2018版高中數(shù)學第一章立體幾何初步1.1.4投影與直觀圖學案新人教B版必修2

1、1. 1.4 投影與直觀圖 【學習目標】1. 1. 了解中心投影、平行投影的概念，會畫幾何體的投影 .2.2.理解直觀圖的斜二測 畫法規(guī)則，會畫常見幾何體的直觀圖. ET問題導(dǎo)學 - 知識點一平行投影 思考 太陽光線可以把一個矩形的窗框投射到地板上，影子是平行四邊形，在影子中，框邊 的長度以及框邊之間的夾角有所改變，你能觀察出沒有發(fā)生變化的是什么嗎？ 梳理平行投影的定義及性質(zhì) (1)(1)定義：已知圖形 F,直線I與平面 a相交過F上任意一點 M作直線MM _ 于I , 交平面 a于點M，則點M叫做點M在平面 a內(nèi)關(guān)于直線I的 _( (或象) ).如 果圖形F上的所有點在平面 a內(nèi)關(guān)于直線I的

2、平行投影構(gòu)成圖形 F,則F叫做圖形F在 a內(nèi)關(guān)于直線I的 _ . (2)(2)平行投影的性質(zhì) 當圖形中的直線或線段不平行于投射線時，平行投影都具有下述性質(zhì)： 直線或線段的平行投影仍是 _ 或 _ . 平行直線的平行投影是 _ 或 _ 的直線. 平行于投射面的線段，它的投影與這條線段 _ 且 _. 與投射面平行的平面圖形，它的投影與這個圖形 _ . 在同一直線或平行直線上，兩條線段平行投影的比 _這兩條線段的比. 知識點二直觀圖與斜二測畫法 思考 1 1 邊長為 2 2 cmcm 的正方形 ABCDK平放置的直觀圖如下，在直觀圖中， A B與C D 有何關(guān)系？ A D與B C呢？在原圖與直觀圖中

3、， AB與A B相等嗎？ AD與A D呢?3 思考 2 2 正方體ABCD ABCD的直觀圖如圖所示，在此圖形中各個面都畫成正方形了嗎? 梳理直觀圖與斜二測畫法 (1)(1) 直觀圖 用來表示空間圖形的 _ . (2)(2) 斜二測畫法的規(guī)則 在已知模型所在的空間中取水平平面，作互相垂直的 Ox Oy軸，再作 Oz軸，使/ xOz= _ ，且/ yOz= _ . . 畫直觀圖時，把 Ox Oy Oz畫成對應(yīng)的軸 Ox, O y, O z ，使/ x O y = _ ，/ x Oz = _ , x O y所確定的平面表示水平平面. 已知圖形中，平行于 x軸、y軸或z軸的線段，在直觀圖中分別畫成平

4、行于 _ 、 _ 或 _ 的線段，并使它們和所畫坐標軸的位置關(guān)系，與已知圖形中相應(yīng)線段和 原坐標軸的位置關(guān)系 _ . 已知圖形中平行于 x軸和z軸的線段，在直觀圖中 _ ，平行于y軸的線段，長 度為 _ . 畫圖完成后，擦去作為輔助線的 _ ，就得到了空間圖形的直觀圖. 知識點三 中心投影 思考 不同的光源發(fā)出的光線是有差異的，其中燈泡發(fā)出的光線與手電筒發(fā)出的光線有什么 不同？燈泡照射物體形成的投影是平行投影嗎？ 梳理中心投影的概念 4 一個 _ 把一個圖形照射到一個平面上，這個圖形的影子就是它在這個平面上的中心投 影. 題型探究 類型一 平行投影與中心投影 例 i i （i i）平行投影的投

