淺談在數(shù)學(xué)教學(xué)中的變式訓(xùn)練

1、淺談初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的變式訓(xùn)練松江區(qū)茸一中學(xué)沈菊華素質(zhì)教育是以培養(yǎng)具有創(chuàng)造性思維和創(chuàng)造能力的人才為日標(biāo)而進(jìn)行的創(chuàng)新 教育為歸宿的教育。在課堂教學(xué)中落實(shí)素質(zhì)教育，就要貫穿“學(xué)生為主體，訓(xùn)練 為主線(xiàn)，能力為主攻”的原則。現(xiàn)代數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)指出：數(shù)學(xué)教學(xué)不僅僅要使學(xué) 生獲得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，基木技能，更要獲得數(shù)學(xué)思想和觀(guān)念，形成良好的數(shù)學(xué)思 維品質(zhì)，要通過(guò)各種途徑，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)思考和創(chuàng)造的過(guò)程，增強(qiáng)學(xué)習(xí)的興趣 和白信心,不斷提高自主學(xué)習(xí)的能力。所以加強(qiáng)在教學(xué)屮注重變式訓(xùn)練，可以促 使學(xué)生的思維向多層次、多方向發(fā)散，幫助學(xué)生在問(wèn)題的解答過(guò)程屮去尋找解類(lèi) 似問(wèn)題的思路、方法，有意識(shí)地展現(xiàn)教學(xué)過(guò)程中教師與學(xué)生數(shù)

2、學(xué)思維活動(dòng)的過(guò)程, 充分調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性、主動(dòng)地參與教學(xué)的全過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立分析和解 決問(wèn)題的能力，以及大膽創(chuàng)新、勇于探索的精神，從而真正把學(xué)生能力的培養(yǎng)落 到實(shí)處。所謂數(shù)學(xué)變式訓(xùn)練，即是指在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中對(duì)概念、性質(zhì)、定理、公式， 以及問(wèn)題從不同角度、不同層次、不同情形、不同背景做出有效的變化，使其條 件或形式發(fā)生變化，而本質(zhì)特征卻不變。數(shù)學(xué)教學(xué)，使學(xué)生理解知識(shí)僅僅是一個(gè) 方面，更主要的是要培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，掌握數(shù)學(xué)的思想和方法。.變式其實(shí)就是創(chuàng)新。當(dāng)然變式不是盲目的變，應(yīng)抓住問(wèn)題的本質(zhì)特征，遵循 學(xué)生認(rèn)知心理發(fā)展，根據(jù)實(shí)際需耍進(jìn)行變式。實(shí)施變式訓(xùn)練應(yīng)抓住思維訓(xùn)練這條 主線(xiàn)，恰當(dāng)?shù)淖?/p>

3、更問(wèn)題情境或改變思維角度，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)變能力，引導(dǎo)學(xué)生從 不同途徑尋求解決問(wèn)題的方法。通過(guò)多問(wèn)、多思、多用等激發(fā)學(xué)生思維的積極性 和深刻性。下面木人結(jié)合理論學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的實(shí)踐，談?wù)勗跀?shù)學(xué)教學(xué)中如 何進(jìn)行變式訓(xùn)練培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。一、在形成數(shù)學(xué)概念的過(guò)程中，利用變式啟發(fā)學(xué)生積極參與觀(guān)察、分析、 歸納，培養(yǎng)學(xué)生正確概括的思維能力。從培養(yǎng)學(xué)生思維能力的要求來(lái)看，形成數(shù)學(xué)概念，提示其內(nèi)涵與外延，比 數(shù)學(xué)概念的定義本身更重要。在形成概念的過(guò)程屮，可以利用變式引導(dǎo)學(xué)生積極 參與形成概念的全過(guò)程，讓學(xué)生自己去“發(fā)現(xiàn)”、去“創(chuàng)造”，通過(guò)多樣化的變 式提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，培養(yǎng)學(xué)生的觀(guān)察、分析以及概括能

4、力。如在講分式的意義時(shí)，一個(gè)分式的值為零是指分式的分子為零而分母不為 零，因此對(duì)于分式丄丄的值為零時(shí)，在得到答案x = -時(shí)，實(shí)際上學(xué)生對(duì)“分2x 3子為零而分母不為零”這個(gè)條件還不是很清晰，難以辨析岀學(xué)生是否考慮了 “分 母不為零”這個(gè)條件，此時(shí)可以做如下變形：v2 -1變形1：當(dāng)x時(shí)，分式 的值為零？（分子為零時(shí)x二±1）2x 3r2 -1變形2：當(dāng)x時(shí)，分式 的值為零？ （“1時(shí)分母為零因此要舍x去）變形3：當(dāng)x時(shí)，分式匚-4的值為零?（此時(shí)分母可以因式分x 5x 6解為（兀 6）0+ 1）,因此x的取值就不能等于6且不能等于-1）通過(guò)以上的變形，可以對(duì)概念的理解逐漸加深，對(duì)概

