《122組合》教案設(shè)計(jì)

1、122組合教學(xué)目標(biāo)：知識(shí)與技能：理解組合的意義，能寫出一些簡單問題的所有組合。明確組合與排列的聯(lián)系與區(qū)別，能判斷一個(gè)問題是排列問題還是組合問題。過程與方法：了解組合數(shù)的意義，理解排列數(shù)與組合數(shù) 之間的聯(lián)系，掌握組合數(shù)公式，能運(yùn)用組合數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算。情感、態(tài)度與價(jià)值觀：能運(yùn)用組合要領(lǐng)分析簡單的實(shí)際問題，提高分析問題的能力。教學(xué)重點(diǎn)：組合的概念和組合數(shù)公式教學(xué)難點(diǎn)：組合的概念和組合數(shù)公式授課類型：新授課 課時(shí)安排：2課時(shí) 教 具：多媒體、實(shí)物投影儀 內(nèi)容分析：排列與組合都是研究從一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一組，并求有多少種不同方法的問題.排列與組合的區(qū)別在于問題是否與順序有關(guān).與順序

2、有關(guān)的是排列問題，與順序無關(guān)是組合問題，順序?qū)ε帕小⒔M合問題的求解特別重要.排列與組合的區(qū)別，從定義上來說是簡單的，但在具體求解過程中學(xué)生往往感到困惑，分不清到底與順序有無關(guān)系. 指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)和問題的內(nèi)涵領(lǐng)悟其中體現(xiàn)出來的順序.教的秘訣在于度，學(xué)的真諦在于悟，只有學(xué)生真正理解了，才能舉一反三、融會(huì)貫通. 能列舉出某種方法時(shí)，讓學(xué)生通過交換元素位置的辦法加以鑒別. 學(xué)生易于辨別組合、全排列問題，而排列問題就是先組合后全排列.在求解排列、組合問題時(shí)，可引導(dǎo)學(xué)生找出兩定義的關(guān)系后，按以下兩步思考：首先要考慮如何選出符合題意要求的元素來，選出元素后再去考慮是否要對(duì)元素進(jìn)行排隊(duì)，即第一步僅從組合

3、的角度考慮，第二步則考慮元素是否需全排列，如果不需要，是組合問題；否則是排列問題.  排列、組合問題大都來源于同學(xué)們生活和學(xué)習(xí)中所熟悉的情景，解題思路通常是依據(jù)具體做事的過程，用數(shù)學(xué)的原理和語言加以表述.也可以說解排列、組合題就是從生活經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、具體情景的出發(fā)，正確領(lǐng)會(huì)問題的實(shí)質(zhì)，抽象出“按部就班”的處理問題的過程.據(jù)筆者觀察，有些同學(xué)之所以學(xué)習(xí)中感到抽象，不知如何思考，并不是因?yàn)閿?shù)學(xué)知識(shí)跟不上，而是因?yàn)槠綍r(shí)做事、考慮問題就缺乏條理性，或解題思路是自己主觀想象的做法（很可能是有悖于常理或常規(guī)的做法）.要解決這個(gè)問題，需要師生一道在分析問題時(shí)要根據(jù)實(shí)際情況，怎么做事就怎么分析，若

4、能借助適當(dāng)?shù)墓ぞ撸M做事的過程，則更能說明問題.久而久之，學(xué)生的邏輯思維能力將會(huì)大大提高.教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入： 1分類加法計(jì)數(shù)原理：做一件事情，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有種不同的方法，在第二類辦法中有種不同的方法，在第n類辦法中有種不同的方法那么完成這件事共有 種不同的方法2.分步乘法計(jì)數(shù)原理：做一件事情，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有種不同的方法，做第二步有種不同的方法，做第n步有種不同的方法，那么完成這件事有 種不同的方法 3排列的概念：從個(gè)不同元素中，任取（）個(gè)元素（這里的被取元素各不相同）按照一定的順序排成一列，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)排列4排列數(shù)的定義

