信息光學(xué)透鏡的位相調(diào)制和傅里葉變換性質(zhì)學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1信息光學(xué)透鏡的位相調(diào)制信息光學(xué)透鏡的位相調(diào)制(tiozh)和傅里和傅里葉變換性質(zhì)葉變換性質(zhì)第一頁，共29頁。透鏡(tujng)是一種非常重要的光學(xué)元件，其主要功能包括：成像和傅里葉變換。1）透鏡(tujng)的成像功能ff2）透鏡的傅里葉變換(binhun)功能 （夫瑯和費(fèi)衍射）f Question: Question: 透鏡為什么具有這樣透鏡為什么具有這樣(zhyng)(zhyng)的功能？的功能？第1頁/共28頁第二頁，共29頁。1.1 1.1 透鏡透鏡(tujng)(tujng)對入射波前的作用對入射波前的作用透鏡(tujng)的復(fù)振幅透過率：,llUx ytx yU x y在旁

2、軸近似下，忽略透鏡對光波振幅的影響，緊靠透鏡前后的平面上產(chǎn)生的復(fù)振幅分布為2200,expexp2lkUx yAjkdjxyd22,expexp2liikUx yAjkdjxyd第2頁/共28頁第三頁，共29頁。則透鏡復(fù)振幅透過則透鏡復(fù)振幅透過(tu u)(tu u)率表示為：率表示為：220011expexp2iikjk ddjxydd222200expexp2,expexp2iilllkAjkdjxydUx ytx yUx ykAjkdjxyd( (常數(shù)常數(shù)(chngsh)(chngsh)項項) )( (調(diào)制項調(diào)制項) )對于常數(shù)項，它改變的是光波整體的位相分布，并不影響平面上位相的相對空

3、間分布，分析時可忽略掉。對于調(diào)制項，它改變了平面上位相的相對空間分布，能把發(fā)散球面波變換為會聚球面波。根據(jù)幾何光學(xué)中介紹的透鏡成像公式0111iddf( ( 為透鏡的焦距為透鏡的焦距) )2222011expexp22ikkjxyjxyddf第3頁/共28頁第四頁，共29頁。因此，透鏡因此，透鏡(tujng)的位相調(diào)制因子：的位相調(diào)制因子：220,expexp,2llilUx yktx yjk ddjxyUx yfAnswer: Answer: 透鏡透鏡(tujng)(tujng)本身的厚度變化，使本身的厚度變化，使得入射光波在通過透鏡得入射光波在通過透鏡(tujng)(tujng)的的不同部

4、位時，經(jīng)過的光程差不同不同部位時，經(jīng)過的光程差不同，即所受時間延遲不同，從而使，即所受時間延遲不同，從而使得光波的等相位面發(fā)生彎曲。得光波的等相位面發(fā)生彎曲。等相位面結(jié)論結(jié)論：通過上面的分析可知，透鏡對透射的光波具有位相調(diào)制的功能。但是，透鏡為什么會具有這種能力呢？第4頁/共28頁第五頁，共29頁。1.2 1.2 透鏡透鏡(tujng)(tujng)的厚度函數(shù)的厚度函數(shù)主要考慮薄透鏡的情況主要考慮薄透鏡的情況 ( (忽略了折射忽略了折射(zhsh)(zhsh)效應(yīng)效應(yīng)) )如果進(jìn)一步忽略光在透鏡表面的反射以及透鏡內(nèi)部吸收造成的損耗，認(rèn)為通過透鏡的光波振幅分布不發(fā)生變化，只是產(chǎn)生一個大小正比于透

5、鏡各點厚度的位相變化，于是透鏡的位相調(diào)制可以表示為：,exp,exp,ltx yjkx yjkL x yL(x,y)L(x,y) 00,1,L x ynx yx ynx y L(x,y)是Q到Q之間的光程：則則 0,expexp1,ltx yjkjk nx y上式具有普遍意義，對于任意面形的薄位相物體，一旦知道其厚度函數(shù)上式具有普遍意義，對于任意面形的薄位相物體，一旦知道其厚度函數(shù)(x,y)(x,y)，就可以根據(jù)該式得到其位相調(diào)制。，就可以根據(jù)該式得到其位相調(diào)制。第5頁/共28頁第六頁，共29頁。下面具體分析一下厚度函數(shù)(x,y)和透鏡主要結(jié)構(gòu)(jigu)參數(shù)(構(gòu)成透鏡的兩個球面的曲率半徑R1

