萬有引力知識與例題總結(jié)分解

1、萬有引力定律與航天第1課萬有引力定律及其應(yīng)用II知識簡析一. 萬有引力定律1. 內(nèi)容：自然界中任何兩個物體都相互吸引，引力的大小與 成正比，與它們之間成反比.2. 公式：F=，其中G=N m/kg 2，叫引力常量.3. 適用條件：公式適用于 間的相互作用當兩物體間的距離遠大于物體本身的大小時，物體可視為質(zhì)點；均勻的球體可視為質(zhì)點，r是間的距離；一個均勻球體與球外一個質(zhì)點的萬有引力也適用，其中 r為球心到 間的距離.例、對于萬有引力定律的數(shù)學(xué)表達式F= GMmm，下列說法正確的是()R2A. 公式中G為引力常數(shù)，是人為規(guī)定的B. r趨近于零時，萬有引力趨于無窮大C. m、m2之間的萬有引力總是大

2、小相等，與m、m的質(zhì)量是否相等無關(guān)D. m、m之間的萬有引力總是大小相等方向相反，是一對平衡力二、萬有引力和重力重力加速度g隨緯度變化而變化，從赤道到兩極逐漸增大.通常的計算中因重力和萬有引力相差不大，而認為兩者相等，即mg= Gmirm*2 , g=GM/r 2常用來計算星球表面重力加速度的大小，r在地球的同一緯度處，g隨物體離地面高度的增大而減小，即gh=GM/( r+h)2,比較得2gh= ( ) - go (g 0為地表重力加速度)F向和mg剛好在一條直線上，則有r h在赤道處，物體的萬有引力分解為兩個分力F = F 向+ mg,所以 m>g=F 一 F 向=Gmim2 m>

3、;R« 自2r2因地球目轉(zhuǎn)角速度很小? m2R®自2,所以mig= G 豊1rr假設(shè)地球自轉(zhuǎn)加快，即3 自變大，由 mg = mR®自2知物體的重力將變小，當rG*1 2 2 =m>R®自2時，m>g=0,此時地球上物體無重力，但是它要求地球自轉(zhuǎn)的角速度3r=Gm，比現(xiàn)在地球自轉(zhuǎn)角速度要大得多 R3.天體表面重力加速度問題設(shè)天體表面重力加速度為g,天體半徑為R,由mg=G啤得g=G M2,由此推得兩個不同天體表面重力加速RR度的關(guān)系為也R業(yè)g2 R M2四天體質(zhì)量和密度的計算(1 )測出衛(wèi)星繞中心天體做勻速圓周運動的半徑r和周期T,由nrn2

4、n)2r，可得4 nr3天體質(zhì)量為：wgt'.該中心天體密度為:（R為中心天體的半徑）當衛(wèi)星沿中心天體表面運行時，r = R,貝U p=善.（2）利用天體表面的重力加速度由于mg故天體質(zhì)量M=g gR2G，和天體半徑R天體密度M M3g尸V廠=4nGR3規(guī)律方法1 、萬有引力定律的基本應(yīng)用R/2的球形【例1】如圖所示，在一個半徑為 R、質(zhì)量為M的均勻球體中，緊貼球的邊緣挖去一個半徑為 空穴后，對位于球心和空穴中心連線上、與球心相距d的質(zhì)點m的引力是多大？【例2】某物體在地面上受到的重力為160 N,將它放置在衛(wèi)星中，在衛(wèi)星以加90 N時，求此時衛(wèi)星距地速度a=?g隨火箭加速上升的過程中

5、，當物體與衛(wèi)星中的支持物的相互壓力為32球表面有多遠？（地球半徑R= 6.4 X 10 km,g取10m/s ）【例3】登月火箭關(guān)閉發(fā)動機在離月球表面112 km的空中沿圓形軌道運動，周期是 120.5 min,月球的半徑是1740 km,根據(jù)這組數(shù)據(jù)計算月球的質(zhì)量和平均密度.ts后物體落回宇航員手中.為【例4】一個宇航員在半徑為 R的星球上以初速度 V0豎直上拋一物體，經(jīng)了使沿星球表面拋出的物體不再落回星球表面，拋出時的速度至少為多少?【例5】中子星是恒星演化過程中的一種可能結(jié)果，它的密度很大現(xiàn)有一中子星，觀測到它的自轉(zhuǎn)周期1為T= 30 s.問該中子星的最小密度應(yīng)是多少才能維持該星體的穩(wěn)定

