東北大學(xué)matlab課程設(shè)計(jì)根軌跡超前校正

1、目錄目錄11課題概述31.1課設(shè)目的31.2根軌跡法超前校正31.3 Matlab簡(jiǎn)介42 根軌跡超前校正法52.1 根軌跡校正步驟52.2 根軌跡超前校正設(shè)計(jì)的具體方法幾何法53 系統(tǒng)校正73.1 已知條件及要求73.2 系統(tǒng)分析73.3 調(diào)節(jié)參數(shù)a103.4 零極點(diǎn)配置114 課設(shè)總結(jié)16參考文獻(xiàn)16摘要近年來(lái)，自動(dòng)控制系統(tǒng)在現(xiàn)代文明和技術(shù)的發(fā)展與進(jìn)步中，起著越來(lái)越重要的作用。在工程實(shí)踐中,有時(shí)需要在系統(tǒng)分析的基礎(chǔ)上將原有系統(tǒng)的特性加以修正和改造，使系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)給定的性能要求，因此，系統(tǒng)中就需要校正控制器的存在。時(shí)域分析表明，閉環(huán)特征根是自然模式的指數(shù)系數(shù)，決定了系統(tǒng)的響應(yīng)性能。根軌跡法的

2、提出讓系統(tǒng)中容易設(shè)定的參數(shù)在可能的范圍內(nèi)連續(xù)變化，引起特征根也連續(xù)變化，將特征根的變化軌跡在根平面上繪制出來(lái)，從中選擇有好的響應(yīng)性能的特征根，對(duì)應(yīng)的參數(shù)也就確定了，這是根軌跡分析要完成的任務(wù)。根軌跡分析討論了影響根軌跡改變的因素。但當(dāng)改變參數(shù)都找不到適合的特征根時(shí)，通過(guò)配置具有合適的傳遞函數(shù)的控制器來(lái)改變系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)，改造系統(tǒng)的根軌跡，從而獲得好的特征根，使其滿足性能指標(biāo)。根軌跡的超前校正使用了Matlab軟件，通過(guò)它可以對(duì)根軌跡進(jìn)行可視化設(shè)計(jì)，具有操作簡(jiǎn)單、界面直觀、交互性好、設(shè)計(jì)效率高等優(yōu)點(diǎn)、克服了之前超前校正裝置往往依賴于試湊的方法，重復(fù)勞動(dòng)多，運(yùn)算量大，又難以得到滿意的結(jié)果。Matlab

3、作為一種高性能軟件和編程語(yǔ)言，以矩陣運(yùn)算為基礎(chǔ)，把計(jì)算、可視化、程序設(shè)計(jì)融合到了一個(gè)簡(jiǎn)單易用的交互式工作環(huán)境中，是進(jìn)行控制系統(tǒng)計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)的方便可行的實(shí)用工具。因此，隨著計(jì)算機(jī)的發(fā)展和Matlab軟件的普及，避免了繁瑣的計(jì)算和繪圖過(guò)程，從而為線性控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)提供了一種簡(jiǎn)單有效地途徑。本文將基于根軌跡法設(shè)計(jì)超前校正器，并給出它的Matlab實(shí)現(xiàn)。關(guān)鍵詞：根軌跡，超前校正，Matlab1課題概述1.1課設(shè)目的 已知：某直流電機(jī)控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為，當(dāng)k=0.25時(shí)，控制以a為變量的根軌跡，用根軌跡法設(shè)計(jì)串聯(lián)超前校正裝置，使超調(diào)量。設(shè)計(jì)要求：從實(shí)際系統(tǒng)中抽象出傳遞函數(shù)，并用Matlab仿真出

4、其結(jié)果。固有傳遞函數(shù)的閉環(huán)特征根在S 平面上是有確定點(diǎn)的，由這些點(diǎn)確定的響應(yīng)性能不好時(shí)，需要加以改變。改變開(kāi)環(huán)放大系數(shù)能使閉環(huán)特征根沿著根軌跡移動(dòng)，結(jié)果有兩種情形：一種情形是開(kāi)環(huán)放大系數(shù)在某個(gè)數(shù)值下或某個(gè)取值范圍內(nèi)特征根的分布能夠滿足系統(tǒng)性能的要求，于是只要調(diào)節(jié)開(kāi)環(huán)增益就行了；另一情形是根軌跡上沒(méi)有合乎要求的特征根，這是需要在S 平面上先選定一個(gè)期望的閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)，再通過(guò)串聯(lián)合適的校正裝置校正根軌跡。根軌跡串聯(lián)超前校正就是通過(guò)串聯(lián)零點(diǎn)，或具有零點(diǎn)性質(zhì)的零極點(diǎn)對(duì)來(lái)實(shí)現(xiàn)的1。1.2根軌跡法超前校正特征方程的根隨某個(gè)參數(shù)由零變到無(wú)窮大時(shí)在復(fù)數(shù)平面上形成的跡稱為根軌跡。在控制系統(tǒng)的分析中，對(duì)特征方程根

