2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三講柯西不等式與排序不等式第2節(jié)一般形式的柯西不等式創(chuàng)新應(yīng)用

1、I第 2 節(jié)一般形式的柯西不等式創(chuàng)新應(yīng)用孩心必知問(wèn)題思考核心必知1. 三維形式的柯西不等式設(shè)ai，a2，a3,bi,b2,b3是實(shí)數(shù)，則(a1+a2+a2)(b2+b2+b2) (aibi+a?b2+a3b3)2,當(dāng)且僅當(dāng)b= 0(i= 1, 2, 3)或存在一個(gè) 數(shù)k,使得ai=kbi(i= 1, 2, 3)時(shí)，等號(hào)成立.2. 一般形式的柯西不等式設(shè)ai,a2,a3,，an,bi,b2,b3,，bn是實(shí)數(shù)，則(a2+a2+a2)(b2+b2+ +b2) (aib+ +anbn)2，當(dāng)且僅當(dāng)b= 0(i= i, 2,， 9 或存在一個(gè)數(shù)k,使得ai=kbi(i= i, 2,，n)時(shí)，等號(hào)成立.

2、問(wèn)題思考i .在一般形式的柯西不等式的右端中，表達(dá)式寫(xiě)成ab(i= i, 2, 3，n)，可以嗎？提示：不可以，ab的順序要與左側(cè)a：,b的順序一致.2.在一般形式的柯西不等式中，等號(hào)成立的條件記為ai=kbi(i= i, 2, 3,，n),可以嗎？提示：不可以.若bi= 0 而aiM0，貝Uk不存在.究破考點(diǎn)I高考為標(biāo) 把握熱點(diǎn)靑向總結(jié)規(guī)律提煉技法貴在掌有所悟預(yù)習(xí)導(dǎo)引區(qū)預(yù)習(xí)導(dǎo)引區(qū)課堂互動(dòng)區(qū)課堂互動(dòng)區(qū)2利用柯西不等式證明不等式求證：2229a+b b+c c+a a+b+c精講詳析 本題考查三維形式的柯西不等式的應(yīng)用解答本題需要構(gòu)造兩組數(shù)據(jù)_ _ _ 1 1 1a+b,b+c,c+a； -,

3、- , - ，然后利用柯西不等式解決.v v v寸a+b Qb+c寸c+ac+a+b ,b+J ,c+a，則由柯西不等式得.,.,A(1 + i +1)2,b+cc+a1 1b+c c+a是丄+丄+丄a+b b+c c+a a+b+c由柯西不等式知,因題設(shè)，a,b,c不全相等，故中等號(hào)不成立,2,2,2.9于是 Z + Z +-.a+b b+c c+a a+b+c方法規(guī)襌柯西不等式的結(jié)構(gòu)特征可以記為(a+aa+an)(b1+b2+bn)A(一ab+：Ja?b2+anbn)2，其中ai,b R+(i= 1, 2，n)，在使用柯西不等式時(shí)(要注意從整體上 把握柯西不設(shè)a,b,c為構(gòu)造兩組數(shù)-a+b

4、,b+c, 1 1 1即 2(a+b+c)中有等號(hào)成立a+b b+c c+aa+b=b+c=c+a?a=b=c.(a+b+b+c+c+a)+丄+二3等式的結(jié)構(gòu)特征)，準(zhǔn)確地構(gòu)造公式左側(cè)的兩個(gè)數(shù)組是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.II專氏訓(xùn)練42 . 2 2a b c1.設(shè)a,b,c為正數(shù)，求證： 匸-1Aa+b+c.b c ab+c-2=(a+b+c),z2 ,2 2a b c2即匚+ + (a+b+c) (a+b+c),b c a /又a,b,cR+,a+b+c0,2 , 2 2a b c匸+ + Aa+b+c,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立。b c a設(shè) 2x+ 3y+ 5z= 29,求函數(shù)u=p2x+ 1

5、 + p3y+ 4+ Q5z+ 6 的最大值.精講詳析本題考查三維柯西不等式的應(yīng)用，解答本題需要利用好特定條件，設(shè)法去掉根號(hào).根據(jù)柯西不等式120= 3(2x+ 1) + (3y+ 4) + (5z+ 6)A(1X2x+1+1X3y+4+1X5z+6)2,故l/2x+1+“-J3y+4+5z+6W2, 30.當(dāng)且僅當(dāng) 2x+ 1= 3y+ 4= 5z+ 6,372822即x=37y=石，z= 時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)6915利用柯西不等式求最值時(shí)， 關(guān)鍵是對(duì)原目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行配湊，以保證出現(xiàn)常數(shù)結(jié)果.同時(shí),要注意等號(hào)成立的條件.證明:聞+渤心）如考點(diǎn)2利用柯西不等式求最值LSZJUmax= 2 30.5

6、|輕訓(xùn)練2.已知a,b,cR+，且a+b+c= 1,求 ；4a+ 1 + “4b+ 1 + ；.：4c+ 1 的最大值.解：由柯西不等式，得(4a+ 1+ 4b+ 1 + 4c+ 1)2=(1x4a+1+1x4b+1+1x4c+1)22 2 2w(1+1+1 )(4a+1+4b+1+4c+1)=34(a+b+c) + 3 = 21.1當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c= 3 時(shí)，取等號(hào).故，4a+ 1 + 4b+ 1+ 4c+ 1 的最大值為.21.利用柯西不等式處理綜合問(wèn)題設(shè)f(x) = lgx x“、1+2+( n1)n,若 0waw1,n N+且n2,求證:f(2x) 2f(x).精講詳析本題考查柯西不

