等效法解題方法在物理中的運(yùn)用

1、四、等效法方法簡介在一些物理問題中，一個(gè)過程的發(fā)展、一個(gè)狀態(tài)的確定，往往是由多個(gè)因素決定的，在這一決定中，若某些因素 所起的作用和另一些因素所起的作用相同，則前一些因素與后一些因素是等效的，它們便可以互相代替，而對過程的 發(fā)展或狀態(tài)的確定，最后結(jié)果并不影響，這種以等效為前提而使某些因素互相代替來研究問題的方法就是等效法。等效思維的實(shí)質(zhì)是在效果相同的情況下，將較為復(fù)雜的實(shí)際問題變換為簡單的熟悉問題，以便突出主要因素，抓 住它的本質(zhì)，找出其中規(guī)律。因此應(yīng)用等效法吋往往是用較簡單的因素代替較復(fù)雜的因素，以使問題得到簡化而便于 求解。賽題精講例1：如圖4一1所示，水平面上，有兩個(gè)豎直的光滑墻壁a和b

2、,相距為d , 個(gè)小球以初速度v。從兩墻之間的o點(diǎn)斜向上拋出，與a和b各發(fā)生一次彈性碰撞后，正好落回拋岀點(diǎn)，求小球的拋射角0 o解析：將彈性小球在兩墻之間的反彈運(yùn)動，可等 圖)。所以可用解斜拋運(yùn)動的方法求解。由題意得：2d = v0coso t = v0coso g可解得拋射角：0 = -arcsin2v-例2：質(zhì)點(diǎn)由a向b做直線運(yùn)動，a、b間的距 速度為vo ,加速度為a ,如果將l分成相等的n效為一個(gè)完整的斜拋運(yùn)動(見圖4-1離為l,已知質(zhì)點(diǎn)在a點(diǎn)的段，質(zhì)點(diǎn)每通過丄的距離加速度均增加仝，求質(zhì)點(diǎn)到達(dá)b時(shí)的速度。n解析：從a到b的整個(gè)運(yùn)動過程中，由于加速度均勻增加，故此運(yùn)動是非勻變速直線運(yùn)動，

3、而非勻變速直線運(yùn)動, 不能用勻變速直線運(yùn)動公式求解，但若能將此運(yùn)動用勻變速直線運(yùn)動等效代替，則此運(yùn)動就可以求解。因加速度隨通過的距離均勻增加，則此運(yùn)動中的平均加速度為：(n -l)aa , _a 刃尹 a 二 a + a+ 門 _ 3an _a _ (3n _l)a' 2-2 2n 2n_由勻變速運(yùn)動的導(dǎo)出公式得：2“平v；解得：vb = jv； +色嚴(yán)例3： 只老鼠從老鼠洞沿直線爬出，已知爬出速度v的大小與距老鼠洞中心的距離s成反比，當(dāng)老鼠到達(dá)距老鼠 洞中心距離s】=lm的a點(diǎn)時(shí)，速度大小為旳=20cin/s ,問當(dāng)老鼠到達(dá)距老鼠洞中心s2=2m的b點(diǎn)時(shí)，其速度大小 v2 = ?老鼠

4、從a點(diǎn)到達(dá)b點(diǎn)所用的時(shí)間t = ?解析：我們知道當(dāng)汽午以恒定功率行駛時(shí)，其速度v與牽引力f成反比，即v二由此可把老鼠的運(yùn)動等效為在 f外力以恒定的功率牽引下的彈簧的運(yùn)動。由此分析，可寫出：v=m=邑f kx當(dāng) x 二 s1 時(shí) 9 v = v1將其代入上式求解，得：k = v 角 v2s2所以老鼠到達(dá)b點(diǎn)時(shí)的速度v2=-v1=1x20= 1 ocm/ss, 2再根據(jù)外加故的功等于此等效彈簧彈性勢能的增加，p弓斶-護(hù):代入有關(guān)量可得：pt = l （s；-s；） 2 v,s,-圖42由此可解得：t= 2：-12 =7.5s 2sv|2xlx0.2（此題也可以用圖像法、類比法求解。）例4：如圖4一