6、和R2)之間的關(guān)系。2222221122222222112112xyxyRRxyxyRR 222221011101121222222022202222,11,11xyx yRRxyRRxyx yRRxyRR 僅考慮僅考慮(kol)(kol)旁軸光旁軸光2201211,2xyx yRR 將透鏡一剖為二將透鏡一剖為二12,x yx yx y 第6頁/共28頁第七頁，共29頁。1.3 1.3 透鏡的復(fù)振幅透鏡的復(fù)振幅(zhnf)(zhnf)透過率透過率根據(jù)厚度(hud)函數(shù)的表達(dá)式，可得到在旁軸近似下，光波通過透鏡時在(x,y)點發(fā)生的位相延遲 0,expexp1,ltx yjkjk nx y220

7、1211,expexp12lxytx yjknjk nRR2201211,2xyx yRR 121111nfRR220,expexp2lktx yjknjxyf常數(shù)項常數(shù)項透鏡位相因子透鏡位相因子(n(n為透鏡材料的折射率為透鏡材料的折射率) )第7頁/共28頁第八頁，共29頁。以上推導(dǎo)的關(guān)系適用(shyng)于各種形式的薄透鏡，而且是在旁軸近似條件下推導(dǎo)出來的。透鏡的作用： 將入射平面波變換為會聚（發(fā)散）球面波 ，如下圖所示。入射平面波變換為球面波，這正是(zhn sh)由于透鏡具有 的位 相因子，能夠?qū)θ肷洳ㄇ笆┘游幌嗾{(diào)制的結(jié)果。22exp2kjxyf第8頁/共28頁第九頁，共29頁。22

8、exp2kjxyf1）若在非旁軸近似條件下，即使透鏡表面是理想球面，透射光波也將偏離理想球面波，即透鏡產(chǎn)生(chnshng)波像差。2）實際透鏡總是有大小的，即存在一個有限大小的孔徑。引入光瞳函數(shù)P(x,y)來表示透鏡的有限孔徑，即1,0P x y透鏡孔徑內(nèi)其他于是透鏡的復(fù)振幅(zhnf)透過率可以完整的表示為：22,exp,2lktx yjxyP x yf,P x y其中，表示透鏡對入射波前的位相調(diào)制；表示透鏡對于入射波前大小范圍的限制。第9頁/共28頁第十頁，共29頁。 回顧一下：利用透鏡實現(xiàn)夫瑯和費(fèi)衍射，可以在透鏡的焦平面上得到(d do)入射場的空間頻譜，即實現(xiàn)傅里葉變換的運(yùn)算。f 透

9、鏡為什么具有這種功能呢？* 根本原因在于(ziy)它具有能對入射波前施加位相調(diào)制的功能，或者說是透鏡的二次位相因子在起作用。 下面將具體分析一下這種作用發(fā)生的具體過程，并深入討論透鏡實現(xiàn)傅里葉變換的一些性質(zhì)。第10頁/共28頁第十一頁，共29頁。U0UlU2dft(x0,y0)Uf 透鏡后焦面上的場是透鏡前端場U1(x,y)的傅立葉變換(空間頻譜) 根據(jù)透鏡的位相調(diào)制(tiozh)功能，透鏡后端場U2(x,y)為:2221,exp2kUx yUx yjxyf從透鏡后端到后焦面光(min un)的傳播屬于菲涅耳衍射，利用菲涅耳衍射公式，后焦面上的場U(x,y)為：221,expexp2fffff

