2013年遼寧省高考數(shù)學(xué)試卷(理科)(共22頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上2013年遼寧省高考數(shù)學(xué)試卷（理科）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1（5分）復(fù)數(shù)的模長為（）ABCD22（5分）已知集合A=x|0log4x1，B=x|x2，則AB=（）A（0，1）B（0，2C（1，2）D（1，23（5分）已知點(diǎn)A（1，3），B（4，1），則與向量同方向的單位向量為（）ABCD4（5分）下列關(guān)于公差d0的等差數(shù)列an的四個命題：p1：數(shù)列an是遞增數(shù)列；p2：數(shù)列nan是遞增數(shù)列；p3：數(shù)列是遞增數(shù)列；p4：數(shù)列an+3nd是遞增數(shù)列；其中真命題是（）Ap1，p2Bp3，p4C

2、p2，p3Dp1，p45（5分）某學(xué)校組織學(xué)生參加英語測試，成績的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組一次為20，40），40，60），60，80），80，100）若低于60分的人數(shù)是15人，則該班的學(xué)生人數(shù)是（）A45B50C55D606（5分）在ABC，內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，casinBcosC+csinBcosA=b，且ab，則B=（）ABCD7（5分）使得（3x+）n（nN+）的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)的最小的n為（）A4B5C6D78（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入n=10，則輸出的S=（）ABCD9（5分）已知點(diǎn)O（0，0），A（0，b），B（a，a3），若OAB為直角三

3、角形，則必有（）Ab=a3BCD10（5分）已知三棱柱ABCA1B1C1的6個頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，ABAC，AA1=12，則球O的半徑為（）ABCD11（5分）已知函數(shù)f（x）=x22（a+2）x+a2，g（x）=x2+2（a2）xa2+8設(shè)H1（x）=maxf（x），g（x），H2（x）=minf（x），g（x），（maxp，q）表示p，q中的較大值，minp，q表示p，q中的較小值），記H1（x）的最小值為A，H2（x）的最大值為B，則AB=（）A16B16C16a22a16D16a2+2a1612（5分）設(shè)函數(shù)f（x）滿足x2f（x）+2xf（x）=，f（2）=，

4、則x0時，f（x）（）A有極大值，無極小值B有極小值，無極大值C既有極大值又有極小值D既無極大值也無極小值二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.13（5分）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是 14（5分）已知等比數(shù)列an是遞增數(shù)列，Sn是an的前n項(xiàng)和若a1，a3是方程x25x+4=0的兩個根，則S6= 15（5分）已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，C與過原點(diǎn)的直線相交于A，B兩點(diǎn)，連接AF、BF，若|AB|=10，|AF|=6，cosABF=，則C的離心率e= 16（5分）為了考察某校各班參加課外小組的人數(shù)，從全校隨機(jī)抽取5個班級，把每個班級參加該小組的人數(shù)作為樣本數(shù)據(jù)，已知樣本平均數(shù)為7，

5、樣本方差為4，且樣本數(shù)據(jù)互不相同，則樣本數(shù)據(jù)中的最大值為 三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17（12分）設(shè)向量，（1）若，求x的值；（2）設(shè)函數(shù)，求f（x）的最大值18（12分）如圖，AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓上的點(diǎn)（）求證：平面PAC平面PBC；（）若AB=2，AC=1，PA=1，求證：二面角CPBA的余弦值19（12分）現(xiàn)有10道題，其中6道甲類題，4道乙類題，張同學(xué)從中任取3道題解答（）求張同學(xué)至少取到1道乙類題的概率；（）已知所取的3道題中有2道甲類題，1道乙類題設(shè)張同學(xué)答對甲類題的概率都是，答對每道乙類題的概率都是，且各題答對與否相互獨(dú)立用X表示

6、張同學(xué)答對題的個數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望20（12分）如圖，拋物線C1：x2=4y，C2：x2=2py（p0），點(diǎn)M（x0，y0）在拋物線C2上，過M作C1的切線，切點(diǎn)為A，B（M為原點(diǎn)O時，A，B重合于O），當(dāng)x0=1時，切線MA的斜率為（）求P的值；（）當(dāng)M在C2上運(yùn)動時，求線段AB中點(diǎn)N的軌跡方程（A，B重合于O時，中點(diǎn)為O）21（12分）已知函數(shù)f（x）=（1+x）e2x，g（x）=ax+1+2xcosx，當(dāng)x0，1時，（I）求證：；（II）若f（x）g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍請考生在21、22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。22（10分）選修41：幾

