初中三角形中做輔助線(xiàn)的技巧及典型例題

1、三角形中做輔助線(xiàn)的技巧口訣： 三角形圖中有角平分線(xiàn)，可向兩邊作垂線(xiàn)。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱(chēng)以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線(xiàn)平行線(xiàn)，等腰三角形來(lái)添。角平分線(xiàn)加垂線(xiàn)，三線(xiàn)合一試試看。線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)，常向兩端把線(xiàn)連。線(xiàn)段和差及倍半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。線(xiàn)段和差不等式，移到同一三角去。三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線(xiàn)。三角形中有中線(xiàn)，延長(zhǎng)中線(xiàn)等中線(xiàn)。1、 由角平分線(xiàn)想到的輔助線(xiàn) 口訣：圖中有角平分線(xiàn)，可向兩邊作垂線(xiàn)。也可將圖對(duì)折看，對(duì)稱(chēng)以后關(guān)系現(xiàn)。角平分線(xiàn)平行線(xiàn)，等腰三角形來(lái)添。角平分線(xiàn)加垂線(xiàn)，三線(xiàn)合一試試看。角平分線(xiàn)具有兩條性質(zhì)：a、對(duì)稱(chēng)性；b、角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。對(duì)于有角平分線(xiàn)的輔助線(xiàn)的作法，一般有兩種

2、。從角平分線(xiàn)上一點(diǎn)向兩邊作垂線(xiàn)；利用角平分線(xiàn)，構(gòu)造對(duì)稱(chēng)圖形（如作法是在一側(cè)的長(zhǎng)邊上截取短邊）。通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時(shí)，一般考慮作垂線(xiàn)；其它情況下考慮構(gòu)造對(duì)稱(chēng)圖形。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。與角有關(guān)的輔助線(xiàn)（一）、截取構(gòu)全等例1 如圖1-2，AB/CD，BE平分BCD，CE平分BCD，點(diǎn)E在AD上，求證：BC=AB+CD。例2 已知：如圖1-4，在ABC中，C=2B,AD平分BAC，求證：AB-AC=CD分析：此題的條件中還有角的平分線(xiàn)，在證明中還要用到構(gòu)造全等三角形，此題還是證明線(xiàn)段的和差倍分問(wèn)題。用到的是截取法來(lái)證明的，在長(zhǎng)的線(xiàn)段上截取短的線(xiàn)段，來(lái)證明。試試

3、看可否把短的延長(zhǎng)來(lái)證明呢？（二）、角分線(xiàn)上點(diǎn)向角兩邊作垂線(xiàn)構(gòu)全等過(guò)角平分線(xiàn)上一點(diǎn)向角兩邊作垂線(xiàn)，利用角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到兩邊距離相等的性質(zhì)來(lái)證明問(wèn)題。例1 如圖2-1，已知AB>AD, BAC=FAC,CD=BC。求證：ADC+B=180 分析：可由C向BAD的兩邊作垂線(xiàn)。近而證ADC與B之和為平角。例2 已知如圖2-3，ABC的角平分線(xiàn)BM、CN相交于點(diǎn)P。求證：BAC的平分線(xiàn)也經(jīng)過(guò)點(diǎn)P。分析：連接AP，證AP平分BAC即可，也就是證P到AB、AC的距離相等。練習(xí)：1如圖2-4AOP=BOP=15 ，PC/OA，PDOA， 如果PC=4，則PD=（ ） A 4 B 3

4、C 2 D 12.已知：如圖2-6,在正方形ABCD中，E為CD 的中點(diǎn)，F(xiàn)為BC 上的點(diǎn)，F(xiàn)AE=DAE。求證：AF=AD+CF。 3.已知：如圖2-7，在RtABC中，ACB=90 ,CDAB，垂足為D，AE平分CAB交CD于F，過(guò)F作FH/AB交BC于H。求證CF=BH。（三）：作角平分線(xiàn)的垂線(xiàn)構(gòu)造等腰三角形從角的一邊上的一點(diǎn)作角平分線(xiàn)的垂線(xiàn)，使之與角的兩邊相交，則截得一個(gè)等腰三角形，垂足為底邊上的中點(diǎn)，該角平分線(xiàn)又成為底邊上的中線(xiàn)和高，以利用中位線(xiàn)的性質(zhì)與等腰三角形的三線(xiàn)合一的性質(zhì)。（如果題目中有垂直于角平分線(xiàn)的線(xiàn)段，則延長(zhǎng)該線(xiàn)段與角的另一邊相交）。例1 已知：如圖3-1，B

