聚焦數(shù)列裂項求和的解法探究

1、聚焦數(shù)列裂項求和的解法探究【摘 要】裂項求和是數(shù)列求和的重要方法之一，教學(xué)以兩種經(jīng)典模型為主在具體應(yīng)用中，不能解決經(jīng) 典模型以外的裂項求和問題.文中從一道裂項求和問題的解決方式出發(fā)，對裂項求和的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行了分 析，應(yīng)用特殊與一般、轉(zhuǎn)化及類比等數(shù)學(xué)思想方法提出了兩個裂項求和的一般模型，使裂項求和的應(yīng)用不 局限于與等差數(shù)列有關(guān)的裂項求和在應(yīng)用一般模型的過程中，旨在提升學(xué)生對問題的轉(zhuǎn)化能力，并掌握 分析裂項求和的一般思路與策略.【關(guān)鍵詞裂項求和；分子；分母在數(shù)列的綜合性問題中，符合裂項求和的通項公式具有特殊的結(jié)構(gòu)特征，這種特姝結(jié)構(gòu)在兩個經(jīng)典模 型中，局限于與等差數(shù)列有關(guān)的通項公式，從而也體現(xiàn)了兩個

2、經(jīng)典模型是裂項求和的兩個特殊模型，并不 是一般模型.文屮結(jié)合一道裂項求和題目的求解過程，引發(fā)對裂項求和結(jié)構(gòu)特征的思考，將原冇特殊模型 轉(zhuǎn)化提升為一般模型.1問題的背景引例:已知數(shù)列%的通項公式色2n + l求%的前幾項和sn.2斤 + 1_ (斤 + 1)2_比2 _11(n + l)2(h)2 "(斤 + 1)2(72)2 一產(chǎn)(" + 1)2s + l)2n(n + 2)s + l)2這個題日是裂項求和問題，在學(xué)生思考求和時，根據(jù)通項公式的形式，容易排除公式求和、錯位相減 求和、倒序求和，但是也很難與裂項求和聯(lián)系起來，這就不得不對裂項求和進(jìn)行新的思考學(xué)生不能很好 的將問

3、題轉(zhuǎn)化為裂項求和，主要原因在于，教學(xué)中冇關(guān)裂項求和主要是下列兩個經(jīng)典模型：模型1:等差數(shù)列a,其中 f e n*,色工0,公差為d (d工0),=(- )zn、叭林 kd ah an+k模型2：等差數(shù)列%,其中vhg/v*,>0,公差為d (dho)(r w n*).上述兩個經(jīng)典模型不能應(yīng)用于引例所處理的題h,它們的特殊性在于：均與等差數(shù)列冇關(guān)引例中的 通項公式相較而言就顯得更一般，這就引起了對引例與經(jīng)典模型在應(yīng)用裂項求和中轉(zhuǎn)化的共同性的思考.2裂項求和的一般模型2.1模型1的推廣裂項求和的關(guān)鍵是如何將-項裂為兩項的差觀察引例的解題過程，核心步驟為需尹問題在轉(zhuǎn)化過程中應(yīng)用了分子與分母z間

4、的內(nèi)在聯(lián)系，若記色=號，則bj=acln =j,不難發(fā)現(xiàn)分+幾an 色+】子為分母兩項的差.模型1屮，因數(shù)列是等差數(shù)列，分子的常數(shù)1是分母兩項差的-l倍數(shù)，可將分子屮的1按照下 kd111, , （d"+r 一 d"）11 i列方式轉(zhuǎn)化為：1=kd=一士 色），從而發(fā)現(xiàn)模型1屮=妲=（）kd kdatlan+k anan+k kd an afuk的核心轉(zhuǎn)化步驟與引例完全一致，歸納得可以裂項的結(jié)構(gòu)特征為ua_b）丄一丄），即分子與分母兩abb a項的差具有倍數(shù)關(guān)系.因此，將模型1推廣為更一般的模型，得到模型 3：數(shù)列anf x中 x/hwn*,%ho,則a,l）= m（- ）

5、（其中 kenmo'）an+k %an n+k模型3的特征：（1）分母為同一數(shù)列中兩項（一般為相鄰兩項）的積；（2）分子為分母中兩項的差或差的倍數(shù).注意:an的數(shù)列類型不局限于等差數(shù)列，可以推廣至各種形式的數(shù)列，只需要求匕中的所有項均不為0.可以裂項的結(jié)構(gòu)特征為ua_b）丄丄），能否求和還需要看間的聯(lián)系，因此需耍成abb a為同一數(shù)列中的某兩項（一般為相鄰兩項），這就使得原來的模型1成為了模型3的一個特例，將%局限于等差數(shù)列的特殊情形推廣到符合要求的一-般數(shù)列.2. 2模型2的推廣2.1中針對模型1的特征，將其推廣為模型3,由裂項核心思路的一致性，類比模型1推廣為模型3 的方式，可將模