5、2所示，半徑為的鉛球內(nèi)有一半徑為£的球形空腔，其表面與球面相2切，鉛球的質(zhì)量為m o在鉛球和空腔的中心連線上，距離鉛球中心l處有一質(zhì)量為m的 小球（可以看成質(zhì)點(diǎn)），求鉛球?qū)π∏虻囊Α＝馕觯阂驗(yàn)殂U球內(nèi)部有一空腔，不能把它等效成位于球心的質(zhì)點(diǎn)。我們設(shè)想在鉛球 的空腔內(nèi)填充一個(gè)密度與鉛球相同的小鉛球am，然后在對于小球m對稱的另一側(cè)位置 放另一個(gè)相同的小鉛球,這樣加入的兩個(gè)小鉛球?qū)π∏騧的引力可以抵消，就這樣將空腔鉛球變成實(shí)心鉛球，而 結(jié)果是等效的。帶空腔的鉛球?qū)的引力等效于實(shí)心鉛球與另一側(cè)am對m的引力之和。設(shè)空腔鉛球?qū)的引力為f ,實(shí)心鉛 球與am對m的引力分別為fi、f2o貝i

6、jf = f1-f2經(jīng)計(jì)算可知：，所以：7f二 gm(m + am) _ 8gmmv7l2f2 = gmamgmm7(l-f)2將、代入式，解得空腔鉛球?qū)π∏虻囊?f = f f? = gmm871；7(l $圖43例5：如圖43所示，小球長為l的光滑斜面頂端自由下滑，滑到底端時(shí)與擋板碰撞并反向彈回，若每次與扌當(dāng)板碰 撞后的速度大小為碰撞前速度大小的牛，求小球從開始下滑到最終停止于斜面下端時(shí)，小球總共通過的路程。解析：小球與擋板碰撞后的速度小于碰撞前的速度，說明碰撞過程屮損失能量, 每次反彈距離都不及上次大，小球一步一步接近擋板，最終停在擋板處。我們可以 分別計(jì)算每次碰撞垢上升的距離l、l

7、2、ln ,則小球總共通過的路程為s = 2 （l1+l2+lj + l ,然后用等比數(shù)列求和公式求出結(jié)果，但是這種解法很麻煩。我們假設(shè)小球與擋板碰撞不損失能量，其原來損失的能量看做小球運(yùn)動過程中 克服阻力做功而消耗掉，最終結(jié)果是相同的，而阻力在整個(gè)運(yùn)動過程中都有，就可以 利用摩擦力做功求出路程。設(shè)第一次碰撞前后小球的速度分別為v、v,碰撞后反彈的距離為j ,貝歸mv2 = mglsinom v, = mglisino其中 vj = v ,所以：=- = ( )25l v 5碰撞中損失的動能為:aek = lmv2-lmv>lmv2(l-i|)根據(jù)等效性有：fsek，解得等效摩擦力f專噸

8、誠通過這個(gè)結(jié)果可以看出等效摩擦力與下滑的長度無關(guān)，所以在以后的運(yùn)動過程屮，等效摩擦力都相同。以整個(gè)運(yùn) 動為研究過程,有：f s = mglsin0圖4一4解出小球總共通過的總路程為：s = -l9（此題也可以通過遞推法求解，讀者可試試。）例6：如圖4一4所示，用兩根等長的輕質(zhì)細(xì)線懸掛一個(gè)小球，設(shè)l和a已知，當(dāng)小球垂直于紙 面做簡諧運(yùn)動時(shí)，其周期為o解析：此題是一個(gè)雙線擺，而我們知道單擺的周期，若將乂線擺擺長等效為單擺擺長，則雙線 擺的周期就可以求出來了。將雙線擺擺長等效為單擺擺長l =lsina ,則此雙線擺的周期為：圖452卜砰例8：如圖4一5所示，由一根長為l的剛性輕桿和桿端的小球組成的單

