2018-2019高中數(shù)學第3章空間向量與立體幾何3.2.3空間的角的計算學案蘇教版選修2

1、323空間的角的計算【學習目標】1.理解直線與平面所成角、二面角的概念 .2.掌握向量法解決空間角的計算問 題.3.體會空間向量解決立體幾何問題的三步曲.問題導學知識點一空間角的計算（向量法）殛習新知夯實基總角的分類向量求法范圍異面直線所成的角設兩異面直線所成的角為0，它們的方向向|ab|. 量為a,b,貝 U cos0= |cosa,b| =-.,.1a|b|匸y0,日直線與平面所成的角設直線l與平面a所成的角為0,1的方向 向量為e，平面a的法向量為n,則 sin0=A |en|cose,n1=二面角設二面角al一B為0,平面a,3的法 向量分別為丿ni,n2,則 |cos0| = |co

2、sni,n2I1nin2|1= Ini|n2|.0, n空間三種角的向量求法知識點二 向量法求線面角、二面角的原理1032.向量法求二面角的原理條件平面a,3的法向量分別為ni,n2,a,n2= 3所構(gòu)成的二面角的大小為0,ni,圖形1t關系0 = 0=n 計算cos0 =coscos0 =cosCy-思考辨析判斷正誤-1O1 兩異面直線所成的角與兩直線的方向向量所成的角相等.（X）2若向量ni,n2分別為二面角的兩個半平面的法向量，則二面角的平面角的余弦值為cos6nin2n1,n2=|.（X）A .3.直線與平面所成角的范圍為 iO,亍.（X）題型探究類型一求兩條異面直線所成的角平面OBB

3、）丄平面OABZ00B=60,/AOB=90,AiB與AO所成角的余弦值的大小.解 以O為坐標原點，6A6B的方向為x軸，y軸的正方向.建立如圖所示的空間直角坐標系,例 1 如圖，在三棱柱OAB-dAB中, 且OB= OO=2,0A=3 求異面直線啟迪思維探究重點4則Q0,0,0),O(0,1 , W),A- =|ABOA|-X-X|AIB|OA|=Lf- W，1，_農(nóng)(W，-1，- V31=1=7=7.1異面直線AB與AO所成角的余弦值為 7-反思與感悟 在解決立體幾何中兩異面直線所成角的問題時，若能構(gòu)建空間直角坐標系，則建立空間直角坐標系，利用向量法求解.但應用向量法時一定要注意向量所成角

4、與異面直線 所成角的區(qū)別.跟蹤訓練 1 已知正方體ABCD-1BCD中，E, F分別是AD,AG的中點，求異面直線AE與CF所成角的余弦值.解 不妨設正方體的棱長為 2，以D點為坐標原點，分別取DA DC DD所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則105A(2,0,0)，C(0,2,0)，日 1,0,2)，F(xiàn)(1,1,2)，則AE= ( 1,0,2) ，CF= (1， 1,2)， -1AE=5，|CF=寸 6，AE-CF=1+0+4=3.又AECF=|AE|CFcosAECh6 cosAE CF，30，異面直線AE與CF所成角的余弦值為30=30cosAE, CF， 類型

5、二 求直線和平面所成的角例 2 已知正三棱柱ABC-ABC的底面邊長為a,側(cè)棱長為迄a,求AG與側(cè)面ABEAi所成的 角.解 以A點為坐標原點，AB AA所在直線分別為y軸,標系，則A(0,0,0),耳 0 ,a,0),- - - MCAB=0,MCA = 0,MC丄AB MC丄AA,貝 UMCAB MCAA, 又ABn AA=代AB, AA?平面ABBA,-MC丄平面ABBA.)ZCAM是AC與側(cè)面ABBA所成的角.由于A=,a,Q2a,iv=2小2a29aACAM=0 + + 2a=44z軸，建立如圖所示的空間直角坐A(0,0 ,2a),3aa22?方法取AiB的中點M有MC=-23a,

