高中數(shù)學(xué)數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入521復(fù)數(shù)的加法與減法522復(fù)數(shù)的乘法與除法學(xué)案北師大版選修22

1、2.1 復(fù)數(shù)的加法與減法2.2 復(fù)數(shù)的乘法與除法1. 理解共軛復(fù)數(shù)的概念.( 重點(diǎn) ) 2. 掌握復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則與運(yùn)算律.( 重點(diǎn)、難點(diǎn) ) 基礎(chǔ)初探 教材整理 1 復(fù)數(shù)的加法與減法閱讀教材 p103“例 1”以上部分，完成下列問題. 1. 復(fù)數(shù)的加法設(shè)abi(a，br ) 和cdi(c，dr) 是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，定義復(fù)數(shù)的加法如下：(abi)(cdi) (ac)(b d)i. 2. 復(fù)數(shù)的減法設(shè)abi(a，br ) 和cdi(c，dr) 是任意兩個(gè)復(fù)數(shù)，定義復(fù)數(shù)的減法如下：(abi)(cdi) (ac)(b d)i. 復(fù)數(shù)z1212i ，z2122i ，則z1z2等于 ( ) a.0 b.

2、3252i c.5252i d.5232i 【解析】z1z2 212 122 i 5252i. 【答案】c 教材整理 2 復(fù)數(shù)的乘法與除法閱讀教材 p104“練習(xí)”以下p106，完成下列問題. 1. 復(fù)數(shù)的乘法法則設(shè)z1abi ，z2cdi(a，b，c，d r) ，則z1z2(abi)(cdi) (acbd)(adbc)i. 2. 復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律對(duì)任意復(fù)數(shù)z1，z2，z3c，有交換律z1z2z2z1結(jié)合律(z1z2) z3z1(z2z3) 乘法對(duì)加法的分配律z1(z2z3) z1z2z1z33. 共軛復(fù)數(shù)如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)，那么這樣的兩個(gè)復(fù)數(shù)叫作互為共軛復(fù)數(shù).復(fù)數(shù)z的共軛

3、復(fù)數(shù)用z來表示，即z-abi ，則zabi. 4. 復(fù)數(shù)的除法法則設(shè)z1abi ，z2cdi(cdi 0) ，則z1z2abicdiacbdc2d2bcadc2d2i. (1 i)22i2i_. 【解析】(1 i)22i2i2i （2i ）2535145i. 【答案】35145i 質(zhì)疑手記 預(yù)習(xí)完成后，請(qǐng)將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問 1：解惑：疑問 2：解惑：疑問 3：解惑： 小組合作型 復(fù)數(shù)的加法與減法運(yùn)算(1)1312i (2 i) 4332i_. (2) 已知復(fù)數(shù)z滿足z13i 52i ，求z. (3) 已知復(fù)數(shù)z滿足 |z| z13i ，求z. 【精彩點(diǎn)撥】(1) 根

4、據(jù)復(fù)數(shù)的加法與減法法則計(jì)算. (2) 設(shè)zabi(a，br)，根據(jù)復(fù)數(shù)相等計(jì)算或把等式看作z的方程，通過移項(xiàng)求解. (3) 設(shè)zxyi(x，yr)，則 |z| x2y2，再根據(jù)復(fù)數(shù)相等求解. 【自主解答】(1)1312i(2 i) 4332i1324312132i 1i. 【答案】1i (2) 法一：設(shè)zxyi(x，y r) ，因?yàn)閦13i 52i ，所以xyi (1 3i) 52i ，即x15 且y3 2，解得x4，y1，所以z4 i. 法二：因?yàn)閦13i 52i ，所以z(5 2i) (13i) 4i. (3) 設(shè)zxyi(x，y r) ，則 |z| x2y2，又 |z| z 13i ，所

5、以x2y2xyi13i ，由復(fù)數(shù)相等得x2y2x1，y3，解得x 4，y3，所以z 43i. 1. 復(fù)數(shù)加法與減法運(yùn)算法則的記憶(1) 復(fù)數(shù)的實(shí)部與實(shí)部相加減，虛部與虛部相加減. (2) 把 i 看作一個(gè)字母，類比多項(xiàng)式加、減法中的合并同類項(xiàng). 2. 當(dāng)一個(gè)等式中同時(shí)含有|z| 與z時(shí)，一般要用待定系數(shù)法，設(shè)zabi(a，br). 再練一題 1.(1) 復(fù)數(shù) (1 i) (2 i) 3i 等于 ( ) a.1 i b.1i c.i d. i 【解析】(1 i) (2 i) 3i (1 2) ( i i 3i) 1i. 故選 a. 【答案】a (2) 已知 |z| 3，且z3i 是純虛數(shù)，則z_

