線性代數(shù)3aPPT精選文檔

1、13.1 n3.1 n維向量維向量3.2 3.2 向量的線性相關(guān)性向量的線性相關(guān)性3.3 3.3 向量組的秩向量組的秩3.4 3.4 向量空間向量空間2 3.1 n 3.1 n維向量維向量3線性代數(shù) 第3章 向量空間 3.1 n維向量n定義定義3.1.1 個(gè)有序數(shù)個(gè)有序數(shù) 所組成的數(shù)組所組成的數(shù)組 稱為稱為12,na aa12,na aa維向量維向量,數(shù)數(shù) 稱為稱為 維向量的第維向量的第 個(gè)分量個(gè)分量.nia1,2,inni12,na aa行向量行向量列向量列向量1212,Tnnaaa aaa4定義定義3.1.2向量的分量都是零的向量稱為零向量向量的分量都是零的向量稱為零向量,記為記為00,0

2、,0設(shè)兩個(gè)設(shè)兩個(gè) 維向量維向量 n1212,nna aab bb若滿足若滿足iiab1,2, in，則稱這兩個(gè)向量相等則稱這兩個(gè)向量相等,即即定義定義3.1.3線性代數(shù) 第3章 向量空間 3.1 n維向量5設(shè)向量設(shè)向量 ,定義如下定義如下:1212 ,nna aab bb向量的加法向量的加法: ;1122,nnab abab向量的數(shù)乘向量的數(shù)乘: 為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù).12,nkka kakak向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算稱為向量的線性運(yùn)算向量的加法和數(shù)乘運(yùn)算稱為向量的線性運(yùn)算.向量的負(fù)向量向量的負(fù)向量12, naaa1122,nnab abab .向量的減法向量的減法定義定義3.1.4線性代數(shù) 第3章 向量

3、空間 3.1 n維向量6向量的線性運(yùn)算滿足以下八條運(yùn)算規(guī)律向量的線性運(yùn)算滿足以下八條運(yùn)算規(guī)律:(1) ;(2);(3)0(4) 0(5)1(6) klk l(7)klklkkk(8) .;, n其中其中 為為 維向量維向量, 為任意實(shí)數(shù)為任意實(shí)數(shù)., k l線性代數(shù) 第3章 向量空間 3.1 n維向量7 3.2 3.2 向量的線性相關(guān)性向量的線性相關(guān)性83.2.1 3.2.1 向量的線性表示向量的線性表示 對(duì)于向量組對(duì)于向量組 以及向量以及向量 ,若存在一組若存在一組12,s 數(shù)數(shù) ,使得使得12,sk kk1122sskkk則稱向量則稱向量 可以由向量組可以由向量組 線性表示或稱向量線性表示

4、或稱向量12,s 是向量組是向量組 的線性組合的線性組合,其中其中 為線性表示為線性表示12,s 12,sk kk系數(shù)系數(shù).定義定義3.2.1線性代數(shù) 第3章 向量空間 3.2 向量的線性相關(guān)性9由定義由定義3.2.1可得可得:(1) 零向量可以由任意向量組線性表示零向量可以由任意向量組線性表示;(2) 在向量組在向量組 中中,任意一個(gè)向量任意一個(gè)向量 可以由可以由這個(gè)向量組線性表示這個(gè)向量組線性表示;12,s i(3) 任意一個(gè)任意一個(gè) 維向量都可以由維向量都可以由 維基本向量組線性表示維基本向量組線性表示.nn線性代數(shù) 第3章 向量空間 3.2 向量的線性相關(guān)性10 向量向量 可由向量組可

5、由向量組 線性表示線性表示 以向量以向量 為系數(shù)列向量，為系數(shù)列向量， 為常數(shù)為常數(shù)項(xiàng)向量的線性方程組有解，并且每一個(gè)解向量的分量就項(xiàng)向量的線性方程組有解，并且每一個(gè)解向量的分量就是它的一個(gè)線性組合系數(shù)。是它的一個(gè)線性組合系數(shù)。s,.,21s,.,21定理定理3.2.1線性代數(shù) 第3章 向量空間 3.2 向量的線性相關(guān)性11設(shè)設(shè)，),.,(),.,(2121nniiiibbbaaa),.,1(si 將條件代入將條件代入 得得) 1 (.2211sskkk)2(.22112222212111212111nsnsnnssssbkakakabkakakabkakaka特別注意特別注意( 2 )中未知