5、AD=DAC，AB>AC,CDAD于D，H是BC中點(diǎn)。求證：DH=（AB-AC）分析：延長(zhǎng)CD交AB于點(diǎn)E，則可得全等三角形。問(wèn)題可證。例2.已知：如圖3-2，AB=AC，BAC=90 ，AD為ABC的平分線(xiàn)，CEBE.求證：BD=2CE。分析：給出了角平分線(xiàn)給出了邊上的一點(diǎn)作角平分線(xiàn)的垂線(xiàn)，可延長(zhǎng)此垂線(xiàn)與另外一邊相交，近而構(gòu)造出等腰三角形。例3已知：如圖3-3在ABC中，AD、AE分別BAC的內(nèi)、外角平分線(xiàn)，過(guò)頂點(diǎn)B作BFAD，交AD的延長(zhǎng)線(xiàn)于F，連結(jié)FC并延長(zhǎng)交AE于M。求證：AM=ME。分析：由AD、AE是BAC內(nèi)外角平分線(xiàn)，可得EAAF，從而有BF/AE，所以想到利用比

6、例線(xiàn)段證相等。例3 已知：如圖3-4，在ABC中，AD平分BAC，AD=AB，CMAD交AD延長(zhǎng)線(xiàn)于M。求證：AM=（AB+AC）分析：題設(shè)中給出了角平分線(xiàn)AD，自然想到以AD為軸作對(duì)稱(chēng)變換，作ABD關(guān)于AD的對(duì)稱(chēng)AED，然后只需證DM=EC，另外由求證的結(jié)果AM=（AB+AC），即2AM=AB+AC，也可嘗試作ACM關(guān)于CM的對(duì)稱(chēng)FCM，然后只需證DF=CF即可。練習(xí)：1 已知：在ABC中，AB=5，AC=3，D是BC中點(diǎn)，AE是BAC的平分線(xiàn)，且CEAE于E，連接DE，求DE。2 已知BE、BF分別是ABC的ABC的內(nèi)角與外角的平分線(xiàn)，AFBF于F，AEBE于E，連接EF分別交AB、AC于

7、M、N，求證MN=BC（四）、以角分線(xiàn)上一點(diǎn)做角的另一邊的平行線(xiàn)有角平分線(xiàn)時(shí)，常過(guò)角平分線(xiàn)上的一點(diǎn)作角的一邊的平行線(xiàn)，從而構(gòu)造等腰三角形?；蛲ㄟ^(guò)一邊上的點(diǎn)作角平分線(xiàn)的平行線(xiàn)與另外一邊的反向延長(zhǎng)線(xiàn)相交，從而也構(gòu)造等腰三角形。如圖4-1和圖4-2所示。BDCA例1 如圖，BC>BA，BD平分ABC，且AD=CD，求證：A+C=180。ABECD例2 如圖，ABCD，AE、DE分別平分BAD各ADE，求證：AD=AB+CD。練習(xí)：1. 已知，如圖，C=2A，AC=2BC。求證：ABC是直角三角形。ABCD2已知：如圖，AB=2AC，1=2，DA=DB，求證：DCACAEBDCABDC12CAB

8、 3已知CE、AD是ABC的角平分線(xiàn)，B=60°，求證：AC=AE+CD4已知：如圖在ABC中，A=90°，AB=AC，BD是ABC的平分線(xiàn)，求證：BC=AB+AD二、 由線(xiàn)段和差想到的輔助線(xiàn)口訣：線(xiàn)段和差及倍半，延長(zhǎng)縮短可試驗(yàn)。線(xiàn)段和差不等式，移到同一三角去。遇到求證一條線(xiàn)段等于另兩條線(xiàn)段之和時(shí)，一般方法是截長(zhǎng)補(bǔ)短法：1、截長(zhǎng)：在長(zhǎng)線(xiàn)段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等于另一條；2、補(bǔ)短：將一條短線(xiàn)段延長(zhǎng)，延長(zhǎng)部分等于另一條短線(xiàn)段，然后證明新線(xiàn)段等于長(zhǎng)線(xiàn)段。對(duì)于證明有關(guān)線(xiàn)段和差的不等式，通常會(huì)聯(lián)系到三角形中兩線(xiàn)段之和大于第三邊、之差小于第三邊，故可想辦法放在