5、：從個(gè)不同元素中，任取（）個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)叫做從個(gè)元素中取出元素的排列數(shù)，用符號(hào)表示5排列數(shù)公式：（）6階乘：表示正整數(shù)1到的連乘積，叫做的階乘規(guī)定7排列數(shù)的另一個(gè)計(jì)算公式：= 8.提出問題： 示例1：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加某天的一項(xiàng)活動(dòng)，其中1名同學(xué)參加上午的活動(dòng)，1名同學(xué)參加下午的活動(dòng)，有多少種不同的選法？示例2：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加一項(xiàng)活動(dòng)，有多少種不同的選法？引導(dǎo)觀察：示例1中不但要求選出2名同學(xué)，而且還要按照一定的順序“排列”，而示例2只要求選出2名同學(xué)，是與順序無關(guān)的引出課題：組合二、講解新課：1組合的概念：一般地，從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素并成一

6、組，叫做從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的一個(gè)組合說明：不同元素；“只取不排”無序性；相同組合：元素相同例1判斷下列問題是組合還是排列（1）在北京、上海、廣州三個(gè)民航站之間的直達(dá)航線上，有多少種不同的飛機(jī)票？有多少種不同的飛機(jī)票價(jià)？（2）高中部11個(gè)班進(jìn)行籃球單循環(huán)比賽，需要進(jìn)行多少場比賽？（3）從全班23人中選出3人分別擔(dān)任班長、副班長、學(xué)習(xí)委員三個(gè)職務(wù)，有多少種不同的選法？選出三人參加某項(xiàng)勞動(dòng)，有多少種不同的選法？（4）10個(gè)人互相通信一次，共寫了多少封信？（5）10個(gè)人互通電話一次，共多少個(gè)電話？問題：（1）1、2、3和3、1、2是相同的組合嗎？（2）什么樣的兩個(gè)組合就叫相同的組合2組合數(shù)的概念

7、：從個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從 個(gè)不同元素中取出個(gè)元素的組合數(shù)用符號(hào)表示3組合數(shù)公式的推導(dǎo)：（1）從4個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的組合數(shù)是多少呢？啟發(fā)：由于排列是先組合再排列，而從4個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的排列數(shù)可以求得，故我們可以考察一下和的關(guān)系，如下： 組 合 排列 由此可知,每一個(gè)組合都對(duì)應(yīng)著6個(gè)不同的排列，因此，求從4個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的排列數(shù)，可以分如下兩步： 考慮從4個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的組合，共有個(gè)； 對(duì)每一個(gè)組合的3個(gè)不同元素進(jìn)行全排列，各有種方法由分步計(jì)數(shù)原理得：，所以，（2）推廣：一般地，求從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，可以分如下兩步：

8、 先求從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)； 求每一個(gè)組合中m個(gè)元素全排列數(shù)，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理得：（3）組合數(shù)的公式：或 規(guī)定: .三、講解范例：例2用計(jì)算器計(jì)算解：由計(jì)算器可得 例3計(jì)算：（1）； （2）； （1）解： 35；（2）解法1：120 解法2：120例4求證：證明：例5設(shè) 求的值 解：由題意可得： ，解得， 或或，當(dāng)時(shí)原式值為7；當(dāng)時(shí)原式值為7；當(dāng)時(shí)原式值為11所求值為4或7或11例6 一位教練的足球隊(duì)共有 17 名初級(jí)學(xué)員，他們中以前沒有一人參加過比賽按照足球比賽規(guī)則，比賽時(shí)一個(gè)足球隊(duì)的上場隊(duì)員是11人問： (l)這位教練從這 17 名學(xué)員中可以形成多少種學(xué)員上場方案？ (2)

9、如果在選出11名上場隊(duì)員時(shí)，還要確定其中的守門員，那么教練員有多少種方式做這件事情？分析：對(duì)于（1)，根據(jù)題意，17名學(xué)員沒有角色差異，地位完全一樣，因此這是一個(gè)從 17 個(gè)不同元素中選出11個(gè)元素的組合問題；對(duì)于（ 2 ) ，守門員的位置是特殊的，其余上場學(xué)員的地位沒有差異，因此這是一個(gè)分步完成的組合問題解： (1）由于上場學(xué)員沒有角色差異，所以可以形成的學(xué)員上場方案有 C 手 12 376 （種） . (2）教練員可以分兩步完成這件事情：第1步，從17名學(xué)員中選出 n 人組成上場小組，共有種選法；第2步，從選出的 n 人中選出 1 名守門員，共有種選法所以教練員做這件事情的方法數(shù)有=136