6、0, 0 ,AB=(0,a,=(0,0 , , 2a).rc,2連結(jié)AM MC,M0 , 2 ,a,0),0，2,107| 處|=、浮 + a + 2a2=/3a,牛+2 孑=芫89a2cosE,EM=43半.c 3a 23ax p- - AG,AM 0 , 180 ,AG,AM= 30, 又直線與平面所成的角在0 , 90 范圍內(nèi)，AG與側(cè)面ABBA所成的角為 30.設側(cè)面ABBA的法向量為n=（入，y,z）,y=z= 0.故n=(入，0,0).nAG cosAG,n=In|TAl1-|cosAG,n| =2又直線與平面所成的角在0 , 90 范圍內(nèi),AG與側(cè)面ABBA所成的角為 30.反思

7、與感悟 用向量法求線面角的一般步驟是先利用圖形的幾何特征建立適當?shù)目臻g直角坐標系，再用向量的有關知識求解線面角.方法二給出了用向量法求線面角的常用方法，即先求平面的法向量與斜線的夾角，再進行換算.跟蹤訓練 2 如圖所示，已知直角梯形ABGD其中AB= BG=2AD,ASL平面ABCD AD/ BG ABL BG且AS= AB求直線SG與底面ABG的夾角0的余弦值.AB=0,即0,2az= 0,入2m,怎=(0,0 ,2a),E =a,9解 由題設條件知，以點A為坐標原點，分別以AD AB AS所在直線為x軸，y軸，z軸, 建立空間直角坐標系（如圖所示）.10矗(1,1,1)/ 0 0 ,90,

8、類型三求二面角 例 3 在底面為平行四邊形的四棱錐P-ABCDK ABLAC PAL平面ABCD且PA= AB E是EBA=矽D(b, a,0) ,P(0,0 ,a),/QE-AC=0 ,QELAC設AB=1，貝U A(0,0,0),B(0,1,0),Q1,1,O),D1, 0, 0 ,S(0,0,1), AS= (0,0,1)顯然AS是底面ABCD勺法向量，它與已知向量CS勺夾角3= 90故有 sin0 =cos3XSCS_1 遲|AS|CS_1X3二 cos0=1sin20 =QE=2!，AG= (b,0,0).PD的中點，求平面EAC與平面ABCD勺夾角.解 方法一 如圖，以A為坐標原點

9、，分別以AC AB AP所在直線為x軸，y軸，z軸建立設PA= AB= a,AC= b,連結(jié)BD與AC交于點Q取AD的中點F,則C(b,0,0) ,B(0 ,a,0),11 OFIC/EOF為平面EAC與平面ABC啲夾角(或補角).OO(DE-0F2cosOE OF=-=脊.I(EI(F又0E OF 0 , 180 ,平面EAC與平面ABC啲夾角為 45.方法二 建系如方法一，/PA平面ABCDAP= (0,0 ,a)為平面ABC啲法向量，ob a aoAE=i2，-2，2，AC(b,0,0).設平面AEC勺法向量為mi=(x,y,z).nrAfe=0, 由Am-AC=0,baa2X-2y+

10、2Z=J3X= 0.x= 0,y=z,.取m= （0,1,1）,A m- AP a邁cosm AF =-=r.imiAP v2-a2又mAP0 , 180 ,平面AEC與平面ABC啲夾角為 45.反思與感悟 1.當空間直角坐標系容易建立（有特殊的位置關系）時，用向量法求解二面角無 需作出二面角的平面角.只需求出平面的法向量，經(jīng)過簡單的運算即可求出，有時不易判斷兩法向量的夾角的大小就是二面角的大?。ㄏ嗟然蚧パa），但我們可以根據(jù)圖形觀察得到結(jié)論，因為二面角是鈍二面角還是銳二面角一般是明顯的.2.注意法向量的方向：一進一出，二面角等于法向量夾角；同進同出，二面角等于法向量夾角的補角.OF-XC=o,

11、12跟蹤訓練 3 如圖，在直三棱柱ABCABC中,ABL AC AB= AC= 2,AA= 4,點D是BC的 中占I 八、13(1)求異面直線AB與CD所成角的余弦值；求平面AD(C與平面ABA所成二面角的正弦值.設平面ADC的法向量為n1= (x,y,z),因為AD=(1,1,0) ,S= (0,2,4),|n1AD=0,所以S _n AG =0,x+y=0,即彳取z= 1,得x= 2 ,y= 2 ,解(1)以A為坐標原點，分別以直角坐標系A-xyz,則A(0,0,0)所以屆=(2,0 , - 4) ,CD=AB AC AA所在直線為x,y,z軸建立如圖所示的空間,02,0,0),C(0,2