9、一個(gè)三角形中證明。一、 在利用三角形三邊關(guān)系證明線(xiàn)段不等關(guān)系時(shí)，如直接證不出來(lái)，可連接兩點(diǎn)或廷長(zhǎng)某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線(xiàn)段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明，如：例1、 已知如圖1-1：D、E為ABC內(nèi)兩點(diǎn),求證:AB+AC>BD+DE+CE.二、 在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時(shí)如直接證不出來(lái)時(shí)，可連接兩點(diǎn)或延長(zhǎng)某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個(gè)三角形的外角的位置上，小角處于這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定理：例如：如圖2-1：已知D為ABC內(nèi)的任一點(diǎn)，求證：BDC>BAC。分析：因?yàn)锽DC與BAC不在同個(gè)三角形中，沒(méi)有直接的聯(lián)系，可適

10、當(dāng)添加輔助線(xiàn)構(gòu)造新的三角形，使BDC處于在外角的位置，BAC處于在內(nèi)角的位置；注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時(shí)，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角放在這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。三、 有角平分線(xiàn)時(shí)，通常在角的兩邊截取相等的線(xiàn)段，構(gòu)造全等三角形，如：例如：如圖3-1：已知AD為ABC的中線(xiàn)，且1=2,3=4,求證：BE+CF>EF。分析：要證BE+CF>EF，可利用三角形三邊關(guān)系定理證明，須把BE，CF，EF移到同一個(gè)三角形中，而由已知1=2，3=4，可在角的兩邊截取相等的線(xiàn)段，利用三角形全等對(duì)應(yīng)邊相等，把EN，F(xiàn)N，EF移到同個(gè)三角形中。注意：當(dāng)證題有

11、角平分線(xiàn)時(shí)，?？煽紤]在角的兩邊截取相等的線(xiàn)段，構(gòu)造全等三角形，然后用全等三角形的對(duì)應(yīng)性質(zhì)得到相等元素。三、截長(zhǎng)補(bǔ)短法作輔助線(xiàn)。例如：已知如圖6-1：在ABC中，AB>AC，1=2，P為AD上任一點(diǎn)求證：AB-AC>PB-PC。分析：要證：AB-AC>PB-PC，想到利用三角形三邊關(guān)系，定理證之，因?yàn)橛C的線(xiàn)段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構(gòu)造第三邊AB-AC，故可在AB上截取AN等于AC，得AB-AC=BN，再連接PN，則PC=PN，又在PNB中，PB-PN<BN，即：AB-AC>PB-PC。例1如圖，AC平分BAD，CEAB，且B+D=180°

12、，求證：AE=AD+BE。DAECB例2如圖，在四邊形ABCD中，AC平分BAD，CEAB于E，AD+AB=2AE，求證：ADC+B=180º例3已知：如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，A=108°，BD平分ABC。DCBA求證：BC=AB+DC。MBDCA例4如圖，已知RtABC中，ACB=90°，AD是CAB的平分線(xiàn)，DMAB于M，且AM=MB。求證：CD=DB?！竞粚?shí)基礎(chǔ)】例：中，AD是的平分線(xiàn)，且BD=CD，求證AB=AC【方法精講】常用輔助線(xiàn)添加方法倍長(zhǎng)中線(xiàn) ABC中 方式1： 延長(zhǎng)AD到E， AD是BC邊中線(xiàn) 使DE=AD， 連接BE 方式2：間接

