第七章假設(shè)檢驗

1、第七章假設(shè)檢驗一、教材說明本章主要介紹統(tǒng)計假設(shè)檢驗的基本概念和基本思想、 正態(tài)總體參數(shù)的統(tǒng)計假設(shè)的顯著性檢驗方法 .。1、本章的教學(xué)目的與要求（ 1）使學(xué)生了解假設(shè)檢驗的基本概念；（ 2）使學(xué)生了解假設(shè)檢驗的基本思想；（ 3）使學(xué)生掌握假設(shè)檢驗的基本步驟；（ 4）使學(xué)生會計算檢驗的兩類錯誤，搞清楚兩類錯誤的關(guān)系；（ 5）使學(xué)生掌握正態(tài)總體參數(shù)的假設(shè)檢驗，主要是檢驗統(tǒng)計量及其分布，檢驗拒絕域的確定；（ 6）使學(xué)生靈活運用所學(xué)知識解決實際問題。2、本章的重點與難點本章的重點是正態(tài)總體參數(shù)的各種假設(shè)檢驗中的檢驗統(tǒng)計量及其分布，拒絕域的確定。難點是假設(shè)檢驗二、教學(xué)內(nèi)容下面主要分3 節(jié)來講解本章的主要內(nèi)

2、容。§7.1 假設(shè)檢驗的基本概念對總體分布或分布中的某些參數(shù)作出假設(shè)，然后利用樣本的觀測值所提供的信息，運用數(shù)理統(tǒng)計的分析方法 ,檢驗這種假設(shè)是否成立，從而決定接受或拒絕“假設(shè)” ,這一統(tǒng)計推斷過程，稱為 假設(shè)檢驗 。1. 引例我們先舉一個簡單的實例來說明假設(shè)檢驗的基本思想及推理方法.例 1：某車間用一臺包裝機包裝葡萄糖,包得的袋裝糖重是一個隨機變量,它服從正態(tài)分布. 且知標準差為 0.015 千克 . 當機器正常時 , 其均值為 0.5 千克 , 某日開工后為檢驗包裝機是否正常 , 隨機地抽取它所包裝的糖 9 袋, 稱得凈重為 ( 千克 ):0.497 0.506 0.518 0.

3、524 0.498 0.511 0.5200.515 0.512,問機器是否正常 ?分析： 用 和 分別表示這一天袋裝糖重總體X 的均值和標準差，則X N(,0.0152) ,其中未知。問 題 :已知總體 X : N(, 2),且0 0.015, 根據(jù)樣本值判斷0.5還是0.5 。提出兩個對立假設(shè) H 0 :00.5（原假設(shè)或零假設(shè)）和 H 1 :0 ( 備擇假設(shè) ).再利用已知樣本作出判斷是接受假設(shè)H 0 (拒絕假設(shè) H 1 ) , 還是拒絕假設(shè)H0 ( 接受假設(shè)H 1 ). 如果作出的判斷是接受H 0 ,則0 即認為機器工作是正常的,否則 ,認為是不精選文檔正常的 .因為 X是的無偏估計量

4、， 所以，若 H 0 為真，則 x0 不應(yīng)太大， X0 N(0,1) ，0 /n衡量 x0的大小可歸結(jié)為衡量X/0 的大小。于是可以選定一個適當?shù)恼龜?shù)k, 當觀察0n值 x 滿足 X/0k時 ，拒絕假設(shè) H 0 ; 反之，當觀察值 x 滿足 X0k時 ，接受假設(shè)0n/nH0。因為當 H0為真時， UX0 N (0,1), 由標準正態(tài)分布分位點的定義得:0 /nk u / 2 , 當x0x0u / 2時, 接受 H 0 .0 /nu / 2時, 拒絕 H 0 ,n0 /假設(shè)檢驗過程如下 :在實例中 ,(1) 若取定0.05, 則 ku / 2u0.0251.96, 我們有P(|U |1.96)P

