數(shù)學(xué)錯(cuò)解的主要類型及例析

1、數(shù)學(xué)錯(cuò)解的主要類型及例析北白象鎮(zhèn)中學(xué)孫建克【內(nèi)容提要】解數(shù)學(xué)題時(shí)，如果概念、定義理解不清；定理、公式、法則不注意它的適用范 r；方法、技巧不考慮它的使用條件，那么在解題中就必定要出現(xiàn)判斷錯(cuò)誤，就會(huì)產(chǎn)生數(shù)學(xué) 錯(cuò)解。本文通過闡明產(chǎn)生數(shù)學(xué)錯(cuò)解的原因及相關(guān)的典型例題分析，得出數(shù)學(xué)錯(cuò)解的主要七大 類型。旨在幫助同學(xué)們總結(jié)經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，防止今后再發(fā)生類似錯(cuò)誤。【關(guān)鍵詞語】數(shù)學(xué)解題 數(shù)學(xué)錯(cuò)解 錯(cuò)解原因 錯(cuò)解類型 錯(cuò)解例題學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必須解題。當(dāng)今著名的數(shù)學(xué)家、教育家gu波利亞指出：掌握數(shù)學(xué)就是意味著 解題。解答數(shù)學(xué)問題離不開概念、定義、定理、公式、法則以及方法、技巧等等，如果概念、 定義理解不清；定理、公式、法則不

2、注意它的適用范i韋i;方法、技巧不考慮它的使用條件, 那么在解題中就必定要出現(xiàn)判斷錯(cuò)誤。這實(shí)際上就是違背了數(shù)學(xué)學(xué)科的“科學(xué)性、嚴(yán)密性和 完整性”。因此從廣義上理解凡是違背此"三性”的解題過程及結(jié)果統(tǒng)稱為數(shù)學(xué)題的錯(cuò)解， 簡稱數(shù)學(xué)錯(cuò)解（本文簡稱“錯(cuò)解”）。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過程中，出現(xiàn)一些解題失誤是不可避免的。常言說'失敗乃成功之母”，“錯(cuò) 誤往往是正確的先導(dǎo)”，對(duì)同學(xué)們來說，重要的是如何正確對(duì)待自己的失誤。一道題做錯(cuò)了， 首先要認(rèn)真分析錯(cuò)在哪里，其次要反省自己為什么會(huì)出現(xiàn)這種錯(cuò)誤，從中找出原因，吸取教 訓(xùn)，防止今后再發(fā)生類似錯(cuò)誤。下面結(jié)合本人的教學(xué)實(shí)踐和經(jīng)驗(yàn)從七方面論述錯(cuò)解原因、錯(cuò) 解

3、例題和錯(cuò)解類型，以供同學(xué)們參考。一、模糊數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生錯(cuò)解屮學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱屮指岀：“正確理解數(shù)學(xué)概念是掌握基礎(chǔ)知識(shí)的前提”這表明了數(shù)學(xué) 概念在學(xué)習(xí)中的重要性。然而，不少同學(xué)對(duì)此認(rèn)識(shí)不足，認(rèn)為基本概念單調(diào)乏味沒什么好學(xué) 的，因此學(xué)習(xí)吋不求甚解輕易放過。這樣勢(shì)必造成對(duì)某些概念只知其表不知其里；只重形式, 不重實(shí)質(zhì)；摸棱兩可，似是而非。正是如此而在解題中常常暴露出這樣那樣的差錯(cuò)。下面的 例子可以說明問題。4例1兀為何值時(shí)，分式 的值是正整數(shù)。x + 2x +14錯(cuò)解 要使分式 的值是正整數(shù)，只要它的分母的值為1、2、4即可。x2 +2x + l當(dāng)x2 +2 + 1 = 1 時(shí)，求得x = 0, 2；當(dāng)

4、 x2 + 2x +1 = 2 時(shí)，求得 x = -± v2 ；當(dāng) x2 + 2x +1 = 4時(shí)，求得x = 1, 3 o所以，只當(dāng)x分別取0, -2, -1 + v2 , -1-v2, 1, 一3等實(shí)數(shù)時(shí)，分式 + 2x + 1的值是正整數(shù)。分析 取x = -l-代入原分式中，得出該分式的值為就是正整數(shù)。這說明原解答不完整,3述有遺漏。其失誤原因在于混淆“整數(shù)整除”與“兩個(gè)實(shí)數(shù)相除得整數(shù)”這兩個(gè)概念。原題.4并沒有要求分母f+2兀+ 1是整數(shù)，因此，只要令 =n （斤是自然數(shù)）再求出兀 j + 2x +1的x值就完整了。則 x2+2x+1- = 0 n正解令=71(z7是任意自然