9、擺做振幅很小的自 由振動。如果桿上的中點(diǎn)固定另一個(gè)相同的小球，使單擺變成一個(gè)異形復(fù)擺，求該復(fù)擺的振動 周期。解析：復(fù)擺這一物理模型屬于大學(xué)普通物理學(xué)的內(nèi)容，中學(xué)階段限于知識的局限，不能直 接求解。如能進(jìn)行等效操作，將其轉(zhuǎn)化成中學(xué)生熟悉的單擺模型，則求解周期將變得簡捷易行。設(shè)想有一擺長為5的輔助單擺，與原復(fù)擺等周期，兩擺分別從擺角a處從靜止開始擺動， 擺動到與豎直方向夾角為卩時(shí)，具有相同的角速度® ,對兩擺分別應(yīng)用機(jī)械能守恒定律，于是得:mgl (cosp - cosa) + mg ( cosp - cosa) = m(col)2 + *(號)?對單擺，得：mglo（cospcosa）

10、=3ni（a）l（）2聯(lián)立兩式求解，得：1。=丄1故原復(fù)擺的周期為：t=2jt 1=271已知：l= 10cm ,當(dāng)此u形例9：粗細(xì)均勻的u形管內(nèi)裝有某種液體，開始靜止在水平面上，如圖4一6所示, 管以4m/s2的加速度水平向右運(yùn)動時(shí)，求兩豎直管內(nèi)液面的高度差。（g-lom/sb 解析：當(dāng)u形管向右加速運(yùn)動時(shí)，可把液體當(dāng)做放在等效重力場中，g/的方向是等效 重力場的豎直方向，這時(shí)兩邊的液面應(yīng)與等效重力場的水平方向平行，即與方向垂直。設(shè)g'的方向與g的方向之間夾角為a，貝ij：tana = = 0.4g由圖46可知液面與水平方向的夾角為a ,所以,ah = l tana = 10x0.4

11、 = 4cm = 0.04m例10：光滑絕緣的圓形軌道豎直放置，半徑為r ,在其最低點(diǎn)a處放一質(zhì)量為m的帶電小球，整個(gè)空間存在勻強(qiáng)電場，使小球受到電場力的大小為,方向水平向右，現(xiàn)給小球一個(gè)水平向右的初速度vo ,使小球沿軌道向上運(yùn)動，若小球剛好能做完整的圓周運(yùn)動，求vo。解析：小球同時(shí)受到重力和電場力作用，這時(shí)也可以認(rèn)為小球處在等效重力場中。小球受到的等效重力為:ze, avi=lnzyi-1a圖47圖48等效重力加速度：£=巫莒m 3與豎直方向的夾角0 = 30° ,如圖4-7甲所示。所以b點(diǎn)為等效重力場中軌道的最高點(diǎn)，如圖47,由題意，小球剛好能做完整的圓周運(yùn)動，小球運(yùn)

12、動到b點(diǎn)時(shí)的速度vb = vfr在等效重力場中應(yīng)用機(jī)械能守恒定律：m = mgz (r + rcoso) + m將、vb分別代入上式，解得給小球的初速度為：v0 = 2(3+ 1) gr例11：空間某一體積為v的區(qū)域內(nèi)的平均電場強(qiáng)度(e)的定義為:ejay + e2av2 + + enavn av. +av, + + av2n如圖48所示，今有一半徑為a原來不帶電的金屬球，現(xiàn)使它處于電量為q的點(diǎn)電荷 的電場中，點(diǎn)電荷位于金屬球外，與球心的距離為r，試計(jì)算金屬球表而的感應(yīng)電荷所產(chǎn) 生的電場在此球內(nèi)的平均電場強(qiáng)度。解析：金屬球表面的感應(yīng)電荷產(chǎn)生的球內(nèi)電場，由靜電平衡知識可知等于電量為q的點(diǎn)電荷在金

