考研數(shù)一真題及解析

1、20132013 年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題一、選擇題：1 8 小題，每小題4 分，共 32 分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上 .（ 1）已知極限 limxarctan xc ，其中 c, k 為常數(shù)，且 c 0 ，則（）xkx 011（ A ） k 2, c2（ B） k 2, c2C） k3, c1（ D） k133,c3（ 2）曲面 x2cos( xy)yzx0 在點(diǎn) (0,1,1) 處的切平面方程為（）（ A ） x y z2（ B） x y z 2（ C） x 2 y z3 （ D） x y z 01，bn1b

2、n sin n x ，則 S(9 ) （ 3）設(shè) f ( x)x2f (x)sin nxdx(n1,2,.) ，令 S(x)）20n 14（A） 3（B） 1（ C）1（D ）34444（ 4 ）設(shè) l1 : x2y21,l2 : x2y22, l 3 : x22 y22,l 4 : 2x2y22, 為四條逆時(shí)針的平面曲線，記I i( yy3)dx(2xx3)dy(i1,2,3,4) ，則= ()li63（A） I1（B） I2（C） I3 （D） I3（ 5）設(shè)矩陣 A,B,C均為 n 階矩陣，若 ABC,則 B可逆，則（ A ）矩陣（ B ）矩陣（ C）矩陣（ D ）矩陣C 的行向量組與矩

3、陣A 的行向量組等價(jià)C 的列向量組與矩陣A 的列向量組等價(jià)C 的行向量組與矩陣B 的行向量組等價(jià)C 的行向量組與矩陣B 的列向量組等價(jià)1a1200（ 6）矩陣aba與 0b0 相似的充分必要條件為1a1000（ A ） a0,b2（ B） a0, b為任意常數(shù)（ C） a2,b0（ D） a2, b為任意常數(shù)（ 7）設(shè) X 1， X 2， X 3 是隨機(jī)變量，且X1 N(0,1) ， X2 N( 0,2 2）， X3 N (5,3 2 ) ,1/1012013Pj P2X j 2( j 1,2,3), 則（）（A） P1P2P3（B） P2P1P3（C） P3P1P2（D） P1P3P2（ 8

4、）設(shè)隨機(jī)變量 X t (n),Y F (1,n),給定 a(0a 0.5), 常數(shù) c 滿足 P Xc a ,則 P Yc2 （ ）（ A ）（B） 1（C） 2（D）1 2二、填空題：9 14 小題，每小題 4 分，共 24 分，請(qǐng)將答案寫在答題紙指定位置上 .(9) 設(shè)函數(shù) f (x) 由方程 y xex(1y ) 確定，則 lim n( f ( 1) 1)nn(10) 已知 y1e3 xxe2 x ， y2exxe2 x ， y3xe2x是某二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的3 個(gè)解，該方程的通解為yxsin t(11) 設(shè)yt sintln x(12)1(1x)2 dx（ t 為參數(shù)），則

5、d 2 y2costdx4t（13）設(shè) A(a ij ) 是 三 階 非 零 矩 陣 ， | A | 為 A 的 行 列 式 ， Aij為 a 的 代 數(shù) 余 子 式 ， 若ijaij A ij 0(i, j1,2,3), 則 A_（ 14）設(shè)隨機(jī)變量Y 服從參數(shù)為1 的指數(shù)分布 , a 為常數(shù)且大于零，則 PYa 1| Y a _。三、解答題：15 23 小題，共94 分 .請(qǐng)將解答寫在答題紙指定位置上 .解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 .（ 15）（本題滿分10 分）1f ( x)其中 f ( x)x ln( t1)計(jì)算dx,1dt0xt（ 16）（本題滿分10 分）設(shè)數(shù)列 an

6、滿足條件： a03, a11, an 2 n(n 1)an 0( n 2), S(x) 是冪級(jí)數(shù)an xn 的和函數(shù)，n 0（ I）證明： S ( x) S(x) 0 ,（ II ）求 S(x) 的表達(dá)式 .（ 17）（本題滿分 10 分）22全國(guó)統(tǒng)一服務(wù)熱線： 400 668 21552013求函數(shù) f ( x, y)( yx3x y的極值 .3)e（ 18）（本題滿分10 分）設(shè)奇函數(shù)f ( x)在 -1,1上具有2 階導(dǎo)數(shù)，且 f (1)1,證明：（ I）存在(0,1), 使得 f '()1（II ）存在1,1，使得 f''() f '()1（ 19）（本