6、量個(gè)數(shù)中未知量個(gè)數(shù) s ，方程式個(gè)數(shù)，方程式個(gè)數(shù) n ,向量方程式向量方程式( 1 )有解和有解和 線性方程組（線性方程組（ 2 ）有解是一回事，）有解是一回事，因而有定理因而有定理 3.2.1。線性代數(shù) 第3章 向量空間 3.2 向量的線性相關(guān)性12例例1 判斷下列向量判斷下列向量 能否由向量組能否由向量組 線性表示線性表示,若能若能,試試123, 寫出它的一種表達(dá)式寫出它的一種表達(dá)式,其中其中12-134 ,12-3 1 ,235-5 12 11 ,1-363.線性代數(shù) 第3章 向量空間 3.2 向量的線性相關(guān)性13例例2 試證若向量試證若向量 可由向量組可由向量組 線性表示線性表示,又向

7、量又向量12,s 1,2,iis可以由向量組可以由向量組 線性表示線性表示,則向量則向量 可可由向量組由向量組 線性表示線性表示.12,t 12,t 線性代數(shù) 第3章 向量空間 3.2 向量的線性相關(guān)性14 若向量組若向量組 中的每個(gè)向量都由向量組中的每個(gè)向量都由向量組12,s 12,t 線性表示線性表示,則稱向量組則稱向量組 可由向量組可由向量組12,s 12,t 線性表示線性表示;若還滿足向量組若還滿足向量組 中的每個(gè)向量也中的每個(gè)向量也12,t 可由向量組可由向量組 線性表示線性表示,則稱這兩個(gè)向量組等價(jià)則稱這兩個(gè)向量組等價(jià),即等價(jià)即等價(jià)12,s 的兩向量組互相線性表示的兩向量組互相線性

8、表示.定義定義3.2.2線性代數(shù) 第3章 向量空間 3.2 向量的線性相關(guān)性153.2.2 3.2.2 向量的線性相關(guān)性向量的線性相關(guān)性 設(shè)設(shè) 維向量組維向量組 ,若存在一組不全為零的若存在一組不全為零的12,s 12,sk kkn數(shù)數(shù) ,使使1122sskkk0 則稱則稱 線性相關(guān)線性相關(guān),否則否則,使（使（3.4）式成立只有全零解）式成立只有全零解,即即 12,s （3.4） 120skkk時(shí)時(shí),稱稱 線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān).12,s 定義定義3.2.3線性代數(shù) 第3章 向量空間 3.2 向量的線性相關(guān)性.16由向量組線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的定義可得下列結(jié)論由向量組線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的定義可得下列結(jié)

9、論:一個(gè)向量線性相關(guān)的充要條件是這個(gè)向量為零向量一個(gè)向量線性相關(guān)的充要條件是這個(gè)向量為零向量; 一個(gè)向量線性無(wú)關(guān)的充要條件是這個(gè)向量不是零向量一個(gè)向量線性無(wú)關(guān)的充要條件是這個(gè)向量不是零向量.(2) 兩個(gè)非零的向量線性相關(guān)的充要條件是它們的對(duì)應(yīng)分量成比例兩個(gè)非零的向量線性相關(guān)的充要條件是它們的對(duì)應(yīng)分量成比例; 兩個(gè)非零的向量線性無(wú)關(guān)的充要條件是對(duì)應(yīng)分量不成比例兩個(gè)非零的向量線性無(wú)關(guān)的充要條件是對(duì)應(yīng)分量不成比例.(3) 含有零向量的向量組必線性相關(guān)含有零向量的向量組必線性相關(guān),換句話說換句話說,線性無(wú)關(guān)的向量組線性無(wú)關(guān)的向量組 不含有零向量不含有零向量.線性代數(shù) 第3章 向量空間 3.2 向量的線

10、性相關(guān)性17 設(shè)設(shè) 個(gè)個(gè) 維向量維向量s12,s n11121212221212,sssnnnsaaaaaaaaa則向量組則向量組 線性相關(guān)的充分必要條件是以線性相關(guān)的充分必要條件是以12,s 為系數(shù)列向量的齊次線性方程組為系數(shù)列向量的齊次線性方程組11 1122121 122221 122000ssssnnnssa xa xa xa xa xa xa xa xa x有非零解有非零解;向量組向量組 線性無(wú)關(guān)的充要條件是齊次線性方線性無(wú)關(guān)的充要條件是齊次線性方程組（程組（3.5）只有全零解）只有全零解.12,s （3.5） 定理定理3.2.2線性代數(shù) 第3章 向量空間 3.2 向量的線性相關(guān)性1

