第四講分式的概念、性質(zhì)及運(yùn)算

1、分式的概念、性質(zhì)及運(yùn)算分式包括分式的概念、分式的基本性質(zhì)、分式的運(yùn)算、簡(jiǎn)單的分式方程等主要內(nèi)容.從整式到分式，我們可以形象地說是從“平房”到了 “樓房”在腳手架上活動(dòng)，無疑增加了難點(diǎn)， 體現(xiàn)在：解分式問題總是在分式有意義的前提下進(jìn)行的,因此必須考慮字母取值范圍;分式運(yùn)算中的通分 和約分是技巧性較強(qiáng)的工作，需要靈活處理.分式的運(yùn)算與分?jǐn)?shù)的運(yùn)算相似，是以分式的基本性質(zhì)、運(yùn)算法則、通分和約分為基礎(chǔ)，是以幣式的變 形、因式分解為工具.分式的加減運(yùn)算是分式運(yùn)算的難點(diǎn)，突破這一難點(diǎn)的關(guān)鍵是能根據(jù)問題的特點(diǎn)恰當(dāng) 地通分，常用通分的策略與技巧有：1. 化整為零，分組通分；2. 步步為營，分步通分；3. 減輕負(fù)

2、擔(dān)，先約分再通分；4. 裂項(xiàng)相消后通分等例題求解i例“要使分式肯有意義,則兀的取值范圍是思路點(diǎn)撥當(dāng)分式的分母不為零時(shí)，分式有意義，由于分式是繁分式，因此考慮問題應(yīng)細(xì)致周密.注：在新事物面前，人們往往習(xí)慣于把它們與原有的、熟知的事物相比，這里蘊(yùn)涵的思想方法就是類 比.學(xué)習(xí)分式時(shí)，應(yīng)注意：(1) 分式與分?jǐn)?shù)的概念、性質(zhì)、運(yùn)算的類比；(2) 整數(shù)可以看做是分?jǐn)?shù)的特殊情形，但整式卻不是分式的特殊情形；(3) 分式需要討論宇母的取值范圍，這是分式區(qū)別于幣式的關(guān)鍵所在.【例2】 已知 嚴(yán)+ 4二 ，其中a、b為常數(shù)，則4a-b的值為()x2-x-2x-2 x + 1a. 7b. 9 c. 13 d. 5【

3、例4】 解下列分式方程(紐)：門、5兀一96x-84兀一192x-2(1)+=+x-19x-9x-6x-8aba + bbeb + ccac + ci丄_ 31'41=5學(xué)力訓(xùn)練21.（1）要使分式上二一沒有意義，則a的值為.< 1 + 3。1 +2a（2）若0-5|和（b + 4）2互為相反數(shù)，貝ip綽+（?_纟“（丄+ ；）七2+2" +滬）的值為 a-b b a a b2已知整數(shù)且占+總+詈為整數(shù)則所有符合條件的血的和為 3-已知為與島的和等于貝"，*4學(xué)校用一筆錢買獎(jiǎng)品，若以1枝鋼筆和2本日記本為一份獎(jiǎng)品，則町買60份獎(jiǎng)品；若以1枝鋼筆和3 本日記本為

4、一份獎(jiǎng)詁，則可買50份獎(jiǎng)品.那么，這筆錢全部用來買鋼筆可以買枝.5.已知式子（z（x + 1）a. +1卜i-1b. -1的值為0,c. 86.化簡(jiǎn)則x的值為（d. 一1 或 811i（x + l）（x + 2）十（兀 + 2）（兀 + 3） * （兀 + 3）（兀 + 4）（兀 + 4）（兀 + 5）的結(jié)果是（a.4x2 +6x+5b.3x2 +6x+5c.2x2 +6x+5d.x2 +6x + 5（人連市“冇英杯”競(jìng)賽題）7.若x取整數(shù),則使分式貂的值為整數(shù)的x值有（a. 3個(gè)b. 4個(gè) c. 6個(gè) d. 8個(gè)（江蘇省競(jìng)賽題）8.若 a、b c 滿足 a+b+c二0,abc=8,則丄+丄+

5、丄的值是（a b c11.若 x+y+z=3a（a0）,則（心一心“）（二“）+（，）（）的值為（x 6z）" +（y q）十（z q）12-若關(guān)于x的方程鶉的解為正數(shù)，則a的収值范圍是（湖北省選拔賽試題）13.方程4/一 2xy12x+5y+ll二0有組正整數(shù)解.（“五羊杯”竟賽題）14°17.分式6+ 12x十1（）可取的最小值為（）x + 2x + 2a. 4 b. 5 c. 6 d.不存在c.零d.不能確定19.解下列方程(組)：/八 13-2兀 17-2x19一2無 11-2x(1 ) +=+11 2x 15 2x 17 2x 9 2xel分式的«e念、