6、. 【解析】設(shè)zxyi(x，yr) ，x2y23，且z3i xyi 3i x(y3)i是純虛數(shù)，則x0，y30，由可得y3. z3i. 【答案】3i 復(fù)數(shù)的乘法與除法運(yùn)算已知復(fù)數(shù)z11i ，z232i. 試計(jì)算：(1)z1z2和z41；(2)z1z2和z22z1. 【精彩點(diǎn)撥】按照復(fù)數(shù)的乘法和除法法則進(jìn)行. 【自主解答】(1)z1z232i 3i 2i25i. z41 (1 i)22(2i)24i2 4. (2)z1z21i32i（1 i ）（ 32i ）（ 32i ）（ 32i ）1 5i13113513i. z22z1（3 2i ）21i512i1 i（512i ）（ 1i ）（ 1i ）

7、（ 1i ）717i272172i. 1. 實(shí)數(shù)中的乘法公式在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立. 2. 復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算次序同實(shí)數(shù)的四則運(yùn)算一樣，都是先算乘除，再算加減. 3. 常用公式(1)1i i ；(2)1i1ii ；(3)1i1i i. 再練一題 2.(1) 滿足z izi(i為虛數(shù)單位 )的復(fù)數(shù)z( ) a.1212i b.1212i c.1212i d.1212i (2) 若復(fù)數(shù)z滿足z(1 i) 2i(i為虛數(shù)單位 ) ，則 |z| ( ) a.1 b.2 c.2 d.3 【解析】(1) zizi ，zi zi ， i z(i 1). zii 1i （ 1i ）（ 1i ）（ 1i ）1i212

8、12i. (2) z(1 i) 2i ，z2i1 i2i （ 1i ）21i ，|z| 12 122. 【答案】(1)b (2)c 探究共研型 共軛復(fù)數(shù)的應(yīng)用探究 1 兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)的和一定是實(shí)數(shù)嗎？兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)的差一定是純虛數(shù)嗎？【提示】若zabi(a，br) ，則z-abi ，則zz- 2ar. 因此，和一定是實(shí)數(shù)；而zz-2bi. 當(dāng)b0 時(shí)，兩共軛復(fù)數(shù)的差是實(shí)數(shù)，而當(dāng)b0 時(shí)，兩共軛復(fù)數(shù)的差是純虛數(shù). 探究 2 若z1與z2是共軛復(fù)數(shù)，則|z1| 與|z2| 之間有什么關(guān)系？【提示】|z1| |z2|. 已知zc，z-為z的共軛復(fù)數(shù)，若zz-3iz-13i ，求z. 【精彩點(diǎn)撥】設(shè)zab

9、i(a，br)，則z-abi. 代入所給等式，利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算及復(fù)數(shù)相等的充要條件轉(zhuǎn)化為方程組求解. 【自主解答】設(shè)zabi(a，b r) ，則z-abi ，(a，br) ，由題意得 (abi)(abi) 3i(abi) 13i ，即a2b23b3ai 13i ，則有a2b23b1， 3a3，解得a 1，b0或a 1，b3.所以z 1 或z 13i. 再練一題 3. 已知復(fù)數(shù)z1( 1i)(1 bi) ，z2a2i1i，其中a，br. 若z1與z2互為共軛復(fù)數(shù)，求a，b的值 . 【解】z1( 1 i)(1bi) 1bi i b ( b1) (1 b)i ，z2a2i1i（a 2i ）（ 1i ）

10、（1i ）（ 1i ）aai 2i 22a22a22i ，由于z1和z2互為共軛復(fù)數(shù)，所以有a22b1，a22（ 1b），解得a 2，b1. 構(gòu)建體系 1. 設(shè)z12i ，z215i ，則 |z1z2| 為( ) a.526 b.5 c.25 d.37 【解析】|z1z2| |(2 i) (1 5i)| |3 4i| 32（ 4）25. 【答案】b 2. 已知 i 是虛數(shù)單位，則( 1i)(2 i) ( ) a.3 i b.13i c.3 3i d.1i 【解析】( 1i)(2i) 13i. 【答案】b 3. 設(shè)復(fù)數(shù)z1 1i ，z2x2i(xr) ，若z1z2r，則x _. 【解析】z11i

11、 ，z2x2i(xr) ，z1z2 (1i)(x2i) (x 2) (x2)i. z1z2r，x20，即x 2. 【答案】 2 4. 若21 iabi(i為虛數(shù)單位，a，br) ，則ab_. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)： 94210084】【解析】因?yàn)?1i2（ 1i ）（1i ）（ 1i ）1i ，所以 1i abi ，所以a1，b 1，所以ab2. 【答案】2 5. 已知復(fù)數(shù)z滿足 |z| 5，且 (1 2i)z是實(shí)數(shù)，求z. 【解】設(shè)zabi(a，br) ， 則(1 2i)z(1 2i ) (abi) (a2b) (b2a)i ，又因?yàn)?(1 2i)z是實(shí)數(shù)，所以b2a0，即b2a，又 |z| 5，所以a

12、2b25，解得a1，b2，z12i 或 1 2i ，z-12i 或 1 2i ，z-(1 2i). 我還有這些不足：(1) (2) 我的課下提升方案：(1) (2) 學(xué)業(yè)分層測(cè)評(píng)( 十九 ) ( 建議用時(shí)： 45 分鐘 ) 學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo) 一、選擇題1. 實(shí)數(shù)x，y滿足z1yxi ，z2yi x，且z1z22，則xy的值是 ( ) a.1 b.2 c.2 d.1 【解析】z1z2yxi (yi x) xy(xy)i 2，xy2，xy0，xy1. xy1. 【答案】a 2. 已知復(fù)數(shù)z3i 333i ，則z ( ) a.0 b.6i c.6 d.66i 【解析】z3i 333i ，z(3 3i) (3

