張量基礎(chǔ)知識

1、第二章 張量的基本知識張量的提出： 晶體具有各向異性，從而使得晶體的物理性質(zhì)在不同方向上也存在著差異。晶體的各向異性是一種很普遍的特性，特別是很多現(xiàn)象如熱電、壓電、電光、聲光、非線性光學(xué)效應(yīng)等物理現(xiàn)象都完全是因?yàn)榫w的各向異性才能表現(xiàn)出來。于是，人們實(shí)踐中探索出了一套描述各向異性性質(zhì)的數(shù)學(xué)方法，這種方法就是張量方法。 在晶體物理中所涉及的張量分析是比較簡單的，晶體的對稱性的操作對應(yīng)的坐標(biāo)變換，一般使用三維正交直角坐標(biāo)系的變換就夠了。本章中將只限于介紹這種坐標(biāo)系中所定義的張量。2.1標(biāo)量、矢量、張量一、標(biāo)量 在物理學(xué)中，有一些量是沒有方向而言的，如溫度、質(zhì)量、密度等，這些物理量只需要一個數(shù)值即可

2、描述，我們把這種物理量稱為標(biāo)量。 有些量雖然在坐標(biāo)變換時數(shù)值不變，但其符號在第二類點(diǎn)操作時發(fā)生改變，這稱為贗標(biāo)量。二、矢量 有一些物理量，它既有大小，又有方向，如力、速度、電場強(qiáng)度等，這些物理量需要指明其大小和方向才能完全描述，稱為矢量。取直角坐標(biāo)系OX1X2X3,設(shè)有矢量 ，在三個坐標(biāo)軸方向上的投影分別為 ，于是我們將 表為： 。 與贗標(biāo)量概念相似，我們可以引入贗矢量，贗矢量與矢量的區(qū)別在于其變換多了一個符號的改變。例如各種軸矢量（磁場強(qiáng)度、磁感應(yīng)強(qiáng)度等）就是贗矢量。f3, 2, 1ffff)(3, 2, 1ffff 三、張量先看一個例子：對于均勻?qū)w，在電場強(qiáng)度E的作用下，其電流密度J和電

3、場強(qiáng)度E有相同方向，即均勻?qū)w的歐姆定律 其中為電導(dǎo)率，是標(biāo)量。 但是對于晶體，由于各向異性，一般情況下J與E并不具有相同的方向，此時J與E的關(guān)系變?yōu)镋J333232131332322212123132121111EEEJEEEJEEEJ或表示成分量形式 矩陣形式 )3,2, 131iEJjjiji（321333231232221131211321EEEJJJ此處不再是一個數(shù)，而是9個數(shù)構(gòu)成一個方陣，稱為電導(dǎo)率張量，這是一個二階張量。于是，各向異性晶體中的歐姆定律可表示為張量的定義：一般來說，在物理學(xué)中，有一些量需要用9個分量來描述，這種物理量就是二階張量。EJ3332312322211312

4、112.2 張量的數(shù)學(xué)定義 描述物理量的矢量和張量應(yīng)與坐標(biāo)軸的選擇無關(guān)。就是說，當(dāng)坐標(biāo)軸變換時，矢量和張量的所有分量都隨之變換，但作為描述物理量的矢量和張量本身是不變的。因此，分量的變換必有一定的規(guī)律。接下來我們就來討論一下坐標(biāo)變換時分量變換的規(guī)律。 一、坐標(biāo)變換 如圖所示，設(shè)有直角坐標(biāo)系OX1X2X3，其三個方向的單位矢為 ,經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變換為新的坐標(biāo)系OXIX2X3，在新的坐標(biāo)系里的單位矢為 ,令新坐標(biāo)系中在舊坐標(biāo)系中的方向余弦為 （j=1,2,3 )，則321,eee321, , eeeija333232131332322212123132121111eaeaeaeeaeaeaeeaeaea