5、數(shù))f + 2x + 1解得，x=_n±2麻(nw n)n_ +7廠所以，當(dāng)兀=一"一 7" (mn)時(shí)，原分式的值是正整數(shù)。n二、混淆充要條件產(chǎn)生錯(cuò)解一道數(shù)學(xué)題一般地可分為題設(shè)和結(jié)論兩部分，解題常從兩方面考慮：一是從已知條件出 發(fā)，結(jié)合學(xué)過的定義、定理、公式、法則等基礎(chǔ)知識(shí)，通過演算和推理得到結(jié)論；另一方面 也可以從結(jié)論出發(fā)逆推至題設(shè)條件。不論從已知出發(fā)還是從結(jié)論出發(fā)，在進(jìn)行推理、演算過 程中，必須吋刻留心每一步的依據(jù)是什么，理由是否充分或必要，尤其逆推吋要注意步步可 逆，即注意條件的充要性。倘若在推理過程中忽視或混淆了條件所允許的范圍，這就可能造 成失誤。比如

6、下面的例題就可以說明此問題。x-3b = ,求話+丄的值。 ct錯(cuò)解 由已知可得是方程x2-3x-= 0的兩個(gè)根。所以，由韋達(dá)定理知：d + /? = 3, cih = 1于是,ci b a" +/?' (a + b)(a + b)- 3ab 3x|3" 3x (1) b1 a2 («/?)2(ab(-1)2分析 方程_3x_ 1=0的判別式的值是13,故它有兩相異實(shí)根。若a, b是該方程的兩個(gè)根，則除了有a2-3a = , b2-3b = 成立外，還有ah這個(gè)隱含條件。因?yàn)橐阎獥l件屮沒有告訴我們afb,所以“ /_3a = i,嚴(yán)一3b = ”僅僅是“a

7、, b是方程x2-3x- 1 =()的兩個(gè)根”的必要條件而不是充分條件。上述解答中將必要條件當(dāng)做充分條 件使用，結(jié)果無形屮縮小了已知條件屮a, b所能允許的取值范圍，從而導(dǎo)致其結(jié)論不完整。正解 (1)當(dāng)a#b時(shí)，結(jié)合已知條件可知g, b是方程x2-3x- 1=0的兩個(gè)根。所以，由韋達(dá)定理知：a +/? = 3, cih = 1 o于是,(a + b)(a + b)2 -3ab3x33x(-1)當(dāng)x"呼時(shí),a h(3)當(dāng)“"呼時(shí),三、忽視隱含條件產(chǎn)生錯(cuò)解有些數(shù)學(xué)題目除了給出的明顯條件外，常常在題設(shè)或題斷的字里行間或式子中隱藏著 某些事實(shí)，我們稱這樣的暗藏事實(shí)為隱含條件。隱含條

8、件在解題中容易被忽視，其后杲輕則 得出結(jié)論有漏洞，重則面目全非。數(shù)學(xué)題目中的隱含條件的反映形式是多種多樣的，通常可 以從概念定義中的某些特殊規(guī)定、公式定理法則和性質(zhì)中的某些特定限制、題忖的結(jié)構(gòu)特征 和數(shù)字圖形特征等四個(gè)方面來挖掘。例3就是忽視概念定義屮的隱含條件而產(chǎn)生錯(cuò)解的。例3將中根號(hào)外的因式q移至根號(hào)內(nèi)。錯(cuò)解 d j = j 6t = ycl o分析上述錯(cuò)解誤把q當(dāng)做非負(fù)因式移到根號(hào)內(nèi)。實(shí)際上本題中包含著兩個(gè)隱含條件: “二次根號(hào)下的被開方式為非負(fù)數(shù)”和“分式的分母不為零”，故有-丄>0得d<0,應(yīng)先 a將q變?yōu)?(-。)，再將正因式移到根號(hào)內(nèi)。正解 * > 0 , .*