7、何證明選講如圖，AB為O直徑，直線CD與O相切與E，AD垂直于CD于D，BC垂直于CD于C，EF垂直于F，連接AE，BE證明：（I）FEB=CEB；（II）EF2=ADBC23在直角坐標(biāo)系xOy中以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立坐標(biāo)系圓C1，直線C2的極坐標(biāo)方程分別為=4sin，cos（）=2（）求C1與C2交點(diǎn)的極坐標(biāo)；（）設(shè)P為C1的圓心，Q為C1與C2交點(diǎn)連線的中點(diǎn)，已知直線PQ的參數(shù)方程為（tR為參數(shù)），求a，b的值24已知函數(shù)f（x）=|xa|，其中a1（1）當(dāng)a=2時，求不等式f（x）4|x4|的解集；（2）已知關(guān)于x的不等式|f（2x+a）2f（x）|2的解集x|1x2，求a的值

8、2013年遼寧省高考數(shù)學(xué)試卷（理科）參考答案與試題解析一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1（5分）復(fù)數(shù)的模長為（）ABCD2【解答】解：復(fù)數(shù)，所以=故選B2（5分）已知集合A=x|0log4x1，B=x|x2，則AB=（）A（0，1）B（0，2C（1，2）D（1，2【解答】解：由A中的不等式變形得：log41log4xlog44，解得：1x4，即A=（1，4），B=（，2，AB=（1，2故選D3（5分）已知點(diǎn)A（1，3），B（4，1），則與向量同方向的單位向量為（）ABCD【解答】解：已知點(diǎn)A（1，3），B（4，1），=（4

9、，1）（1，3）=（3，4），|=5，則與向量同方向的單位向量為 =，故選A4（5分）下列關(guān)于公差d0的等差數(shù)列an的四個命題：p1：數(shù)列an是遞增數(shù)列；p2：數(shù)列nan是遞增數(shù)列；p3：數(shù)列是遞增數(shù)列；p4：數(shù)列an+3nd是遞增數(shù)列；其中真命題是（）Ap1，p2Bp3，p4Cp2，p3Dp1，p4【解答】解：對于公差d0的等差數(shù)列an，an+1an=d0，命題p1：數(shù)列an是遞增數(shù)列成立，是真命題對于數(shù)列nan，第n+1項(xiàng)與第n項(xiàng)的差等于 （n+1）an+1nan=（n+1）d+an，不一定是正實(shí)數(shù)，故p2不正確，是假命題對于數(shù)列，第n+1項(xiàng)與第n項(xiàng)的差等于 =，不一定是正實(shí)數(shù)，故p3不正

10、確，是假命題對于數(shù)列an+3nd，第n+1項(xiàng)與第n項(xiàng)的差等于 an+1+3（n+1）dan3nd=4d0，故命題p4：數(shù)列an+3nd是遞增數(shù)列成立，是真命題故選D5（5分）某學(xué)校組織學(xué)生參加英語測試，成績的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組一次為20，40），40，60），60，80），80，100）若低于60分的人數(shù)是15人，則該班的學(xué)生人數(shù)是（）A45B50C55D60【解答】解：成績低于60分有第一、二組數(shù)據(jù)，在頻率分布直方圖中，對應(yīng)矩形的高分別為0.005，0.01，每組數(shù)據(jù)的組距為20，則成績低于60分的頻率P=（0.005+0.010）×20=0.3，又低于60分的人數(shù)是1

11、5人，則該班的學(xué)生人數(shù)是=50故選：B6（5分）在ABC，內(nèi)角A，B，C所對的邊長分別為a，b，casinBcosC+csinBcosA=b，且ab，則B=（）ABCD【解答】解：利用正弦定理化簡已知等式得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB，sinB0，sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB=，ab，AB，即B為銳角，則B=故選A7（5分）使得（3x+）n（nN+）的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)的最小的n為（）A4B5C6D7【解答】解：設(shè)（nN+）的展開式的通項(xiàng)為Tr+1，則：Tr+1=3nrxnr=3nr，令nr=0得：n=r，又nN+，當(dāng)r=2時

