第六章廣義逆矩陣（精編版）

1、第六章廣義逆廣義逆矩陣的概念是方陣逆矩陣概念的推廣，廣義逆矩陣的基本知識(shí)是矩陣?yán)碚摰闹匾M成部分，其在數(shù)理統(tǒng)計(jì)、數(shù)值分析、博弈論、控制論、計(jì)量經(jīng)濟(jì)、電網(wǎng)理論等中有重要的應(yīng)用。 本章首先給出各種廣義逆矩陣的概念，重點(diǎn)介紹矩陣 1 - 逆及矩陣 moore-penrose 逆的性質(zhì)、計(jì)算方法及這兩種廣義逆矩陣在線(xiàn)性方程組求解中的應(yīng)用，最后給出方陣的群逆與drazin 逆的基本性質(zhì)。 廣義逆矩陣的概述廣義逆矩陣的概念淵源于線(xiàn)性方程組的求解問(wèn)題。設(shè)nc為復(fù)n維向量空間，m nc為復(fù)mn矩陣全體。設(shè)矩陣m nac，考慮線(xiàn)性方程組axb（6-1）其中，mbc為給定的m維向量，nxc為待定的n維向量。定義

2、1 若存在向量nxc滿(mǎn)足線(xiàn)性方程組（ 6-1） ，則稱(chēng)線(xiàn)性方程組（ 6-1）是相容的；否則稱(chēng)線(xiàn)性方程組（6-1）是不相容的。眾所周知，當(dāng) a為可逆矩陣時(shí)，線(xiàn)性方程組（ 6-1）有唯一解1xa b，其中1a 是 a的逆矩陣。當(dāng) a為不可逆矩陣或長(zhǎng)方矩陣時(shí)，相容線(xiàn)性方程組（6-1）有無(wú)數(shù)解；不相容線(xiàn)性方程組（6-1）無(wú)解，但它有最小二乘解，即求nxc，使得()minyr aaxbyb（6-2）成立，其中代表任意一種向量范數(shù)，( ),mnr aycyaxxc。上述兩種情況的解是否也能表示成一種緊湊的形式xgb，其中， g 是某個(gè)nm矩陣這個(gè)矩陣 g 是通常逆矩陣的推廣。1920 年，. moore

3、首先提出廣義逆矩陣的概念，由于moore 的方程過(guò)于抽象，并未引起人們的重視。1955 年，r. penrose 給出如下比較直觀和實(shí)用的廣義逆矩陣的概念。定義 2 設(shè)矩陣m nac，若存在矩陣n mxc滿(mǎn)足下列 penrose 方程（1） axaa；（2） xaxx ；（3）()haxax；（4）()hxaxa則稱(chēng) x 為 a的 moore-penrose 逆，記為 a 。例 1 由 moore-penrose 逆的定義不難驗(yàn)證（1） 若1100a，則102102a；（2） 若nac，則2haaa，其中2haa a；（3） 若nmcoooba，其中rrcb是可逆矩陣，則1boaoomnc；（

4、4） 若 a是可逆矩陣，則1aa。定理 1 對(duì)于任意矩陣m nac，其 moore-penrose 逆存在并且唯一。證明 存在性。設(shè)矩陣m nac有奇異值分解hoapqoo，其中m mpc，n nqc為酉矩陣，1diag(,)r，a的正奇異值為1,r，rank()ar。容易驗(yàn)證1hoxqpoo滿(mǎn)足定義 2 中的四個(gè) penrose 方程，所以， a 總是存在的。唯一性。設(shè),x y均滿(mǎn)足定義 2 中的四個(gè) penrose 方程，則()() ()hhhhhhhhhxx axxxaxxa yax axay() ()=()hhhhhhhhhxaxayxayxayayxayaya xa y ya y y

5、yayyayy所以 a 是唯一的。更一般的，為了不同的目的， 人們定義了滿(mǎn)足 penrose 方程中任意若干個(gè)方程的廣義逆。定義 3 設(shè)矩陣m nac，若矩陣n mxc滿(mǎn)足 penrose 方程中的（i ） ， （ j ） ， （ l ）等方程，則稱(chēng) x 為 a的, ,i jl -逆，記為( , , )i jla。由定義 3 與定義 1 可知，(1,2,3,4)aa。 因?yàn)閷?duì)于任意, ,1,2,3,4i jl都有 a 為 a的, ,i jl - 逆， 所以利用定理 1 可知( , , )i jla總是存在的。但是除了 a是唯一確定的之外，其余各種, ,i jl -逆矩陣都不是唯一確定的，因此將

