牛頓圖與奇異代數(shù)方程的漸近解

1、牛頓圖與代數(shù)方程的漸近解代數(shù)方程兀2云+兀伝2 _ 3茁6 * 4兀7 *占9 = °沒有公式解。但是在£ t （）時(shí)，我們可以想辦法計(jì)算其近似解設(shè)x =代入看看情況呻 +。彳于+“ _ 3cc嚴(yán) + 4av +£9=0這些項(xiàng)，哪些較大呢？我們可以選取不同0的值進(jìn)行嘗試，麻煩而不得要領(lǐng)。我們看一看當(dāng)0固定時(shí)這些單項(xiàng)與原來單項(xiàng)z間的關(guān)系將方程中的單項(xiàng)式的指數(shù)坐標(biāo)上）畫出來，藍(lán)色點(diǎn)就對(duì)應(yīng)代數(shù)方程的各項(xiàng)。作斜率為1/0的射線，與橫軸的交點(diǎn)（褐色點(diǎn)）對(duì)應(yīng)/產(chǎn)2“ + q怯2+爐_3處6+0 +仏7佟70 +g9 =0 的各項(xiàng)。他們都是x的常數(shù)項(xiàng)，因此都在橫軸上。圖上的所示

2、意的斜率選擇對(duì)于解方程來說是不合適的，因?yàn)闊o論&怎么選擇（0除外），都 不能使方程關(guān)于£的幕次減小。可見0選擇是最垂要的。漸近求解方程的問題就是消除低階小量£"的問題，因此這些項(xiàng)中，能夠形成低階小量的都 要考慮，這就是牛頓圖標(biāo)定的。我們可以采用牛頓圖將單項(xiàng)式g"的指數(shù)坐標(biāo)（d上）畫出來，作凸多邊形（最邊上的取平行橫軸的射線），就町 以得到牛頓圖。牛頓圖上，凸多邊形的每條邊線都對(duì)應(yīng)方程的一支漸近解，他們決定了這支漸近解的標(biāo)度指 數(shù)0。凸多邊形里邊的點(diǎn)，無論按照那條邊線作為平行線，其橫軸上截距都不是最小的， 因此對(duì)于任意一支解來說，都是高階小量，可以

3、在第一步近似中忽略他們。于是按照凸多邊形邊構(gòu)造近似解, 第一條邊加嚴(yán)+4小宀02可知2 + 40 = 70, 0 = , 2 + 40 = 70 = 14/3這個(gè)數(shù)就是第一條邊在橫軸上的截距，過其他點(diǎn)作平行線示與橫軸截距都是高階小量。同時(shí)算系數(shù)67= (-1),/34-,/3可通過解xv2 + 4x7 =0 得到 這樣第一支解的一級(jí)近似為x = （-4）"卞2/3同樣第二支解對(duì)應(yīng)x4e2 - 3xe6 = 0求得x = 3i/34/3第三支解-3心+亠0x = £、i3實(shí)際上笫一支（xv2 + 4x7 = 0）解包含3個(gè)獨(dú)立解，因?yàn)殚_立方有3個(gè)根，可以嚴(yán)格寫為% = 4一】

4、門£沅（5+1"3£2/3這也可從牛頓圖上看出第一段線的縱他標(biāo)降低了 3（從兀7到/）,方程實(shí)際是3次方程，有 3個(gè)根。同樣第二支（/云_3"6 = o）從牛頓圖上看出縱坐標(biāo)降低了 3 （從/到立），也包含了 3個(gè)獨(dú)立解,嚴(yán)格寫為兀=3"泊2訕3屮3同樣第三支（-3尢/ + £9=0）從牛頓圖上看出縱坐標(biāo)降低了 1 （從f到兀°）,也包含了 1 個(gè)獨(dú)立解。因此7次方程無2歹+ /八_ 3兀云+ 4, + g9 = 0包含了 7個(gè)復(fù)解，其初級(jí)近似為兀=4"嚴(yán)2”+1）幔2/3, "3%處作4/3, *1,2

5、,3； x = 83/3實(shí)數(shù)解只有兩個(gè)，其初步x = 31/34/3, x = £3/3我們繼續(xù)追蹤第一支解的肓階近似首先第一支解，令 x = （-4）-1/36'2/3 + y代入方程x25 + 2 一 3xm + 4x7 +，= 0,展開得到很多項(xiàng)，這是很費(fèi)力氣的,我們?cè)谂ｎD圖上觀察，哪些項(xiàng)對(duì)于進(jìn)一步修正起主耍作用呢？展開后（關(guān)于y, £的牛頓圖）的項(xiàng)，在牛頓圖上表現(xiàn)為新增加的點(diǎn)，看到新增加的點(diǎn)用褐 色方塊標(biāo)出，可見新增加的點(diǎn)都在平行線與縱軸整數(shù)格線的交點(diǎn)上。值得注意的是第一邊線 延長少橫軸交點(diǎn)不再出現(xiàn)（圖中虛方塊），這是因?yàn)檫@個(gè)解的常數(shù)項(xiàng)部分相抵消的緣故。注意