11、8 設(shè)設(shè) 個(gè)個(gè) 維向量維向量,向量組向量組 線性相關(guān)的充分必線性相關(guān)的充分必sn12,s 要條件是要條件是 ;線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是 ,其中其中 r As r AsA是以是以 為列構(gòu)成的矩陣為列構(gòu)成的矩陣,即即 .12,s 12,sA 任意任意 個(gè)個(gè) 維向量維向量 ,當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),sn12,s sn12,s 線性相關(guān)線性相關(guān).推論推論1推論推論2線性代數(shù) 第3章 向量空間 3.2 向量的線性相關(guān)性19 個(gè)個(gè) 維向量維向量 11121212221212,nnnnnnnaaaaaaaaa線性相關(guān)的充要必要條件是以線性相關(guān)的充要必要條件是以 個(gè)向量組成的行列式個(gè)向量組成的行列

12、式n0A 線性無(wú)關(guān)的充要必要條件是以線性無(wú)關(guān)的充要必要條件是以 個(gè)向量組成的行列式個(gè)向量組成的行列式 .n推論推論3nn線性代數(shù) 第3章 向量空間 3.2 向量的線性相關(guān)性0A 20 若向量組若向量組11121212221212,sssnnnsaaaaaaaaa（3.6） 線性相關(guān)線性相關(guān),則去掉每個(gè)向量的最后則去掉每個(gè)向量的最后 個(gè)分量個(gè)分量 ,所得向量組所得向量組r1rn111212122212,1,2,sssn rn rn r saaaaaaaaa（3.7）也線性相關(guān)也線性相關(guān). 稱向量組稱向量組(3.7)為向量組為向量組(3.6)的縮短向量組的縮短向量組,也稱向量組也稱向量組(3.6)

13、為向?yàn)橄蛄拷M量組(3.7)的延長(zhǎng)向量組的延長(zhǎng)向量組.推論推論4線性代數(shù) 第3章 向量空間 3.2 向量的線性相關(guān)性21綜上所述綜上所述,在考慮向量組的線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)時(shí)在考慮向量組的線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)時(shí),有以下結(jié)論有以下結(jié)論:如果向量個(gè)數(shù)大于向量維數(shù)時(shí)如果向量個(gè)數(shù)大于向量維數(shù)時(shí),此向量組必線性相關(guān)此向量組必線性相關(guān).(2) 當(dāng)向量個(gè)數(shù)等于向量維數(shù)時(shí)當(dāng)向量個(gè)數(shù)等于向量維數(shù)時(shí),以向量為列組成的行列式以向量為列組成的行列式,當(dāng)行列當(dāng)行列 式為零時(shí)式為零時(shí),向量組線性相關(guān)向量組線性相關(guān),當(dāng)行列式不為零時(shí)當(dāng)行列式不為零時(shí),此向量組線性無(wú)此向量組線性無(wú) 關(guān)關(guān).(3) 當(dāng)向量個(gè)數(shù)小于向量維數(shù)時(shí)當(dāng)向量個(gè)數(shù)小

14、于向量維數(shù)時(shí),以向量為列組成矩陣以向量為列組成矩陣,用初等行變用初等行變 換將此矩陣化為階梯形矩陣換將此矩陣化為階梯形矩陣,當(dāng)階梯形矩陣的秩等于向量個(gè)數(shù)當(dāng)階梯形矩陣的秩等于向量個(gè)數(shù) 時(shí)時(shí),此向量組線性無(wú)關(guān)此向量組線性無(wú)關(guān);當(dāng)階梯形矩陣的秩小于向量個(gè)數(shù)時(shí)當(dāng)階梯形矩陣的秩小于向量個(gè)數(shù)時(shí),此向此向 量組線性相關(guān)量組線性相關(guān).線性代數(shù) 第3章 向量空間 3.2 向量的線性相關(guān)性22例例3 判斷下列向量組的相關(guān)性判斷下列向量組的相關(guān)性1231,2 ,(4,1),(0,4)(1)(2)1231,0,0 ,(2,4,3),( 1,1,5) (3)1231, 2,0,3 ,(2,5, 1,0),(0,9, 1