6、a的, ,i jl - 逆全體記為, ,a i jl 。如果按照滿(mǎn)足 penrose 方程個(gè)數(shù)進(jìn)行分類(lèi)，, ,i jl - 逆矩陣共有1234444415cccc種。但應(yīng)用較多的是以下5 種：1 ,1,2,1,3,1,4,1,2,3,4aaaaa，其中，(1)1aaa最為基本，1,2,3,4aa最為重要。(1,2)1,2raaa稱(chēng)為自反廣義逆，(1,3)1,3laaa稱(chēng)為最小二乘廣義逆，(1,4)1,4maaa為極小范數(shù)廣義逆。例 2 設(shè)矩陣11122122aaaaa，其中11a為可逆矩陣，且122211112aa aa，則容易驗(yàn)證1111aoaoo。例 3 設(shè)矩陣m nac。（1）若rank

7、()am，此時(shí)hm maac為可逆矩陣，容易驗(yàn)證1()1,2,3hhxaaaa;（2）若rank()an，此時(shí)hn na ac為可逆矩陣，容易驗(yàn)證1()1,2,4hhxaaaa。除了以上, ,i jl 廣義逆矩陣之外，還有群逆、drazin 逆等另外一些廣義逆矩陣。 1967 年，erdelyi給出如下群逆的概念。定義 4 設(shè)矩陣n nac，若矩陣n nxc滿(mǎn)足（1） axaa；（2） xaxx ；（3） axxa；則稱(chēng) x 為 a的群逆，記為#a 。從定義 4 可以看出，群逆#a 是一個(gè)特殊的(1,2)a，雖然(1,2)a總是存在的，但是這種群逆未必存在。為了介紹 drazin 逆的定義，下

8、面先給出方陣指標(biāo)的概念。定義 5 設(shè)矩陣n nac，稱(chēng)滿(mǎn)足1rank()rank()kkaa的最小非負(fù)整數(shù) k 為 a的指標(biāo)，記作ind()ak。若矩陣 a是非奇異的，則ind()0a，若矩陣 a是奇異的，則ind()1a。1958 年，drazin 給出如下 drazin 逆的概念。定義 6 設(shè)矩陣n nac，其指標(biāo)為 k，若存在矩陣n nxc滿(mǎn)足（1）kka xaa ；（2） xaxx ；（3） axxa；則稱(chēng) x 為 a的 drazin 逆，記作da 。易見(jiàn)，若矩陣 a的指標(biāo)為 1，則 a的 drazin 逆就是群逆。1-逆的性質(zhì)與計(jì)算由于 1 - 逆是最基本、最重要的一種廣義逆，本節(jié)將

9、給出1 - 逆的基本性質(zhì)與計(jì)算方法。6.2.1 1 - 逆的存在性定理 1 設(shè)矩陣m nac，其秩為r。若矩陣 a的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形為reopaqoo，其中,p q分別為m階和n階可逆矩陣，則矩陣a的所有 1 -逆的集合為12(1)()()() ()12212221221,rrm rnrrn rm rebaaqp bcbcbcbb。證明 設(shè)矩陣x為a的任意一個(gè)1 -逆，則其滿(mǎn)足axaa。于是，111111rrreoeoeopq xpqpqoooooo。因?yàn)?p q分別為m階和n階可逆矩陣，上式等價(jià)于11rrreoeoeoq xpoooooo。令1112112122bbq xpbb，則由上式可以推出1

10、1rbe，而122122,bbb是任意的，故12112122rebq xpbb，即122122rebxqpbb。因此，此定理結(jié)論成立。由此定理的證明過(guò)程可知矩陣a的 1 - 逆一定存在，但由于122122,bbb的任意性得矩陣 a的 1 - 逆不唯一。6.2.2 1 - 逆的基本性質(zhì)關(guān)于 1 - 逆的基本性質(zhì)，有如下定理。定理 2 設(shè)矩陣m nac，r，則（1）(1)(1)(1)(1)()() ,()()tthhaaaa；（2）若矩陣n nnac，則(1)1aa ，并且 a的 1 - 逆是唯一的；（3）(1)(1)()aa，其中1000；（4）設(shè),p q分別為m階和n階可逆矩陣，則(1)1(1

11、)1()paqqap；（5）(1)rank()rank()aa；（6）(1)aa 與(1)aa都是冪等矩陣，且(1)(1)rank()rank()rank()aaaaa。證明 利用節(jié)定義 3，可以直接驗(yàn)證此定理的（1）- （4）成立。（5） 由于(1)(1)(1)rank()rank()rank()rank()aaaaaaa，所以結(jié)論成立。（6） 由于(1)2(1)(1)(1)()aaaaaaaa，(1)2(1)(1)(1)()aaaaaaaa，所以，(1)aa 與(1)aa都是冪等矩陣。又由于(1)(1)rank()rank()rank()rank()aaaaaaa，所以(1)rank()r