5、的分布的研究，具有重要的意義。1948年，伊文斯（W·R·EVANS）提出了直接由系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)確定系統(tǒng)閉環(huán)特征根的圖解法，即工程上廣泛使用的根軌跡法。利用這一方法可以分析系統(tǒng)的性能，確定系統(tǒng)應(yīng)有的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，也可用于校正裝置的綜合，根軌跡法的基礎(chǔ)是系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，這一方法僅適用于線性系統(tǒng)。根軌跡法是一種圖解方法，它是古典控制理論中對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析和綜合的基本方法之一。它描述的是系統(tǒng)某個(gè)參數(shù)從零變化到無(wú)窮大時(shí)的閉環(huán)極點(diǎn)的位置變化。由于根軌跡圖直觀地描述了系統(tǒng)特征方程的根（即系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)）在s平面上的分布，因此，用根軌跡法分析自動(dòng)控制系統(tǒng)十分方便，特別是對(duì)于高階系統(tǒng)和多回

6、路系統(tǒng)，應(yīng)用根軌跡法比用其他方法更為方便，因此在工程實(shí)踐中獲得了廣泛應(yīng)用。所謂校正，就是在系統(tǒng)中加入一些其參數(shù)可以根據(jù)需要而改變的機(jī)構(gòu)或裝置，使系統(tǒng)整個(gè)特性發(fā)生變化，從而滿足給定的各項(xiàng)性能指標(biāo)。這一附加裝置成為校正裝置。加入校正裝置后使未校正系統(tǒng)的缺陷得到補(bǔ)償，這就是校正作用。無(wú)源超前校正網(wǎng)絡(luò)的傳遞函數(shù)可寫(xiě)為其中a>1,故超前網(wǎng)絡(luò)的負(fù)實(shí)零點(diǎn)總是位于其負(fù)實(shí)極點(diǎn)之右，起到微分作用，a的值選的越大，則超前網(wǎng)絡(luò)的微分作用越強(qiáng)1。1.3 Matlab簡(jiǎn)介 Matlab是mathworks公司于1984年推出的數(shù)學(xué)軟件，是一種用于科學(xué)工程計(jì)算的高效率的高級(jí)語(yǔ)言。Matlab的含義是“矩陣實(shí)驗(yàn)室”，主

7、要向用戶提供一套非常完善的矩陣運(yùn)算命令。Matlab系統(tǒng)由Matlab開(kāi)發(fā)環(huán)境、Matlab數(shù)學(xué)函數(shù)庫(kù)、Matlab語(yǔ)言、Matlab圖形處理系統(tǒng)和Matlab應(yīng)用程序接口（API）五大部分構(gòu)成。 自上世紀(jì)70年代發(fā)展以來(lái)，經(jīng)過(guò)多年的補(bǔ)充完善以及數(shù)個(gè)版本的升級(jí)換代，逐漸發(fā)展為了集圖形交互、通用科學(xué)計(jì)算、程序語(yǔ)言設(shè)計(jì)和系統(tǒng)控制于一體的龐大軟件。在以商品形式出現(xiàn)后的短短幾年時(shí)間里，MATLAB就以其很好的開(kāi)放性和運(yùn)行的可靠性，使原來(lái)在控制領(lǐng)域的封閉式的軟件紛紛淘汰。 20 世紀(jì) 90年代，MATLAB 就已成為了國(guó)際控制界內(nèi)公認(rèn)的標(biāo)準(zhǔn)計(jì)算軟件，在數(shù)值計(jì)算方面MATLAB超過(guò)了 30多個(gè)數(shù)學(xué)類科技應(yīng)