6、斜率為x =，/3的點(diǎn)仍然包含其他點(diǎn)，這是因?yàn)樯厦娣匠讨惺龃嬖谄渌倪@種斜率的解。我們最終當(dāng)詢解的高階近似就不在(y + (-4)-1/3£2/3)2£5 4- (y 4- (-4)-1/3£2/3)42-3(y + (4廠1/讓2/3疋6 + 4(y + (_4)t/3£2/3)7 + £,= o僅計(jì)算，4(y + (-4f1/32/3)7 和(y + (-4)'1 z 32/3)42 關(guān)于 y 的一次項(xiàng)及(y + (-4)-1/32/3)25的常數(shù)項(xiàng)就可以了，于是7 / 4yr 一 4yr + ( (-4)-1/32/3)25 =

7、0可得y = (4)"4 / 9關(guān)于z £的牛頓圖上，出現(xiàn)了褐色的點(diǎn)，新牛頓圖對(duì)應(yīng)褐色線段。對(duì)應(yīng)于 (z + (一4尸/讓2/3 + (_4)-2/34 / 9刃/3)2，+ (z + (-4)_1/32/3 + (-4)_2/34 / 9，/3)4g2一 3(z + (-4)7/讓2/3 +(_4)-2/34 / 97/3)6+ 4(z + (-4)_1/3£'2/3 + (-4)_2/34 / %"3)? + / = °4(z + (-4)_1/32/3 + (-4)_2/34 / 97/3)7中關(guān)于+ (z + (-4)"

8、;刖 + (_4)-2/34 / 9，/3).2的z的較低£幕次的一次項(xiàng)7 /- 4zr (從圖上看出，英系數(shù)也是4(y + (-4)-1/32/3)7 + (y + (-4)-17 32 z 3)42 關(guān)于 y 的一次項(xiàng) 7 / 4ye4 一 4y，的 系數(shù)，因此町以按照y的表達(dá)式確定)和3(z + (-4)_1/32/3 + (4)2/34 /淀 f 的較低£幕次的常數(shù)項(xiàng)- 3(-4)"讓zd (從圖上看出，其系數(shù)也是 - 3(y + (-4)-1/32/3)6常數(shù)項(xiàng)的系數(shù)，因此可以按照y的表達(dá)式確定)，于是 7/4z - 4zh 3(-4)_1/36+2/3

9、 = 0,得到z = 一4(-4尸心 / 38/3于是x = (-4)1/32/3 + (-4嚴(yán)門4 / 9嚴(yán)-4(-4)_1/3 / 3嚴(yán)這樣可以繼續(xù)計(jì)算解的精度，只盂要將牛頓圖上較大斜率的點(diǎn)逐步消去。對(duì)于每一支解，都可以按照這種方法提高精度。上而例子沒有涵蓋另外一些情況，即解町能為£的負(fù)數(shù)指數(shù)情況比如x + 1 = 0, e 0這個(gè)方程的牛頓圖包含了這樣的項(xiàng)，吧？ + 1 = 0,對(duì)應(yīng)于 x = -1/3(-d1/3在£ t 0時(shí)，解趨于無窮大。第二步近似對(duì)應(yīng)牛頓圖如粉色線段從圖上看出，對(duì)應(yīng)于3次項(xiàng)£(y + -1/3(-1)1/3)3的線性部分和一次項(xiàng) e2

10、(y + 1/3(-1)/3)的常數(shù)部分，因此36y(-1/3(-l)1/3)2 + v1/3(-l)1/3 = 0可得y = -1 / 31/3(-1)2/3于是 x = £"(_)" _ i/31/3(-d2/3可以繼續(xù)計(jì)算到相要的精度。對(duì)于£ t 00,也冇相應(yīng)的牛頓圖，這時(shí)需要消去的是£的高次項(xiàng)。比如方程 ex? - s2x + 1 = 0, £ > 00牛頓圖是靠左邊的凸多邊形。 冇兩支解，對(duì)應(yīng)兩條折線 第一支包含兩個(gè)解，對(duì)應(yīng)£x° - jx - 01 / 2x = s = ±£第二支包含一個(gè)解，對(duì)應(yīng)進(jìn)一步近似 第一支解進(jìn)一步的牛頓圖變?yōu)辄S線， 于是3xoa2y - e2y + 1 = 0得到y(tǒng) = -1 / 2尹因此x = ±1/2 - 1 / 2八進(jìn)一步i 3(-1 / 26*