6、型2推廣為模型4,模型4如下：模型4：數(shù)列匕,其中v«e7v*,>0,=加（血+& -屁）（其中 r模型4的特征：（1）分母為同一數(shù)列中兩項（一般為相鄰兩項）平方根的和;（2）分子為分母中兩項的差或差的倍數(shù).注意：仏的數(shù)列類型不局限于等差數(shù)列，可以推廣至各種形式的數(shù)列，只需要求%中的所有項均為正項.模型4可以裂項的結(jié)構(gòu)與模型3略有區(qū)別，它可以裂項的結(jié)構(gòu)特征為 皆_/=饑倆_頂）,能 >ja+y/b否求和依然需耍間存在聯(lián)系，因此人b仍然耍是同一數(shù)列中的某兩項（一般為相鄰兩項），這就使得 原來的模型2成為了模型4的一個特例，將色局限于等差數(shù)列的特殊情形推廣到符介要求的

7、一般數(shù)列.通過上述兩部分的分析，不難發(fā)現(xiàn)裂項求和轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵為數(shù)列的通項公式能否轉(zhuǎn)化、如何轉(zhuǎn)化為符合裂項的結(jié)構(gòu)特征即:k(a b)abk(b-a)iiy 3 一般模型的應(yīng)用山于模型4應(yīng)用于較復(fù)雜的通項公式與應(yīng)用模型3的一般思路和策略相同，并且沒有發(fā)現(xiàn)有相關(guān)題目 的考查，所以一般模型的應(yīng)用主要以模型3為主.應(yīng)用過程屮的一般的解題策略為：若求和可能是裂項求 和，在應(yīng)川模型3時，從模型的兩個特征出發(fā)，先考慮分母是否是同一個數(shù)列屮某兩項的積，再考慮分子 是否與這兩項的差有倍數(shù)關(guān)系從解決裂項求和的一般策略里，能夠使得學(xué)牛轉(zhuǎn)化問題分析問題的能力提 高到一個新的層次，不僅僅是記住模型，更重要的是提升學(xué)生分析問

8、題、解決問題的能力.下而通過3個題目的應(yīng)用簡要分析應(yīng)用模型3解題的一般思路.在選擇求和方法時，例1、例2、例3 均可排除公式求和、錯位相減求和及倒序求和.例1、（10年湖南）給岀卜面的數(shù)表序列：其屮表n（ n = 1,2,3,.）表| 表2表3ii 3 i 3 5有n行，第1行的n個數(shù)是1,3,5,.2ml,從笫2行起，每行中44 8的每個數(shù)都等于它肩上的兩數(shù)之和.（1）寫岀表4,驗證表4各12行中數(shù)的平均數(shù)按從上到下的順序構(gòu)成等比數(shù)列，并將結(jié)論推廣到表n（n>3）（不要求證明）；（2）每個 數(shù)列中最后一行都只有一個數(shù)，它們構(gòu)成數(shù)列1,4,12，記此數(shù)列為仇,求和：紀(jì)a邛分析：第1問得b

9、n = n 2/,-'則第2問求和的通項公式亠b扎、(/? + 2)2曲2山0 + 1)2"的分母恰好是數(shù)列仇的第77,77 + 1項；由分子化+2 =4（仇+| -仇）是分母兩項差的4倍，則=4（爲(wèi)-仇）從而轉(zhuǎn)化為裂項求和問題.例1在裂項求和的過程中，通項公式是明確的，在應(yīng)用模型3時，解題的一般思路能夠得到氏接應(yīng)用, 即可以克接考慮分母為某個數(shù)列中兩項的積，并計算分子與這兩項差的倍數(shù)關(guān)系.4 io例2、（06年全國卷i）設(shè)數(shù)列%的前”項的和5n=-n-x2n+,+-, “1,2,3,求首項q與no通項匕；（2）設(shè)7；= , n = l,2,3,.,證明：s “；=i2分析：