13、屬球內(nèi)產(chǎn)生的電 場，其大小相等，方向相反，因此求金屬球表面的感應(yīng)電荷產(chǎn)生的電場，相當(dāng)于求點(diǎn)電荷q在金屬球內(nèi)產(chǎn)生的電場。由平均電場強(qiáng)度公式得：設(shè)金屬球均勻帶電，帶電量為q ,其密度為p =則有:vne = zi=syrq所在點(diǎn)產(chǎn)生的場強(qiáng)，因而有e二尋,方向從o指向q。例11：質(zhì)量為m的小球帶電暈為q ,在場強(qiáng)為e的水平勻強(qiáng)電場中獲得豎直向上的初速度為v。o若忽略空氣 阻力和重力加速度g隨高度的變化，求小球在運(yùn)動過程中的最小速度。解析：若把電場力eq和重力mg合成一個(gè)力，則小球相當(dāng)于只受一個(gè)力的作用，由于小球運(yùn)動的初速度與其所受 的合外力之間成一鈍角，因此可以把小球的運(yùn)動看成在等效重力g'

14、(即為合外力)作用下的斜拋運(yùn)動，而做斜拋運(yùn)動的物體在其速度方向與g'垂直時(shí)的速度為最小，也就是斜拋運(yùn)動的最高點(diǎn)，由此nj見用這種等效法可以較快求得 結(jié)果。電場力和重力的合力方向如圖49所示,由圖所示的兒何關(guān)系可知：kmo二些qe小球從0點(diǎn)拋出時(shí)，在y方向上做勻減速直線運(yùn)動，在x軸方向上做勻速直線運(yùn)動。當(dāng)在 y軸方向上的速度為零時(shí)，小球只具有x軸方向上的速度，此時(shí)小球的速度為最小值，所以：vo xqev。vmin = vocos0 =7(mg)2+(qe)2圖49（此題也可以用矢量三角形求極值的方法求解，讀者可自行解決。）例12：如圖410所示，&、r2、r3為定值電阻，但阻值未

15、知，rx為電阻箱。當(dāng)rx 為rxl= 10q時(shí)，通過它的電流ixi = 1.0a ；當(dāng)心為心2= 18q時(shí)，通過它的電流ix2 = 0.6a。 則當(dāng)ix3 = 0.1 a時(shí)，求電阻rx3 o解析：電源電動勢£、內(nèi)電阻r、電阻ri、r2 > r.3均未知，按題目給的電路模型列 式求解，顯然方程數(shù)少于未知量數(shù)，于是可采取變換電路結(jié)構(gòu)的方法。將圖410所示的虛線框內(nèi)電路看成新的電源，則等效電路如圖,內(nèi)電阻為o根據(jù)電學(xué)知識，有：圖 410410甲所示，電源的電動勢為j新電路不改變r(jià)x和ix的對應(yīng)關(guān)系，=ixi（rxi +）j =ix2（rx2 + 1）j =ix3（rx3 +【'

16、;）由、兩式，得：j = 12v代入式,可得：rx3=118q例13：如圖411所示的甲、rf =2q圖4 10甲乙兩個(gè)電阻電路具有這樣的特性:對于任意阻值的rab、rbc和rca，相應(yīng)的電阻&、rb和&可確定。因此在對應(yīng)點(diǎn)a和a , b和b、c和c的電位是相同的，并且，流入對應(yīng)點(diǎn)（例如a和a）rabrca的電流也相同，利用這些條件證明：ra=匕4，并證明對rb和&也 rab + rbc + rca有類似的結(jié)果，利用上而的結(jié)果求圖411甲中p和q兩點(diǎn)之間的電阻。解析：圖411中甲、乙兩種電路的接法分別叫三角形接法和星形接法， 只有這兩種電路任意兩對應(yīng)點(diǎn)之間的總電阻部分都

17、相等，兩個(gè)電路可以互相等效, 具有相同的電勢。由 rab = rab，rac = rac，rbc = rbc，對 ab 間，有：r + rb = （ j 1 rabrca +r>brbcrab r,c+rbqrab+rbc+rca同樣，ac間和be間,也有：1、一1 r.brca +rbcrc.ra + re =（+） =rca rab +rbcr.ab +rbc +rcarb + r。（丄 + !）_，=rbc rab + rcarab + rbc + rca將十一得：ra =巴理r.nb + rrc + rca再通過一+和+一，并整理，就得到心和re的表達(dá)式r rr r& _