5、(| X0|1.96)0.05.0 /n又已知 n9,0.015,由樣本算得x0.511,即有 |u| =x02.21.96,00 /n于是根據(jù)小概率事件實際不可能性原理,拒絕假設(shè) H0,認為包裝機工作不正常 .(2) 若取定0.01,則 ku / 2u0.0052.58,x02.22.58,|u|=n于是接0 /受假設(shè) H0,認為包裝機工作正常 .注:上述稱為顯著性水平.此例表明假設(shè)檢驗的結(jié)論與選取的顯著性水平有密切的關(guān)系 .所以 ,必須說明假設(shè)檢驗的結(jié)論是在怎樣的顯著水平下作出的 .2. 假設(shè)檢驗的基本思想及推理方法1) 假設(shè)檢驗基本思想（1）在假設(shè)檢驗中，提出要求檢驗的假設(shè)，稱為原假設(shè)或

6、零假設(shè)，記為H 0 ，原假設(shè)如果不成立，就要接受另一個假設(shè)， 這另一個假設(shè)稱為備擇假設(shè)或?qū)α⒓僭O(shè)，記為 H 1 。（ 2） 假設(shè)檢驗的依據(jù)小概率原理：小概率事件在一次試驗中實際上不會發(fā)生。（ 3） 假設(shè)檢驗的思路是概率性質(zhì)的反證法。即首先假設(shè)成立， 然后根據(jù)一次抽樣所得的1精選文檔樣本值得信息，若導(dǎo)致小概率事件發(fā)生，則拒絕原假設(shè)，否則接受原假設(shè)。（4）假設(shè)檢驗可能犯的兩類錯誤：第一類錯誤（棄真錯誤）：即假設(shè) H 0 為真而被拒絕，記為，即P拒絕 H0 | H0為真 。第二類錯誤（存?zhèn)五e誤）：假設(shè) H 0 不真而被接受，記為，即P接受 H 0| H0不真 。當樣本容量n 一定時，, 不可能同時減

7、少，在實際工作中總是控制適當?shù)男　?) 假設(shè)檢驗的程序?qū)θ魏螌嶋H問題進行假設(shè)檢驗，其程序一般為五步，即：根據(jù)題意提出零假設(shè)H 0 （或相應(yīng)備選假設(shè)H 1 ）。構(gòu)造樣本統(tǒng)計量并確定其分布；給定顯著性水平，查表確定臨界值，從而得出接受域和拒絕域；由樣本觀測值計算出統(tǒng)計量的值；作出判斷： 若統(tǒng)計量的值落入拒絕域則拒絕H 0 ，若統(tǒng)計量的值落入接受域則接受H 0 。3) 假設(shè)檢驗的主要方法U 檢驗法、 t 檢驗法、2 檢驗法、 F 檢驗法。例 2已知某產(chǎn)品使用壽命X 服從正態(tài)分布，要求平均使用壽命不低于1000 小時，現(xiàn)從一批這種產(chǎn)品中隨機抽出 25 只，測得平均使用壽命為950 小時，樣本方差為10

8、0 小時。則可用（） t- 檢驗法2 - 檢驗法Z- 檢驗法F- 檢驗法解 選例 3假設(shè)檢驗時，只減少樣本容量，犯兩類錯誤的概率（）都增大都減少不變一個增大，一個減少解 選例 4正態(tài)總體 XN ,2, X1 , X 2 , , X n 為樣本， X1 nX i ,假設(shè)檢驗n i 1n2xi222i 1xH 0 :）時拒絕 H 000為已知數(shù)，在顯著性水平下， 則當2（021 ;212 n1 2 n2精選文檔2 n12n 1解由于當H( n1)S*2(n 1)S*2( n1)S*2:2( n 1),故0成立時 ,22, 而20(n1)S*22(n 1)P(n 1)S*22( n1)P(22,于是

9、選0§7. 2 單個正態(tài)總體的假設(shè)檢驗22 X : N( , ), 已知，檢驗假設(shè) H ： = 00U 檢驗法： H0：= 0 （H1：0或0或0）統(tǒng)計量 Ux0: N (0,1)(H 0 成立時 ) 。0 /n給出 ，P Uu，查正表定 u .22由樣本值（ x1， x2，L L ， xn）計算 u的值判斷：若 | u |u / 2，則拒絕 H0（這是對雙側(cè)檢驗提出的U 檢驗法步驟，若是單側(cè)可仿比）22H ： = （ 2） X N( , ), 未知，檢驗假設(shè)00t 檢驗法：H0： = 0（H1：0或0或0） Tx0:t(n1)( H 0成立時 ) 。S* /n給出，P Tt (n1