5、念中本質(zhì)的東西有個(gè)非 常清晰的認(rèn)識(shí)，因此教師在以后的練習(xí)中也明確類(lèi)似知識(shí)點(diǎn)的考查方向，防止教 師有h出題，學(xué)生盲h練習(xí)，在有限的時(shí)間內(nèi)使得效益最大化。二、在理解定理和公式的過(guò)程中，利用變式使學(xué)生深刻認(rèn)知定理和公式中 概念間的多種聯(lián)系，從而培養(yǎng)學(xué)生多向變通的思維能力。數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，還賴(lài)于掌握、應(yīng)用定理和公式，去進(jìn)行推理、論證和演算。 由于定理和公式的實(shí)質(zhì)，也是人們對(duì)于概念z間存在的本質(zhì)聯(lián)系的概括，所以掌 握定理和公式的關(guān)鍵在于明確理解定理和公式屮概念的聯(lián)系，對(duì)于這種聯(lián)系的任 何形式的機(jī)械的理解，是不能熟練、靈活應(yīng)用定理和公式的根源，它是缺乏多向 變通思維能力的結(jié)果。因此在定理和公式的教學(xué)中，也

6、可利用變式，展現(xiàn)相關(guān)定 理和公式之間的聯(lián)系以及定理、公式成立依附的條件，培養(yǎng)學(xué)生辨析與定理和公 式有關(guān)的判斷，運(yùn)用。如在初一學(xué)習(xí)垂徑定理時(shí)：學(xué)生對(duì)定理“如果圓的直徑平分弦（這條弦不 是直徑），那么這條直徑垂直這條弦，并平分這條弦所對(duì)的弧”理解不透，經(jīng)常 在判斷屮出錯(cuò)，甚至到了初三時(shí)還會(huì)發(fā)生錯(cuò)誤，實(shí)際上學(xué)生的錯(cuò)誤是可以理解的, 而教師卻要去思考學(xué)生出錯(cuò)的根源是什么？我認(rèn)為是學(xué)生沒(méi)有理解這句話(huà)中幾 個(gè)關(guān)鍵字或詞：直徑、平分、不是直徑，因此我們可以通過(guò)變式給出如下語(yǔ)句讓 學(xué)生去判斷，并在錯(cuò)誤的判斷中給出反例，讓學(xué)生理解錯(cuò)誤的原因。（1）平分弦的直線(xiàn)垂直這條弦（x）見(jiàn)圖1（2）平分弦的直徑垂直這條弦（

7、x）見(jiàn)圖2（3）平分弦的半徑垂直這條弦（x）見(jiàn)圖3通過(guò)上述三個(gè)小判斷，指出直徑與直線(xiàn)的區(qū)別，弦是直徑時(shí)對(duì)結(jié)論的影響等, 理解了為什么要附加條件：這條弦不是直徑，學(xué)生的辨析能力得到提高，思維更 加縝密?？梢酝ㄟ^(guò)變式來(lái)繼續(xù)提問(wèn)學(xué)生：在“如杲圓的直徑垂直于弦，那么這條直徑 平分這條弦，并口平分這條弦所對(duì)的弧”這條性質(zhì)屮“如果圓的直徑垂直于弦”后面沒(méi)有附加條件，這是為什么？（4）垂直于弦的直線(xiàn)平分這條弦（x）見(jiàn)圖4（5）不與直徑垂直的弦，不可能被該直徑平分（x）見(jiàn)圖5通過(guò)以上變式訓(xùn)練，是要防止形式地、機(jī)械地背誦、套用公式和主理提高學(xué) 生變通思考問(wèn)題和靈活應(yīng)用概念、公式以及定理的能力。三、在解題教學(xué)中，

