三角形四心向量表示

1、三角形四心的向量問題三角形重心、垂心、外心、內(nèi)心向量形式的充要條件的向量形式知識點(diǎn)總結(jié)1) 0是ABC的重心OA OB 0C 0；ABC的重心，則S BOCS AOC S AOB1SS ABC3故!PGOA OB OC 0；3(PA PB PC)ABC的重心.2）0是ABC的垂心 OA OBOB OC 0C0A ；ABC（非直角三角形）的垂心,貝y S boc : S aoc : S aob tan A :tan B : tan C故 tan AOA tan BOB tan COC 02 2 23) O是 ABC 的外心 |OA| |OB | |OC |(或 OA OB OC )sin2A :

2、 sin2B : sin 2C若O是ABC的外心貝卩 S BOC: S AOC: S AOB sin BOC :sin AOC :sin AOB故 sin2AOA sin 2BOB sin 2COC 04） O是內(nèi)心ABC的充要條件是OA(AB AC )|AB | ACOB (盤話)OC引進(jìn)單位向量,使條件變得更簡潔如果記則剛才0 是ABC 內(nèi)心的充要條件可以寫成OA(ei e3) OB (ei e2) OC (e2 e3)00是ABC內(nèi)心的充要條件也可以是aOAbOBcOC0AB ,BC,CA的單位向量為 8(2(3 ,O若O是ABC的內(nèi)心，貝卩S BOC : S AOC : S AOB a

3、： b : CBOCAOC -故 aOA bOB cOC 0或 sinAOA sin BOB sin COC 0； | AB| Pc | BC|PA |CA|PB 0 P ABC 的內(nèi)心；向量0）所在直線過 ABC的內(nèi)心（是BAC的角平分線所在直范例（一）.將平面向量與三角形內(nèi)心結(jié)合考查例1. O是平面上的一定點(diǎn)，A,B,C是平面上 不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn) P滿足OP OA （AB AC）,0,則P點(diǎn)的軌跡一lAB lACl定通過ABC的（ ）（A）外心（B）內(nèi)心（C）重心（D）垂心解析：因為AB是向量AB的單位向量設(shè),IABI與Ac方向上的單位向量分別為ei和e , Ap （e e2）,由菱形

4、的基本性質(zhì)知AP平分 則知選B.又OP OA AP ,則原式可化為BAC ,那么在ABC中，AP平分BAC ,陌生”,首先AB是什么沒見過！想想,lABl一個非零向量除以它的模不就是單位向量 此題所用的都必須是簡單的基本知識， 如向量的加減法、向量的基本定理、菱形的基本性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等，若十分 熟悉，又能迅速地將它們遷移到一起，解這道題一點(diǎn)問題也沒有。點(diǎn)評：這道題給人的印象當(dāng)然是“新穎、（二）將平面向量與三角形垂心結(jié)合考查“垂心定理”例2.H是厶ABC所在平面內(nèi)任一點(diǎn)，HA HB HB HC HC HA 點(diǎn)H是厶ABC的垂心.由 HA HB HB HC HB (HC HA) 0 HB A

5、C 0 HB AC,同理HC AB , HA BC.故H是厶ABC的垂心.（反之亦然（證略）例3.（湖南）P是厶ABC所在平面上一點(diǎn)，若 PA PB PB PC PC PA，貝y P是厶ABC的（D ）D.垂心A.外心B.內(nèi)心C.重心解析：由 PA PB PB PC 得 PA PB PB PC 0.即 PB (PA PC) 0,即PB CA 0 貝卩 PB CA,同理 PA BC,PC AB 所以P為ABC的垂心.故選D.點(diǎn)評：本題考查平面向量有關(guān)運(yùn)算，及“數(shù)量積為零，則兩向量所在直線垂直”、 三角形垂心定義等相關(guān)知識.將三角形垂心的定義與平面向量有關(guān)運(yùn)算及“數(shù)量積為零，則兩向量所在直線垂直”