10、) ，查 t 分布表定 t( n 1).22由樣本值計算 T 的值 .判斷：若 tt (n1),則拒絕 H 0，否則接受 H（若是單側(cè)可查0t 表定 t (n 1),22同樣得出拒絕域） .（3）X:N (,2 ),2未知，檢驗假設(shè) H 0：2 =02：2222= （H：0）H 0013精選文檔2(n 1)S*220n-2（ Xi -X ）i 1:2(n 1)(H 0成立時)。20給出， P22(n 1)P22 ( n1)，查2 分布表定2 (n 1)12222及2 (n 1).12由樣本值計算2 的值 判斷：若22 (n1)或 22(n1)，則拒絕 H 0，反之則接受 H 0 .212（一）

11、已知方差例 5設(shè)某產(chǎn)品的某項質(zhì)量指標服從正態(tài)分布，已知它的標準差150 ，現(xiàn)從一批產(chǎn)品中隨機地抽取26 個，測得該項指標的平均值為1637。問能否認為這批產(chǎn)品的該項指標值為1600(0.05？)解 (1) 提出原假設(shè)： H 0：=1600 ，H 1： 1600；(2)X0選取統(tǒng)計量 Un0(3)對于給定的顯著性水平0.05 ，查標準正態(tài)分布表uu0.025 1.962(4) 計算統(tǒng)計量觀察值x016371600u1.2580n15026(5) 結(jié)論u1.258u1.96 接受原假設(shè) H012即不能否定這批產(chǎn)品該項指標為1600。（二）未知方差，檢驗H 0：0例 6 某廠生產(chǎn)樂器用合金弦線，其抗

12、拉強度服從均值為10560（ kg/ cm2）的正態(tài)分布?，F(xiàn)從一批產(chǎn)品中抽取 10 根測得其抗拉強度（單位：kg/ cm2 ）為：10512106231066810554107761070710557105811066610670對顯著性水平 =0.05，問這批產(chǎn)品的抗拉強度有無顯著變化？對顯著性水平 =0.01 ，結(jié)果如何？（已知t0.05 91.833,t0.025 92.262,t0.01 9 2.821, t0.0059 3.250 ）4精選文檔解假設(shè)檢驗 H 0 :10560, 對 H 1：10560方差未知時，檢驗數(shù)學(xué)期望選用統(tǒng)計量X0其中 S*21nx)2Tn, 在H 0成立時，

13、 T T n1(xiS*n1 i 1對給定樣本值，計算得x1 nxi110152106231067010631 .4n i 1101n1 10512259044s* 21xi2nx 2L10670210 10631.42ni 199所以，統(tǒng)計量的樣本值x010631.4105602.788ts*59044n9 10當顯著性水平 =0.05 時，拒絕域為Tt0.025 92.262，這里 t2.788 2.262,落入拒絕域，所以在0.05不應(yīng)接受 H 0 , 即認為抗拉強度有顯著變化。當顯著性水平 =0.01 時，拒絕域為|T |t0.005 (9)3.250 ，即認為這批產(chǎn)品的抗拉強度無顯著

14、性變化。例 7 已知某種元件的壽命服從正態(tài)分布，要求該元件的平均壽命不低于1000小時，現(xiàn)從這批元件中隨機抽取25 只，測得平均壽命X980 小時 標準差 s65 小時試在顯著水平0.05 下，確定這批元件是否合格（附表 t0.90 (24)1.138, t0.95 (24)1.171, t0.975 (24)2.064 ）分析 元件是否合格，應(yīng)通過壽命低于1000 小時來判斷（1000小時都合格） ，這里對總體均值的單測檢驗，2 未知，用t 檢驗法解 提出檢驗假設(shè) H 0 :01000, H 1 :01000選取統(tǒng)計量TX0，當 H 0 成立時 T t (n1)S*n由樣本觀測值，計算統(tǒng)計量