7、題滿分10 分）設(shè)直線 L 過 A(1,0,0), B(0,1,1) 兩點(diǎn)，將 L 繞 Z 軸旋轉(zhuǎn)一周得到曲面,與平面 z0, z2 所圍成的立體為，（ I）求曲面的方程（II ）求的形心坐標(biāo) .（ 20）（本題滿分11 分）設(shè) A1a01，當(dāng) a,b 為何值時(shí)，存在矩陣C使得 ACCAB ，并求所有矩陣C 。1, B1b0（ 21）（本題滿分11 分）22a1b1設(shè)二次型 f x1, x2 , x32a1x1a2 x2b1 x1a2,b2a3 x3b2 x2 b3 x3，記。a3b3（ I）證明二次型f 對(duì)應(yīng)的矩陣為2TT；（II ）若, 正交且均為單位向量，證明二次型f在正交變化下的標(biāo)準(zhǔn)形

8、為二次型2 y12y22。（ 22）（本題滿分11 分）1 x20 x32x1f ( x)，令隨機(jī)變量 Yx1x 2,設(shè)隨機(jī)變量的概率密度為40其他1x2（ I）求 Y 的分布函數(shù)（ II ）求概率 P XY（ 23）（本題滿分11 分）2設(shè)總體 X 的概率密度為fx3e x , x0,其中為未知參數(shù)且大于零，X,X， X為來自總體xN120,其它 .X 的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本 .3/1032013（ 1）求 的矩估計(jì)量；（ 2）求 的最大似然估計(jì)量 .2013 年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題答案一、選擇題：1 8 小題，每小題4 分，共 32 分，下列每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目

9、要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上 .（ 1）【答案】 D【解析】 lim xarctanxx( x1 x3o(x3 )1 x31lim3lim 3c,k3,cx 0xkx 0xkx 0 xk3（ 2）【答案】 A【解析】設(shè) F (x, y, z)x2cos(xy ) yzx ，則 Fx ( x, y, z)2 x y sin( xy)1Fx(0,1,1)1；Fy ( x, y, z)x sin( xy)zFy (0,1,1)1 ；Fz( x, y, z)yFz(0,1,1)1，所以該曲面在點(diǎn)(0,1,1) 處的切平面方程為x( y1)(z1)0 ，化簡(jiǎn)得 x yz2，選 A（ 3

10、）【答案】 Cx1 ,0x1【解析】 根據(jù)題意， 將函數(shù)在 1,1上奇延拓 f ( x)2，它的傅里葉級(jí)數(shù)為S( x) 它1 ,x1x02是以 2 為周期的，則當(dāng)x( 1,1)且f ( x)在 x處 連 續(xù) 時(shí) ， S( x) f ( x)， 因 此S(9)S(92) S( 1)S(1)f ( 1)1444444（ 4）【答案】 D44全國(guó)統(tǒng)一服務(wù)熱線： 400 668 21552013【解析】 I i( yy3)dx(2 xx3)dy(i 1,2,3,4)li63(1x2y2)dxdyDi2利用二重積分的幾何意義，比較積分區(qū)域以及函數(shù)的正負(fù)，在區(qū)域D1, D 4 上函數(shù)為正值，則區(qū)域大，積分

11、大，所以 I 4I1 ，在 D4 之外函數(shù)值為負(fù)，因此I 4I2,I 4I3 ，故選 D。（5 【答案】（B）【解析】由 C AB 可知 C 的列向量組可以由A 的列向量組線性表示，又B 可逆，故有 ACB 1 ，從而A 的列向量組也可以由C 的列向量組線性表示，故根據(jù)向量組等價(jià)的定義可知正確選項(xiàng)為（B）。（ 6）【答案】 (B)1a11a1200【解析】由于aba為實(shí)對(duì)稱矩陣，故一定可以相似對(duì)角化，從而aba 與0b0 相似的1a11a10001a1充分必要條件為aba 的特征值為2,b,0。1a11a1又E Aaba(b)(2) 2a2 ，從而 a0,b為任意常數(shù) 。1a1（ 7）【答案】

12、（ A ）【解析】由X1N0,1 , X2N 0,22, X 3N5,32知，p1P2X12 PX12221，p2P2X22 PX22 2 1 1，故 p1p2 .由根據(jù) X3N 5,32及概率密度的對(duì)稱性知，p1p2p3 ，故選（ A ）（ 8）【答案】（ C）【解析】由 X t( n),Y F (1,n)得，YX2，故222或P Y cP X cP Xc X c 2a9. 【答案】 1【解析】 lim n( f ( 1 )1) limf (x) 1f (0)nnx 0x由 y x ex(1y) ，當(dāng) x0 時(shí)， y15/1052013方程兩邊取對(duì)數(shù)ln( yx)x(1y)兩邊同時(shí)對(duì) x 求

13、導(dǎo)，得11 (1y)xyyyx將 x 0 ， y1代入上式，得f(0)1(10) 【答案】yC1e3xC2 exxe2 x【解析】因 y1e3xxe2 x ， y2exxe2 x 是非齊次線性線性微分方程的解，則y1y2 e3 xex 是它所對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程的解，可知對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程的通解為ypC1e3xC2ex ，因此該方程的通解可寫為 yC1e3 xC 2exxe2 x(11) 【答案】2【解析】 dysin tt costsin t t cost , dxcost ，dyt costt ，dtdtdxcostd( dy)1，所以 d2 y，所以 d2ydx12dtdx2cos