18、4 ab 八 bc & _r.b + rbc + rcarab + rbc + r（?a下面利用以上結(jié)果求圖4-12甲中p和q兩點(diǎn)之間的電阻。對應(yīng)點(diǎn)a、b、b 和c、c 將cl|6q<xl242412 乙p 6q q412 甲4一12 丙用星形接法代替三角形接法，可得圖412乙所示電路，prqs回路是一個(gè)平衡的惠斯登電橋，所以在rs之間無 電流，因此它與圖4-12丙所示電路是等效的。因此pq之間的總電阻rpq可通過這三個(gè)并聯(lián)電阻求和得到。所以：例14：如圖4一13所示，放在磁感應(yīng)強(qiáng)度b = 0.6t的勻強(qiáng)磁場中的長方形金屬線框abed,框 平面與磁感應(yīng)強(qiáng)度方向垂直，其中ab和be

19、各是一段粗細(xì)均勻的電阻絲rab = 5q , rbc = 3q ,線 框其余部分電阻忽略不計(jì)?，F(xiàn)讓導(dǎo)體ef擱置在ab、cd邊上，其有效長度l = 0.5m ,且與ab垂 直，阻值rej. = 1q ,并使其從金屬框ad端以恒定的速度v =l()m/s向右滑動，當(dāng)ef滑過ab長的 羋距離時(shí)，問流過ae端的電流多大？5解析：ef向右運(yùn)動時(shí)，產(chǎn)生感應(yīng)電動勢£ ,當(dāng)ef滑過ab長的纟時(shí)，電路圖可等效為如圖45圖 41313叩所不的電路。根據(jù)題設(shè)可以求出ef產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢e£ = blv = 0.6x0.5x10 = 3.0vrae = 4q 9 rgb 二 1q , rbc =

20、3q此時(shí)電源內(nèi)阻為導(dǎo)體ef的電阻，=ref=1q，則電路中的總電阻為: r = r+ rje(rfh+rm)=3。rae +(reb +rbc)圖413甲電路中的總電流為：i=-=1.0ar通過ae的電流為:iae = 0.5a例15：有一薄平凹透鏡，凹面半徑為0.5m ,玻璃的折射率為1.5 ,且在平面上鍍一層 反射層，如圖4-14所示，在此系統(tǒng)的左側(cè)主軸上放一物s , s距系統(tǒng)1.5m ,問s成像于 何處？解析：本題可等效為物點(diǎn)s先經(jīng)薄平凹透鏡成像，其像為平面鏡的物，平面鏡對物成像 又為薄平凹透鏡成像的物，根據(jù)成像規(guī)律，逐次求出最終像的位置。根據(jù)以上分析，首先考慮物s經(jīng)平凹透鏡的成像s&#

21、39;,根據(jù)公式丄+丄二丄p： p其中丄= (n-l)( - ) = (1.5-1)( _ 丄)=_f,r r2-0.58故有：丄 + = 1 , p/=0.6mp： 1.5成像在左側(cè)，為虛像，該虛像再經(jīng)平凹透鏡成像s"后，其像距為：p；=-p2=- p；=0.6m成像在右側(cè)，為虛像，該虛像再經(jīng)平凹透鏡成像s",有：丄+丄二丄，其中 p3 = p：=0.6m ,丄=lmtr p： f2f圖 414故：丄 + =-1 ,解得：p；=-0.375m p； 0.63即成虛像于系統(tǒng)右側(cè)0.375m處。（此題還可用假設(shè)法求解。）針對訓(xùn)練1. 半徑為r的金屬球與大地相連，距球心l處有一