9、 6/ < 0 o 因此，aj = _(_a) j = _j (。)_ = jd o av ci a a四、遺漏添加條件產(chǎn)生錯(cuò)解有些同學(xué)在解題時(shí)不考慮題給條件是否都用上了或者不考慮所用條件是否都是題目屮 給定的(含隱含條件)，表現(xiàn)在解題吋常常遺漏某個(gè)條件限制或隨意地憑主觀想象外加一些 條件，其后果必然是出現(xiàn)偏差甚至答案完全錯(cuò)誤。請(qǐng)看例4和例5。例4非負(fù)數(shù)x, y, z適合關(guān)系式蘭二1 =上二2二斗，求/+ 2_z?的最小值。432x 1 v 2 z + 3錯(cuò)解 令二二=k,則x = 4k + l, y = 3r + 2, z = 2k 3°432"設(shè) u = x2 +

10、 y2 - z2 9則 w = (4fe +1)2 + (3k + 2)2 一(2k 3尸=21/ + 32k 4 = 21伙 + 罟尸 一 16善。164所以當(dāng)k = 時(shí)，wmin =-16o21 m,n 21分析 題冃中給的兀，y, z是非負(fù)數(shù)這個(gè)條件在解題中被遺漏，因此的取值范闔被擴(kuò) 大化，造成結(jié)論完全錯(cuò)誤。正解 當(dāng)?shù)贸龊攵?1伙+蘭)2-16土?xí)r，應(yīng)繼續(xù)討論e的取值范圍。21 21x = 4zr + l>03因?yàn)樨?，y, z都是非負(fù)數(shù)，所以y = 3k + 2>0k>-., 2z = 2k-3>q因此,當(dāng) k =-時(shí),u. =21(- + )2-16= 91-(

11、此時(shí) x = 7,y = 6-,z = 0)2 min 2212142例5加取什么實(shí)數(shù)時(shí)，方程2（m + l）x2-4/?u + 3/7?-2 = 0有實(shí)數(shù)根?錯(cuò)解 要使方程2（/77 + l）x2- 4mx + 3加- 2 = 0有實(shí)數(shù)根,必須+解之，得一 2 < m < _ 1或一 is加51。 = (4m) 4 2(m + l)(3m - 2) > 0所以，當(dāng)-2 < m < -1或一 1 < m < 1時(shí)，原方程有實(shí)數(shù)根。分析 題設(shè)中并沒有說方程2（加+ l）x2 -+ 3m-2 = 0是一元二次方程，而上述解答屮卻添加了 “原方程是二次方程”

12、這個(gè)條件，因此得到不完整的結(jié)論。正解 分兩步討論。當(dāng)原方程為二次方程時(shí)，要使它有實(shí)根，可推出-2 < m < -1或 -1 < m < 1 ；當(dāng)m = 一1時(shí)，原方程化為4兀一 5 = 0,顯然它有實(shí)根。綜上所述，當(dāng)一2 < m < 1 時(shí)，原方程有實(shí)數(shù)根。五、亂套公式定理產(chǎn)生錯(cuò)解解一道數(shù)學(xué)題常常要用上某些公式和定理，因?yàn)槊恳粋€(gè)公式、定理都只在一定條件下 成立的，它們的適用范圍是有條件限制的。如果運(yùn)用它們解題時(shí)不顧及該公式、定理的條件 和適用范圍，而是機(jī)械地套用，其結(jié)果往往是貌合神離，發(fā)生差錯(cuò)。例6若£±2 = 2±£

13、二土斗，戦的值。 z x y錯(cuò)解（兀+y）+（y+z）+（z+x）二土*（等比定理）譏=2（兀+y+ 2 x+y+zy兀+y+z分析等比定理的條件之一是若干相等的比的后項(xiàng)和不能為零。運(yùn)用等比定理解題時(shí), 如果忽視這個(gè)條件，十有八九要岀差錯(cuò)，上述解法就犯此病。正解 當(dāng)x+y+zo時(shí)，依等比定理可求得k =兀 + y = -z, 當(dāng)兀+y + z = 0時(shí)，由已知條件知x, y , z都不為0,此時(shí)對(duì)得：y + z =-兀, z + x 二一y,=2+z =£+x=_k 此時(shí) k：綜上所述，k = 2 或鳥=一1。 z x y六、錯(cuò)犯以偏概全產(chǎn)生錯(cuò)解某些數(shù)學(xué)題的題設(shè)條件包含著多種不同的情