6、等相關(guān)知識巧妙結(jié)合。（三）將平面向量與三角形重心結(jié)合考查“重心定理”例4.6是厶ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，GA GB GC =0 ABC的重心.證明作圖如右，圖中GB GC GE連結(jié)BE和CE則CE=GJBBE=GC BGC為平行四邊形BC的中點(diǎn)，AD為BC邊上的中線.將 GB GC GE 代入 GA GB GC =0,得GA EG =0 GA GE 2GD，故6是厶ABC的重心.（反之亦然（證略）例5.P是厶ABC所在平面內(nèi)任一點(diǎn).6是厶ABC的重心pg 1 (pa pb pc).3證明 PG PA AG PB BG PC CG 3PG (AG BG CG) (PA PB PC)V 6是厶ABC

7、勺重心二 GA GB GC =0 AG BG CG =0, 即卩 3PG PA PB PC由此可得PG 1（PA PB PC）.（反之亦然（證略） 3 例6若O為ABC內(nèi)一點(diǎn)，OA（ ）A.內(nèi)心B .夕卜心心D .重心CABCOC 為相鄰兩邊構(gòu)作平行四邊,如圖以0B形，則 OB OC OD ，由平行四邊形性質(zhì)知OA 2OE，同理可證其它兩解析：由 OA OB OC 0 得 OB OC OA邊上的這個性質(zhì)，所以是重心，選 D。點(diǎn)評：本題需要扎實的平面幾何知識，平行四邊形的對角線互相平分及三角形重心 性質(zhì)：重心是三角形中線的內(nèi)分點(diǎn)，所分這比為2。本題在解題的過程中將平面1向量的有關(guān)運(yùn)算與平行四邊形

8、的對角線互相平分及三角形重心性質(zhì)等相關(guān)知識巧 妙結(jié)合（四）.將平面向量與三角形外心結(jié)合考查例7若0為ABC內(nèi)一點(diǎn)，OA lOBI lOC，則0是ABC的（A .內(nèi)心B .夕卜心D .重心解析：由向量模的定義知O到ABC的三頂點(diǎn)距離相等。故O是ABC的外心， 選B。點(diǎn)評：本題將平面向量模的定義與三角形外心的定義及性質(zhì)等相關(guān)知識巧妙結(jié)合。（五）將平面向量與三角形四心結(jié)合考查例 8.已知向量 OPi , OP2 , OP3 滿足條件 OPi +OP2 +OP3 =0, | OPi | = | OP2 | = | OP3 |=1 ,求證 P1P2P3是正三角形（數(shù)學(xué)第一冊（下），復(fù)習(xí)參考題五B組第6題

9、） 證明由已知OPi +OP2 =- OP3，兩邊平方得 OPi OP2 = * ,同理 OP2 OP3 =OP3 OPi =丄，2，二I葩|=| PP31=|両|= '-3，從而 RF2P3是正三角形.反之，若點(diǎn)O是正三角形 PP2P3的中心，則顯然有OPi + Op2 + OP3 =0且| OP11=| OP21=| OP31.即0是4 ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，op1+op2 +op3 =0 且 | op； |=| op； |=| 0p3 |點(diǎn) 0是正 PP2P3 的中心.例9.在 ABC中，已知Q G H分別是三角形的外心、重心、垂心。求證：QG H三點(diǎn)共線，且 QG:GH=1:2

10、【證明】：以A為原點(diǎn)，AB所在的直線為x軸,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系。設(shè)A（0,0）、B（xi,0 ）、Cgy 2），D E、F分別為ABBC AC的中點(diǎn)，則有:D（X1,0）、E（X_1,Z）、F（工約2 2 2 2 2 由題設(shè)可設(shè)Q（號皿）、H（x；,y4）, G（X_1,Z）33府（x2,y4）,QF*BC （X； Xi,y；）:aH BCAH?BC x2（xx； Xi y； y ）32 y3）（2Xi）y；y40y4"qF Ac T T QF ?ACx；（x Xi）y；/X2 x；（-2x；（x； Xi）y 32y 2x；）2y；（¥ y3） 02qH（2x2 x；

11、23x 2（x 22y 2Xi）Xi y；2 ' 33x；（x； Xi）6y；V3）（笫6Xi y； x；（xJ3匹）；（2x； x；QG （寧（2x； Xi （6=；qH3即Q=3qG，故Q G H三點(diǎn)共線，且QG2 Xi）2y；3x；（x； Xi）2y；GHH: 2【注】：本例如果用平面幾何知識、向量的代數(shù)運(yùn)算和幾何運(yùn)算處理，都相當(dāng)外心、重心、垂心的位麻煩，而借用向量的坐標(biāo)形式，將向量的運(yùn)算完全化為代數(shù)運(yùn)算，這樣就將“形”和“數(shù)”緊密地結(jié)合在一起，從而，很多對稱、共線、共點(diǎn)、垂直等問題的證明, 都可轉(zhuǎn)化為熟練的代數(shù)運(yùn)算的論證。例10.若O H分別是 ABC勺外心和垂心.求證 OH