12、ank()aaa，同理(1)rank()rank()aaa，因此，結(jié)論成立。6.2.3 1 - 逆的計(jì)算定理 1 給出利用等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形求1 -逆的方法。例 1 已知矩陣0130241545710a，求1 a，并具體給出一個(gè)(1)a。解答 由于3401301002415010457100011000000010000000100000001000aeeo11000202010010000003211151000022013000000100000001000，現(xiàn)令1202100321p，1151022013000100001q，所以矩陣a的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形為100001000000paq，利用定理1 可

13、得2122 12 22 112212221221,ebaqp bcbcbcbb；令122122,bbb均為零矩陣時(shí)，得到一個(gè)最簡(jiǎn)單的1- 逆如下：(1)115111001020202222010013010010000000100003210000001000a。 moore-penrose 廣義逆的性質(zhì)與計(jì)算由于 moore-penrose廣義逆在研究線(xiàn)性方程組解的表達(dá)式問(wèn)題中起著重要作用，因此本節(jié)將介紹moore-penrose 廣義逆的基本性質(zhì)與計(jì)算方法。6.3.1 moore-penrose廣義逆的計(jì)算利用節(jié)定理 1 可知， moore-penrose 廣義逆總是存在的，并且給出了利用

14、奇異值分解計(jì)算moore-penrose 廣義逆的方法。下面給出利用滿(mǎn)秩分解計(jì)算moore-penrose 廣義逆的方法。定理 1 設(shè)矩陣m nrac，其滿(mǎn)秩分解為afg ，其中m rrfc為列滿(mǎn)秩矩陣，rnrgc為行滿(mǎn)秩矩陣，則11()()hhhhagggfff。證 明因 為rank ()rank()hfffr，rank ()rank()hgggr， 所 以hrrffc與hrrggc皆為可逆矩陣。令11() ()hhhhxgggfff，不難驗(yàn)證 x 滿(mǎn)足 penrose 的四個(gè)方程，所以11()()hhhhagggfff。推論 1 設(shè)矩陣m nac，則（1）若rank()am，則1()hha

15、aaa；（2）若rank()an，則1()hhaaaa；（3）若 a有滿(mǎn)秩分解 afg ，其中m rrfc為列滿(mǎn)秩矩陣，r nrgc為行滿(mǎn)秩矩陣，則ag f。例 1 已知矩陣100200a，利用矩陣奇異值分解求矩陣a的 moore-penrose逆 a 。解答 由于100040000haa，所以haa 的特征值為11，24，30，因此， a的正奇異值為11，22。特征值11、24、30對(duì)應(yīng)的單位特征向量分別為1100，2010，3001所以123100010001u。令1100100u，則11110100101001020020100hhva u令1vv，則 a的奇異值分解為100101001

16、0020100100hhauvo，于是021000110001000102100010001a。例 2 設(shè)矩陣011011111001011a，利用滿(mǎn)秩分解求矩陣a的 moore-penrose逆 a 。解答 因?yàn)榫仃?a的滿(mǎn)秩分解為111002211011011010221011100122afg，并且1111222111222111222f，1()hhgggg，于是20033104413044111344111344g，故111133311124211124211161261516126ag f。6.3.2 moore-penrose廣義逆的基本性質(zhì)利用節(jié)定理 1 可知， moore-pe

17、nrose 廣義逆是唯一的，因此，它具有與通常逆矩陣相似的性質(zhì)。 下面給出 moore-penrose 廣義逆的一些基本性質(zhì)， 其證明可以利用 moore-penrose 廣義逆的定義或定理1直接推出。定理 2 設(shè)矩陣m nac，則（1）()aa；（2）()()hhaa，()()ttaa；（3）+()aa，其中+10=0=0，r ；（4）rank()rank()aa；（5）rank()rank()rank()aaa aa；（6）()()hha aaa，()()hhaaaa；（7）若m muc，n nvc均為酉矩陣，則()hhuavva u；（8）若m nnac，則neaa，若m nmac，則m