14、tdx2t4(12) 【答案】 ln 2【解析】ln x2 dxln xd (1)ln x11x)dx1(1 x)11x1x1 x(11dx11dxlnxln(1x) 1xln 21ln1x(1 x)1x1 x1 x（ 13）【答案】1【解析】由 aijAij0可知， ATA*Aai1 Ai 1ai 2 Ai 2ai 3 Ai 3a1 j A1 ja2 j A2 j a3 j A3 j33aij2aij20j 1i 1從而有 AATA*2A ,故 A =-1.（ 14）【答案】 2e266全國(guó)統(tǒng)一服務(wù)熱線： 400 668 21552013【解析】由 XN0,1 及隨機(jī)變量函數(shù)的期望公式知1x

15、211x 22E Xe2 Xxe2 xe 2 dxxe 242e2 .dx22f ( x)x ln( t1)dt1ln( t 1)110t11（ 15）【解析】dxdxdxdt000xtxxx1dttln( t1)121 ln( t1)tdt1 ln( t1)00tdx0t2dtx0t411)dt4t ln( t 1) 101t dtln(t0 t014ln 241tdt4ln 21u2udu0 t4110 u24ln 281 u2114ln 2811duu2du1u201014ln 28uarctan u104ln 28(1)4ln 28 24（ 16）【解析】（ I）設(shè) S( x)an x

16、n ， S (x)annx n 1 ， S (x)ann(n 1)xn 2 ，n 0n 1n 2因?yàn)?an2 n( n1)an0 ，因此 S ( x)ann(n1)xn 2an 2 xn 2an xnS( x) ；n2n 2n 0（ II ）方程 S ( x)S( x)0的特征方程為2 10，解得 11,11，所以 S( x)c1e xc2ex ，又 a0S(0)3c1c23， a1 S (0)1c1c21 ，解得 c12, c21，所以 S(x)2e xex 。17f x '2 x y( yx3x y( x2+y+x3x y0x e3)e)e【解析】3x3(1+y+ x3f y &#

17、39;ex y( y)ex y)ex y033解得 (1,4),(1,2 ) ，337/1072013A f xx '' (2 x x2 )ex y( x2yx3 )ex y( x3 +2 x22x+y)ex y33Bf xy '' ex y+( x2yx3x y=(x32x y)e3+x+y+1)e3Cx y(1 yx3xyx3x yf yy '' e)e(+y 2) e33對(duì)于 (1, 4)點(diǎn)， A111B23e 3 , Be 3 , Ce 3 ,AC0, A0,34 ) 為極小值點(diǎn)，極小值為1(1,e 331, 2)，A555B2對(duì)于 (e

18、 3 , Be 3 ,Ce 3 ,=AC0 ,不是極值 .3（ 18）【解析】（ 1）令 F ( x)f (x)x, F (0)f (0)0, F (1)f (1) 1 0,則0,1使得 F'( )0,即f '()1（ 2）令 G (x)ex ( f '( x)1),則G( ) 0,又由于 f ( x) 為奇函數(shù)，故f '( x) 為偶函數(shù)，可知G ()0 ,則,1,1使G'()0,即e f '( )1ef ''()0，即f''()f '() 1（ 19）【解析】（ 1） l 過 A, B 兩點(diǎn)，所以其直線

19、方程為：x1 y0z0x1 z111yz所以其繞著 z 軸旋轉(zhuǎn)一周的曲面方程為：x2y2(1 z)2z2x2y2( z1 )23224zdxdydz222z(1z)zdz7 ，所以形心坐標(biāo)為 (0,0, 7)（ 2）由形心坐標(biāo)計(jì)算公式可得z0dxdydz2z)2z2dz(1550（ 20）【解析】由題意可知矩陣C 為 2 階矩陣，故可設(shè) Cx1x2，則由 AC CA B 可得線性方程組：x3x488全國(guó)統(tǒng)一服務(wù)熱線： 400 668 21552013x2ax30ax1x2ax41x1x3 x41（ 1）x2ax3b01 a0 01011 11 01 11a10a 1a 1 0a 10 1a0

20、1 a1011 101 a0 001 a0001a 0 b01a 0 b0 1a 0b1011101a01a00001a0000b1a由于方程組（1）有解，故有1 a0, b1a 0 ，即 a1,b0, 從而有01a0 01 011 1x1k1k21a10a 101100x2k1, 其中 k1、 k2 任意.1011 1，故有x3k10000001a 0 b00000x4k2從而有 Ck1k21k1k1k2（ 21）【解析】 (1)f (2a2b2) x22222b2)x2(4a a2bb )x x(2 a2b2) x2(2a332111312121(4a1a3b1b3 ) x1x3(4a2a32b2b3 ) x2 x32a2b22a a2b b2a a b ba2a a2a a3b2b b