15、所取的值。這里x980, s*65 得5精選文檔98010001.538t6525對顯著水平0.05 拒絕域（臨界域）tt1(n1) t0.95 (24)1.711因為 tt0.95 (24)1.711，未落入拒絕域，應(yīng)接受H 0 ，否定 H 1 ：即認為這批元件合格。(三 )未知均值,檢驗 H0 :220例 5某工廠生產(chǎn)的銅絲折斷力(單位 :斤)服從正態(tài)分布 N ,82,某日隨機抽取了10 根進行折斷力檢驗 ,測得平均折斷力為57.5 斤,樣本方差為 68.16,在0.05 下 ,檢驗 H 0:282對H1:282,2919.023,292.70. 9750.025解 用2檢驗法 ,檢驗統(tǒng)計

16、量為2nSn220對 n10,0.05 拒絕域為:22n 12919.023 或120.09752x22 n1292.70 .0975有樣本觀察值,計算得210 68.1610.6582因為210.6529 ,292.7,19.023 所以接受 H 0 。0.0250 .975例 6某種導(dǎo)線，要求其電阻的標準差不得超過0.005（歐姆）。今在生產(chǎn)的一批導(dǎo)線中取樣品 9 根，測得 s=0.007（歐姆），設(shè)總體為正態(tài)分布，問在水平0.05下能認為這種導(dǎo)線的標準差顯著地偏大嗎？（2815.507,2817.5 ）0.950.975分析凡方差 “大于”、“不低于”、“偏大”、“偏小” 等問題， 均屬

17、于方差的單側(cè)檢驗問題，22其假設(shè)的提出有兩種方式：有的書提出原假設(shè)H 0 :0 和備擇假設(shè)H1: 202或 202, H 0與H1是對立假設(shè) ；有的書只提出原假設(shè) H 0：22或22（注意原假設(shè)含有等00號），本教材按前者講述。解 用2-檢驗法檢驗假設(shè) H0：H 0 :222:220.005200.005 ， H 106精選文檔2n 1 s222n 1 。選用統(tǒng)計量2 ,當H 0成立時，由樣本觀察值，計算統(tǒng)計量所取值為2=(91)* 0.007 2=15.680.0052對 a= 0.05 ，由已知2221)2(8) =15.507。0.95 (8) =15.507，拒絕域1 a 9(n0.

18、95這里215.68 >15.507故拒絕 H 0 ，接受H 1 ：即認為這批導(dǎo)線的標準差顯著的偏大。§7. 3 兩個正態(tài)總體的假設(shè)檢驗（1）12，22已知，檢驗假設(shè)H 0： 12U 檢驗法：1（ H ：1）H 0212XY成立時) 。 U: N (0,1),(H02212n1n2給出，查正態(tài)表定 u2由樣本值（ x1， x2，L L ， xn），（ y1， y2，L L ， yn）計算 U的值作出判斷：若uu 則拒絕 H 0，反之接受 H 0 .2（2）12，22 未知，但12 = 22，檢驗假設(shè) H 0： 12t 檢驗法：H0：1= 2 （H1： 1= 2或 12或 12）

19、 TX Yn1n2(n1n22)成立時) 。（ n1 -1 ） S1*2 （n2 -1 ） S2*2n1n2: t (n1 n2 2)( H 0同前（3）1 , 2，未知，檢驗假設(shè)H 0：2=222)12(H1 :12F 檢驗法： H0：2=2(H1 :22)1212 F S1*2/ S2*2: F (n11,n21)(H 0成立時 )7精選文檔（一） 已知12 及22 ，檢驗假設(shè) H 0 :12例 1 由累積資料知道甲，乙兩礦的含灰率服從X N（1,7.5）， Y N（2 ,2.6 ）。現(xiàn)從兩礦中各取幾個試件，分析其含灰率為：甲礦： 24.320.823.721.317.4（ %）乙礦： 1

20、8.216.920.216.7（%）問：甲乙兩礦所采煤的含灰率的數(shù)學(xué)期望1 和2 有無顯著性水平差異？（顯著性水平a=0.10 ） . （ Z 0.901.28, Z 0.951.64）解 已知12 及22 ，假設(shè)檢驗 H 0:12 ，用 Z檢驗法。提出零假設(shè)H 0:12，對 H1 :12選取統(tǒng)計量Zxy(12 )成立時， Z N（ 0.1 ）22，當 H012n1n2對顯著性水平a=0.10 ，由 Z 0.951.64 =1.64 ，確定臨界域 ZZ a 1.6412計算統(tǒng)計量 Z 的 觀察值。 X21.5, Y18 于是xy21.5182.39Z227.52.612n1n254由于 Z =