12、,0),Q1,1,0),AI(0,0,4),C(0,2,4)(1 , 1, 4).因為 cos-ABIAB|3 10又異面直線所成角的范圍為所以異面直線AB與CD所成角的余弦值為3 ,101014y+ 2z= 0 ,15所以ni= (2 , - 2,1)是平面ADC的法向量.同理，取平面ABA的法向量為n2= (0,1,0).設平面ADC與平面ABA所成二面角的大小為0,| nin2|22 /口J5由 lcs0I=|n| n|=- =3，得 sin0=-3.1nilln2|申x屮33所以平面ADC與平面ABA所成二面角的正弦值為5達標檢測檢測評講達標過關16解析 以D為坐標原點，分別以DADC

13、 DD的方向為x軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系.設AA= 2AB=2,1 在一個二面角的兩個半平面內(nèi)，與二面角的棱垂直的兩個向量分別為(0，- 1,3) , (2,2,4),則這個二面角的余弦值為 _ 答案土-656解析由0,-1,32,2,4寸 1+9X寸 4+4+16=-2 + 12 幀=10X24=6,可知這個二面角的余弦值為2已知a,b是異面直線,xK y所成的角是答案 60解析AB=ACCD-DB AB- CD=(ACC內(nèi)DBCD= AC- C內(nèi)CD+DB- CD=0 + 1 + 0 = 1, 乂|AB= 2,ICD= 1.T TXB-SD11 cosABCD=

14、一 = 2X7 = 2.|AB|CDz yy異面直線所成的角是銳角或直角，a與b所成的角是 60.ABC-ABGD中，AAi= 2AB貝U CD與平面BDC所成角的正弦值是答案彳217則B(1,1,0) ,C(0,1,0) , Q0,0,0) ,C(0,1,2),故 DB= (1,1,0) ,DG =(0,1,2) , DC (0,1,0),設平面BDC的法向量為n= (x,y,z),令z= 1，貝U y=- 2,x= 2, 所以n= (2 , - 2,1).設直線CD與平面BDC所成的角為0, 則 sin0 =|cos n, DO|=|n|DC34.在矩形ABCDK AB=1,BC=/2,P

15、A!平面ABCD PA=1，貝U PC與平面ABCC所成的角答案 30解析 以點A為坐標原點，AB AD AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則R0,0,1) ,C(1 ,2, 0) ,PC= (1 ,2,- 1)，平面ABC的一個法向又因為BC n 0 , 180 ,所以PC n= 120,所以斜線PC與平面ABCD勺法向量所在直線所成的角為60,所以斜線PC與平面ABCD所成的角是 30.廠規(guī)律與方法- -1向量法求角(1) 兩條異面直線所成的角0可以借助這兩條直線的方向向量的夾角0求得，即 cos0=|cos0|.(2) 直線與平面所成的角0可以通過直線的方

16、向向量與平面的法向量的夾角0求得，即sin0 =|cos0| 或 cos0 =sin0.nDB=0,則 _InD( = 0,7即*x+ y=0,y+ 2z= 0,量為n= (0,0,1),所以 cosPC,nPC- n118(3)二面角的大小可以通過該二面角的兩個面的法向量的夾角求得，它等于兩個法向量的夾 角或其補角.課時對點練、填空題1 .若直線11的方向向量與l2的方向向量的夾角是150,貝U丨1與l2這兩條異面直線所成的角為答案 30 l與法向量所在直線所成角為nI與a所成的角為-.ABCABCD中，E是DC的中點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則AB與ED所成角的余弦值為解析異面直線所