10、kUxyjkfjxyjff2222,expexp2ffkUx yjxyjxxyydxdyff ?2.1 2.1 物體放置在透鏡前物體放置在透鏡前d d處處第11頁/共28頁第十二頁，共29頁。后焦面上(min shn)的場分布為22112,expexp,exp2fffffffkUxyjkfjxyUx yjxxyydxdyjfff 221,1expexp,2ffxxxyffffffkjkfjxyUx yjffF焦面場是透鏡焦面場是透鏡(tujng)(tujng)前端場的傅里葉變換前端場的傅里葉變換( (空間頻譜空間頻譜) )。如上圖所示，距離透鏡如上圖所示，距離透鏡(tujng)(tujng)前

11、端有一物體，其透過率為前端有一物體，其透過率為t(x0,y0)t(x0,y0)。若用振幅為。若用振幅為A A的平面波垂直照明物體，則物體的透射光場為：的平面波垂直照明物體，則物體的透射光場為：00000,UxyA t xy根據(jù)角譜理論，透鏡前端場的角譜為：根據(jù)角譜理論，透鏡前端場的角譜為：1000,xyUx yUxyHffFF22,expxyxyHffjd ff則有：則有：2200,expexp,2fffffxyAkUxyjkfjxyt xyHffjffF第12頁/共28頁第十三頁，共29頁。 上式具有普遍意義，它證明在物體透射場的菲涅耳衍射區(qū)內(nèi)放置一透鏡，在透鏡的后焦面上就可以得到該透射場的

12、傅里葉變換(空間頻譜)。 如果d0，物體在透鏡前方，由于變換式前的二次位相因子，使物體的頻譜產(chǎn)生一個(y )位相彎曲。2222000,expexpexp,2fffffxyAkUxyjkfjxyjd ffUxyjffF22exp1,2ffffxyAkdjxyTjfffff其中，T( )為透過率函數(shù)t( )的頻譜。對應(yīng)的強(qiáng)度(qingd)分布為22,fffffxyAIxyTfff（二次位相彎曲因子）（二次位相彎曲因子）第13頁/共28頁第十四頁，共29頁。 如果(rgu)d=f，物體在透鏡前焦面，二次位相彎曲消失，后焦面的光場分布是物體準(zhǔn)確的傅里葉變換。 如果(rgu)d=0，物體在透鏡前端面，由

13、于變換式前的二次位相因子，使物體的頻譜也產(chǎn)生一個位相彎曲。第14頁/共28頁第十五頁，共29頁。222,exp,2fffffffxyAfkUxyjxyTj dddd2.2 2.2 物體放置物體放置(fngzh)(fngzh)在透鏡后方在透鏡后方沿光波(gungb)傳播方向逐面進(jìn)行計算，最終可獲得透鏡后焦面上的場分布為222,fffffxyAfIxyTddd對應(yīng)的強(qiáng)度分布為第15頁/共28頁第十六頁，共29頁?？偨Y(jié)一下： 在單色平面波照明下，無論物體位于透鏡前方、后方還是緊靠透鏡，在透鏡的后焦面上都可以得到物體的功率譜；對于這樣的照明方式，透鏡后焦面常稱為傅里葉變換平面或（空間(kngjin)）

14、頻譜面。 如果采用球面波照明時，透鏡還能進(jìn)行傅里葉變化嗎？那頻譜面還是焦平面嗎? Answer: Answer: 透鏡還能其傅里葉變換作用，但是透鏡還能其傅里葉變換作用，但是(dnsh)(dnsh)頻譜面不再是焦平面，而是點光源的像面位置。具體推導(dǎo)過程可參考有關(guān)參考書，這里不再贅述。頻譜面不再是焦平面，而是點光源的像面位置。具體推導(dǎo)過程可參考有關(guān)參考書，這里不再贅述。第16頁/共28頁第十七頁，共29頁。Pxx=f tan() x=f sin()= x=f fxffx=cos() /=sin()/ 焦平面(pngmin)上的空間位置坐標(biāo)對應(yīng)的頻率信息第17頁/共28頁第十八頁，共29頁。2.3