13、倍長(zhǎng) 作CFAD于F， 延長(zhǎng)MD到N， 作BEAD的延長(zhǎng)線(xiàn)于E 使DN=MD，連接BE 連接CD【經(jīng)典例題】例1：ABC中，AB=5，AC=3，求中線(xiàn)AD的取值范圍提示：畫(huà)出圖形，倍長(zhǎng)中線(xiàn)AD，利用三角形兩邊之和大于第三邊例2：已知在ABC中，AB=AC，D在AB上，E在AC的延長(zhǎng)線(xiàn)上，DE交BC于F，且DF=EF，求證：BD=CE方法1：過(guò)D作DGAE交BC于G，證明DGFCEF方法2：過(guò)E作EGAB交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于G，證明EFGDFB方法3：過(guò)D作DGBC于G，過(guò)E作EHBC的延長(zhǎng)線(xiàn)于H 證明BDGECH例3：已知在ABC中，AD是BC邊上的中線(xiàn)，E是AD上一點(diǎn)，且BE=AC，延長(zhǎng)BE交A

14、C于F，求證：AF=EF提示：倍長(zhǎng)AD至G，連接BG，證明BDGCDA 三角形BEG是等腰三角形例4：已知：如圖，在中，D、E在BC上，且DE=EC，過(guò)D作交AE于點(diǎn)F，DF=AC.求證：AE平分提示：方法1：倍長(zhǎng)AE至G，連結(jié)DG方法2：倍長(zhǎng)FE至H，連結(jié)CH例5：已知CD=AB，BDA=BAD，AE是ABD的中線(xiàn)，求證：C=BAE提示：倍長(zhǎng)AE至F，連結(jié)DF 證明ABEFDE（SAS）進(jìn)而證明ADFADC（SAS）【融會(huì)貫通】1、在四邊形ABCD中，ABDC，E為BC邊的中點(diǎn)，BAE=EAF，AF與DC的延長(zhǎng)線(xiàn)相交于點(diǎn)F。試探究線(xiàn)段AB與AF、CF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論提示：延長(zhǎng)A

15、E、DF交于G 證明AB=GC、AF=GF 所以AB=AF+FC2、如圖，AD為的中線(xiàn)，DE平分交AB于E，DF平分交AC于F. 求證：提示：方法1：在DA上截取DG=BD，連結(jié)EG、FG證明BDEGDE DCFDGF 所以BE=EG、CF=FG利用三角形兩邊之和大于第三邊方法2：倍長(zhǎng)ED至H，連結(jié)CH、FH證明FH=EF、CH=BE利用三角形兩邊之和大于第三邊3、已知：如圖，DABC中，ÐC=90°，CMAB于M，AT平分ÐBAC交CM于D，交BC于T，過(guò)D作DE/AB交BC于E，求證：CT=BE.提示：過(guò)T作TNAB于N 證明BTNECD四、 由中點(diǎn)想到的輔助

16、線(xiàn) 口訣：三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線(xiàn)。三角形中有中線(xiàn)，延長(zhǎng)中線(xiàn)等中線(xiàn)。在三角形中，如果已知一點(diǎn)是三角形某一邊上的中點(diǎn)，那么首先應(yīng)該聯(lián)想到三角形的中線(xiàn)、中位線(xiàn)、加倍延長(zhǎng)中線(xiàn)及其相關(guān)性質(zhì)（直角三角形斜邊中線(xiàn)性質(zhì)、等腰三角形底邊中線(xiàn)性質(zhì)），然后通過(guò)探索，找到解決問(wèn)題的方法。（一）、中線(xiàn)把原三角形分成兩個(gè)面積相等的小三角形即如圖1，AD是ABC的中線(xiàn)，則SABD=SACD=SABC（因?yàn)锳BD與ACD是等底同高的）。例1如圖2，ABC中，AD是中線(xiàn)，延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，DF是DCE的中線(xiàn)。已知ABC的面積為2，求：CDF的面積。解：因?yàn)锳D是ABC的中線(xiàn)，所以SACD=SABC=×

17、;2=1，又因CD是ACE的中線(xiàn)，故SCDE=SACD=1，因DF是CDE的中線(xiàn)，所以SCDF=SCDE=×1=。CDF的面積為。（二）、由中點(diǎn)應(yīng)想到利用三角形的中位線(xiàn)例2如圖3，在四邊形ABCD中，AB=CD，E、F分別是BC、AD的中點(diǎn)，BA、CD的延長(zhǎng)線(xiàn)分別交EF的延長(zhǎng)線(xiàn)G、H。求證：BGE=CHE。證明：連結(jié)BD，并取BD的中點(diǎn)為M，連結(jié)ME、MF，ME是BCD的中位線(xiàn)，MECD，MEF=CHE，MF是ABD的中位線(xiàn)，MFAB，MFE=BGE，AB=CD，ME=MF，MEF=MFE，從而B(niǎo)GE=CHE。（三）、由中線(xiàn)應(yīng)想到延長(zhǎng)中線(xiàn)例3圖4，已知ABC中，AB=5，AC=3，連