13、i 3) 66i. 【答案】d 3. 復(fù)數(shù)z32ai ，ar，且z21232i ，則a的值為 ( ) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)： 94210085】a.1 b.2 c.12d.14【解析】由z32ai ，ar，得z2322232ai (ai)234a23ai ，因?yàn)閦21232i ，所以34a212，3a32，解得a12. 【答案】c 4.a，b分別是復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，o是原點(diǎn)，若 |z1z2| |z1z2| ，則三角形aob一定是 ( ) a.等腰三角形b.直角三角形c.等邊三角形d.等腰直角三角形【解析】復(fù)數(shù)z1對(duì)應(yīng)向量oa，復(fù)數(shù)z2對(duì)應(yīng)向量ob. 則|z1z2| |oaob| ，|z1z

14、2| |oaob| ，依題意有 |oaob| |oaob|. 以oa，ob為鄰邊所作的平行四邊形是矩形. aob是直角三角形. 【答案】b 5. 已知復(fù)數(shù)z3i（13i ）2，z是z的共軛復(fù)數(shù)，則zz等于 ( ) a.14b.12c.1 d.2 【解析】z3i（13i ）23i2i（13i ）2i （13i ）（ 13i ）2i13ii （13i ）434i4，z34i4，zz14. 【答案】a 二、填空題6. 復(fù)數(shù)（12i ）234i的值是 _ . 【解析】（ 12i ）234i34i34i 1. 【答案】 1 7. 已知a2iibi(a，br) ，其中 i 為虛數(shù)單位，則ab_. 【解析】

15、a2iibi ，a2i (bi)i 1bi ，a 1，b2，ab1. 【答案】1 8. 已知復(fù)數(shù)z滿足z|z| 28i ，則復(fù)數(shù)z_. 【解】法一：設(shè)zabi(a，b r). 則|z| a2b2，代入方程得abi a2b2 28i. aa2b22，b8，解得a 15，b8，z 158i. 法二：原式可化為z2|z| 8i ，|z| r， 2|z| 是z的實(shí)部，于是 |z| （2 |z| ）282，即|z|2684|z| |z|2， |z| 17. 代入z2 |z| 8i ，得z 158i. 【答案】 158i 三、解答題9. 在復(fù)平面內(nèi)a，b，c三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1， 2i ， 12i. (

16、1) 求ab，bc，ac對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)；(2) 判斷abc的形狀；(3) 求abc的面積 . 【解】(1)ab對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為2i 11i ，bc對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為12i (2 i) 3i ，ac對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為12i 1 22i. (2) |ab| 2， |bc| 10，|ac| 822，|ab|2|ac|2|bc|2，abc為直角三角形. (3)sabc1222 22. 10. 已知復(fù)數(shù)z滿足z( 13i)(1i) 4. (1) 求復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)；(2) 若wzai ，且復(fù)數(shù)w對(duì)應(yīng)向量的模不大于復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)向量的模，求實(shí)數(shù)a的取值范圍 . 【解】(1)z 1 i 3i 34 24i ，所以復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)

17、為24i. (2)w 2 (4 a)i ，復(fù)數(shù)w對(duì)應(yīng)向量為( 2， 4a) ，其模為4（ 4a）220 8aa2. 又復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)向量為( 2， 4) ，其模為25. 由復(fù)數(shù)w對(duì)應(yīng)向量的模不大于復(fù)數(shù)z所對(duì)應(yīng)向量的模，得208aa220，a28a0，a(a8)0，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是 8a0. 能力提升 1.(2016 寧夏高二檢測(cè))設(shè)z1，z2是復(fù)數(shù)，則下列命題中的假命題是( ) a.若|z1z2| 0，則z1z2b.若z1z2，則z1z2c.若|z1| |z2| ，則z1z1z2z2d.若|z1| |z2| ，則z21z22【解析】a，|z1z2| 0?z1z20?z1z2?z1z2，真命

18、題；b，z1z2?z1z2=z2，真命題；c，|z1| |z2| ? |z1|2|z2|2?z1z1z2z2，真命題；d，當(dāng) |z1| |z2| 時(shí)，可取z1 1，z2i ，顯然z21 1，z22 1，即z21z22，假命題 . 【答案】d 2. 復(fù)數(shù)zxyi(x，yr) 滿足條件 |z4i| |z2| ，則 2x4y的最小值為 ( ) a.2 b.4 c.42 d.16 【解析】由 |z4i| |z2| ，得|x(y4)i|x2yi| ，x2(y4)2(x2)2y2，即x2y3，2x4y2x22y22x2y22342，當(dāng)且僅當(dāng)x2y32時(shí)， 2x4y取得最小值42. 【答案】c 3. 若復(fù)數(shù)z7ai2i的實(shí)部為3，則z的