21、2.39> 1.64，故拒絕 H 0，即可以認為1 和 2 有顯著性差異。（二） 未知，但22，假設(shè)檢驗 H 0 :1212例 2 某物品在處理前與處理后抽樣分析含脂率（%）如下：處理前 x：0.19 0.18 0.21 0.300.410.120.17處理后 y：0.13 0.15 0.07 0.240.19 0.06 0.08 0.12設(shè)含脂率分別服從正態(tài)分布N(1, 12),N(2 ,22) ，對顯著性水平a=0.05 ，試問：處理前后的平均含脂率有無顯著性差異？（t0.975 (13)2.160,t0.975 (14)2.145）分析首先需要F- 檢驗法驗證二總體方差是否有顯著性

22、差異，在無顯著性差異（視為相等）的條件下，然后利用T- 檢驗法在檢驗二總體均值是否有顯著性差異。解（ 1）利用 F- 檢驗法檢驗二總體方差有無顯著性差異。檢驗假設(shè) H 0 :22,H1:2212128精選文檔S122選用統(tǒng)計量 F12 ，當 H 0 : 成立時， F F ( n1 1, n2 1)S222對給定顯著性水平a=0.05 ，有 F- 分布表得臨界值，F(xiàn)a (6,7)5.12, Fa (6,7)110.175122F a (6,7)5.702計算統(tǒng)計量 F 的樣本觀察值X1n1X i0.24,Y1n20.13n1n2Yii 1i 11n12S127.58 * 10 3n1( X iX

23、 )1 i1S221n2Y ) 23.9* 10 3n2(Yi1 i1故 FS121.93(0.175,5.12) ，接受 H 0 ，認為二總體方差無顯著性差異。S22（2）利用 T- 檢驗法檢驗二總體均值有無顯著性差異。檢驗假設(shè) H 0 :12,H1:22選取統(tǒng)計量T(xy)( 12 ) t (mn2)1 1 Sw m nXY(12 )n1 n2 (n1n22)T1) S22(n1 1)S12(n2n1 n2H 0 成立時， T (n1 n22)對給定顯著性水平a=0.05，得拒絕域 Tt0 .975 (13)2.160計算統(tǒng)計量 T 的觀測值XYn1 n2(n1n22)0.240.137*

24、 8* 130.11t* 6.967 2.849(n1 1)S12(n2 1) S22n1n26* 7.5*10 37* 3.9*10 37 80.269由于 t2.849t 0.975 (13)2.160 。故拒絕 H 0 ，接受 H 1 。即處理后含脂率有顯著差異。9精選文檔（三）均值未知，檢驗假設(shè) H 0 :2212例 3某一橡膠配方中，原用氧化鋅5g，現(xiàn)減為1g ，若分別用兩種配方做一批實驗，5g 配方測 9 個值， 得橡膠伸長率的樣本差是S1263.86 ；1g 配方測 3 個值， 橡膠伸長率的樣本差是 S22236.8 。設(shè)橡膠伸長率遵從正態(tài)分布，問兩種配方的伸長率的總體標準差有無

25、顯著差異？ (a=0.10)( F0.95 (8,9)3.23, F0.95 (9,8)3.39 )分析兩種配方的伸長率的總體標準差有無顯著差異，是通過樣本值去判斷成立，是均值未知的兩個總體方差是否相等的檢驗，5g 配方和 1g 配方記為22是否12X N( 1,12),Y N(2,22)2222解 檢驗假設(shè) H0 : 12,H1 : 12S1222選取統(tǒng)計量 F1，當 H0成立時 FS1 F (n1 1, n2 1)S22S2222對顯著性水平a=0.10 由題設(shè) F0.95 (8,9)3.23, F0.05 (8,9)110.295 。F0.95 (9,8) 3.39故拒絕域為0,0.29