15、 2.3 透鏡透鏡(tujng)(tujng)孔徑的影響孔徑的影響引入光瞳函數(shù)P(x,y)來表示透鏡的有限(yuxin)孔徑，1,0P x y透鏡孔徑內(nèi)其他透鏡的復(fù)振幅透過率可以表示為：22,exp,2lktx yjxyP x yf則后焦面上的光場分布為：22,exp,*,2fffffffffxyxyAkUxyjxyTPjffffff,ffxyP x yPffF其中，第18頁/共28頁第十九頁，共29頁。,xP x yrectl卷積的效果是使物體頻譜圖象產(chǎn)生某種程度的模糊，或者說失真。透鏡(tujng)孔徑越小，這種模糊越嚴(yán)重。假定透鏡孔徑(kngjng)是寬度為的矩形函數(shù)，即下圖是物體頻譜與

16、光瞳函數(shù)傅里葉變換卷積的結(jié)果。第19頁/共28頁第二十頁，共29頁。222,exp,*,2fffffffffxyxyAfkUxyjxyTPj dddddd220000000,exp,2ffAfkffUxyjxyt xyP xydddd 物體放置物體放置(fngzh)在透鏡后方時在透鏡后方時物體(wt)的透射光場為00,ffxyffPP xyddddF焦平面上的復(fù)振幅分布為其中，* 若物體被完全照明，則投影光瞳函數(shù)可從式中略去；否則，后焦面上的場分布只是部分物體的傅里葉變換，此時頻譜圖像產(chǎn)生模糊。（投影光瞳函數(shù)）（投影光瞳函數(shù)）第20頁/共28頁第二十一頁，共29頁。 物體物體(wt)放置在透鏡

17、前方時放置在透鏡前方時以 波矢量在y0z平面內(nèi)傳播的平面波分量受透鏡孔徑限制的情況(qngkung)來說明對于譜面光場的影響。（1）002lLd0部分的空間頻率將全部成像在焦平面上第21頁/共28頁第二十二頁，共29頁。0M部分(b fen)的空間頻率將部分(b fen)成像在焦平面上（2）02MlLd第22頁/共28頁第二十三頁，共29頁。02MlLdM部分(b fen)的空間頻率都不能成像在焦平面上。（3）第23頁/共28頁第二十四頁，共29頁?？偨Y(jié)一下：總結(jié)一下：（1）有限大小的透鏡孔徑可能會造成物體頻譜的失真，原因就在于透鏡實際上）有限大小的透鏡孔徑可能會造成物體頻譜的失真，原因就在于

18、透鏡實際上 是一個低通濾波器：低頻成分可以通過，稍高頻率是一個低通濾波器：低頻成分可以通過，稍高頻率(pnl)成分可以部分通過，成分可以部分通過，高高 頻部分則完全被濾出。頻部分則完全被濾出。（2）因此由于透鏡有限孔徑的影響，后焦面上不能得到準(zhǔn)確的物體頻譜，給傅）因此由于透鏡有限孔徑的影響，后焦面上不能得到準(zhǔn)確的物體頻譜，給傅 里葉變換結(jié)果帶來誤差，頻率里葉變換結(jié)果帶來誤差，頻率(pnl)越高，誤差越大。我們把這種現(xiàn)象稱為漸越高，誤差越大。我們把這種現(xiàn)象稱為漸暈暈 效應(yīng)。效應(yīng)。（3）采用盡可能大的透鏡孔徑，或物體盡可能靠近透鏡，可以減小漸暈的影響。）采用盡可能大的透鏡孔徑，或物體盡可能靠近透鏡，可以減小漸暈的影響。第24頁/共28頁第二十五頁，共29頁。光學(xué)頻譜分析的基本原理就是利用透鏡的傅里葉變換(binhun)性質(zhì)來產(chǎn)生物體的空間頻譜，然后對它進(jìn)行測量、分析來研究物體的空間結(jié)構(gòu)。上圖所示為二維光學(xué)頻譜分析系統(tǒng)的光路。S為相干點光源，L1為準(zhǔn)直透鏡，L2為傅里葉變換透鏡。P1平面（L2前焦面）放置輸入物體，其復(fù)振幅透過(tu u)率為t(x1,y1)。在P2平面（L2后焦面）上，輸出光場分布正比于物體的空間頻譜，即 22112121112,expU xykt x yjx xy ydx dyf 22,xy