22、帶電量為+q的點(diǎn)電荷如圖4-15所 示。試求：（1）球上感應(yīng)電荷的總電量；（2）q受到的庫侖力。2. 如圖 416 所示，設(shè) r|=40q , r2 = 80q , r3 = 5q , r4= 10q , r5 = 40q , r6 = 99q , r7= 101q , r8 = 20q ,求 ab 之間的電阻。圖 415圖 416圖 417m圖 4183. 電路如圖417所示，r1 = r3 = r4 = r5 = 3q時(shí)，r2= 1q ,求ab間的等效電阻。4. 有9個(gè)電阻聯(lián)成如圖418電路，圖中數(shù)字的單位是q ,求pq兩點(diǎn)間的等效電阻。圖 4206. 如圖4一20所示，由5個(gè)電阻聯(lián)成的網(wǎng)

23、絡(luò)，試求ab兩點(diǎn)間的等效電阻。7. 山7個(gè)阻值均為1的電阻組成的網(wǎng)絡(luò)元如圖4一21甲所示。111這種網(wǎng)絡(luò)元彼此連接形成的無限梯形網(wǎng)絡(luò)如圖4-21乙所示。試求p、q兩點(diǎn)之間的等效電阻。圖421甲圖421乙8. 圖4一22表示一交流電的電流隨時(shí)間而變化的圖像，此交流電流有效值是（）a、5 v2ab、5ac、3.5 運(yùn) ad、3.5a圖 422圖 423圖 4249. 磁流體發(fā)電機(jī)的示意圖如圖423所示，橫截面為距形的管道長為l，寬為a ,高為b ,上下兩個(gè)側(cè)而是絕 緣體，相距為3的兩個(gè)側(cè)面是電阻可忽略的導(dǎo)體，此兩導(dǎo)體側(cè)而與負(fù)載電阻rl相連。整個(gè)管道放在一個(gè)勻強(qiáng)磁場中， 磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為b ,方向

24、垂直于上下側(cè)面向上?，F(xiàn)有電離氣體（正、負(fù)帶電粒子）持續(xù)穩(wěn)定的流經(jīng)管道，為了 使問題簡化，設(shè)橫截面上各點(diǎn)流速相同。已知流速與電離氣體所受的壓力成正比；且無論有無磁場存在時(shí)，都維持管 道兩端電離氣體的壓強(qiáng)差皆為p o設(shè)無磁場存在吋電離氣體的流速為v0 o求有磁場存在時(shí)流體發(fā)電機(jī)的電動勢的 大小£ o已知電離氣體的平均電阻率為p。10. 一勻質(zhì)細(xì)導(dǎo)線圓環(huán)，總電阻為r ,半徑為a ,圓環(huán)內(nèi)充滿方向垂直于環(huán)面的勻強(qiáng)磁場，磁場以速率k均勻地 隨時(shí)間增強(qiáng)，環(huán)上的a、d、c三點(diǎn)位置對稱。電流計(jì)g連接a、c兩點(diǎn)，如圖424所示，若電流計(jì)內(nèi)阻為rg , 求通過電流計(jì)的電流大小。11. 固定在勻強(qiáng)磁場中的

25、正方形導(dǎo)線框abed ,各邊長為l】，其中ab是一端電阻為r的均勻電 阻絲，其余三邊均為電阻可忽略的銅線，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為b ,方向垂直紙面向里，現(xiàn)有一與ab 段的材料、粗細(xì)、長度都相同的電阻絲pq架在導(dǎo)線框上，如圖4-25所示，以恒定的速度v從ad 滑向be ,當(dāng)pq滑過丄l的距離時(shí)，通過ap段電阻絲的電流是多大？方向如何？12. 如圖4-26所示，一根長的薄導(dǎo)體平板沿x軸放置，板面位于水平位置，板的寬度為l, 電阻可忽略不計(jì)，aebefd是圓弧形均勻?qū)Ь€，其電阻為3r ,圓弧所在的平面與x軸垂直，圓弧的圖 426兩端a和d與導(dǎo)體板的兩個(gè)側(cè)面相接解，并可在其上滑動。圓弧ae = eb = cf=fd詁圓周長，圓弧bc=£圓周長，一內(nèi)阻rg = n