10、笫1問得色=4”2",乞二丄（4曲-32呵+2）,則笫2問求和的通項公式7；324曲-32曲+2如何將7；轉(zhuǎn)化為符合裂項要求的結(jié)構(gòu)特征？并且分母為同-數(shù)列某兩項的積.不難發(fā)現(xiàn)分母通過換元可分32"32"解因式,得該人屮分母的兩項差為常數(shù)，與分子并無倍數(shù)-2"關(guān)系，通過比對，發(fā)現(xiàn)分母再提公因數(shù)2可符合模型3要求，啊嚴(yán)討麗一）（27）（2一）此時7；的分母屮有2“ -1,2-1恰好是同一個數(shù)列的第弘/? +1項，記hn =2?,-1,則分子3 2心恰好是3分母兩項差bfl+i-bn=（2,+l-）- （2"1） =2的刁倍，則t 二 號2"

11、;二蓋（2曲 _1） （2"_1）二3” 一 （2" - 1）（2曲-1） 一（2" - 1）（2川-1）一 尸 2" -1 2/,+1-l從而轉(zhuǎn)化為裂項求和問題.例2在裂項求和的過程中，通項公式需要通過轉(zhuǎn)化才能應(yīng)用模型3,解題的一般策略指導(dǎo)學(xué)生冇了一 般的思路，轉(zhuǎn)化分母與分子間的關(guān)系.例3、（06年山東）已知q=2，點（y”+）在函數(shù)f（x） = x2 + 2x的圖象上.證明：數(shù)列l(wèi)g（l + an）是等比數(shù)列； 設(shè)7； =（14-坷）（1 +）（1 + %），求直及數(shù)列an的通項；2,求數(shù)列仇的前川項和s”，并證明s”+= 1.3人一 1分析：題日的

12、難點在于第3問數(shù)列化的前項和s的求解，由前2問及題意得色+嚴(yán)尤+2% ,在上面的步驟屮，無論仇的通項用表示，還是用具體的關(guān)于”的式子表示，分母都只有數(shù)列色屮 的1項即第兀+1項，在選擇求和方法時，較為貼近裂項求和，在轉(zhuǎn)化的過程中先考慮分母，兩項的積中的另一項選擇誰？根據(jù)經(jīng)驗及檢驗，選擇第斤項.h =丄 |1 2（% +1）2（4 +1）二2（尤+色）2（%廠）或12 3汐232門（3燈一1）2（32"3肝）” 色+2 a；t + 2atl一h =卜_一一“3 _13対+131（3才 _ 1）（37）（3忙 1）（3肝 一1）此時分子與分母中兩項的差剛好具有倍數(shù)關(guān)系：分子為分母兩項差的

13、兩倍.則b =2&+色）=2（%-色）=2（丄丄）或an+ian色+4“"an 匕+12（3? -3? ）_2（3? -1）-（3? -1）（3” - 1）（3汐-i）"（3” - 1）（3燈-1）從而轉(zhuǎn)化為裂項求和問題.例3應(yīng)用裂項求和的難度更人，主要原因在于通項公式的形式與模型3的形式相比較，差距較大，需 要通過較高的配湊技巧達(dá)到模型3的形式，從而應(yīng)川裂項.這一問還有另一個解法，以消元為主要思想， 在這里不做介紹從學(xué)生學(xué)習(xí)接受的角度，更多的學(xué)生覺得用裂項求和的配湊更易理解，同時也使得裂項 求和的模型3的一般思路有了更廣泛的應(yīng)用.4模型的再思考一般模型在處理裂項求和問題時，能夠體現(xiàn)對模型的深入理解應(yīng)從模型結(jié)構(gòu)入手，如文屮所提到的兩 個典型結(jié)構(gòu)ua-b）或可以裂項,能否求和還決定于的關(guān)系.再具體問題應(yīng)用屮，需要將ab 4a+4b實際問題聯(lián)系裂項的結(jié)構(gòu)進(jìn)行轉(zhuǎn)化，進(jìn)而實施裂項求和.這也打破了原有模型的局限性，使得裂項求和能 夠應(yīng)川于更廣闊的范圍當(dāng)然，是否還有其他結(jié)構(gòu)能應(yīng)用裂項求和，文章沒有進(jìn)行進(jìn)一步的思考，只是針 對原冇兩個模型進(jìn)行特殊到一般的提升.在教學(xué)過程中，模型的深刻理解也讓學(xué)生對裂項求和等冇關(guān)問題 的轉(zhuǎn)化，有了思考方向，提高了化歸與轉(zhuǎn)化能力.另外，新模型除了能夠幫助學(xué)牛對裂項