mn, bf丄mn,垂足分別為e、f,設(shè)ae二m, ef二p, bf=n(1) 求證：p2=4mn(2) 求證:ec、fc的長是方程x2 - px + mn = 0的兩個根 分析：利用基本圖形2,連接oc、ac、bc, 可利用isaec s cfb證明；也可以過m 點(diǎn)a作ag丄bf ,在rtaabg屮利用勾股定理證明。四、基本圖形的再探索(一)改變條件：例4、在例3屮，若將直線mn向上平移至與圓0和交時，m、n、pz間又有什 么關(guān)系？ 土 m ef n分析：過0點(diǎn)作0c垂直于ef,垂足為c,op = “ * " v 廠，所以 4r2 > (m