5、影線互相平行， 中心投影的投影線相交于一點； 空間圖形經(jīng)過中 心投影后，直線變成直線，但平行線可能變成了相交的直線；幾何體在平行投影與中心投 影下有不同的表現(xiàn)形式其中正確說法的個數(shù)為 （ ） A A. 0 0 B B 1 1 C C 2 2 D D 3 3 如圖所示，在正方體 ABCDA B C D中，E, F分別是A A, C C的中點，則下列判 斷正確的是 . （填序號） C D 四邊形BFD E在底面ABC內(nèi)的投影是正方形； 四邊形BFD E在面A D DA內(nèi)的投影是菱形； 四邊形BFD E在面A D DA內(nèi)的投影與在面 ABB A內(nèi)的投影是全等的平行四邊形. 反思與感悟 常見圖形的平行

6、投影 圖形 圖形的平行投影 占 八、 是一個點 線段 是線段或一個點 線段的中點 仍是這條線段投影的中點 直線 是直線或一個點 平行直線 是平行直線、一條直線或是兩個點 跟蹤訓練 1 1 （1 1）已知 ABC選定的投影面與厶 ABC所在平面平行，則經(jīng)過中心投影后所得的 A B C與厶ABC的關(guān)系是（ ） A.A. 全等 B.B.相似 C.C.不相似 D.D.以上都不對 下列命題中，不正確的是 （ ） 正方形的平行投影一定是菱形； 5 平行四邊形的平行投影可能是矩形； 銳角三角形的平行投影一定不是直角或鈍角三角形. A A. B.B. C.C. D.D. 類型二直觀圖的畫法 例 2 2 畫出如

7、圖水平放置的直角梯形的直觀圖. 引申探究 若將本例中的直角梯形改為等腰梯形，其直觀圖如何? O U 反思與感悟 (1)(1)本題利用直角梯形互相垂直的兩邊建系，使畫直觀圖非常簡便. (2)(2)在畫水平放置的平面圖形的直觀圖時， 選取適當?shù)闹苯亲鴺讼凳顷P(guān)鍵之一， 一般要使平面 多邊形盡可能多的頂點落在坐標軸上，以便于畫點.原圖中不平行于坐標軸的線段可以通過 作平行于坐標軸的線段來作出其對應(yīng)線段.關(guān)鍵之二是確定多邊形頂點的位置，借助于平面 直角坐標系確定頂點后，只需把這些頂點順次連接即可. 跟蹤訓練 2 (1)2 (1)用斜二測畫法畫邊長為 4 4 cmcm 的水平放置的正三角形( (如圖) )

8、的直觀圖. (2)(2)畫一個正四棱錐的直觀圖( (尺寸自定) ).6 類型三 直觀圖的還原與計算 命題角度 1 1 由直觀圖還原平面圖形 例3如圖所示， A B C是水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖, 反思與感悟 由直觀圖還原平面圖形的關(guān)鍵 (1)(1) 平行于x 軸的線段長度不變，平行于 y 軸的線段擴大為原來的 2 2 倍. (2)(2) 對于相鄰兩邊不與 x、y軸平行的頂點可通過作 x軸，y軸平行線變換確定其在 xOy 中的位置. 跟蹤訓練3如圖所示，矩形O A B C是水平放置的一個平面圖形的直觀圖， 其中O A =6 6 cmcm, C D D = 2 cm2 cm，則原圖形是 _

9、 命題角度 2 2 原圖形與直觀圖的面積的計算 例 4 4 如圖所示，梯形ABCD是一平面圖形 ABCD勺直觀圖.若AD/ O y , AB / CD, AB 2 2 =;GD = 2 2, AiD= O D = 1.1.試畫出原四邊形的形狀，并求出原圖形的面積. 3 3 將其還原成平面圖形. 7 反思與感悟 （1 1）由原圖形求直觀圖的面積， 關(guān)鍵是掌握斜二測畫法， 明確原來實際圖形中的 高，在直觀圖中變?yōu)榕c水平直線成 4545角且長度為原來一半的線段， 這樣可得出所求圖形相 應(yīng)的高. （2 2）若一個平面多邊形的面積為 S它的直觀圖面積為 S,則S=s 跟蹤訓練 4 4 如圖所示，一個水平