8、利用變式來(lái)改變題目的條件或結(jié)論，揭示條件、目標(biāo) 間的聯(lián)系，解題思路中的方法之間的聯(lián)系與規(guī)律，從而培養(yǎng)學(xué)生聯(lián)想、轉(zhuǎn)化、 推理、歸納、探索的思維能力。（一）、多題一解，適當(dāng)變式，培養(yǎng)學(xué)生求同存異的思維能力。許多數(shù)學(xué)習(xí)題看似不同，但它們的內(nèi)在本質(zhì)（或者說(shuō)是解題的思路、方法 是一樣的），這就要求教師在教學(xué)中重視對(duì)這類(lèi)題h的收集、比較，引導(dǎo)學(xué)生尋 求通法通解，并讓學(xué)生口己感悟它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，形成數(shù)學(xué)思想方法。 如：題1：如圖a是cd上一點(diǎn)，aabc、aade都是正三角形，求證ce=bd題2：如圖，aabd. aace都是正三角形，求證cd二be題3：如圖，分別以aabc的邊ab、ac為一邊畫(huà)正方形a

9、edb和正方形acfg, 連接ce、bg,求證bg二ce題4：如圖，有公共頂點(diǎn)的兩個(gè)正方形abcd、befg, o ag、ec,求證ag=ec 題5：如圖,p是正方形abcd內(nèi)一點(diǎn),aabp繞點(diǎn)b順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)能與acbp'重合,若 pb二3,求pp'上述五題均利用止三角形、止方形的性質(zhì)，為證明全等三角形 創(chuàng)造條件，并利用全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行進(jìn)一步的計(jì)算或證明。教師要把這類(lèi)題 目成組展現(xiàn)給學(xué)生，讓學(xué)生在比較中感悟它們的共性。（二）、一題多解，觸類(lèi)旁通，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維能力，培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性。一題多解的實(shí)質(zhì)是以不同的論證方式，反映條件和結(jié)論的必然木質(zhì)聯(lián)系。在 教學(xué)屮教師應(yīng)積極

10、地引導(dǎo)學(xué)生從齊種途徑，用多種方法思考問(wèn)題。這樣，既可暴 露學(xué)生解題的思維過(guò)程，增加教學(xué)透明度，又能使學(xué)生思路開(kāi)闊，熟練掌握知識(shí) 的內(nèi)在聯(lián)系。這方面的例子很多，尤具是兒何證明題。通過(guò)一題多解，讓學(xué)生從 不同角度思考問(wèn)題、解決問(wèn)題，可以引起學(xué)生強(qiáng)烈的求異欲望，培養(yǎng)學(xué)生思維的 靈活性。例如在教學(xué)等腰三角形的判定時(shí)，例2是這樣的已知：如圖，點(diǎn)d、e分別 在厶abc 的邊 ab、ac±, ci）丄ab, be±ac,垂足分別為 i）、e, z1= z2求證：三角形等腰三角形這題學(xué)生一般想到利用対個(gè)三角形全等來(lái)證明ab=ac利用等腰三角形的 定義得到三角形abc是等腰三角形，教師繼續(xù)引

11、導(dǎo)學(xué)生思考能否有其它的方法 證明，并適時(shí)提問(wèn)還有沒(méi)有其他方法證明aabc是等腰三角形，學(xué)生馬上想到 剛學(xué)的在一個(gè)三角形屮等角對(duì)等邊的知識(shí)，于是把問(wèn)題轉(zhuǎn)化到如何證明zabc= zacb,通過(guò)學(xué)生討論得到兩種證明角的方法，一利用等角的余角相等，二利用 外角或三幷形內(nèi)幷之和為180度得到兩個(gè)角相等。乂如在講解“求解相交兩圓 的圓心距”的問(wèn)題時(shí)學(xué)生往往會(huì)犯得岀一個(gè)解而丟掉另一個(gè)解的錯(cuò)誤。我先用運(yùn) 動(dòng)的觀(guān)點(diǎn)向?qū)W生解釋兩圓相交的形成，當(dāng)兩圓相切時(shí)，如果一圓的圓心繼續(xù)向另 一圓的圓心靠攏，當(dāng)兩圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)叫兩圓相交。然后我在黑板上畫(huà)岀了圓 心在公共弦兩側(cè)的相交兩圓，待學(xué)生根據(jù)已知求出圓心距以后，讓一圓的