6、，不致因自轉(zhuǎn)而瓦解？（計算時星體可視為均勻球體，萬有引力常量G= 6.67 X 1oT1m/kgs2）6、已知下面的哪組數(shù)據(jù)，可以算出地球的質(zhì)量 M（引力常量G為已知）（） A月球繞地球運動的周期 T及月球到地球中心的距離RB地球繞太陽運行周期 T及地球到太陽中心的距離 RC人造衛(wèi)星在地面附近的運行速度V和運行周期TD地球繞太陽運行速度 V及地球到太陽中心的距離 R3、據(jù)媒體報道,嫦娥一號衛(wèi)星環(huán)月工作軌道為圓軌道,軌道高度200 km,運用周期127分鐘。若還知道引力常量和月球平均半徑，僅利用以上條件不能求出的是A. 月球表面的重力加速度B.月球?qū)πl(wèi)星的吸引力C.衛(wèi)星繞月球運行的速度D衛(wèi)星繞月

7、運行的加速度2、討論天體運動規(guī)律的基本思路基本方法：把天體的運動看成是勻速圓周運動，其所需向心力由萬有引力提供。2 2Mm v222G 亍 m m rmm 2 f rr2rT【例9】在天體運動中，將兩顆彼此相距較近的行星稱為雙星。它們在相互的萬有引力作用下間距保持不變，并沿半徑不同的同心圓軌道做勻速圓周運動。如果雙星間距為L,質(zhì)量分別為 M1和M2,試計算：（1）雙星的軌道半徑；（2）雙星的運行周期；（3）雙星的線速度。試題展示專題：人造天體的運動L s s s = - s - SHI知識簡析I一、衛(wèi)星的繞行角速度、周期與高度的關(guān)系2由件吩，得v V當hvJ(2)由 G mM 2 =mo 2

8、(r+h )，得 3 GM 3 ,當 h T,«J r h2 r h 3由h,得丁= 4；Mh3 當hf，Tf3、對人造地球衛(wèi)星以下說法正確的是A.根據(jù)公式v .gR環(huán)繞速度隨R的增大而增大B.根據(jù)公式v GM環(huán)繞速度隨R的增大而減小 RC.根據(jù)公式F=GMm ，當R增大到原來的4倍時，衛(wèi)星需要的向心力為原來的1/16D.根據(jù)公式2F=m ，當R增大到原來的2倍時，衛(wèi)星需要的向心力減為原來的R1/24、設(shè)地球的半徑為 下說法錯誤的是（R）,質(zhì)量為）m的衛(wèi)星在距地面 R）高處做勻速圓周運動，地面的重力加速度為go,則以A.衛(wèi)星的線速度為2goR3 .;B. 衛(wèi)星的角速度為 g0 ;l8

9、RgC.衛(wèi)星的加速度為D.衛(wèi)星的周期2go、三種宇宙速度: 第一宇宙速度（環(huán)繞速度） 圓周運動的最大速度。 第二宇宙速度（脫離速度） 第三宇宙速度（逃逸速度）:vi=7.9km/s，人造地球衛(wèi)星的最小發(fā)射速度。也是人造衛(wèi)星繞地球做勻速:V2=11.2km/s，使衛(wèi)星掙脫地球引力束縛的最小發(fā)射速度。:V3=16.7km/s，使衛(wèi)星掙脫太陽引力束縛的最小發(fā)射速度。不同高度處的人造地球衛(wèi)星在圓軌道上運行速度，其大小隨半徑的增大而減小.但是，由于在人造地球衛(wèi)星發(fā)射過程中火箭要克服地球引力做功，因此將衛(wèi)星發(fā)射到離地球越遠的軌道，在地面上所需 的發(fā)射速度就越大，即 V發(fā)射V環(huán)繞，所以近地人造地球衛(wèi)星的速度