10、放置的三角形的斜二測直觀圖是等腰直角三角形 A B O,若O B = 1，那么原三角形 ABO的面積是（ ） 咼當堂訓練 - 1 1.當圖形中的直線或線段不平行于投射線時， 關(guān)于平行投影的性質(zhì)， 下列說法中不正確的是 （ ） A.A. 直線或線段的平行投影仍是直線或線段 B.B. 平行直線的平行投影仍是平行的直線 C.C. 與投射面平行的平面圖形，它的投影與這個圖形全等 D.D. 在同一直線或平行直線上，兩條線段平行投影的比等于這兩條線段的比 2 2 已知一個正方形的直觀圖是一個平行四邊形，其中有一邊長為 4 4,則此正方形的面積為 A A. 1616 D.D.無法確定 3.3. 利用斜二測畫

11、法畫出邊長為 3 3cmcm 的正方形的直觀圖，正確的是圖中的 （ ） 4.4. _ 如圖，水平放置的 ABC勺斜二測直觀圖是圖中的厶 A B C，已知 A C = 6 6, B C =4 4，則AB邊的實際長度是 . B. B. 6464 C. C. 16 16 或 6464 D.D. 8 5 5 畫出水平放置的四邊形 OBCD如圖所示) )的直觀圖. 廠規(guī)律與方法 - 1 1 畫水平放置的平面圖形的直觀圖， 關(guān)鍵是確定直觀圖的頂點. 確定點的位置，可采用直角 坐標系建立恰當?shù)淖鴺讼凳茄杆僮鞒鲋庇^圖的關(guān)鍵，常利用圖形的對稱性，并讓頂點盡量 多地落在坐標軸上或與坐標軸平行的直線上. 2 2 用

12、斜二測畫法畫圖時要緊緊把握住：“一斜”、“二測”兩點： (1)(1) 一斜：平面圖形中互相垂直的 OxOy軸，在直觀圖中畫成 O x、0 y軸，使/ x O y =4545 或 135135. (2)(2) 二測：在直觀圖中平行于 x軸的長度不變，平行于y軸的長度取一半，記為“橫不變，縱 折半”. 3 3.中心投影的投射線相交于一點， 中心投影后，圖形與原圖形相比雖然相差較大， 但直觀性 強，看起來與人的視覺效果一致若一個平面圖形所在的平面與投射面平行，則中心投影后 得到的圖形與原圖形相似.9 合案精析 問題導(dǎo)學 知識點一 思考 框邊的平行性沒有改變，平行直線段或同一條直線上的兩條線段的比也沒

13、有改變. 梳理（1 1）平行 平行投影 平行投影 （2 2）直線線段平行重合 平行等長全等等于 知識點二 1 1 思考 1 1 A B/ C D , A D/ B C , A B= AB A D= q qAD 思考 2 2 沒有都畫成正方形. 梳理平面圖形 （2 2）9090 9090 4545 （或 135135） 9090 x軸 y 軸 z軸相同 1 1 保持長度不變 原來的 q q 坐標軸 知識點三 思考 燈泡發(fā)出的光線是由一點向外分散發(fā)射的；手電筒發(fā)出的光是一束平行光線不是. 梳理點光源 題型探究 例 1 1 D D 由平行投影和中心投影的定義知，平行投影的投影線互相平行，中心投影的投

14、影 線相交于一點，故正確；空間圖形經(jīng)過中心投影后，直線變成直線，但平行線有可能變成 相交線，如照片中由近到遠物體之間的距離越來越近，最后相交于一點，故正確；幾何體 在平行投影與中心投影下有不同的表現(xiàn)形式，故正確故選 D.D. 解析 四邊形BFD E的四個頂點在底面 ABC內(nèi)的投影分別是 B, C, D, A,所以投影是正 方形，即正確；設(shè)正方體的棱長為 2 2,則AE= 1 1,取D D的中點G連接AG則四邊形 BFD E在面A D DA內(nèi)的投影是四邊形 AGD E,由AE/ D G,且AE= D G知四邊形AGD E 是平行四邊形，但 AE= 1 1, D E= 5 5,所以四邊形 AGD