6、性質(zhì)及運(yùn)算【例題求解】ft 1«3*_(a-b)h+a + 2b處 2 j+lxl-x-2(1)<2)4/ = 4a i 4a _ 亠.，(對(duì)q 工(y+刃(«y+z)(y+«r)(3)原式=磴滬丁丑滬'才cr j£） + z（工+刃原靈=（卄，心一刃（亠-¥）=0_ （工i）（f +工+11 （工+1）（攵2 大+ 1）a-b=3a + 2b=48/+呼沖窯=(壬+亠)+( (乂jtkz 十 y)十y十 .22 + 1)= x-1x+2 _22+ »=(ar+1)(#+工+1) (x l)(x2 x+1)(x4-l)(

7、x1) x+1 x 1(x+l)(xl)設(shè) 尤一z=bz«r=c則abcb陌古二at.w<</_ _ac(ca)+a6(a6)十6c(6c)八 j(a 6)(6-c)(6 c)(ca)(ca)(c6)(a 6)(6c)(ca)(ca)(a 6)(f6)=(a 6)(frc)(ca)（1原方程可以為 c-呂）+ （1 + ±）=（4 + ±）+ （-10-10（大 一 9）（才一 19）（2）原方程組可化為什+扌=3)，即占12314 *（工_6）（©8）'故（工9）（工一19） = （a6（才一8片 解得 x=yri 11+得萬+萬+

8、三=6一得c=y,一得6=1因卄6|w+6j + 1780而 n+6|n3+6s故卄611780.得托=4 14,83,172.350,439.884 1774.所以所有吉祥數(shù)的和為 4 + 14 + 83+172 + 350+439 + 884 + 1774 = 3720 “+(100 = 2200卄 10000 = 2(八 n2-100n+5000 (100-n)2-100(100-») + 5000_-100» + 5000 -原式=49x2 + 1 = 99.【學(xué)力訓(xùn)練】2. 123. 2.2l (10 或 1*$(2)寺4. 100設(shè)鋼筆x元/枝，日記本y元/本側(cè)

9、60（工+2y） = 50a + 3w，得工=3力空卑空1005. c6. a7. b 募# = 3 +石p(2工一 1)|6.2才一1 = ±6土3,土2,±1.8< b9. (1)16(2原式=(3h+6) + j (2工+6) =bcca，、一一丄一丄+丄+丄(a 6)(a c) (6c)<6a)6) a_b ac bc ba ca(4)"j+1x(3)原式二令卄”rx-t-4oo打加乙兩次買的大米平均價(jià)格更低些.10. （1）設(shè)隧道長(zhǎng)為工米火車原速度為每分鐘y米則/丁+400工+4oo = o,，解得丁+400 y+100"卄 100

10、11. * 設(shè) xa = m9ya = n,za = p.則+ p = 原式乂 二*?；常.12. 工=寺（2-八由題意得 y（2-a）0且寺（2-"2.得av2且占一413. 原方程可化為（5 2工），=4x2+ 12%11 y= 2z-1 + ?工15，2工一5|6 2工一5=士 1 或士3 或士2 或±6得 x=3 y=ll或工=4q=9,共2組正整數(shù)解14. 3.469 或 1115. a由條件得 £士中，也+1比+】中+ 1,吐吐£吐吐£寺±£, cabc a ocabcao16. c 17. a 原式=6- &a

11、mp;+二 + 18. c 由條件得 +c2 a2 = 26ct a2+6 c2 = 2a6» a2+c: 2ac19（1）原方程可化為（1 +尋）+（1 +尋）=（1 +趕）+（1 +島），即訂雋一耳=舄一_1_ =八廠亦 疑一尹（112刃（9一2刃=（17 2才）（152才）得才=孕15-2t （11-2j-）（9-2x） （17-2 才 （】5 2才）2（2）原方程化為茅壬|工乂01+夕工0t + h01 +丄x3x±23工+227+7于是得如0 文工一 1 占-寺2故原方程的解為*一專且才工一120. （1設(shè)甲、乙、丙三隊(duì)獨(dú)做所需的天數(shù)分別為匸、）、2天，則才=“ 1 l-=畀 得0十=弋+負(fù)+竺,y zyjf. i1jtz1 _xy11 i_ _ =xy+xzyz 同理a+ l xyjcz+yz c+1 xy+yz+yz 取