10、是最大環(huán)繞速度，也是人造衛(wèi)星的最小 發(fā)射速度.三、第一宇宙速度的計算.方法一：地球?qū)πl(wèi)星的萬有引力就是衛(wèi)星做圓周運動的向心力.mM2V=m r h_ GMV= r h。當 hf.vJ,所以在地球表面附近衛(wèi)星的速度是它運行的最大速度。其大小為r >> h （地面附近）時， V|GM=7. 9 x 103m/s方法二：在地面附近物體的重力近似地等于地球?qū)ξ矬w的萬有引力，重力就是衛(wèi)星做圓周運動的向心力.2V3mg m 1.當 r >> h 時.ghg 所以 vi= . gr =7. 9X 10 m/s r h第一宇宙速度是在地面附近 hvvr，衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動的最大速

11、度.四、兩種最常見的衛(wèi)星近地衛(wèi)星。近地衛(wèi)星的軌道半徑 r可以近似地認為等于地球半徑R由式可得其線速度大小為V1=7.9 x 103m/s ;由式可得其周期為 T=5.06 x 103s=84min。由、式可知，它們分別是繞地球做勻速圓周運動的人造衛(wèi)星的最大線速度和最小周期。神舟號飛船的運行軌道離地面的高度為340km,線速度約7.6km/s，周期約90min。同步衛(wèi)星。1. 軌道平面一定：軌道平面與 共面.2.周期一定：與 周期相同，即T= 24 h.3角速度一定：與 的角速度相同.4.高度一定：由向心加速度大小一定 anvR+ h）得同步衛(wèi)星離地面的高度7 3.56 x 10 m【例3】據(jù)報

12、道，我國數(shù)據(jù)中繼衛(wèi)星“天鏈一號01星”于2008年4月25日在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射升空， 經(jīng)過4次變軌控制后，于5月1日成功定點在東經(jīng) 77°赤道上空的同步軌道. 關(guān)于成功定點后的“天鏈 號01星”,下列說法正確的是（）A. 運行速度大于 7.9 km/sB.離地面高度一定，相對地面靜止C. 繞地球運行的角速度比月球繞地球運行的角速度大D. 向心加速度與靜止在赤道上物體的向心加速度大小相等3、某一顆人造地球同步衛(wèi)星距地面的高度為h,設(shè)地球半徑為 R,自轉(zhuǎn)周期為T,地面處的重力加速度為 g,則該同步衛(wèi)星的線速度的大小應(yīng)該為：（）五、赤道上、近地衛(wèi)星上、同步衛(wèi)星上的同物比較角速度周期線速

13、度向心加速度向心力赤道 上1 自TiT自V1 1Ri RF-i ma1近地 衛(wèi)星 上'GM2忖T2 J4 2r3 GMJgm2 RV宇GM1 a2R2gF2 ma2 mg同步 衛(wèi)星3自T3T自V33(R h)2a33 (R h)F3 ma3| GMTM 2(R h)3/ GMGMa32(R h)2上3 吐R h)3YGM3 V R h物較 同比132T1T3T2V1V3V2V 宇1 aia3a2gFi F3 F2 mga、 (h g)gb、 2 (h R)Tc、.R2g/(hR)d、一RgA. vi>V2>V3B. vi<V2<V3C. ai>a2>

14、a3D. ai<a3<a2【例11】如圖，地球赤道上的山丘 e,近地資源衛(wèi)星p和同步通信衛(wèi)星q均在赤道平面上 繞地心做勻速圓周運動.設(shè) e、p、q的圓周運動速率分別為 Vi、V2、V3，向心加速度分別 為 ai、a?、a3,貝U ( )六、衛(wèi)星的超重和失重(1) 衛(wèi)星進入軌道前加速過程，衛(wèi)星上物體超重.(2) 衛(wèi)星進入軌道后正常運轉(zhuǎn)時，衛(wèi)星上物體完全失重.在衛(wèi)星上的儀器，凡是制造原理與重力有關(guān)的均 不能使用.同理，與重力有關(guān)的實驗也將無法進行(如：天平、水銀氣壓計等)七、衛(wèi)星的變軌2衛(wèi)星做勻速圓周運動時滿足：G=ma = mr = mrw2= mr(2T)2當衛(wèi)星由于某種原因速度突