8、用軟件，獨(dú)占鰲頭。Matlab的根軌跡方法允許進(jìn)行可視化設(shè)計(jì)，具有操作簡(jiǎn)單、界面直觀、交互性好、設(shè)計(jì)效率高等優(yōu)點(diǎn)。早期超前校正器的設(shè)計(jì)往往依賴于試湊的方法，重復(fù)勞動(dòng)多，運(yùn)算量大，又難以得到滿意的結(jié)果。MATLAB作為一種高性能軟件和編程語(yǔ)言，以矩陣運(yùn)算為基礎(chǔ)，把計(jì)算、可視化、程序設(shè)計(jì)融合到了一個(gè)簡(jiǎn)單易用的交互式工作環(huán)境中，是進(jìn)行控制系統(tǒng)計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)的方便可行的實(shí)用工具。因此，隨著計(jì)算機(jī)的飛速發(fā)展和MATLAB軟件的普及，借助MATLAB，通過(guò)編寫(xiě)函數(shù)和程序，可以容易地設(shè)計(jì)出超前校正器，避免了繁瑣的計(jì)算和繪圖過(guò)程，從而為線性控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)提供了一種簡(jiǎn)單有效的途徑。本論文主要是對(duì)經(jīng)典根軌跡校正設(shè)

9、計(jì)方法的研究，針對(duì)受控對(duì)象，設(shè)計(jì)合適的根軌跡校正控制器，改善系統(tǒng)的性能指標(biāo)，使系統(tǒng)能夠?qū)崿F(xiàn)給定的性能要求。2 根軌跡超前校正法2.1 根軌跡校正步驟根軌跡校法在實(shí)際中，只調(diào)整增益通常是不能獲得所希望性能的，因此，必須改造根軌跡，通過(guò)引入適當(dāng)?shù)男Ｕb置來(lái)改變?cè)瓉?lái)的的根軌跡。引入校正裝置就是在系統(tǒng)中增加零極點(diǎn)，通過(guò)零極點(diǎn)的變化改變根軌跡的形狀。從而使系統(tǒng)根軌跡在S平面上通過(guò)希望的閉環(huán)極點(diǎn)。根軌跡法校正的特征是基于閉環(huán)系統(tǒng)具有一對(duì)主導(dǎo)閉環(huán)極點(diǎn)。本次校正主要采用根軌跡串聯(lián)超前校正。根軌跡串聯(lián)超前校正的一般步驟如下：（1）根據(jù)要求的動(dòng)態(tài)指標(biāo)確定期望的閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)，計(jì)算該點(diǎn)的零極點(diǎn)矢量輻角，判斷是否滿足輻

10、角條件，若滿足輻角條件，則由幅值條件計(jì)算該點(diǎn)的的Kg值，由求得的Kg值計(jì)算校正參數(shù)即可完成校正任務(wù)。若不滿足輻角條件，將輻角差額計(jì)算出來(lái)，需要由零點(diǎn)性質(zhì)的傳遞函數(shù)補(bǔ)償，即根軌跡超前校正。（2）根據(jù)超前相移確定校正網(wǎng)絡(luò)的零極點(diǎn)值。（3）由幅值條件計(jì)算閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)處的根軌跡放大系數(shù)，并計(jì)算校正網(wǎng)絡(luò)的零極點(diǎn)增益值。（4）繪制校正后的根軌跡圖，將其余的閉環(huán)極點(diǎn)和閉環(huán)零點(diǎn)計(jì)算出來(lái)，根據(jù)他們的位置分析對(duì)閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)產(chǎn)生影響，并考慮是否調(diào)整選定的閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)以適應(yīng)他們的影響。2.2 根軌跡超前校正設(shè)計(jì)的具體方法幾何法設(shè)未校正系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為，超前校正器的傳遞函數(shù)為: （2-1）則校正后系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：

11、 （2-2） 用根軌跡超前校正幾何法的設(shè)計(jì)步驟如下2：（1）根據(jù)要求的動(dòng)態(tài)品質(zhì)指標(biāo)，確定閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)的位置。的位置確定后，該點(diǎn)在復(fù)平面的相角為： （2-3）（2）計(jì)算使根軌跡通過(guò)主導(dǎo)極點(diǎn)所需的補(bǔ)償角。補(bǔ)償角的計(jì)算公式為： （2-4）BOD(b)CE(a)圖1 確定根軌跡超前校正零極點(diǎn)（3）按圖1確定的零極點(diǎn)，可使其附加增益最小，其方法是： 過(guò)點(diǎn)作水平線，則。作的角平分線。 在線兩邊作。線、與負(fù)實(shí)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為b、a，則可確定超前校正器的極、零點(diǎn)： （2-5）（4）由根軌跡幅值條件即 （2-6）計(jì)算校正器的增益。根據(jù)圖1，由平面幾何的基本知識(shí)得：令，則 （2-7）令，則 （2-8）令 ，則