5、e或簡寫為 反之，有)3,2,131ieaejjiji（)3,2,1(31ieaejjjii321333231232221131211321eeeaaaaaaaaaeee表示成矩陣形式為)cos(jiijeea將以上關(guān)系列成方陣形式則為 X1 X2 X3 (老坐標(biāo)軸) （ 新坐標(biāo)系） X1 a11 a12 a13 X2 a21 a22 a23 X3 a31 a32 a33稱9的a的分量組成的方陣稱為坐標(biāo)變換矩陣或方向余弦矩陣，它簡明的表示出了新老坐標(biāo)之間變換的規(guī)律。二、矢量分量的變換 設(shè)有一矢量p,其在舊坐標(biāo)系中的分量為p1,p2,p3,在新坐標(biāo)系中的分量為p1*,p2*,p3*,由于是同一個

6、矢量p,故有 332211332211*epepepepepepp321321321333231232221131211*3*2*1*3*2*1*3*2*1eeePPPeeeaaaaaaaaaPPPeeePPPAPP*1* PAP注：此處P與P*均為行向量即為于是得為了表示方便我們下面引入指標(biāo)符號的概念指標(biāo)符號：),(n21ixi下標(biāo)符號 i 稱為指標(biāo)；n 為維數(shù)指標(biāo) i 可以是下標(biāo)，如 xi 也可以是上標(biāo)，如 xi nxx ,x21記作定義這類符號系統(tǒng)為指標(biāo)符號，一般采用下標(biāo) xi（ i=1,2,3） x1，x2，x3 x, y, zui（ i=1,2,3） u1，u2，u3 u, v, w

7、333231232221131211 )3 , 2 , 1,(jiij求和約定 啞指標(biāo)和自由標(biāo) 1. 求和約定和啞指標(biāo) 凡在某一項(xiàng)內(nèi)，重復(fù)一次且僅重復(fù)一次的指標(biāo)，表示對該指標(biāo)在它的取值范圍內(nèi)求和，并稱這樣的指標(biāo)為啞指標(biāo)。 nnxaxaxaS 2211njjjniiixaxaS11jjiixaxaS333323321331322322221221311321121111yxAyxAyxAyxAyxAyxAyxAyxAyxAyxAjiij求和約定僅對字母指標(biāo)有效 同一項(xiàng)內(nèi)二對啞標(biāo)應(yīng)使用不同指標(biāo)，如 31i31ijiijjiijxxaxxa123啞指標(biāo)可以換用不同的字母指標(biāo)2.自由標(biāo) 定義：凡在同一

8、項(xiàng)內(nèi)不重復(fù)出現(xiàn)的指標(biāo)。如 jijibxaj 為自由標(biāo) 1313212111bxaxaxa1j同一個方程中各項(xiàng)自由標(biāo)必須相同 不能改變某一項(xiàng)的自由標(biāo)，但所有項(xiàng)的自由標(biāo)可以改變 12 kikijikibxabxawrongrightjijibxa如：如：3 3克羅內(nèi)克（克羅內(nèi)克（Kronecker-Kronecker-）符號）符號 定義定義： jijiij當(dāng)當(dāng)01由定義 111213212223313233100010001ijI即相當(dāng)于單位矩陣。jjjjiijAjjjAAAAAAA321321332211),j ,i ()cosji21 (jie ,e令：2ee21e1e1x1x1x2x2x1x

9、2x2xcossinsincosji)cos()cos()cos()cos(22122111e ,ee ,ee ,ee ,e則：現(xiàn)在我們以二維直角坐標(biāo)系為例來看看一個小問題：)( 21212212211121xxxxxxji于是： 21212221121121xxxxxxTji同樣：21121 xxxxji）式得由（1 :jiTji比較ji為正交矩陣為正交矩陣引用指標(biāo)符號：jj iixxjjiixxkkjijjjiixxx由又ikkjijkikixx 討論上式的幾何意義討論上式的幾何意義說明說明 1基矢量具有與坐標(biāo)分量相同的變換規(guī)律jijieeeeijji2矢量的分量也具有與坐標(biāo)分量相同的變換

10、規(guī)律jijijjiivvvv 再看三維情況jiijjijieeee 考慮一位置矢量 ijijjjeeeeeexjjjjxxxxiijjjxxcosx)(ije ,ejjiixx同理jijixx同二維問題，可得ikkjij（正交性）于是得到最終的矢量變換法則如下APPAP1*332313322212312111321*3*2*1aaaaaaaaaPPPPPPAPP *321333231232221131211*3*2*1PPPaaaaaaaaaPPP*iijjPa P*3*2*1332313322212312111321PPPaaaaaaaaaPPP*PAP jjiiPaP*二階張量的變換*QQ