14、況。如果是證明題，必須證明在題設(shè)條件 的所有可能的情況下，命題的結(jié)論都成立；如果是計(jì)算求解題，必須考慮在題設(shè)條件的所有 各種可能的情況下進(jìn)行求解。倘若只考慮題設(shè)條件屮的某些特殊情況下進(jìn)行論證或計(jì)算求 解，那么從邏輯上看，就是犯了 “以偏概全”的錯(cuò)誤。例7從圓的直徑的一端a引兩弦ap. aq,過點(diǎn)b引這圓的切線和直線ap,aq分別交于m , n點(diǎn)、。求證：zmpn = zmqn錯(cuò)解如圖7-1,連結(jié)pq, pb。因?yàn)閍b是口0的直徑，zapb = 90°。又因?yàn)閙n是口 0的切線， zpmb = zpba = zpqa。因此，p、m、n、q四點(diǎn)共圓。a圖7-1所以zmpn = amqn

15、o (證畢)分析 由題設(shè)“從圓的直徑ab的一端a引兩眩ap. aq-可有如下兩種情形：其一,分居于的兩側(cè)，如圖7-1；其二，位于的同側(cè)，如圖7-2o上述證明只證其一，而且其理由 還不完全適用于第二種情形。因此，上述證明犯了 “以偏概全”的錯(cuò)誤。正解可采用分情形分別證z,而后綜述結(jié)論正確。下面給岀兩種情形的一致證明方法，可省去一些麻煩。如圖7-1和圖7-2,連結(jié)pq, pb。因?yàn)?3是口 0的直徑zap3 = 90°。又 mn 切 口0 于 b, /. zabm = 90° o所以3p是rtabm斜邊上的高。于是有 ap.am =ab2.圖7-2同理有 aq-an = ab

16、a apam = aq-ano故p、m、n、q四點(diǎn)共圓。所以zmpn = zmqn七、引用循環(huán)論證產(chǎn)生錯(cuò)解在推理論證過程屮，如果直接或間接地利用要證明的結(jié)論作為推理論證的前提，這樣 的證明方法在邏輯上稱為“循環(huán)論證”。循環(huán)論證常常表現(xiàn)為以待證命題自身或者它的等價(jià) 命題為依據(jù)來證明待證命題。例 8 已知：在 abc 中，ac = 2ab , za = 2zc。求證：zb = 90° sin c =ab _ 1ac2 zc = 30 或 150二 za = 2zc ,/. zc = 30 , za = 2x30 =60/. zb = 180 -(za + zc) = 90分析 上述證明的

17、第一步就已承認(rèn)了為，其實(shí)就已用上作為推理的依據(jù)。這是明顯地 用待證結(jié)論作為依據(jù)去推理論證待證結(jié)論，犯了循環(huán)論證的錯(cuò)誤。正解如圖&2, ac = 2ab ,ac > ab.zabc > zc。作z1 = zc,邊bd交ac于d, 則 cd = db. zadb = zc + z1 = 2zc = za ab = bd , cd = ab。故 b d = da = ab.于是，aabq為等邊三角形。 za = 60 = 2zc, zc = 30 zb = 90 o以上介紹了七種常見的解題毛病，應(yīng)當(dāng)指出它們之間并非嚴(yán)格的劃分，從不同的角度 審視，可能會(huì)得出不同的錯(cuò)解類型。比如是同一種錯(cuò)解，既可以劃入“亂套公式定理”類型 又可劃入“混淆充要條件”類型，或者還可劃入其它類型，甚至更多類型等等。此外，同學(xué) 們?cè)诮忸}中還可能犯其它毛病。比如“審題馬虎，歪曲題意”“某字某詞理解錯(cuò)誤”“忽視某 種特例”等等引出差錯(cuò)，這里不一一例舉。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，解題是中心。在解決大量的數(shù)學(xué)問題中，要做到完全不出差錯(cuò)是不可能的。 但是，要求自己盡量避免出現(xiàn)差錯(cuò)卻是共同的愿望。怎樣才能在解題過程中少出差錯(cuò)呢？借 鑒一些經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)是很好的學(xué)習(xí)捷徑！以上提到的七種