12、圓心繼 續(xù)向另一圓的圓心靠攏，當(dāng)兩圓的圓心在公共弦的同側(cè)時(shí)，再讓學(xué)生計(jì)算兩圓的 圓心距，這時(shí)學(xué)生發(fā)現(xiàn)在相同已知條件下兩種情況算得的結(jié)果并不相同。由此得 岀兩圓相交有圓心在公共弦的兩側(cè)或同側(cè)兩種情況的結(jié)論。這兩題題從不同的角 度進(jìn)行多向思維，把各個(gè)知識(shí)點(diǎn)有機(jī)地聯(lián)系起來(lái)，發(fā)展了學(xué)生的多向思維能力。（三）、一題多變，總結(jié)規(guī)律，培養(yǎng)學(xué)生思維的探索性和深刻性。通過(guò)變式教學(xué)，不是解決一個(gè)問(wèn)題，而是解決一類(lèi)問(wèn)題，遏制“題海戰(zhàn)術(shù)”, 開(kāi)拓學(xué)生解題思路，培養(yǎng)學(xué)生的探索意識(shí)，實(shí)現(xiàn)“以少勝多”。伽利略曾說(shuō)過(guò)“科學(xué)是在不斷改變思維角度的探索中前進(jìn)的”。故而課堂教學(xué) 要常新、善變，通過(guò)原題目延伸出更多具有相關(guān)性、相似性

13、、相反性的新問(wèn)題， 深刻挖掘例習(xí)題的教育功能。譬如書(shū)本上有這樣一道題，求證：順次連接四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是 平行四邊形。教師可以不失時(shí)機(jī)地進(jìn)行變式，調(diào)動(dòng)起學(xué)生的思維興趣。變式（1） 順次連接矩形各邊中點(diǎn)所得四邊形是什么圖形？變式（2）順次連接菱形各邊屮 點(diǎn)所得四邊形是什么圖形？變式（3）順次連接正方形各邊中點(diǎn)所得四邊形是什 么圖形？做完這四個(gè)練習(xí)，教師還可以進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生概括影響組成圖形形狀的 本質(zhì)的東西是原來(lái)四邊形的對(duì)角線(xiàn)所具有的特征。乂如應(yīng)用題教學(xué)是初屮教學(xué)屮的一個(gè)難點(diǎn)，在教學(xué)屮就可以把同類(lèi)型的題日 通過(guò)變式的方式展現(xiàn)給學(xué)生，把學(xué)生的思維逐步引向深刻。例如在講解一元一次方程的實(shí)踐和探

14、究這節(jié)課時(shí)，教師從奧運(yùn)冠軍孟關(guān)良訓(xùn) 練為題材編了一題關(guān)于追及問(wèn)題的應(yīng)用題，一艘快艇與孟關(guān)良的皮艇同在起點(diǎn)， 快艇以每秒5米的速度先行了 20米孟關(guān)良為了追上快艇，必須奮力前劃，同學(xué) 們，請(qǐng)你想一想他如果以每秒6米的速度劃行多少秒才能追上快艇？然后教師可 對(duì)本例作以下變式。變式1： 一腰快艇與孟關(guān)良的皮艇同在起點(diǎn)，快艇以每秒5米的速度先行了 20秒，孟關(guān)良為了追上快艇，必須奮力前劃，同學(xué)們，請(qǐng)你想一想他如果以每 秒6米的速度劃行多少秒才能追上快艇？(從先行20米改為先行了 20秒)變式2：我們學(xué)校有一塊300米的跑道在比賽跑步時(shí)經(jīng)常會(huì)涉及到相遇問(wèn)題 和追及問(wèn)題現(xiàn)有甲、乙兩人比賽跑步，甲的速度是1

15、0米/秒，乙的速度是8米/秒，他們 兩人同地出發(fā)(1) 兩人同時(shí)相向而行經(jīng)過(guò)兒秒兩人相遇。(2) 兩人同時(shí)同向而行經(jīng)過(guò)幾秒兩第一次相遇。(3) 乙先出發(fā)5秒，然后甲開(kāi)始出發(fā)，問(wèn)甲經(jīng)過(guò)幾秒兩人第一次相遇。這題該為平時(shí)學(xué)生熟悉的操場(chǎng)環(huán)形跑道，這里三題也是一組變式題，(1)、(2)是同時(shí)同地出發(fā)的相遇和追及問(wèn)題，(3)是不同時(shí)出發(fā)相遇和追及問(wèn)題， 這題還蘊(yùn)涵著分類(lèi)討論的思想。變式3： 腰快艇與孟關(guān)良的皮艇同在起點(diǎn)，快艇以每秒5米的速度先行了 10秒，教練要求他用45秒追上快艇，孟關(guān)良為了追上快艇，必須奮力前劃，他 以每秒6米的速度劃行，劃了 5秒后他發(fā)現(xiàn)用這樣的速度不能在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)追 上，請(qǐng)問(wèn)他的