15、, 6) 線性代數(shù) 第3章 向量空間 3.2 向量的線性相關(guān)性23例例4 已知向量組已知向量組 線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān),證明向量組證明向量組123, 1122233312,2,2 也線性無(wú)關(guān)也線性無(wú)關(guān).線性代數(shù) 第3章 向量空間 3.2 向量的線性相關(guān)性243.2.3 3.2.3 線性相關(guān)性的若干定理線性相關(guān)性的若干定理定理定理3.2.3 向量組向量組 線性相關(guān)的充分必要條件線性相關(guān)的充分必要條件1,2ss為其中有一個(gè)向量可由其余向量線性表示為其中有一個(gè)向量可由其余向量線性表示.推論推論1向量組向量組 線性無(wú)關(guān)的充分必要條件線性無(wú)關(guān)的充分必要條件1,2ss是其中每一個(gè)向量都不能由其余向量線性表示是其

16、中每一個(gè)向量都不能由其余向量線性表示.推論推論2若若 維向量組維向量組 線性相關(guān)線性相關(guān),則向量組則向量組n12,s 121,ssmms 也線性相關(guān)也線性相關(guān).線性代數(shù) 第3章 向量空間 3.2 向量的線性相關(guān)性25定理定理3.2.4若向量組若向量組 線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān),而而12,s 線性相關(guān)線性相關(guān),則則 可由可由 線性表示線性表示,且表達(dá)式唯一且表達(dá)式唯一.12,s 12,s 線性代數(shù) 第3章 向量空間 3.2 向量的線性相關(guān)性26定理定理3.2.5如果向量組如果向量組 可由向量組可由向量組12,s 12,t 線性表示線性表示,且且 ,則向量組則向量組 必線性相關(guān)必線性相關(guān).st12,s 推

17、論推論1如果向量組如果向量組 可由向量組可由向量組 線性線性12,s 12,t 表示表示,且且 線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān),則則 .12,s st若兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組等價(jià)，則兩個(gè)向量組中必含有若兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組等價(jià)，則兩個(gè)向量組中必含有相同個(gè)數(shù)的向量相同個(gè)數(shù)的向量.推論推論2線性代數(shù) 第3章 向量空間 3.2 向量的線性相關(guān)性27 3.3 3.3 向量組的秩向量組的秩28定義定義3.3.1一個(gè)向量組的一個(gè)部分組稱為極大線性無(wú)關(guān)組一個(gè)向量組的一個(gè)部分組稱為極大線性無(wú)關(guān)組(簡(jiǎn)稱極大無(wú)關(guān)組簡(jiǎn)稱極大無(wú)關(guān)組),如果這個(gè)部分組滿足如果這個(gè)部分組滿足(1) 線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān);(2) 其余任何一個(gè)向量其余任何一個(gè)

18、向量(如果還有的話如果還有的話)添入均線性相關(guān)添入均線性相關(guān).(也可說也可說,其余任一向量可由這個(gè)部分組線性表示其余任一向量可由這個(gè)部分組線性表示).線性代數(shù) 第3章 向量空間 3.3 向量組的秩29由定義可知由定義可知:(1) 只含零向量的向量組是線性相關(guān)的只含零向量的向量組是線性相關(guān)的,因此它沒有極大線性因此它沒有極大線性無(wú)關(guān)組無(wú)關(guān)組;而含有非零向量的向量組都有極大線性無(wú)關(guān)組而含有非零向量的向量組都有極大線性無(wú)關(guān)組.(2) 一個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組的極大線性無(wú)關(guān)組就是向量組本身一個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量組的極大線性無(wú)關(guān)組就是向量組本身.(3) 一個(gè)向量組的極大無(wú)關(guān)組是不唯一的一個(gè)向量組的極大無(wú)關(guān)組是不