10、136（種）.例7（1）平面內(nèi)有10 個(gè)點(diǎn)，以其中每2 個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段共有多少條？(2）平面內(nèi)有 10 個(gè)點(diǎn)，以其中每 2 個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段共有多少條？解：(1）以平面內(nèi) 10 個(gè)點(diǎn)中每 2 個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的條數(shù)，就是從10個(gè)不同的元素中取出2個(gè)元素的組合數(shù)，即線段共有 （條）.(2）由于有向線段的兩個(gè)端點(diǎn)中一個(gè)是起點(diǎn)、另一個(gè)是終點(diǎn)，以平面內(nèi)10個(gè)點(diǎn)中每 2 個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段的條數(shù)，就是從10個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的排列數(shù)，即有向線段共有（條）.例8在 100 件產(chǎn)品中，有 98 件合格品，2 件次品從這 100 件產(chǎn)品中任意抽出 3 件 .(1）有多少種不同的抽法？(2）抽出的

11、 3 件中恰好有 1 件是次品的抽法有多少種？ (3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少種？解：(1）所求的不同抽法的種數(shù)，就是從100件產(chǎn)品中取出3件的組合數(shù)，所以共有= 161700 （種）. (2）從2 件次品中抽出 1 件次品的抽法有種，從 98 件合格品中抽出 2 件合格品的抽法有種，因此抽出的 3 件中恰好有 1 件次品的抽法有=9506(種). (3）解法 1 從 100 件產(chǎn)品抽出的 3 件中至少有 1 件是次品，包括有1件次品和有 2 件次品兩種情況在第（2）小題中已求得其中1件是次品的抽法有種，因此根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，抽出的3 件中至少有一件是次品的抽法有+

12、=9 604 （種） . 解法2 抽出的3 件產(chǎn)品中至少有 1 件是次品的抽法的種數(shù)，也就是從100件中抽出3 件的抽法種數(shù)減去3 件中都是合格品的抽法的種數(shù)，即=161 700-152 096 = 9 604 （種）. 說明：“至少”“至多”的問題，通常用分類法或間接法求解。變式：按下列條件，從12人中選出5人，有多少種不同選法？（1）甲、乙、丙三人必須當(dāng)選； （2）甲、乙、丙三人不能當(dāng)選；（3）甲必須當(dāng)選，乙、丙不能當(dāng)選； （4）甲、乙、丙三人只有一人當(dāng)選；（5）甲、乙、丙三人至多2人當(dāng)選； （6）甲、乙、丙三人至少1人當(dāng)選；例9（1）6本不同的書分給甲、乙、丙3同學(xué)，每人各得2本，有多少

13、種不同的分法？解：（2）從5個(gè)男生和4個(gè)女生中選出4名學(xué)生參加一次會(huì)議，要求至少有2名男生和1名女生參加，有多少種選法？解：問題可以分成2類：第一類 2名男生和2名女生參加，有中選法；第二類 3名男生和1名女生參加，有中選法依據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，共有100種選法錯(cuò)解：種選法引導(dǎo)學(xué)生用直接法檢驗(yàn)，可知重復(fù)的很多例104名男生和6名女生組成至少有1個(gè)男生參加的三人社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)小組，問組成方法共有多少種？解法一：（直接法）小組構(gòu)成有三種情形：3男，2男1女，1男2女，分別有，所以，一共有+100種方法解法二：（間接法）組合數(shù)的性質(zhì)1：一般地，從n個(gè)不同元素中取出個(gè)元素后，剩下個(gè)元素因?yàn)閺膎個(gè)不同元素中取

14、出m個(gè)元素的每一個(gè)組合，與剩下的n - m個(gè)元素的每一個(gè)組合一一對(duì)應(yīng)，所以從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，等于從這n個(gè)元素中取出n - m個(gè)元素的組合數(shù)，即：在這里，主要體現(xiàn)：“取法”與“剩法”是“一一對(duì)應(yīng)”的思想證明：又 ，說明：規(guī)定：；等式特點(diǎn)：等式兩邊下標(biāo)同，上標(biāo)之和等于下標(biāo)；此性質(zhì)作用：當(dāng)時(shí)，計(jì)算可變?yōu)橛?jì)算，能夠使運(yùn)算簡化.例如=2002； 或2組合數(shù)的性質(zhì)2：+一般地，從這n+1個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)是，這些組合可以分為兩類：一類含有元素，一類不含有含有的組合是從這n個(gè)元素中取出m -1個(gè)元素與組成的，共有個(gè)；不含有的組合是從這n個(gè)元素中取出m個(gè)元素組成的，共有個(gè)根據(jù)