16、想法用45秒不能追上快艇對(duì)不對(duì)？如果他要追上請(qǐng)你算一算孟關(guān) 良后來(lái)要用多少速度才能在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)追上快艇？這樣的變式覆蓋了同時(shí)岀發(fā)相遇問(wèn)題、不同時(shí)出發(fā)相遇問(wèn)題、同時(shí)出發(fā)和不 同時(shí)出發(fā)的追及問(wèn)題等行程問(wèn)題的基本類(lèi)型。這樣通過(guò)一個(gè)題的練習(xí)既解決了一 類(lèi)問(wèn)題，又歸納出各量之間最本質(zhì)的東西，今后碰到類(lèi)似問(wèn)題學(xué)生思維指向必定 準(zhǔn)確，很好培養(yǎng)了學(xué)生思維的深刻性。學(xué)生也不必陷于題海而不能自拔。(三)、一題多問(wèn)，通過(guò)變式引申發(fā)展，擴(kuò)充.發(fā)展原有功能，培養(yǎng)學(xué)生的 創(chuàng)新意識(shí)和探究、概括能力牛頓說(shuō)過(guò)：“沒(méi)有大膽的猜想就做不出偉人的發(fā)現(xiàn)?！敝袑W(xué)生的想象力豐富， 因此，可以通過(guò)例題所提供的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，鼓勵(lì)、引導(dǎo)學(xué)生大膽地

17、猜想，以培養(yǎng)學(xué) 生的創(chuàng)造性思維和發(fā)散思維。教學(xué)屮要特別重視對(duì)課木例題和習(xí)題的“改裝”或引中。數(shù)學(xué)的思想方法都隱藏在課木例題或習(xí)題屮，我們?cè)诮虒W(xué)屮要善于對(duì)這類(lèi)習(xí)題進(jìn)行必要的挖掘，gp 通過(guò)一個(gè)典型的例題，最大可能的覆蓋知識(shí)點(diǎn)，把分散的知識(shí)點(diǎn)串成一條線(xiàn)，往 往會(huì)起到意想不到的效果，有利于知識(shí)的建構(gòu)。女口，八年級(jí)第二學(xué)期練習(xí)冊(cè)中有 這樣一個(gè)習(xí)題:國(guó)（二如圖（一）在aabc中，zb=zc,點(diǎn)d是邊bc上的一點(diǎn)，de丄ac, df1ab,垂足分別是 e、f, ab=10cm, de二5cm, df=3 cm,求（1） sabc,（ 2 ） ab 上的咼。上題通過(guò)連接ad分割成兩個(gè)以腰為底的三角形即可求解

18、s&bc二40 cm2 ；借助于添加ab上的高ch,利用而積公式和第一題 的結(jié)論，不難求的ab上的髙為8cm.我在教學(xué)中并未把求得結(jié)論作 為終極口標(biāo)，而是繼續(xù)問(wèn)：3+5=8,在此題屮是否是一個(gè)巧合？探究 de、df、ch之間的內(nèi)在聯(lián)系，（學(xué)生猜想ch二de+df）。引出變式題（1）如圖（二）在aabc中，zb=zc,點(diǎn)d是邊bc上的任一點(diǎn)，de1ac, df1ab, ch1ab,垂足分別是 e、f、h,求證：ch二de+df在計(jì)算例題的基礎(chǔ)上，學(xué)生已經(jīng)具有了用面積的不同求法把各條垂線(xiàn)段聯(lián)系起來(lái)的意識(shí)，此題的證明很容易解決。a在學(xué)生思維的積極性充分調(diào)動(dòng)起來(lái)的此時(shí)，我又借機(jī)給出變 式（2）如圖（三）在等邊aabc中，p是形內(nèi)任意一點(diǎn)，pd1ab 于d, pe1bc于e, pf1ac于f,求證pd+pe+pf是一個(gè)定值。通過(guò)這組變式訓(xùn)練，面積法在幾何計(jì)算和證明中的應(yīng)用得到 了很好的體現(xiàn)，同時(shí)這一組變式訓(xùn)練經(jīng)歷了一個(gè)特殊到一般的過(guò)程，有助于深化、鞏固知識(shí)，學(xué)生猜想、歸納能力也有了進(jìn)一步提高，更重要的 是培養(yǎng)學(xué)生的問(wèn)題意識(shí)和探究意識(shí)。總之，在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中