15、然改變時(開啟或關(guān)閉發(fā)動機或空氣阻力作用)，萬有引力就不再等于向心力,衛(wèi)星將做變軌運行.2(1) 當V增大時，所需向心力 mr增大，即萬有引力不足以提供向心力，衛(wèi)星將做離心運動，脫離原來的圓軌道，軌道半徑變大，但衛(wèi)星一旦進入新的軌道運行，由v=' 其運行速度要減小，但重力勢能、機械能均增加.2mv(2) 當衛(wèi)星的速度突然減小時，向心力減小，即萬有引力大于衛(wèi)星所需的向心力，因此衛(wèi)星將做向心運動，同樣會脫離原來的圓軌道，軌道半徑變小，進入新軌道運行時由v =重力勢能、機械能均減少.(衛(wèi)星的發(fā)射和回收就是利用了這一原理)【例6】如圖4 4 2所示，a、b、c是在地球大氣層外圓形軌道上運行的的

16、是()A. b、c的線速度大小相等，且大于 a的線速度B. b、c的向心加速度大小相等，且大于 a的向心加速度C. c加速可追上同一軌道上的 b, b減速可等到同一軌道上的 c知運行速度將增大，但3顆人造衛(wèi)星，下列說法正確D. a衛(wèi)星由于某種原因，軌道半徑緩慢減小，其線速度將變大【例7】某人造地球衛(wèi)星因受高空稀薄空氣的阻力作用，繞地球運轉(zhuǎn)的軌道會慢慢改變，某次測量衛(wèi)星的 軌道半徑為ri,后來變?yōu)?（2<1），用Eki、氐表示衛(wèi)星在這兩個軌道上的動能，、T2表示衛(wèi)星在這兩個軌道上的運行周期，則（）A.Ec2<Eki，T2<TiB.E5（2<Eki,T2>TiC.E&

17、lt;2>Eki,T2<TiD.E<2>Eki,T2>Ti【例8】人造衛(wèi)星首次進入的是距地面高度近地點為200km,遠地點為340km的橢圓軌道，在飛行第五圈的時候，飛船從橢圓軌道運行到以遠地點為半徑的圓形軌道上，如圖所示，試處理以下幾個問題（地球半2徑 R=6370km, g=9.8m/s ）（1）飛船在橢圓軌道 1上運行，Q為近地點，P為遠地點，當飛船運動到P點時點火，使飛船沿圓軌道2運行，以下說法正確的是（）A. 飛船在Q點的萬有引力大于該點所需的向心力B. 飛船在P點的萬有引力大于該點所需的向心力C. 飛船在軌道I上 P點的速度小于軌道H上P的速度D飛船在

18、軌道I上 P點的加速度小于軌道n上P的加速度（2）假設(shè)由于飛船的特殊需要，中國的一艘原本在圓軌道運行的飛船前往與之對接，則飛船一定是（）A. 從較低軌道上加速B.從較高軌道上加速C.從同一軌道上加速D.從任意軌道上加速 八、環(huán)繞同一中心天體的星際相距最遠和最近問題1、從相距最近（兩星在中心天體的同側(cè)且三星共線）至U再次相距最近所需最短時間:2、從相距最近（兩星在中心天體的同側(cè)且三星共線）至躺距最遠（兩星在中心天體的兩側(cè)且三星共線）所需最短時間：< 、據(jù)大-小t則t，大小 : nh2T大 T 小而則t一<1電fX事T2T大 T小【例10】兩顆衛(wèi)星在同一軌道平面繞地球做勻速圓周運動，地