18、BC上的中線(xiàn)AD=2，求BC的長(zhǎng)。解：延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD，則AE=2AD=2×2=4。在ACD和EBD中，AD=ED，ADC=EDB，CD=BD，ACDEBD，AC=BE，從而B(niǎo)E=AC=3。在ABE中，因AE2+BE2=42+32=25=AB2，故E=90°，BD=，故BC=2BD=2。例4如圖5，已知ABC中，AD是BAC的平分線(xiàn)，AD又是BC邊上的中線(xiàn)。求證：ABC是等腰三角形。證明：延長(zhǎng)AD到E，使DE=AD。仿例3可證：BEDCAD，故EB=AC，E=2，又1=2，1=E，AB=EB，從而AB=AC，即ABC是等腰三角形。（四）、直角三角形斜邊中線(xiàn)的性質(zhì)例

19、5如圖6，已知梯形ABCD中，AB/DC，ACBC，ADBD，求證：AC=BD。證明：取AB的中點(diǎn)E，連結(jié)DE、CE，則DE、CE分別為RtABD，RtABC斜邊AB上的中線(xiàn)，故DE=CE=AB，因此CDE=DCE。AB/DC，CDE=1，DCE=2，1=2，在ADE和BCE中，DE=CE，1=2，AE=BE，ADEBCE，AD=BC，從而梯形ABCD是等腰梯形，因此AC=BD。（五）、角平分線(xiàn)且垂直一線(xiàn)段，應(yīng)想到等腰三角形的中線(xiàn)例6如圖7，ABC是等腰直角三角形，BAC=90°，BD平分ABC交AC于點(diǎn)D，CE垂直于BD，交BD的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E。求證：BD=2CE。證明：延長(zhǎng)BA，C

20、E交于點(diǎn)F，在BEF和BEC中，1=2，BE=BE，BEF=BEC=90°，BEFBEC，EF=EC，從而CF=2CE。又1+F=3+F=90°，故1=3。在ABD和ACF中，1=3，AB=AC，BAD=CAF=90°，ABDACF，BD=CF，BD=2CE。注：此例中BE是等腰BCF的底邊CF的中線(xiàn)。（六）中線(xiàn)延長(zhǎng)口訣：三角形中有中線(xiàn)，延長(zhǎng)中線(xiàn)等中線(xiàn)。題目中如果出現(xiàn)了三角形的中線(xiàn)，常延長(zhǎng)加倍此線(xiàn)段，再將端點(diǎn)連結(jié)，便可得到全等三角形。例一：如圖4-1：AD為ABC的中線(xiàn)，且1=2，3=4，求證：BE+CF>EF。證明：廷長(zhǎng)ED至M，使DM=DE，連接CM，M

21、F。在BDE和CDM中，BD=CD（中點(diǎn)定義）1=5（對(duì)頂角相等）ED=MD（輔助線(xiàn)作法）BDECDM（SAS）又1=2，3=4（已知）1+2+3+4=180°（平角的定義）3+2=90°即：EDF=90°FDM=EDF=90°在EDF和MDF中ED=MD（輔助線(xiàn)作法）EDF=FDM（已證）DF=DF（公共邊）EDFMDF（SAS）EF=MF（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）在CMF中，CF+CM>MF（三角形兩邊之和大于第三邊）BE+CF>EF上題也可加倍FD，證法同上。注意：當(dāng)涉及到有以線(xiàn)段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線(xiàn)段時(shí)，可通過(guò)延長(zhǎng)加倍此線(xiàn)段，構(gòu)造全等三角形，

