D98多元函數(shù)的極值及其求法學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1D98多元函數(shù)的極值及其求法多元函數(shù)的極值及其求法xyz定義定義: 若函數(shù)則稱函數(shù)在該點取得極大值(極小值).例如例如 :在點 (0,0) 有極小值;在點 (0,0) 有極大值;在點 (0,0) 無極值.極大值和極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.的某鄰域內(nèi)有xyzxyz機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第1頁/共24頁說明說明: 使偏導(dǎo)數(shù)都為 0 的點稱為駐點 . 例如,函數(shù)偏導(dǎo)數(shù),證證:據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結(jié)論成立.取得極值 ,取得極值取得極值 但駐點不一定是極值點.有駐點( 0, 0 ), 但在該點不取極值.且在該點取得極值 ,則有),(),(00yxy

2、xfz在點存在故yxz 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第2頁/共24頁時, 具有極值的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), 且令則: 1) 當(dāng)A0 時取極小值.2) 當(dāng)3) 當(dāng)證明見 第九節(jié)(P65) . 時, 沒有極值.時, 不能確定 , 需另行討論.若函數(shù)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第3頁/共24頁求函數(shù)解解: 第一步第一步 求駐點求駐點. .得駐點: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .第二步第二步 判別判別.在點(1,0) 處為極小值;解方程組ABC的極值.求二階偏導(dǎo)數(shù)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第4頁/共24頁在點(3,0) 處不

3、是極值;在點(3,2) 處為極大值.,66),( xyxfxx,0),(yxfyx66),(yyxfyy,0B,6C在點(1,2) 處不是極值;機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第5頁/共24頁及是否取得極值.解解: 顯然 (0,0) 都是它們的駐點 ,在(0,0)點鄰域內(nèi)的取值, 因此 z(0,0) 不是極值.因此為極小值.正正負(fù)負(fù)0222)(yxz在點(0,0)并且在 (0,0) 都有 02 BAC33yxz可能為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第6頁/共24頁函數(shù) f 在閉域上連續(xù)函數(shù) f 在閉域上可達(dá)到最值 最值可疑點 駐點邊界上的最值點特別特別, 當(dāng)區(qū)域內(nèi)部最值存在, 且只有一

4、個只有一個極值點P 時, )(Pf為極小 值)(Pf為最小 值( (大大) )( (大大) )依據(jù)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第7頁/共24頁解解: 設(shè)水箱長,寬分別為 x , y m ,則高為則水箱所用材料的面積為令得駐點某廠要用鐵板做一個體積為2根據(jù)實際問題可知最小值在定義域內(nèi)應(yīng)存在,的有蓋長方體水問當(dāng)長、寬、高各取怎樣的尺寸時, 才能使用料最省?因此可斷定此唯一駐點就是最小值點. 即當(dāng)長、寬均為高為時, 水箱所用材料最省.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第8頁/共24頁把它折起來做成解解: 設(shè)折起來的邊長為 x cm,則斷面面積x24一個斷面為等腰梯形的水槽,傾角為 ,x22

5、4積最大. 為問怎樣折法才能使斷面面機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第9頁/共24頁令解得:由題意知,最大值在定義域D 內(nèi)達(dá)到,而在域D 內(nèi)只有一個駐點,故此點即為所求.)0,120:(2 xD機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第10頁/共24頁極值問題無條件極值:條 件 極 值 :條件極值的求法: 方法方法1 代入法代入法.求一元函數(shù)的無條件極值問題對自變量只有定義域限制對自變量除定義域限制外,還有其它條件限制例如 ,轉(zhuǎn)化機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第11頁/共24頁,0),(下在條件yx如方法 1 所述 ,則問題等價于一元函數(shù)可確定隱函數(shù)的極值問題,極值點必滿足設(shè) 記)(,(

6、xxfz例如例如,故 故有機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第12頁/共24頁引入輔助函數(shù)輔助函數(shù)F 稱為拉格朗日( Lagrange )函數(shù).利用拉格極值點必滿足0),(yx則極值點滿足:朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第13頁/共24頁拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個自變量和多個約束條件的情形. 設(shè)解方程組可得到條件極值的可疑點 . 例如例如, 求函數(shù)下的極值.在條件機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第14頁/共24頁要設(shè)計一個容量為則問題為求x , y ,令解方程組解解: 設(shè) x , y , z 分別表示長、寬、高,下水箱表面積最小.z 使在條件

7、水箱長、寬、高等于多少時所用材料最省？的長方體開口水箱, 試問 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第15頁/共24頁得唯一駐點由題意可知合理的設(shè)計是存在的,長、寬為高的 2 倍時，所用材料最省.因此 , 當(dāng)高為xyz機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考思考:1) 當(dāng)水箱封閉時, 長、寬、高的尺寸如何?提示提示: 利用對稱性可知,2) 當(dāng)開口水箱底部的造價為側(cè)面的二倍時, 欲使造價最省, 應(yīng)如何設(shè)拉格朗日函數(shù)? 長、寬、高尺寸如何? 提示提示:長、寬、高尺寸相等 .第16頁/共24頁1. 函數(shù)的極值問題函數(shù)的極值問題第一步 利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點.即解方程組第二步 利用充分條件 判別

8、駐點是否為極值點 .2. 函數(shù)的條件極值問題函數(shù)的條件極值問題(1) 簡單問題用代入法如對二元函數(shù)(2) 一般問題用拉格朗日乘數(shù)法機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第17頁/共24頁設(shè)拉格朗日函數(shù)如求二元函數(shù)下的極值,解方程組第二步第二步 判別判別 比較駐點及邊界點上函數(shù)值的大小 根據(jù)問題的實際意義確定最值第一步 找目標(biāo)函數(shù), 確定定義域 ( 及約束條件)在條件求駐點 . 0),(yx0 xxxfF0yyyfF0F機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第18頁/共24頁已知平面上兩定點 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ),試在橢圓圓周上求一點 C, 使ABC 面積 S最大.解答提示解答提示:CBAoyxED設(shè) C 點坐標(biāo)為 (x , y),則 ACABS21機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第19頁/共24頁設(shè)拉格朗日函數(shù)解方程組得駐點對應(yīng)面積而比較可知, 點 C 與 E 重合時, 三角形面積最大.點擊圖中任意點動畫開始或暫停機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第20頁/共24頁 作業(yè)作業(yè) P61 3, 4, 8, 9, 10 習(xí)題課 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第21頁/共24頁解解: 設(shè)內(nèi)接三角形各邊所對的圓心角為 x , y , z ,則zyx它們所對應(yīng)的三個三角形面積分別為設(shè)拉氏函數(shù)解方程組, 得故圓內(nèi)接正三角形面積最大