11、PP*QAQTQPAPP*QAATP AATTQTP*若有：令：則：*iikkkkllljljPa PPT QQa Q若有：*jjlklikiQaTaP 令：則：jlklikijjijiaTaTQTP*P、Q均為矢量二階張量三階張量四階張量mnoplpkojnimijkllmnknjmilijkkljlikijTaaaaTTaaaTTaaT*mnopploknjmiijkllmnnkmjliijkklljkiijTaaaaTTaaaTTaaT 張量定義定義：在坐標(biāo)變換時，滿足如下變換關(guān)系的量稱為張量lkjillkkjjiiijklijklkkjji ilkji張量的階數(shù)自由標(biāo)數(shù)目n；對于三維空

12、間，張量分量的個數(shù)為3n個，變換式也有3n個。 以上張量的定義的物理實(shí)質(zhì)在于：一個張量代表著一個物理量，這個物理量遵從一定的物理定律，而不是依賴于坐標(biāo)系的選法。當(dāng)坐標(biāo)系變換時，物理量并不改變，只是描述的方法隨之而變。因此，當(dāng)坐標(biāo)系變換時，張量的分量應(yīng)有隨之而變的規(guī)律，這就是上述的數(shù)學(xué)定義。小結(jié)： 所謂張量是一個物理量或幾何量，他由在某參考坐標(biāo)系中一定數(shù)目的分量的集合所規(guī)定，當(dāng)坐標(biāo)變換時，這些分量按一定的變換法則變換。 張量是矢量概念的推廣。它是一種不依賴于特定坐標(biāo)系的表達(dá)物理定律的方法。張量有不同的階和結(jié)構(gòu)，這由它們所遵循的不同的變換法則來區(qū)分。標(biāo)量是零階張量；矢量是一階張量；應(yīng)力張量是二階張

13、量；還有三階、四階等高階張量。2.3 張量的運(yùn)算一、張量的加法若 皆為二階張量，則 也為二階張量，于是我們定義 為 之和。這就是二階張量的加法，并表為C=A+B。以此類推，若A,B為兩個同階張量，則A,B相應(yīng)分量之和構(gòu)成新的同階張量C，記作C=A+B。同樣，作為加法的推廣，標(biāo)量a與張量 的乘積即為a 。 ) 3 , 2 , 1, (,jiBAijij)3, 2,1,(jiBACijijijijCijijBA,)3,2,1,(jiTij)3,2,1,(jiTij二、張量的乘法 若 為二階張量， 為一階張量，則可以證明 為三階張量，于是我們定義 為 與 之積，表示為C=AB。 以此類推，若A,B是

14、階數(shù)各為m,n的張量，則A,B分量的積構(gòu)成一個m+n階的張量C，稱為A,B的積，表示為C=AB。)3, 2, 1,(jiAij)3, 2, 1( iBi)3,2, 1,(kjiBACkijijkijkCijAiB三、張量的收縮 在三階張量 中，如果讓 并對 求和，即則 為一階張量，此種運(yùn)算稱為張量的收縮。這種運(yùn)算所得張量的階數(shù)比原張量的階數(shù)少2。特別是：當(dāng)C為兩個張量A,B的積，例如 若令 ,并對求和，即)3, 2, 1,(kjiAijkkj j31)3,2, 1(jijjiiAC)3 , 2, 1( iCi)3, 2, 1,(mlkjiBAClmijkijklmlk k則稱D為A,B收縮所得

15、的張量，階數(shù)3=5-2，表為D=AB. 收縮可以不止一次，例如對兩對下標(biāo)求和，則稱為收縮兩次。例如所得張量Q的階數(shù)為1=5-22，表為Q=A:B.3131kkkmijkijkkmijmBACDjkjkijkiBAQ2.4 對稱張量的性質(zhì)一、對稱張量和反對稱張量 張量T的分量如有關(guān)系 ,則稱為對稱張量。此種張量只有6個獨(dú)立分量： . 有時，我們將這6個獨(dú)立分量依次表為 于是對稱張量 表示為 jiijTT 2112,1331,32232211TTTTTTTT，) 6 , 5 , 4, 3 , 2, 1( iTiT345426561TTTTTTTTTT如果T的分量有 ，則稱為反對稱張量。此時有 ，故