22、使題中分散的條件集中。例二：如圖5-1：AD為ABC的中線(xiàn)，求證：AB+AC>2AD。分析：要證AB+AC>2AD，由圖想到：AB+BD>AD,AC+CD>AD，所以有AB+AC+BD+CD>AD+AD=2AD，左邊比要證結(jié)論多BD+CD，故不能直接證出此題，而由2AD想到要構(gòu)造2AD，即加倍中線(xiàn)，把所要證的線(xiàn)段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中去證明：延長(zhǎng)AD至E，使DE=AD，連接BE，CEAD為ABC的中線(xiàn)（已知）BD=CD（中線(xiàn)定義）在ACD和EBD中BD=CD（已證）1=2（對(duì)頂角相等）AD=ED（輔助線(xiàn)作法）ACDEBD（SAS）BE=CA（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）在

23、ABE中有：AB+BE>AE（三角形兩邊之和大于第三邊）AB+AC>2AD。練習(xí)：DMCDEDADBD1 如圖，AB=6，AC=8，D為BC 的中點(diǎn)，求AD的取值范圍。BECDABADC862 如圖，AB=CD，E為BC的中點(diǎn)，BAC=BCA，求證：AD=2AE。3 如圖，AB=AC，AD=AE，M為BE中點(diǎn)，BAC=DAE=90°。求證：AMDC。4，已知ABC，AD是BC邊上的中線(xiàn)，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向外作等腰直角三角形，如圖5-2，求證EF=2AD。ABDCEF 5已知：如圖AD為ABC的中線(xiàn)，AE=EF，求證：BF=AC 常見(jiàn)輔助線(xiàn)的作法有以下幾種：1

24、) 遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線(xiàn)合一”的性質(zhì)解題，思維模式是全等變換中的“對(duì)折”2) 遇到三角形的中線(xiàn)，倍長(zhǎng)中線(xiàn)，使延長(zhǎng)線(xiàn)段與原中線(xiàn)長(zhǎng)相等，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉(zhuǎn)”3) 遇到角平分線(xiàn)，可以自角平分線(xiàn)上的某一點(diǎn)向角的兩邊作垂線(xiàn)，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對(duì)折”，所考知識(shí)點(diǎn)常常是角平分線(xiàn)的性質(zhì)定理或逆定理4) 過(guò)圖形上某一點(diǎn)作特定的平分線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉(zhuǎn)折疊”5) 截長(zhǎng)法與補(bǔ)短法，具體做法是在某條線(xiàn)段上截取一條線(xiàn)段與特定線(xiàn)段相等，或是將某條線(xiàn)段延長(zhǎng)，是之與特定線(xiàn)段相等，再利用三角形全等的有關(guān)性質(zhì)加以說(shuō)

25、明這種作法，適合于證明線(xiàn)段的和、差、倍、分等類(lèi)的題目特殊方法：在求有關(guān)三角形的定值一類(lèi)的問(wèn)題時(shí)，常把某點(diǎn)到原三角形各頂點(diǎn)的線(xiàn)段連接起來(lái)，利用三角形面積的知識(shí)解答（一）、倍長(zhǎng)中線(xiàn)（線(xiàn)段）造全等1：（“希望杯”試題）已知，如圖ABC中，AB=5，AC=3，則中線(xiàn)AD的取值范圍是_. 2：如圖，ABC中，E、F分別在AB、AC上，DEDF，D是中點(diǎn)，試比較BE+CF與EF的大小.3：如圖，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點(diǎn)，求證：AD平分BAE.中考應(yīng)用（09崇文二模）以的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰Rt和等腰Rt，連接DE，M、N分別是BC、DE的中點(diǎn)探究：AM與DE的位置關(guān)系及數(shù)量關(guān)

26、系（1）如圖 當(dāng)為直角三角形時(shí)，AM與DE的位置關(guān)系是 ，線(xiàn)段AM與DE的數(shù)量關(guān)系是 ；（2）將圖中的等腰Rt繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)(0<<90)后，如圖所示，（1）問(wèn)中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生改變？并說(shuō)明理由（二）、截長(zhǎng)補(bǔ)短1.如圖，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求證：CDAC2：如圖，ACBD，EA,EB分別平分CAB,DBA，CD過(guò)點(diǎn)E，求證;ABAC+BD3：如圖，已知在內(nèi)，P，Q分別在BC，CA上，并且AP，BQ分別是，的角平分線(xiàn)。求證：BQ+AQ=AB+BP4：如圖，在四邊形ABCD中，BCBA,ADCD，BD平分，求證：5:如圖在ABC中，ABAC，12，P