15、E不是菱形，即不正確；對于， 由可知兩個投影四邊形是對邊分別相等的平行四邊形，從而正確.10 跟蹤訓練 1 1 (1)B(1)B 根據(jù)題意畫出圖形如圖. AB OB BC OC AC 由圖易得 A B = QEF = B C = OCT=A C，則 ABC A B C . (2)B (2)B 正方形的平行投影可以是矩形或平行四邊形或菱形， 故錯；平行四邊形的平行投影 可以是矩形、菱形、正方形，故正確；銳角三角形的平行投影可以是銳角三角形或直角三 角形或鈍角三角形或線段，故錯.故選 B.B. 例 2 2 解(1)(1)在已知的直角梯形 OBC中，以底邊0B所在直線為x軸，垂直于0B的腰0D所 在

16、直線為y軸建立平面直角坐標系.畫出相應(yīng)的 x 軸和y 軸，使/ x O y = 4545，如 圖(2)(2)所示. 1 1 在x軸上截取 O B = OB在y 軸上截取 O D=OD過點D作x軸的平行線I , 在I上沿x軸正方向取點 C使得D C = DC連接B C，如圖(2)(2). 引申探究 所得四邊形O B C D . 解畫法：(1)(1)如圖所示，取 AB所在直線為x軸, AB中點O為原點，建立直角坐標系，畫對 應(yīng)的坐標系x O y，使/ x O C D 11 1 1 以O(shè)為中點在x軸上取 A B = AB在y軸上取O E = -OE 以E為中點畫出C D/ x軸，并使C D = CD

17、 (3)(3)連接B C , D A ,所得的四邊形 A B C D就是水平放置的等腰梯形 ABCD勺直觀 圖. 跟蹤訓練 2 (1)2 (1)解 如圖所示，以 BC邊所在的直線為x軸，以BC邊上的高線 A0所在 的直線為y軸建立平面直角坐標系. 畫出對應(yīng)的x軸、y 軸，使/ x O y 在x軸上截取 O B = O C = 2 2 cm,cm,在y 則三角形A B C即為正三角形 ABC的直觀圖，如圖所示. 解 畫軸.如圖 ，畫x軸、y軸、z軸，使/ xOy= 4545 ( (或 135135 ) )，/ xOz= 9090. 畫底面.以 O為中心，在xOy平面內(nèi)，畫出正方形的直觀圖 ABC

18、D 畫頂點在 Oz軸上截取OS使OS等于已知正四棱錐的高. 畫棱連接SA SB SC SD擦去輔助線( (坐標軸) )，得到正四棱錐 S- ABC啲直觀圖，如 圖所示. 例 3 3 解 畫出直角坐標系 xOy,在x軸的正方向上取 OA= O A，即CA= C A ; 過B作B D / y 軸，交x軸于點D，在OA取OD= O D，過D作DB/ y軸, 且使 DB= 2 2D B; 連接 AB BC得厶ABC 則厶ABC即A B C對應(yīng)的平面圖形，如圖所示. B 0 C x 12 跟蹤訓練 3 3 菱形 解析 如圖所示，在原圖形 OAB(中，應(yīng)有OD= 20 20 D = 2 2X2 2 2 = 4 4 2(cm) 2(cm) , CD= C D = 2(cm) ,2(cm) , 0C= 0D+ CD= 1 1 2 2 一2+ 2 22= 6(cm)6(cm), 0A= 0C故四邊形 OAB(是菱形. 例 4 4 解 如圖，建立直角坐標系 x