12、（2-9）令，則 （2-10）3 系統(tǒng)校正3.1 已知條件及要求已知條件：系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為: ，其中，k=0.25;要求：控制以a為變量的根軌跡，用根軌跡法設(shè)計(jì)串聯(lián)超前校正裝置，使超調(diào)量。從實(shí)際系統(tǒng)中抽象出傳遞函數(shù)，并用Matlab仿真出其結(jié)果。3.2 系統(tǒng)分析根據(jù)所給定的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)可以用MATLAB作出其初始的根軌跡圖：因?yàn)槭且詀為變量的根軌跡，所以所得到的軌跡為廣義根軌跡。廣義根軌跡是指以非開(kāi)環(huán)增益為可變參數(shù)繪制的根軌跡。繪制廣義根軌跡與繪制常規(guī)根軌跡完全相同，只是在繪制廣義根軌跡之前，需化為等效單位反饋系統(tǒng)和等效傳遞函數(shù)。由系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)得系統(tǒng)特征方程：等效開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為： 即可

13、得系統(tǒng)廣義根軌跡方程：其中。在matlab命令窗口中鍵入如下命令：clear;num=1;den=1 1 0.25 0;G=tf(num,den);rlocus(G)即可得系統(tǒng)根軌跡：圖 系統(tǒng)廣義根軌跡從圖中右邊一點(diǎn)可以讀出數(shù)據(jù)：當(dāng)增益為0.25時(shí)，系統(tǒng)根軌跡交于虛軸上，此時(shí)超調(diào)量達(dá)到100%。由此可得系統(tǒng)穩(wěn)定范圍:0<Kg<0.25。即0<0.25a<0.25，即0<a<1。從圖中靠近左邊一點(diǎn)可以讀出數(shù)據(jù)：當(dāng)增益為Kg=0.0383,即0.25a=0.0383時(shí)，系統(tǒng)超調(diào)量為10.1%。但此超調(diào)并不是原系統(tǒng)的超調(diào)量。要分析原系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，需要對(duì)原系統(tǒng)進(jìn)行

14、響應(yīng)分析。當(dāng)0.25a=0.0383時(shí)，原系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行階躍響應(yīng)分析：在Matlab中輸入程序如下：clearclcnum=0.25 0.0383;den=1 1 0 0;G=tf(num,den);G_close=feedback(G,1);step(G_close)圖 原系統(tǒng)階躍響應(yīng)從圖中可以看出，此時(shí)系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)，超調(diào)量 ，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)系統(tǒng)要求的性能指標(biāo)。當(dāng) 0.25a=0.0383時(shí)，原系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：等效系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為：原系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：等效系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：從上述分析可以看出：等效后的系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)的分母與原系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)的分母相同，即有

15、相同的特征方程和特征根。但兩者的閉環(huán)零點(diǎn)不同。原系統(tǒng)中多了一個(gè)零點(diǎn)，所以在響應(yīng)曲線中表現(xiàn)出超調(diào)量變大，使從廣義根軌跡中得到的參數(shù)點(diǎn)與原系統(tǒng)不符。即要使原系統(tǒng)的響應(yīng)曲線滿足要求，需要返回到原系統(tǒng)中進(jìn)行分析，不能只根據(jù)廣義根軌跡來(lái)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行判斷，校正3。3.3 調(diào)節(jié)參數(shù)a由上述分析可知，當(dāng)a取值在（0 1）中時(shí)，系統(tǒng)的根均在虛軸的左半平面，系統(tǒng)穩(wěn)定。而且當(dāng)a取值越小時(shí)，等效系統(tǒng)穩(wěn)定性越好，超調(diào)量越小，原系統(tǒng)穩(wěn)定性也響應(yīng)增加，超調(diào)量響應(yīng)減小。因此可以在（0 1）區(qū)間逐步減小a的取值，觀察原系統(tǒng)響應(yīng)曲線是否可以達(dá)到系統(tǒng)要求。原系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)已知，根據(jù)所有穩(wěn)定系統(tǒng)都可以化為單位負(fù)反饋的原則，對(duì)該系統(tǒng)