19、唯一的.(4) 一個(gè)向量組與極大無(wú)關(guān)組是等價(jià)的一個(gè)向量組與極大無(wú)關(guān)組是等價(jià)的.向量組的任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組也是等價(jià)的向量組的任意兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組也是等價(jià)的.(6) 極大無(wú)關(guān)組中含有向量的個(gè)數(shù)相等極大無(wú)關(guān)組中含有向量的個(gè)數(shù)相等.線性代數(shù) 第3章 向量空間 3.3 向量組的秩30定義定義3.3.2一個(gè)向量組一個(gè)向量組 的極大無(wú)關(guān)組所含向量的的極大無(wú)關(guān)組所含向量的12,.,s 個(gè)數(shù)稱為這個(gè)向量組的秩個(gè)數(shù)稱為這個(gè)向量組的秩,記記 .12(,.,)sr 規(guī)定規(guī)定,只含零向量的向量組的秩為只含零向量的向量組的秩為0.線性代數(shù) 第3章 向量空間 3.3 向量組的秩31由向量組秩的定義可得由向量組秩的定義可得:1

20、2,.,s (1) 向量組向量組 線性相關(guān)線性相關(guān)12,.,srs 向量組向量組 線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)12,.,s 12,.,srs (線性無(wú)關(guān)的向量組的極大無(wú)關(guān)組就是向量組本身線性無(wú)關(guān)的向量組的極大無(wú)關(guān)組就是向量組本身).(2) 任何一個(gè)部分組的秩任何一個(gè)部分組的秩 向量組的秩向量組的秩 向量組中向量的個(gè)數(shù)向量組中向量的個(gè)數(shù). (4) 若向量組若向量組 可由向量組可由向量組 線性表示線性表示,則則12,.,s 12,.,t 1212,.,.,strr (3) 等價(jià)的向量組具有相同的秩等價(jià)的向量組具有相同的秩.注意注意: 兩個(gè)向量組的秩相等兩個(gè)向量組的秩相等,它們不一定等價(jià)它們不一定等價(jià).線性代數(shù)

21、 第3章 向量空間 3.3 向量組的秩32例例2 試證試證:若一個(gè)向量組的秩為若一個(gè)向量組的秩為 ,則在向量組內(nèi)則在向量組內(nèi),任意任意 個(gè)個(gè)rr線性無(wú)關(guān)的向量都構(gòu)成它的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組線性無(wú)關(guān)的向量都構(gòu)成它的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組.線性代數(shù) 第3章 向量空間 3.3 向量組的秩333.3.2 向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系向量組的秩與矩陣的秩的關(guān)系111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa一個(gè)一個(gè) 矩陣矩陣m nA12,m 矩陣矩陣的行向量組的行向量組 ,其中其中 111121naaa221222naaa12mmmmnaaaA12,n 11121212221212,.nnnmmmnaa

22、aaaaaaa矩陣矩陣的列向量組的列向量組,其中其中線性代數(shù) 第3章 向量空間 3.3 向量組的秩34矩陣的秩等于它的列向量組的秩，也等于矩陣的秩等于它的列向量組的秩，也等于定理定理3.3.1它的行向量組的秩它的行向量組的秩.矩陣的初等行變換不改變矩陣的列向量組矩陣的初等行變換不改變矩陣的列向量組定理定理3.3.2的線性相關(guān)性的線性相關(guān)性.線性代數(shù) 第3章 向量空間 3.3 向量組的秩35例例2 2 求向量組的秩及極大無(wú)關(guān)組求向量組的秩及極大無(wú)關(guān)組.12344( 1,4,0,2),(5,1,3,0),(3, 2,4, 1),( 2 95),(11) ， ， ,4，7， ,3(1)1234(1,

23、1, 1,0),(2,1, 2,1),( 1,3,1, 4),(4,3, 8,5) (2)線性代數(shù) 第3章 向量空間 3.3 向量組的秩363.4 3.4 向量空間向量空間37nnnR對(duì)于對(duì)于維向量的全體構(gòu)成的集合，并在集合中維向量的全體構(gòu)成的集合，并在集合中維向量空間，記作維向量空間，記作 .定義定義3.4.1定義了加法和數(shù)乘運(yùn)算，則稱此集合為定義了加法和數(shù)乘運(yùn)算，則稱此集合為,V VVkRkVVnR定義定義3.4.2設(shè)設(shè) 是是 維向量構(gòu)成的非空集合維向量構(gòu)成的非空集合,且滿足且滿足n(1) 若若 ,則則 ;(2) 若若 , ,則則 ;則稱集合則稱集合 是是 的子空間的子空間. V線性代數(shù) 第3章 向量空間 3.4 向量空間38定義定義3.4.3設(shè)設(shè) 是是 中的一個(gè)向量空間中的一個(gè)向量空間,若若 中的向量組中的向量組VnRV12,r 滿足滿足:(1) 線性