7、等式、 綜合法、分析法在證明不等式中的應(yīng)用,解答本題的關(guān)鍵是將f(2x) 2f(x)具體化，然后再根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)選擇合適的證明方法.2x 2xr1 + 2 +(n 1) f(2x) = lg2x2x+an要證f(2x) 22(x),只要證 22x1 + 2 +(n 1)+alg2xnn.x xxx1 + 2 +(n 1)+ a -n2lg“2x 2x2x2x即證1+2+-+(n1)+an4 x x1+2+( n1)士2(*)6也即證n12x+ 22x+-+ (n 1)2x+an2x 1x+ 2x+ + (n 1)x+anx2,72 0Waw1,.aa,根據(jù)柯西不等式得2x 2x2x2x,n

8、1 + 2 + (n 1) +an (12+ 12+12), s do4(n 個(gè))(1x)2+ (2x)2+-+ (n 1)x2+(anx)2 1x+2xxx 2+ + (n 1) +an,即(*)式顯然成立，故原不等式成立.方沽9.a2b3c命題立意 本題考查一般形式的柯西不等式在證明中的應(yīng)用.解(1)因?yàn)閒(x+ 2) =n |x| ,所以f(x+2)o等價(jià)于|x| m由|x| o,且其解集為x| me x0的解集為1, 1，故m=1.1 1 1(2)證明：由(1)知首+ 2+ 3C= 1 又a,b,c R+,由柯西不等式得a+2b+3c=(a+2b+3c)a+ 2L+3c ,aa+2b；

9、b+3c3； 9- an 1_ 1+anX-X舟=(ai+a2+-+an)2x卜 2 =右邊.原不等式成anXan+ai好層練習(xí)國(guó)本提能exccnf(iani：i j irenj訓(xùn)練提能區(qū)訓(xùn)練提能區(qū)10、選擇題1 .已知a,b, R+,且a+ 2b= 10,則a2+b2的最小值為（）A. 5 B . 10 C . 20 D . 30解析：選 C 根據(jù)柯西不等式有（a2+b2）（1 + 22） （a+ 2b）2= 100.22b a +b20,當(dāng)且僅當(dāng)a=2= 2 時(shí)取等旦大小關(guān)系為（號(hào)2 .設(shè)ai,a2，an為實(shí)P=a1+a2+aa1+a2+an,Q=-,則P與Q的11A.PQB.PQC .P

10、ai+a2+ +an,a2+a2+a；n, na1+a2+an.222a1+a2+ana+ + an亠PQ即得3.已知x,y,zR+且x+y+z= 1,貝 Ux2+y2+z2的最小值是()A. 1解析:1 1根據(jù)柯西不等式，x2+y2+z2= 3(12+ 12+ 12) (x2+y2+z2) (1xx+1xy+1Xz)2=3(x+y+z)2=3.4.若 2ab0,則a+（2ab）.b的最小值為（）A. 1 B . 3 C . 8 D . 12解析：選 BT2ab0,.2ab0.17a+( 2a-b)b =R(2ab)+b+(2ab)bi3 3(2ab2abb=3.當(dāng)且僅當(dāng)2a-b=b=（2ab

11、，124即a=b= 2 時(shí)等號(hào)成立.當(dāng)a=b= 2 時(shí)，a+有最小值 3.(2ab)b二、填空題5.已知a?+a2+a2=1,x?+xi+x?= 1，貝Uaixi+a2X2+anxn的最大值為2解析：(ax+a2X2+anxn)z2 2 2、，2 2 2、w(a1+比+十a(chǎn)n)(X1+X2+ +Xn) = 1.答案：1解析：由柯西不等式可知,149所以一 + -+36.x y z1 當(dāng)且僅當(dāng)x= y149 -+ + -的最小值為 36.x y z答案：366.若a,b,c為正數(shù)，則ab+r-+a、也+b+a的最小值為c a a b ca b c b+c+ab c aa+b+c=32= 9.答案

12、：97.已知x,y,zR+.149x+y+z= J 則-+y+z的最小值為解析：利用柯西不等式.由于(X+y+z)x+2.y+z3z2= 36,21212=6z，即x= 6y= 3,z= *時(shí)，等號(hào)成立.ab+bcb+ac13nnn& (湖南高考)已知a,b,c R,a+ 2b+ 3c= 6,貝 Ua+ 4b+ 9c的最小值為 _解析：由柯西不等式，得(a2+ 4b2+ 9c2) (12+ 12+ 12) (a 1 + 2b 1+ 3c 1)2= 36,142 2 2 2 2 2故a+ 4b+ 9c 12,從而a+ 4b+ 9c的最小值為 12.答案：12三、解答題_ . . 2 2

13、2 2 2 29設(shè)a,b,c,x,y,z都是正數(shù)，且a+b+c= 25,x+y+z= 36,ax+by+cz解：由柯西不等式知:25x36=(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)(ax+by+cz)2=302=25x36,a b c當(dāng)且僅當(dāng)-=- = -=k時(shí)取“=”.x y z所以k2(x2+y2+z2)2= 25x36,解得k= 6.a+b+c5-k x+y+z6,.OQQ解：由柯西不等式得(2 + 1 )(x+ 2y- 1) + (3x-y+ 3) 2(x+ 2y- 1) + (3x-y+3)2 (5x+ 3y+ 1)2 9. /(x+ 2y- 1)2+ (3x-y+ 3)25. 當(dāng)且僅當(dāng)x+ 2y- 1 2(3x-y+ 3)即 5x- 4y+ 7 0 時(shí)取等號(hào).r 13x-35, 得9y7.故所求點(diǎn)的坐標(biāo)為-篇,9.111且不等式xy+yrz+z+x三入恒成立,求入