12、，n最小，即nmin=5故選B8（5分）執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸入n=10，則輸出的S=（）ABCD【解答】解：輸入n的值為10，框圖首先給累加變量S和循環(huán)變量i分別賦值0和2，判斷210成立，執(zhí)行，i=2+2=4；判斷410成立，執(zhí)行=，i=4+2=6；判斷610成立，執(zhí)行，i=6+2=8；判斷810成立，執(zhí)行，i=8+2=10；判斷1010成立，執(zhí)行，i=10+2=12；判斷1210不成立，跳出循環(huán)，算法結(jié)束，輸出S的值為故選A9（5分）已知點(diǎn)O（0，0），A（0，b），B（a，a3），若OAB為直角三角形，則必有（）Ab=a3BCD【解答】解：=（a，a3b），=（a，a3），且ab

13、0若，則=ba3=0，a=0或b=0，但是ab0，應(yīng)舍去；若，則=b（a3b）=0，b0，b=a30；若，則=a2+a3（a3b）=0，得1+a4ab=0，即綜上可知：OAB為直角三角形，則必有故選C10（5分）已知三棱柱ABCA1B1C1的6個頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，ABAC，AA1=12，則球O的半徑為（）ABCD【解答】解：因?yàn)槿庵鵄BCA1B1C1的6個頂點(diǎn)都在球O的球面上，若AB=3，AC=4，ABAC，AA1=12，所以三棱柱的底面是直角三角形，側(cè)棱與底面垂直，側(cè)面B1BCC1，經(jīng)過球的球心，球的直徑是其對角線的長，因?yàn)锳B=3，AC=4，BC=5，BC1=，

14、所以球的半徑為：故選C11（5分）已知函數(shù)f（x）=x22（a+2）x+a2，g（x）=x2+2（a2）xa2+8設(shè)H1（x）=maxf（x），g（x），H2（x）=minf（x），g（x），（maxp，q）表示p，q中的較大值，minp，q表示p，q中的較小值），記H1（x）的最小值為A，H2（x）的最大值為B，則AB=（）A16B16C16a22a16D16a2+2a16【解答】解：令h（x）=f（x）g（x）=x22（a+2）x+a2x2+2（a2）xa2+8=2x24ax+2a28=2（xa）28由2（xa）28=0，解得x=a±2，此時f（x）=g（x）；由h（x）0，解得

15、xa+2，或xa2，此時f（x）g（x）；由h（x）0，解得a2xa+2，此時f（x）g（x）綜上可知：（1）當(dāng)xa2時，則H1（x）=maxf（x），g（x）=f（x）=x（a+2）24a4，H2（x）=minf（x），g（x）=g（x）=x（a2）24a+12，（2）當(dāng)a2xa+2時，H1（x）=maxf（x），g（x）=g（x），H2（x）=minf（x），g（x）=f（x）；（3）當(dāng)xa+2時，則H1（x）=maxf（x），g（x）=f（x），H2（x）=minf（x），g（x）=g（x），故A=g（a+2）=（a+2）（a2）24a+12=4a4，B=g（a2）=4a+12，AB=4

16、a4（4a+12）=16故選：B12（5分）設(shè)函數(shù)f（x）滿足x2f（x）+2xf（x）=，f（2）=，則x0時，f（x）（）A有極大值，無極小值B有極小值，無極大值C既有極大值又有極小值D既無極大值也無極小值【解答】解：函數(shù)f（x）滿足，令F（x）=x2f（x），則F（x）=，F(xiàn)（2）=4f（2）=由，得f（x）=，令（x）=ex2F（x），則（x）=ex2F（x）=（x）在（0，2）上單調(diào)遞減，在（2，+）上單調(diào)遞增，（x）的最小值為（2）=e22F（2）=0（x）0又x0，f（x）0f（x）在（0，+）單調(diào)遞增f（x）既無極大值也無極小值故選D二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.13