27、為AD上任意一點(diǎn)，求證;AB-ACPB-PC中考應(yīng)用（08海淀一模）例題講解：一、利用轉(zhuǎn)化倍角，構(gòu)造等腰三角形當(dāng)一個(gè)三角形中出現(xiàn)一個(gè)角是另一個(gè)角的2倍時(shí)，我們就可以通過(guò)轉(zhuǎn)化倍角尋找到等腰三角形.如圖中，若ABC2C，如果作BD平分ABC，則DBC是等腰三角形；如圖中，若ABC2C，如果延長(zhǎng)線(xiàn)CB到D，使BDBA，連結(jié)AD，則ADC是等腰三角形；BCDABCDABCDA如圖中，若B2ACB，如果以C為角的頂點(diǎn)，CA為角的一邊，在形外作ACDACB，交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，則DBC是等腰三角形. DCBA1、如圖，ABC中，ABAC，BDAC交AC于D.求證：DBCBAC.ABC2、如圖，ABC中，

28、ACB2B，BC2AC.求證：A90°.二、利用角平分線(xiàn)+平行線(xiàn)，構(gòu)造等腰三角形當(dāng)一個(gè)三角形中出現(xiàn)角平分線(xiàn)和平行線(xiàn)時(shí)，我們就可以尋找到等腰三角形.如圖中，若AD平分BAC，ADEC，則ACE是等腰三角形；如圖中，AD平分BAC，DEAC，則ADE是等腰三角形；如圖中，AD平分BAC，CEAB，則ACE是等腰三角形；ADCBEECBDABACDEABFCDEG如圖中，AD平分BAC，EFAD，則AGE是等腰三角形.3、如圖，ABC中，ABAC，在AC上取點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作EFBC，交BA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，垂足為點(diǎn)F.求證：.AEAP.E圖1ABCD4、如圖，ABC中，AD平分BAC，E、F分

29、別在BD、AD上，且DECD，EFAC.圖2BFDCAFCDEBAFBACPE求證：EFAB.三、利用角平分線(xiàn)+垂線(xiàn)，構(gòu)造等腰三角形當(dāng)一個(gè)三角形中出現(xiàn)角平分線(xiàn)和垂線(xiàn)時(shí)，我們就可以尋找到等腰三角形.如圖1中，若AD平分BAC，ADDC，則AEC是等腰三角形.ABCDE5、如圖2，已知等腰RtABC中，ABAC，BAC90°，BF平分ABC，CDBD交BF的延長(zhǎng)線(xiàn)于D。求證： BF2CD.四：其他方法總結(jié)1截長(zhǎng)補(bǔ)短法6、如圖，已知：正方形ABCD中，BAC的平分線(xiàn)交BC于E，求證：AB+BE=AC2倍長(zhǎng)中線(xiàn)法題中條件若有中線(xiàn)，可延長(zhǎng)一倍，以構(gòu)造全等三角形，從而將分散條件集中在一個(gè)三角形內(nèi)

30、。EABCDF 7、如圖（7）AD是ABC的中線(xiàn)，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF求證：AC=BFAE8、已知ABC，AD是BC邊上的中線(xiàn)，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向外作等腰直角三角形，如圖,求證EF2AD。 F BDC3平行線(xiàn)法（或平移法） 若題設(shè)中含有中點(diǎn)可以試過(guò)中點(diǎn)作平行線(xiàn)或中位線(xiàn)，對(duì)Rt,有時(shí)可作出斜邊的中線(xiàn)9、ABC中，BAC=60°，C=40°AP平分BAC交BC于P，BQ平分ABC交AC于Q， 求證：AB+BP=BQ+AQ ABCPQOOABCPQD圖（1）ABCPQDE圖（2）O說(shuō)明：本題也可以在AB截取AD=AQ，連OD，構(gòu)造全等三角形，即“截長(zhǎng)補(bǔ)短法” 本題利用“平行法”解法也較多，舉例如下： 如圖（1），過(guò)O作ODBC交AC于D，則ADOABO來(lái)解決ABCPQ圖（3）DO如圖（2），過(guò)O作DEBC交AB于D，交AC于E，則ADOAQO，ABOAEO來(lái)解決ABCPQ圖（4）DO 如圖（3），過(guò)P作PDBQ