19、球半徑為R, a衛(wèi)星離地面的高度等于R, b衛(wèi)星離地面咼度為 3R,貝U：（1）a、b兩衛(wèi)星周期之比 Ta : Tb是多少？（2）若某時刻兩衛(wèi)星正好通過地面同一點的正上方，則 a至少經(jīng)過多少個周期兩衛(wèi)星相距最遠?九、人造天體在運動過程中的能量關(guān)系 同樣質(zhì)量的衛(wèi)星，軌道半徑越大，即離地面越高，衛(wèi)星具有的機械能越大，發(fā)射越困難。八、相關(guān)材料I 人造衛(wèi)星做圓軌道和橢圓軌道運行的討論當火箭與衛(wèi)星分離時，設(shè)衛(wèi)星的速度為v （此即為發(fā)射速度），衛(wèi)星距離地心為 r,并設(shè)此時速度與萬有引力垂直（通過地面控制可以實現(xiàn)）如圖所示，貝yf萬 GMm，若衛(wèi)星以v繞地球做圓周運動，則所需r2要的向心力為：F向=mlr

20、當F萬=卩向時，衛(wèi)星將做圓周運動若此時剛好是離地面最近的軌道，則可求出此時的發(fā)射速度v= 7.9km/s. 當F萬v F向時，衛(wèi)星將做離心運動，做橢圓運動，遠離地球時引力做負功，衛(wèi)星動能轉(zhuǎn)化為引力勢能.（神州五號即屬于此種情況） 當F萬F向時，衛(wèi)星在引力作用下，向地心做橢圓運動，若此時發(fā)生在最近 軌道，則vv 7.9 km/s，衛(wèi)星將墜人大氣層燒毀。因此：星箭分離時的速度是決定衛(wèi)星運行軌道的主要條件.2. 人造衛(wèi)星如何變軌衛(wèi)星從橢圓軌道變到圓軌道或從圓軌道變到橢圓軌道是衛(wèi)星技術(shù)的一個重 要方面，衛(wèi)星定軌和返回都要用到這個技術(shù).2以衛(wèi)星從橢圓遠點變到圓軌道為例加以分析：如圖所示，在軌道A點，萬有

21、引力Fa> m，要使衛(wèi)星r2改做圓周運動，必須滿足Fa= m-和Fa丄v，在遠點已滿足了 Fa丄v的條件，所以只需增大速度， 讓速度增 r2大到m- = Fa,這個任務(wù)由衛(wèi)星自帶的推進器完成.r這說明人造衛(wèi)星要從橢圓軌道變到大圓軌道，只要在橢圓軌道的遠點由推進器加速，當速度達到沿圓軌道所需的速度，人造衛(wèi)星就不再沿橢圓軌道運動而轉(zhuǎn)到大圓軌道.“神州五號”就是通過這種技術(shù)變軌的，地球同步衛(wèi)星也是通過這種技術(shù)定點于同步軌道上的. 練習(xí)：1對于萬有引力定律的表述式F Gmimm2，下面說法中不正確的是（rA.公式中G為引力常量，它是由實驗測得的，而不是人為規(guī)定的B. 當r趨近于零時，萬有引力趨于

22、無窮大C. mi與m受到的引力總是大小相等的，方向相反，是一對作用力與反作用力D. mi與m受到的引力總是大小相等的，而與m、m是否相等無關(guān)2、甲、乙兩個物體分別放在廣州和北京，它們隨地球一起轉(zhuǎn)動時，下面說法正確的是（）甲的線速度大，乙的角速度大甲和乙的角速度相等）A.甲的線速度大，乙的角速度小BC.甲和乙的線速度相等D3、關(guān)于行星的運動，以下說法不正確的是（A. 行星軌道的半長軸越長，自轉(zhuǎn)周期就越小B. 行星軌道的半長軸越長，公轉(zhuǎn)周期就越大C. 水星的半長軸最短，公轉(zhuǎn)周期最大D. 海王星離太陽“最遠”，其公轉(zhuǎn)周期最長4、地球可近似看成球形，由于地球表面上物體都隨地球自轉(zhuǎn)，所以有：（A. 物體