16、可以當(dāng)做單位負(fù)反饋處理計(jì)算。因此當(dāng)系統(tǒng)輸入為單位階躍輸入時(shí)，系統(tǒng)的期望的輸出穩(wěn)定值也為一個(gè)單位值。系統(tǒng)指標(biāo)要求超調(diào)量小于10%，因此系統(tǒng)輸出最大值不應(yīng)超過(guò)1.1，通過(guò)Matlab 軟件計(jì)算可得a的取值范圍。程序如下：clearclca=1;p=2;while p>1.1 a=a-0.001; G=tf(0.25 0.25*a,1 1 0 0 ); sys=feedback(G,1); k t=step(sys); p=max(k);end step(sys) a仿真結(jié)果如下：a=0.031圖 系統(tǒng)響應(yīng)曲線從上圖可以看出，系統(tǒng)超調(diào)量已達(dá)到9.74%，滿足系統(tǒng)要求。因此，對(duì)于本系統(tǒng)，只調(diào)節(jié)a

17、即可滿足系統(tǒng)要求，當(dāng)a取值越小時(shí)，系統(tǒng)超調(diào)量越小，所以a的取值范圍為（0 0.031），即在此區(qū)間的a可使系統(tǒng)響應(yīng)滿足系統(tǒng)要求。3.4 零極點(diǎn)配置由上述分析可知，對(duì)于原系統(tǒng)，只調(diào)節(jié)參數(shù)a即可滿足系統(tǒng)要求。但是系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間過(guò)長(zhǎng)，已在16秒左右，對(duì)于實(shí)際系統(tǒng)需要進(jìn)行進(jìn)一步調(diào)節(jié)。當(dāng)a=0.031時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)曲線即可以滿足系統(tǒng)要求。因此，在此基礎(chǔ)上對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)時(shí)間進(jìn)行校正，更容易獲得滿意的響應(yīng)曲線。接下來(lái)就根據(jù)根軌跡超前校正法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行零極點(diǎn)配置，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行校正，以使系統(tǒng)超調(diào)滿足要求，并且調(diào)節(jié)時(shí)間不至于過(guò)長(zhǎng)，更加符合實(shí)際需要。（1）原系統(tǒng)要求最大超調(diào)量小于等于10%，則可得： 即得： 因此，可取 （2

18、）增加系統(tǒng)調(diào)節(jié)時(shí)間指標(biāo)要求，設(shè)為確定的自然震蕩角頻率為則期望的主導(dǎo)極點(diǎn)為：（3）原系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)零極點(diǎn)坐標(biāo)分別為：零點(diǎn)：（-0.031 0）極點(diǎn)：（0 0）、（0 0）、（-1 0）期望主導(dǎo)極點(diǎn)：（-1.98+2.64j）、(-1.98-2,64j)從上述比較可得，零點(diǎn)(-0.031 0)與極點(diǎn)（0 0）相對(duì)于期望閉環(huán)主導(dǎo)極點(diǎn)可近似等效為零極點(diǎn)對(duì)，二者對(duì)系統(tǒng)的影響可相互抵消。因此原系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)可近似等效為：通過(guò)根軌跡超前校正方法，對(duì)上述等效系統(tǒng)進(jìn)行校正。Matlab編程如下：clearclczeta=0.6wn=3.3s1=-zeta*wn+sqrt(1-zeta2)*wn*i;ng=0

19、.25;dg=1 1 0 ;ngv=polyval(ng,s1);dgv=polyval(dg,s1);g=ngv/dgv;theta=angle(g);phic=pi-theta;phi=angle(s1);thetaz=(phi+phic)/2;thetap=(phi-phic)/2;zc=real(s1)-(imag(s1)/tan(thetaz);pc=real(s1)-(imag(s1)/tan(thetap);nc=1 -zc;dc=1 -pc;nv=polyval(nc,s1);dv=polyval(dc,s1);kv=nv/dv;kc=abs(1/(g*kv);kcGc=tf(nc,dc)s=tf(0.25,1 1 0);sys=kc*Gc*s;scop=feedback(sys,1);step(scop)運(yùn)行程序，結(jié)果為：圖 校正后響應(yīng)曲線從仿真圖中可以看出，響應(yīng)曲線超調(diào)量不滿足要求，但響應(yīng)時(shí)間已經(jīng)大大減少，縮短了將近十倍。要使系統(tǒng)超調(diào)量跟調(diào)節(jié)時(shí)間均達(dá)到比較滿意的要求，需要再調(diào)節(jié)阻尼比跟自然角頻率。當(dāng)取，時(shí)，輸出響應(yīng)曲線為：圖 系統(tǒng)輸出響應(yīng)曲線從上圖可知，系統(tǒng)超調(diào)以達(dá)到要求，小于10%，而調(diào)節(jié)時(shí)間略有增加，但也在實(shí)際允許