15、分類計(jì)數(shù)原理，可以得到組合數(shù)的另一個(gè)性質(zhì)在這里，主要體現(xiàn)從特殊到一般的歸納思想，“含與不含其元素”的分類思想證明： + 說明：公式特征：下標(biāo)相同而上標(biāo)差1的兩個(gè)組合數(shù)之和，等于下標(biāo)比原下標(biāo)多1而上標(biāo)與大的相同的一個(gè)組合數(shù)； 此性質(zhì)的作用：恒等變形，簡化運(yùn)算 例11一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小不同的7個(gè)白球和1個(gè)黑球，（1）從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，共有多少種取法？（2）從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，使其中含有1個(gè)黑球，有多少種取法？（3）從口袋內(nèi)取出3個(gè)球，使其中不含黑球，有多少種取法？解：（1）,或，；（2）；（3）例12（1）計(jì)算：；（2）求證：+解：（1）原式；證明：（2）右邊左邊例13解方程：（1）；（2）解方

16、程：解：（1）由原方程得或，或， 又由得且，原方程的解為或上述求解過程中的不等式組可以不解,直接把和代入檢驗(yàn),這樣運(yùn)算量小得多.（2）原方程可化為，即，解得或， 經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的解 例14證明：。證明：原式左端可看成一個(gè)班有個(gè)同學(xué)，從中選出個(gè)同學(xué)組成興趣小組，在選出的個(gè)同學(xué)中，個(gè)同學(xué)參加數(shù)學(xué)興趣小組，余下的個(gè)同學(xué)參加物理興趣小組的選法數(shù)。原式右端可看成直接在個(gè)同學(xué)中選出個(gè)同學(xué)參加數(shù)學(xué)興趣小組，在余下的個(gè)同學(xué)中選出個(gè)同學(xué)參加物理興趣小組的選法數(shù)。顯然，兩種選法是一致的，故左邊=右邊，等式成立。例15證明：（其中）。證明：設(shè)某班有個(gè)男同學(xué)、個(gè)女同學(xué)，從中選出個(gè)同學(xué)組成興趣小組，可分為類：男同學(xué)0

17、個(gè)，1個(gè)，個(gè)，則女同學(xué)分別為個(gè)，個(gè)，0個(gè)，共有選法數(shù)為。又由組合定義知選法數(shù)為，故等式成立。例16證明：。證明：左邊=，其中可表示先在個(gè)元素里選個(gè)，再從個(gè)元素里選一個(gè)的組合數(shù)。設(shè)某班有個(gè)同學(xué)，選出若干人（至少1人）組成興趣小組，并指定一人為組長。把這種選法按取到的人數(shù)分類（），則選法總數(shù)即為原式左邊?，F(xiàn)換一種選法，先選組長，有種選法，再?zèng)Q定剩下的人是否參加，每人都有兩種可能，所以組員的選法有種，所以選法總數(shù)為種。顯然，兩種選法是一致的，故左邊=右邊，等式成立。例17證明：。證明：由于可表示先在個(gè)元素里選個(gè)，再從個(gè)元素里選兩個(gè)（可重復(fù)）的組合數(shù)，所以原式左端可看成在例3指定一人為組長基礎(chǔ)上，再指

18、定一人為副組長（可兼職）的組合數(shù)。對(duì)原式右端我們可分為組長和副組長是否是同一個(gè)人兩種情況。若組長和副組長是同一個(gè)人，則有種選法；若組長和副組長不是同一個(gè)人，則有種選法。共有+種選法。顯然，兩種選法是一致的，故左邊=右邊，等式成立。例18第17屆世界杯足球賽于2002年夏季在韓國、日本舉辦、五大洲共有32支球隊(duì)有幸參加，他們先分成8個(gè)小組循環(huán)賽，決出16強(qiáng)（每隊(duì)均與本組其他隊(duì)賽一場，各組一、二名晉級(jí)16強(qiáng)），這支球隊(duì)按確定的程序進(jìn)行淘汰賽，最后決出冠亞軍，此外還要決出第三、四名，問這次世界杯總共將進(jìn)行多少場比賽？答案是：，這題如果作為習(xí)題課應(yīng)如何分析解：可分為如下幾類比賽：小組循環(huán)賽：每組有6場