16、反對稱張量只有3個獨(dú)立分量 .同樣，我們將這3個分量以此表為 ,于是反對稱張量T表為jiijTT-0iiT2112,1331,3223-TTTTTT654TTT，0-0-0454656TTTTTTT二、張量的分解 作為張量加法的逆運(yùn)算，張量總可以分解為若干個同階張量之和，并且這種分解的方法是無窮多種的。例如，矢量的分解即為一例。張量的分解定理：任何張量總可以分解為一個對稱張量和一個反對稱張量之和，并且分解的方法是唯一的。共軛張量：若 為張量，則也為張量，我們稱 和 互為共軛張量。記為對稱張量 ,反對稱張量 。)3,2,1,(jiTij)3,2,1,(jiTjiijTjiTcTSScAAc分解定

17、理的證明：設(shè) 為任意二階張量， 為其共軛張量；對稱張量 反對稱張量唯一性)(21jiijijpps)(21)(21ccPPPPP)(21jiijijppaijijjijispps)(21ijijjijiappa)(21ASPASASPcccSPPc2APPc2cPP 一般來說，描述晶體物理性質(zhì)的張量都是對稱張量，例如電導(dǎo)率張量，介電常數(shù)張量，熱導(dǎo)率張量等都是對稱張量。所以，我們以后要討論的張量也都是對稱張量。三、二階對稱張量的示性面二次曲面方程 當(dāng) 為對稱張量，即 時有：當(dāng)所有元素都為正數(shù)時，上式表示一個橢球面。在一般情況下，上式為雙曲面。對上式進(jìn)行坐標(biāo)變換：12222112133132232

18、33322222111xxSxxSxxSxSxSxS31311ijjiijxxSSjiijSS 坐標(biāo)變換因?yàn)榭臻g一點(diǎn)的坐標(biāo) 實(shí)際上是矢量r的分量，所以在坐標(biāo)轉(zhuǎn)換時各 的變換符合矢量變換法則，如下所示將*1kkiijiijxaxxxS*1lljjlkklxaxxxS（1）（2）3,2,1xxxix將（2）帶入（1）中左式，得：*1lkkllkljkiijxxSxxaaSijljklklSaaS*所以：1、二次曲面方程系數(shù)與張量分量具有相同的變換規(guī)律；2、我們把上述的二次曲面方程所繪出來的曲面稱為張量S的 示性曲面；3、示性二次曲面可描述具有二階對稱張量性質(zhì)的物理特性。四、張量的主軸和主值 張量示

19、性面具有三個相互垂直的主軸。對于對稱張量，經(jīng)過一定的坐標(biāo)變換后，總可以化成以下形式： 此時的坐標(biāo)軸稱為主軸，對稱張量 S 化成了對角形式，此時的 則稱為張量的主值。1233222211xSxSxS321SSS，321000000SSSS )( 0aISaaS成立,則為張量S的特征值(主值),a為張量S對應(yīng)特征值的特征矢量(主軸方向)。用矩陣形式來表述，則張量的主值和主軸即對應(yīng)為矩陣的特征值和特征向量。二階對稱張量S,若存在一個數(shù)和單位矢量a,使得五、張量的主軸和主值的確定 單位矢量a即 （特征方程）（特征方程組） 0)( jijijijijaSaaS )( 0aISaaS 3333232131

20、23232221211313212111aasasasaasasasaasasas 0)( 0)( 0)( 333222131323222121313212111asasasasasasasasas0)det(333231232221131211SSSSSSSSSIS0)()(33323123222113121122122111331331113323322233221123ssssssssssssssssssssssss由上式求得特征值即張量的主值 ，再帶入特征方程組求出對應(yīng)的特征向量即主軸。) 3,2, 1( ii2.5 張量與對稱性的關(guān)系一、晶體對稱操作的變換矩陣 在直角坐標(biāo)系中，每一個