17、成角的范圍是(0150= 30.,90 ，所以I1與12這兩條異面直線所成的角為 180。Cv2 .已知兩平面的法向量分別為m= (0,1,0)n= (0,1,1)，則兩平面所成的二面角為答案 45或135解析 COSnrnm n=，imin|1X1 = _2=三，3.m n設直線=45 .所以兩平面所成的二面角為45或 135.l與平面a相交，且I的方向向量為a,3na的法向量為n,若a,nn答案43na,n=,4.已知在棱長為 2 的正方體l與a所成的角為19解析/A(2,2,0),B(2,0,2),曰 0,1,0),D(0,2,2),- - AB =(0，-2,2),ED=(0,1,2)

18、,-1AB|=2 2,|ED|= ,5,-B- BABED=0-2+4=2,_2顧IABHED|2;2x ,5105.正方體ABC-A1B1CD中，BB與平面ACD所成角的余弦值為 答案3解析 設正方體的棱長為 1,以D為坐標原點，DiA6C DB的方向為x軸，y軸，z軸的 正方向，建立空間直角坐標系如圖.則D(0,0,0) ,B(1,1,0),B(1,1,1)平面ACD的一個法向量為= (1,1,1)答案,10二 cos 目,AB與ED所成角的余弦值為而TQ420故BB與平面ACD所成角的余弦值為又BB= (0,0,1),則 cosDB,BBi46.已知在正方體ABCdABCD中，點E是棱A

19、B的中點，則直線AE與平面BDDB所成角 的正弦值為_.答案諾解析 以Ai為坐標原點，AiB,AiD,AiA所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示 的空間直角坐標系./AC丄BD ACL BB,BDH BB=B,二ACL平面BDEB,則AC=(2,2,0)是平面BDDB的一個法向量.csr7.在正三棱柱ABC-ABC中，若AB=2BB,則AB與CB所成角的大小為 答案 90解析 以Ai為坐標原點，(C,AA的方向為y軸，z軸正方向，建立如圖所示的空間直角設正方體的棱長為2,貝V A(0,0,2) ,C(2,2,2),E( 1 ,0,0),AC=(2,2,0),AE=( 1 ,0 , -

20、2).設直線AE與平面BDDB所成的角為0,則 sin0=|cosDC= 0,y,z a, a, 0 = 0,y,Z 0 ,a, 2a= 0 ,線段答案解析以點A為坐標原點，AB AD AP所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則日 0,0,1) ,F(1,2,0),B(2,0,0),D(0,2,0)fF=(1,2, 1),SD=(2,2,0),故 cos = (217)2.XX1 cosCA BD =, 又CA BD 0 , 180 ,CABD =120,二面角的大小為 60.12.已知正方體ABCABCD的棱長為 2,E,F,G分別是CC, DA,AB的中點，求GA

21、與平面EFG所成角的正弦值.解 如圖，以點D為坐標原點，DA DC DD所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系D- xyz,則A(2,0,0) ,E(0,2,1),F(1,0,2),G(2,1,0) EF=(1, 2,1),S (2, 1, 1),x+y= 0 ,y=2z,n=i1,1, 2 ,CD- n= (0，a,0)3.2/ cos326(GA=(o，- i,o).設n= (x,y,z)是平面EFG的一個法向量,解得x=y=乙令x= 1,得n= (1,1,1)求二面角A-EC-A的余弦值解如圖所示，以點D為坐標原點，DA DC DD所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空 間直

22、角坐標系，設AB=1，則B(1,1,0),D(0,0,1),C(0,1,0),E1, 2, 0 ,A1(1,0,1),- (1)BD= ( 1, - 1,1),B CE-2yT5IBIIBE3x15則由n丄WF,n丄EG得丫nEF= 0,nEG0,即X-2y+Z，2x-y-z= 0,設GA與平面EFG所成的角為0,貝 U sin0 =|cosGA nI11 =1x. 3=3, GA與平面EFG所成角的正弦值為13.如圖，在正方體ABC-ABCD中，E為AB的中點.(1)求異面直線BD與CE所成的角的余弦值；CB=A E BCE=0，故 cosBD,又異面直線所在角的范圍是27(1)證明：PCLAD求二面角A- PCD的正弦值；所以異面直線BD與CE所成的角的余弦值是,1535.因為DD丄平面AEC所以B為平面AEC的一個法向量，DD= (0,0,1)，設平面AEC的法向量為n= (