19、，8個(gè)小組共有48場；八分之一淘汰賽：8個(gè)小組的第一、二名組成16強(qiáng)，根據(jù)抽簽規(guī)則，每兩個(gè)隊(duì)比賽一場，可以決出8強(qiáng)，共有8場；四分之一淘汰賽：根據(jù)抽簽規(guī)則，8強(qiáng)中每兩個(gè)隊(duì)比賽一場，可以決出4強(qiáng)，共有4場；半決賽：根據(jù)抽簽規(guī)則，4強(qiáng)中每兩個(gè)隊(duì)比賽一場，可以決出2強(qiáng)，共有2場；決賽：2強(qiáng)比賽1場確定冠亞軍，4強(qiáng)中的另兩隊(duì)比賽1場決出第三、四名 共有2場.綜上，共有場四、課堂練習(xí)： 1判斷下列問題哪個(gè)是排列問題，哪個(gè)是組合問題：（1）從4個(gè)風(fēng)景點(diǎn)中選出2個(gè)安排游覽，有多少種不同的方法？ （2）從4個(gè)風(fēng)景點(diǎn)中選出2個(gè)，并確定這2個(gè)風(fēng)景點(diǎn)的游覽順序，有多少種不同的方法？2名同學(xué)進(jìn)行乒乓球擂臺(tái)賽，決出新的

20、擂主，則共需進(jìn)行的比賽場數(shù)為（ ） 3如果把兩條異面直線看作“一對(duì)”，則在五棱錐的棱所在的直線中，異面直線有（ ） 對(duì) 對(duì) 對(duì) 對(duì)4設(shè)全集，集合、是的子集，若有個(gè)元素，有個(gè)元素，且，求集合、，則本題的解的個(gè)數(shù)為 （ ） 5從位候選人中選出人分別擔(dān)任班長和團(tuán)支部書記，有 種不同的選法6從位同學(xué)中選出人去參加座談會(huì)，有 種不同的選法7圓上有10個(gè)點(diǎn)：（1）過每2個(gè)點(diǎn)畫一條弦，一共可畫 條弦；（2）過每3個(gè)點(diǎn)畫一個(gè)圓內(nèi)接三角形，一共可畫 個(gè)圓內(nèi)接三角形8（1）凸五邊形有 條對(duì)角線；（2）凸五邊形有 條對(duì)角線9計(jì)算：（1）；（2）10個(gè)足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，（1）共需比賽多少場？（2）若各隊(duì)的得分互不

21、相同，則冠、亞軍的可能情況共有多少種？ 11空間有10個(gè)點(diǎn)，其中任何4點(diǎn)不共面，（1）過每3個(gè)點(diǎn)作一個(gè)平面，一共可作多少個(gè)平面？（2）以每4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)作一個(gè)四面體，一共可作多少個(gè)四面體？12壹圓、貳圓、伍圓、拾圓的人民幣各一張，一共可以組成多少種幣值？13寫出從這個(gè)元素中每次取出個(gè)的所有不同的組合答案：1. （1）組合, （2）排列 2. B 3. A 4. D 5. 30 6. 15 7. （1）45 （2） 120 8. （1）5（2） 9. 455； 10. 10； 2011. ； 12. 13. ； ； ； ； 五、小結(jié) ：組合的意義與組合數(shù)公式；解決實(shí)際問題時(shí)首先要看是否與順序有關(guān)，從而確定是排列問題還是組合問題，必要時(shí)要利用分類和分步計(jì)數(shù)原理 學(xué)生探究過程：（完成如下表格） 名稱內(nèi)容分類原理分步原理定 義 相同點(diǎn) 不同點(diǎn) 名 稱排 列組 合定義 種數(shù) 符號(hào)  計(jì)算公式 關(guān)系 性質(zhì)  ，六、課