23、在赤道處受的地球引力等于兩極處，而重力小于兩極處B. 赤道處的角速度比南緯300大C. 地球上物體的向心加速度都指向地心，且赤道上物體的向心加速度比兩極處大D. 地面上的物體隨地球自轉(zhuǎn)時提供向心力的是重力5、一艘宇宙飛船繞一個不知名的行星表面飛行，要測定該行星的密度，僅僅需要測定（）A.運行周期T B 環(huán)繞半徑r C 行星的體積 V D運行速度v6、人造衛(wèi)星在太空繞地球運行中，若天線偶然折斷，天線將A.繼續(xù)和衛(wèi)星一起沿軌道運行BC.由于慣性，沿軌道切線方向做勻速直線運動7、兩顆人造衛(wèi)星 A B繞地球做圓周運動，周期之比為 別為（）.做平拋運動，落向地球D 做自由落體運動，落向地球Ta :Tb

24、1:8，則軌道半徑之比和運動速率之比分A. RA : RB 4 :1,vA : vB 1 : 2 B.RA : RB 4 : 1,vA : vB2 : 1C. RA : RB 1 : 4,vA : vB2 : 1 D.RA : Rb 1 : 4,vA : vB1 : 2h處平拋一物體，射程為 60 m,8、某星球的質(zhì)量約為地球的 9倍，半球約為地球的一半，若從地球上高則在該星球上，從同樣高度，以同樣的初速度平拋同一物體，射程應(yīng)為（）A.10 mB.15mC.90mD.360n倍后，仍能夠繞地球做勻9、某人造地球衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運動，假如它的軌道半徑增加到原來的速圓周運動，則：（）A根據(jù)vr

25、，可知衛(wèi)星運動的線速度將增大到原來的n倍。2B 根據(jù)F m，可知衛(wèi)星受到的向心力將減小到原來的r1倍。nC 根據(jù)FGMm-，可知地球給衛(wèi)星提供的向心力將減小到原來的 r倍。D 根據(jù)GMm2r2mvr可知衛(wèi)星運動的線速度將減小到原來的一倍。, n10、下列幾組數(shù)據(jù)中能算出地球質(zhì)量的是（萬有引力常量G是已知的）（A.地球繞太陽運行的周期T和地球中心離太陽中心的距離B.月球繞地球運行的周期T和地球的半徑rC.月球繞地球運動的角速度和月球中心離地球中心的距離D.月球繞地球運動的周期T和軌道半徑r11、關(guān)于“亞洲一號”地球同步通訊衛(wèi)星，下述說法正確的是（A.已知它的質(zhì)量是1.24 t ，若將它的質(zhì)量增為

26、 2.84 t其同步軌道半徑變?yōu)樵瓉淼?倍B.它的運行速度為 7.9 km/sC它可以繞過北京的正上方，所以我國能利用其進行電視轉(zhuǎn)播D.它距地面的高度約為地球半徑的5倍,所以衛(wèi)星的向心加速度約為其下方地面上物體的重力加速度1的丄3612、設(shè)在地球上和某天體上以相同的初速度豎直上拋一物體的最大高度之比為k（均不計空氣阻力）,且已知地球和該天體的半徑之比也為k,則地球質(zhì)量與天體的質(zhì)量之比為2A. 1B. KC. KD. 1/K星球的第二宇宙速度 V2與第一宇宙速13、星球上的物體脫離星球引力所需的最小速度稱為第二宇宙速度.度V1,的關(guān)系是V2= 2 v 1.已知某星球的半徑為 r ,它表面的重力加

27、速度為地球表面重力加速度g的6 ,A. gr B.16gr C.3grD.13 gr不計其他星球的影響，則該星球的第二宇宙速度（）繞地球飛行77圈，飛船返回艙終于在 200514、神舟六號載人航天飛船經(jīng)過115小時32分鐘的太空飛行,年10月17日凌晨4時33分成功著陸，航天員費俊龍、聶海勝安全返回。 已知萬有引力常量 G,地球表面的重力加速度 g,地球的半徑 R。神舟六號飛船太空飛近似為圓周運動。則下列論述正確的是（ ）A. 可以計算神舟六號飛船繞地球的太空飛行離地球表面的高度hB. 可以計算神舟六號飛船在繞地球的太空飛行的加速度C. 飛船返回艙打開減速傘下降的過程中，飛船中的宇航員處于失重狀態(tài)D. 神舟六號飛船繞地球的太空飛行速度比月球繞地