21、對稱操作對應(yīng)于將舊坐標(biāo)系變換為新坐標(biāo)系，所以它對應(yīng)于一個坐標(biāo)變換，可以用9個新舊坐標(biāo)系之間的方向余弦來表示，這就是對稱操作的變換矩陣。 例如，4次旋轉(zhuǎn)軸，若以 軸為4次軸，則一個4次旋轉(zhuǎn)操作的變換矩陣為1x100001010)4(二、對稱性對矢量的制約 對于晶體，由于它具有對稱性，導(dǎo)致對其物理性質(zhì)的某些限制。這種限制是這樣產(chǎn)生的：沿晶體一定方向測定的某種物理性質(zhì)，當(dāng)晶體按其對稱操作旋轉(zhuǎn)、反映或反演到新的取向時，其物理性質(zhì)應(yīng)有相同的數(shù)值和符號，就是說，由晶體對稱性聯(lián)系起來的等價方向上，具有相同的物理性質(zhì)。例如，具有二次軸的晶體，我們沿任一給定的方向測其電導(dǎo)率，而后將晶體繞其二次軸旋轉(zhuǎn)180，再測

22、其電導(dǎo)率，兩次結(jié)果相同。 接下來我們來討論對稱性對矢量的制約。1、對稱心對稱心的變換矩陣為即設(shè)有矢量 ，則經(jīng)過對稱心的操作，將有而根據(jù)對稱性，又應(yīng)有所以必有100010001)1(ijija)3, 2, 1( ipiijijjijipppapjjiipp 0ip這就是說，具有對稱心的晶體不可能有矢量性質(zhì)的物理量。例如，晶體的熱電效應(yīng)系數(shù)就是矢量性質(zhì)的物理量，當(dāng)溫度改變時引起晶體表面電荷的改變（即電極化矢量的改變），關(guān)系式為此處 為熱電系數(shù)。根據(jù)以上討論，具有對稱心的晶體不可能有熱電效應(yīng)。我們知道，在32點(diǎn)群中，有11中是具有對稱心的，因此，屬于這11種點(diǎn)群的晶體不可能有熱電效應(yīng)。 以上結(jié)論可以

23、推廣到三階張量，即具有對稱心的晶體不可能有三階張量，例如，壓電效應(yīng)、電光效應(yīng)等。TPpiiiP2、對稱面設(shè)晶體有垂直于 軸的對稱面，其變換矩陣為即于是矢量 經(jīng)過對稱面操作后有3x100010001)(m0)(1, 1332211jiaaaaij其余)3, 2, 1( ipi333332222211111ppapppapppap而由對稱性，應(yīng)有所以立即得就是說，矢量性質(zhì)的物理量必垂直于 軸，即必在對稱面內(nèi)。例如電氣石晶體，具有3次軸平行的對稱面，而其熱電效應(yīng)方向平行于3次軸，也即在對稱面內(nèi)。iipp 000321ppp，3x3、對稱軸設(shè)晶體有平行于 軸的3次軸，其變換矩陣為于是矢量p分量的變換為

24、而由對稱性，有 ，所以3x10000)3(21-23-2321-3333322112322212122231212121111-ppappppapappppapapiipp 由此立即解得可見，矢量性質(zhì)的物理量必平行于3次軸。例如電氣石晶體，具有唯一的3次軸，其熱電效應(yīng)的方向與此3次軸平行。00321ppp，3322112322231211-pppppppp可見，矢量性質(zhì)的物理量必平行于3次軸。例如電氣石晶體，具有唯一的3次軸，其熱電效應(yīng)的方向與此3次軸平行?？疾鞂ΨQ性對矢量的制約，所得結(jié)果是：只有以下10中晶類可以具有矢量性質(zhì)的物理量，即 例如，目前研究的較多的熱電性晶體，如硫酸三甘鈦的點(diǎn)群為

25、2，鈮酸鍶鋇 ，鈦酸鋇的點(diǎn)群為4mm，鈮酸鉀、鉭酸鋰、電氣石的點(diǎn)群為3m等，均在這10中晶類之內(nèi)。mmmmmmmm6,4,3,2,6,4,3, 2, 1)(TGS)(SBN三、對稱性對二階張量的制約我們?nèi)砸噪妼?dǎo)率張量為例。一般情況下有9個分量。由于晶體的對稱性，將使獨(dú)立的分量數(shù)目減小。在對稱操作時， 的變換應(yīng)滿足關(guān)系由此即可定出哪些 是獨(dú)立的。333231232221131211ijijklkljlikijij1、單斜晶系單斜晶系有一個2次軸，令此2次軸平行于 軸，則其變換矩陣為即于是由 知：各 中凡下標(biāo)含有一個“3”的均為零。即3x100010001)2()(01, 1-332211jiaa