12、OA OB OC .證明 若厶ABC的垂心為H,外心為O,如圖. 連BO并延長交外接圓于D,連結(jié)AD CD二 AD AB , CD BC .又垂心為 H, AH BC ,CH AB , AH/ CD CH/ AD四邊形AHC為平行四邊形，AH Dc do Oc，故 OH Oa aH Oa Ob Oc .著名的“歐拉定理”講的是銳角三角形的“三心”置關(guān)系：(1) 三角形的外心、重心、垂心三點(diǎn)共線一一“歐拉線”；(2) 三角形的重心在“歐拉線”上，且為外垂連線的第一個三分點(diǎn)，即重 心到垂心的距離是重心到外心距離的 2倍?！皻W拉定理”的向量形式顯得特別簡單，可簡化成如下的向量問題.例11.設(shè)O GH

13、分別是銳角 ABC勺外心、重心、垂心.求證1OG 丄 OH3證明按重心定理6是厶ABC的重心 OG - (OA OB3OC)按垂心疋理OH OA OB OC由此可得og 3oh.補(bǔ)充練習(xí)1已知A B、C是平面上不共線的三點(diǎn)，0是三角形ABC勺重心，動點(diǎn)P滿足0P=1 ( 10A + 10b+2OC),則點(diǎn) P一定為三角形 ABC的(B )322邊中線的中點(diǎn)邊中線的三等分點(diǎn)(非重心)C.重心邊的中點(diǎn)t t F L1. B取AB邊的中點(diǎn) M 則OA OB 20M，由OP 二丄( OA +丄OB+2OC)可得 3223OP 3OM 2MC i麗 餌即點(diǎn)P為三角形中AB邊上的中線的一個三等后 + B?

14、 = OB + CA =O為ABC的分點(diǎn)，且點(diǎn)P不過重心，故選B.2.在同一個平面上有 ABC及一點(diǎn)O滿足關(guān)系式:OC +AB，則A 夕卜心B 內(nèi)心2.已知 ABC的三個頂點(diǎn)C 重心 D 垂心A、BC及平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足:PA pB PC0，則P為ABC的( C )A 夕卜心B 內(nèi)心 C 重心 D 垂心3.已知O是平面上一定點(diǎn)，A B、C是平面上不共線的三個點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足:OP OA (AB AC),貝卩P 的軌跡一定 通 過 ABC的(C)A 夕卜心B 內(nèi)心 C重心 D垂心4.已知 ABC P為三角形所在平面上的動點(diǎn)，且動點(diǎn)P滿足：PA?pC pA?Pb pB?PC 0,貝SP點(diǎn)為三角形的A

15、外心 B 內(nèi)心 C 重心 D 垂心5. 已知 ABC P為三角形所在平面上的一點(diǎn)，且點(diǎn) P滿足：a pA b pB c?pC 0,則P點(diǎn)為三角形的(B )A 外心 B 內(nèi)心 C 重心 D 垂心2 26. 在三角形ABC中，動點(diǎn)P滿足：CA CB 2AB?CP，則P點(diǎn)軌跡一定通過厶ABC 的：(B )A 外心 B 內(nèi)心 C 重心 D 垂心7. 已知非零向量 AB與AC滿足(-AB +-AC ) BC=0 且-AB -AC ,則厶 ABC為|AB| |AC|AB| |AC| 2()A.三邊均不相等的三角形B.直角三角形 C.等腰非等邊三角形D.等邊三角形解析：非零向量與滿足(召昌)-=0,即角A的平分線垂直于BC /. AB=AC又cosA 圭-鼻二1，/人匚，所以 ABC為等邊三角形，選D.|AB|AC| 238. ABC的外接圓的圓心為 Q 兩條邊上的高的交點(diǎn)為 H, OH m(OA OB OC)，貝卩實數(shù)m = 19點(diǎn)O是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足OA OB OB OC OC OA ,則點(diǎn)O 是ABC的(B)(A)