17、（5分）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是1616【解答】解：根據(jù)三視圖可知，該幾何體為圓柱中挖去一個四棱柱，圓柱是底面外徑為2，高為4的圓筒，四棱柱的底面是邊長為2的正方形，高也為4故其體積為：22×422×4=1616，故答案為：161614（5分）已知等比數(shù)列an是遞增數(shù)列，Sn是an的前n項(xiàng)和若a1，a3是方程x25x+4=0的兩個根，則S6=63【解答】解：解方程x25x+4=0，得x1=1，x2=4因?yàn)閿?shù)列an是遞增數(shù)列，且a1，a3是方程x25x+4=0的兩個根，所以a1=1，a3=4設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則，所以q=2則故答案為6315（5分）

18、已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，C與過原點(diǎn)的直線相交于A，B兩點(diǎn)，連接AF、BF，若|AB|=10，|AF|=6，cosABF=，則C的離心率e=【解答】解：設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F'，連接AF'、BF'AB與FF'互相平分，四邊形AFBF'為平行四邊形，可得|AF|=|BF'|=6ABF中，|AB|=10，|AF|=6，cosABF=，由余弦定理|AF|2=|AB|2+|BF|22|AB|×|BF|cosABF，可得62=102+|BF|22×10×|BF|×，解之得|BF|=8由此可得，2a=|BF|+|BF'

19、|=14，得a=7ABF中，|AF|2+|BF|2=100=|AB|2AFB=90°，可得|OF|=|AB|=5，即c=5因此，橢圓C的離心率e=故答案為：16（5分）為了考察某校各班參加課外小組的人數(shù)，從全校隨機(jī)抽取5個班級，把每個班級參加該小組的人數(shù)作為樣本數(shù)據(jù)，已知樣本平均數(shù)為7，樣本方差為4，且樣本數(shù)據(jù)互不相同，則樣本數(shù)據(jù)中的最大值為10【解答】解：設(shè)樣本數(shù)據(jù)為：x1，x2，x3，x4，x5，平均數(shù)=（x1+x2+x3+x4+x5）÷5=7；方差s2=（x17）2+（x27）2+（x37）2+（x47）2+（x57）2÷5=4從而有x1+x2+x3+x4+

20、x5=35，（x17）2+（x27）2+（x37）2+（x47）2+（x57）2=20若樣本數(shù)據(jù)中的最大值為11，不妨設(shè)x5=11，則式變?yōu)椋海▁17）2+（x27）2+（x37）2+（x47）2=4，由于樣本數(shù)據(jù)互不相同，這是不可能成立的；若樣本數(shù)據(jù)為4，6，7，8，10，代入驗(yàn)證知式均成立，此時樣本數(shù)據(jù)中的最大值為 10故答案為：10三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17（12分）設(shè)向量，（1）若，求x的值；（2）設(shè)函數(shù)，求f（x）的最大值【解答】解：（1）由題意可得 =+sin2x=4sin2x，=cos2x+sin2x=1，由，可得 4sin2x=1，即sin2x=x

21、0，sinx=，即x=（2）函數(shù)=（sinx，sinx）（cosx，sinx）=sinxcosx+sin2x=sin2x+=sin（2x）+ x0，2x，當(dāng)2x=，sin（2x）+取得最大值為1+=18（12分）如圖，AB是圓的直徑，PA垂直圓所在的平面，C是圓上的點(diǎn)（）求證：平面PAC平面PBC；（）若AB=2，AC=1，PA=1，求證：二面角CPBA的余弦值【解答】（）證明：如圖，由AB是圓的直徑，得ACBC由PA平面ABC，BC平面ABC，得PABC又PAAC=A，PA平面APC，AC平面PAC，所以BC平面PAC因?yàn)锽C平面PBC，所以平面PAC平面PBC；（）解：過C作CMAB于M，