26、53.23,計算統(tǒng)計量 F 的樣本觀察值S1263.86F0.2697S22236.8由于 F=0.2697(0.295,3.23) ，即 F 落入拒絕域，應(yīng)拒絕H0，接受 H1，即在=0.10 下認為兩個總體的方差是不等的。注：若將顯著性水平改為a=0.02 ，此時F a (8,9)F0.99 (8,9)5.47,Fa (9,8)F0.99 (9,8) 5.911122此時拒絕域0,Fa (8,9)F1 a (8,9),1F0.99,15.47,0,0.169 5.47,0,0,22F0.99 (9,8)5.91樣本觀察值F=0.2697 未落入拒絕域，故接受H 0 ，即認為兩種配方總體方差

27、無顯著差異，說明顯著性水平越小，否定零假設(shè)越困難。10精選文檔（四）均值未知，檢驗假設(shè)H 0 :2212例 4 有甲乙兩車床生產(chǎn)同一型號的滾珠，根據(jù)已有經(jīng)驗可以認為，這兩臺車床生產(chǎn)的滾珠都服從正態(tài)分布， 問題是要比較臺車床生產(chǎn)的滾珠的直徑的方差?，F(xiàn)在從這兩臺車床的產(chǎn)品中分別抽取8 個和 9 個，經(jīng)計算得 X甲 =15.01 ， X乙 =14.99 ， S甲2 =0.0955 ， S乙2 =0.0261 ，對顯著性水平 a=0.05 ，試問：乙車床產(chǎn)品的方差是否比甲車床的??？（ f0.95 (7,8) 3.50, f0 .95 (8,7)3.73, f0.975 (7,8) 4.53, f 0.

28、975 (8,7) 4.90 ）分析由題意，是驗證22甲乙 是否成立，而單邊檢驗所提假設(shè)含等號，故此題可假設(shè)為H 0 :22甲乙解 利用 F-檢驗法檢驗兩總體方差比。檢驗假設(shè)H 0 :2222甲乙 ， H1 : 甲乙選取統(tǒng)計量FS甲2，第一自由度是7，第二自由度是 8 的 F-分布S乙2由題知 f 0.95 (7,8) =3.50 ，故拒絕域為3.50,統(tǒng)計量 F 的樣本觀察值FS甲20.09553.694S乙20.0261由于 f=3.659 >3.50 ，故應(yīng)拒絕H 0 ，接受 H 1 。即乙車床產(chǎn)品的直徑的方差比甲車床的小。二、兩個正態(tài)總體均值差的檢驗設(shè) x1 , x2 , , x

29、m 是來自總體 X 服從 N (1 , 12 ) 的樣本， y1 , y2 , yn 是來自總體 Y 服從N( 2,22 ) 的樣本，且兩樣本相互獨立，考慮如下的三種檢驗：H 0 : 120 vs H 1 : 120（）H 0:120 vsH1: 12H 0:120 vsH1: 12主要分兩種情況討論。1、1 ,2 已知時的兩樣本的檢驗0（）0（）11精選文檔22此時1 2 的估計 xy 的分布完全已知，12xy N ( 1 2 , mn ) ，由此可采用 U 檢驗法，檢驗統(tǒng)計量為xyU2212mn在xy12時， U N (0,1) 。檢驗的拒絕域取決于備擇假設(shè)的形式。上述三2212mn對假設(shè)

30、檢驗的拒絕域分布為：WU ;UU 1WU ;UUWU;UU122、 12但未知時的兩樣本 t檢驗在222212未知時，類似于單個正態(tài)總體方差未知時均值的檢驗，我們?nèi)杂玫臒o偏估計代替2 ，而此時可以證明2 的無偏估計為：21m2n2( m 1)Sx2(n 1)Sy2Swmn ( xi x)( yi y)n22 i 1i 1m于是有T( x y) ( 12 ) t( m n2)1 1 Sw m n從而檢驗統(tǒng)計量為xyT11Swnm在 120xy2) 。上述三對假設(shè)檢驗的拒絕域分布為：時， T t( m n11SwmnW T; Tt1( mn2)12精選文檔W T ;Tt(mn2)WT ; Tt(mn2)12例 7. .3 某廠鑄造車間為提高鑄件的耐磨性而試制了一種鎳合金鑄件以取代銅合金鑄件，從兩種鑄件中各抽取一個容量分別為8 和 9 的樣本，測得其硬度 （