26、aaij其余ijklkljlikijij032312313于是獨(dú)立分量只有4個，即332221121100002、正交晶系正交晶系有3個互相垂直的2次軸。取此三個2次軸為坐標(biāo)軸 ，仿前述單斜晶體的方法，可定出二階張量只有3個獨(dú)立分量，即321,xxx332211000000 晶系晶系 對稱特點(diǎn)對稱特點(diǎn) 二階張量形式二階張量形式 獨(dú)立分量數(shù)目獨(dú)立分量數(shù)目 立方 四個3次軸 1 四方 六方 三方 一個4次軸 一個6次軸 一個3次軸 2 正交 三個2次軸 3 單斜 一個2次軸 4 三斜 只有1次軸 6TTT000000311000000TTT321000000TTT33312213110000TTT

27、TT321000000TTT2.6 諾伊曼原理及其應(yīng)用 研究晶體對稱性對物理性質(zhì)的影響，必須以諾伊曼原理（Neumanns principle)為基礎(chǔ)。 諾伊曼原理指出：晶體的任何物理性質(zhì)所具有的對稱要素，必包含晶體所屬點(diǎn)群的全部對稱要素，即，晶體物理性質(zhì)的對稱性必高于或至少不低于晶體所屬點(diǎn)群的對稱性。 這個原理是長期來大量事實(shí)總結(jié)出來的，并且已經(jīng)經(jīng)過大量實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)證明是正確的。 諾伊曼原理的應(yīng)用當(dāng)然不僅限于矢量（一階張量）和二階張量，而且適用于高階張量。諾伊曼原理的應(yīng)用，需要對張量分量逐個的進(jìn)行計算，因而階數(shù)越高，計算越繁?，F(xiàn)在我們介紹一種簡便的方法，即下標(biāo)變換法。 例如，考慮四方點(diǎn)群 中的某

28、二階張量 ，假定平行于 軸，則其變換矩陣為即經(jīng)過變換后 ，若將正負(fù)號與下標(biāo)結(jié)合，則可簡寫為 4CijT4C3x100001010)(ija331221,xxxxxx33, 12, 21于是二階張量分量的變換為22221111TxxxxT21122112-)- (TxxxxT23323113TxxxxT32231331TxxxxT33333333TxxxxT12211221-)- (TxxxxT11112222)(- (TxxxxT31132332-)(TxxxxT13313223-)- (TxxxxT按晶體的對稱性，應(yīng)有 ，于是可得所以此二階張量具有以下形式 再考慮到是二階對稱張量，應(yīng)有 ，于

29、是最后得二階對稱張量形式為jiijTT 0,32312313333312211122TTTTTTTTTT33111212110000TTTTTTij2112TT與前節(jié)結(jié)果相同。 這種下標(biāo)變換法應(yīng)用于高階張量帶來很大方便，這將在以后章節(jié)學(xué)習(xí)中遇到。332211000000TTTTij The end！定義定義 把矩陣把矩陣 A 的行換成同序數(shù)的列得到的的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做新矩陣，叫做 A 的的轉(zhuǎn)置矩陣轉(zhuǎn)置矩陣，記作，記作 . A例例,854221 A;825241 TA .618 TB,618 B1、轉(zhuǎn)置矩陣、轉(zhuǎn)置矩陣附附2、轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性質(zhì)、轉(zhuǎn)置矩陣的運(yùn)算性質(zhì);)()1(AATT ;)()2(TTTBABA ;)()3(TTAA .)()4(TTTABAB TABC)(可推廣可推廣TC TB.TA3、對稱陣、對稱陣定義定義設(shè)設(shè) A 為為 n 階方陣，如果滿足階方陣，如果滿足 , 即即那末那末 A 稱為稱為對稱對稱(矩矩)陣陣.TAA n,j , iaajiij21