22、因?yàn)镻A平面ABC，CM平面ABC，所以PACM，故CM平面PAB過M作MNPB于N，連接NC由三垂線定理得CNPB所以CNM為二面角CPBA的平面角在RtABC中，由AB=2，AC=1，得，在RtABP中，由AB=2，AP=1，得因?yàn)镽tBNMRtBAP，所以故MN=又在RtCNM中，故cos所以二面角CPBA的余弦值為19（12分）現(xiàn)有10道題，其中6道甲類題，4道乙類題，張同學(xué)從中任取3道題解答（）求張同學(xué)至少取到1道乙類題的概率；（）已知所取的3道題中有2道甲類題，1道乙類題設(shè)張同學(xué)答對甲類題的概率都是，答對每道乙類題的概率都是，且各題答對與否相互獨(dú)立用X表示張同學(xué)答對題的個數(shù)，求X的

23、分布列和數(shù)學(xué)期望【解答】解：（I）設(shè)事件A=“張同學(xué)至少取到1道乙類題”則=張同學(xué)至少取到的全為甲類題P（A）=1P（）=1=（II）X的所有可能取值為0，1，2，3P （X=0）=P（X=1）=P（X=2）=+=P（X=3）=X的分布列為 X0123P EX=20（12分）如圖，拋物線C1：x2=4y，C2：x2=2py（p0），點(diǎn)M（x0，y0）在拋物線C2上，過M作C1的切線，切點(diǎn)為A，B（M為原點(diǎn)O時，A，B重合于O），當(dāng)x0=1時，切線MA的斜率為（）求P的值；（）當(dāng)M在C2上運(yùn)動時，求線段AB中點(diǎn)N的軌跡方程（A，B重合于O時，中點(diǎn)為O）【解答】解：（）因?yàn)閽佄锞€C1：x2=4y上

24、任意一點(diǎn)（x，y）的切線斜率為y=，且切線MA的斜率為，所以設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y），得，解得x=1，y=，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，），故切線MA的方程為y=（x+1）+因?yàn)辄c(diǎn)M（1，y0）在切線MA及拋物線C2上，于是y0=（2）+=y0=解得p=2（）設(shè)N（x，y），A（x1，），B（x2，），x1x2，由N為線段AB中點(diǎn)知x=，y=切線MA，MB的方程為y=（xx1）+，；y=（xx2）+，由得MA，MB的交點(diǎn)M（x0，y0）的坐標(biāo)滿足x0=，y0=因?yàn)辄c(diǎn)M（x0，y0）在C2上，即x02=4y0，所以x1x2=由得x2=y，x0當(dāng)x1=x2時，A，B丙點(diǎn)重合于原點(diǎn)O，A，B中點(diǎn)N為O，坐標(biāo)滿足

25、x2=y因此中點(diǎn)N的軌跡方程為x2=y21（12分）已知函數(shù)f（x）=（1+x）e2x，g（x）=ax+1+2xcosx，當(dāng)x0，1時，（I）求證：；（II）若f（x）g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍【解答】（I）證明：當(dāng)x0，1）時，（1+x）e2x1x（1+x）ex（1x）ex，令h（x）=（1+x）ex（1x）ex，則h（x）=x（exex）當(dāng)x0，1）時，h（x）0，h（x）在0，1）上是增函數(shù)，h（x）h（0）=0，即f（x）1x當(dāng)x0，1）時，ex1+x，令u（x）=ex1x，則u（x）=ex1當(dāng)x0，1）時，u（x）0，u（x）在0，1）單調(diào)遞增，u（x）u（0）=0，f（x）

26、綜上可知：（II）解：設(shè)G（x）=f（x）g（x）=令H（x）=，則H（x）=x2sinx，令K（x）=x2sinx，則K（x）=12cosx當(dāng)x0，1）時，K（x）0，可得H（x）是0，1）上的減函數(shù)，H（x）H（0）=0，故H（x）在0，1）單調(diào)遞減，H（x）H（0）=2a+1+H（x）a+3當(dāng)a3時，f（x）g（x）在0，1）上恒成立下面證明當(dāng)a3時，f（x）g（x）在0，1）上不恒成立f（x）g（x）=x令v（x）=，則v（x）=當(dāng)x0，1）時，v（x）0，故v（x）在0，1）上是減函數(shù)，v（x）（a+1+2cos1，a+3當(dāng)a3時，a+30存在x0（0，1），使得v（x0）0，此時，f（x0）g（x0）即f（x）g（x）在0，1）不恒成立綜上實(shí)數(shù)a的取值范圍是（，3請考生