18、eaa；盡管 a 與1a有一些相近的性質(zhì)， 但它畢竟是廣義逆矩陣， 因此逆矩陣的一些性質(zhì)對(duì) a 并不成立。例 3 舉例說(shuō)明對(duì) moore-penrose 廣義逆矩陣 a ，下列結(jié)論未必正確。（1）()abb a；（2）()()kkaa，其中 k 為正整數(shù)；（3）若,p q為可逆矩陣，11()paqqa p。解答 （1）設(shè)11a，10b，則1ab，因此()1ab。因?yàn)閞ank()1a，所以利用推論1 的（ 1）可知111111()( 1, 1)1112hhaaaa；因?yàn)閞ank()1b，所以利用推論1 的（ 2）可知111()( 1,0)1,01,00hhbb bb；于是11()2b aab，可

19、見(jiàn)()abb a。（2）取1100a，其滿(mǎn)秩分解為afg ，其中10f，1, 1g。利用推論 1 可得111()( 1,0)1,01,00hhffff，111111()( 1,1)1112hhgggg，于是，由推論 1 的（3）可得101102ag f，因此，2101()102aa，而2101()104a，由此可見(jiàn)22()()aa。（3）取11a，1101p，1q。由于rank()1a，所以1111( 1, 1)1, 11, 112hhaa aa。于是21paq，利用推論 1 的（2）可得121()( 2,1)2,12,115paq，而11101p，11q，于是111102qa p，由此可見(jiàn)1

20、1()paqqa p。 廣義逆矩陣與線(xiàn)性方程組廣義逆矩陣與線(xiàn)性方程組有著極為密切的關(guān)系。本節(jié)將分別介紹1- 逆及moore-penrose 逆在線(xiàn)性方程組求解問(wèn)題中的應(yīng)用。6.4.1 1 - 逆在線(xiàn)性方程組求解問(wèn)題中的應(yīng)用定理 1 線(xiàn)性方程組（ 6-1）相容的充分必要條件是(1)aa bb；且在線(xiàn)性方程組相容的情況下，其通解為(1)(1)()nxabeaa y，（6-3）其中nyc為任意向量。證明 必要性。設(shè)線(xiàn)性方程組（6-1）有解，且x為其解，則(1)(1)(1)()baxaaaxaaaxaab。充分性。令(1)xab，則x滿(mǎn)足等式（ 6-1） ，因此線(xiàn)性方程組（ 6-1）相容。下面首先證明

21、在線(xiàn)性方程組（6-1）相容的情況下，等式（ 6-3）是其解。由于線(xiàn)性方程組（ 6-1）是相容的，所以存在0nxc使得0axb。于是(1)(1)(1)(1)(1)00() naxa a beaa yaa bayaa ayaaaxayayaxb其次證明，對(duì)于線(xiàn)性方程組（6-1）的任意一解0 x，都存在nyc，使得解0 x表示成（ 6-3）的形式。現(xiàn)取0yx，則(1)(1)(1)(1)000()nabeaa xabxaax(1)(1)00a bxa bx所以此定理的結(jié)論成立。例 1 利用矩陣1- 逆判斷線(xiàn)性方程組axb是否相容，如果相容，求其通解，其中112121150111a，111b。解答 由于

22、341121100211501001110011000000010000000100000001000aeeo10001002101000332100001331112000011100000100000001000現(xiàn)令1002103321133p，1112011100100001q，則系數(shù)矩陣 a的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形為2eopaqoo，由節(jié)定理 1 得系數(shù)矩陣 a的一個(gè)1- 逆為2(1)1103321033000000eoaqpoo，容易驗(yàn)證等式(1)aabb成立，所以利用定理1 可知此線(xiàn)性方程組是相容的；并且其通解為(1)(1)4()xa beaa y12340001210011000100000

23、1yyyy，其中1234,yyyyc為任意常數(shù)。6.4.2moore-penrose 逆在線(xiàn)性方程組求解問(wèn)題中的應(yīng)用利用1- 逆可以解決判定線(xiàn)性方程組（6-1 ）是否相容及在線(xiàn)性方程組相容情況下給出通解的問(wèn)題。由于moore-penrose 逆是一種特殊的1- 逆，所以相應(yīng)可得下述定理。定理 2 線(xiàn)性方程組（ 6-1）相容的充分必要條件是aa bb；且在線(xiàn)性方程組相容的情況下，其通解為()nxa bea a y，（6-4）其中nyc為任意向量。由等式（ 6-4）可知，如果線(xiàn)性方程組（6-1）相容，則當(dāng)且僅當(dāng)na ae，即rank()an時(shí)，其解是唯一的。在實(shí)際問(wèn)題中，常需要求出線(xiàn)性方程組的無(wú)窮

24、多個(gè)解中范數(shù)最小的解，即給出如下定義。定義 1 設(shè)線(xiàn)性方程組（ 6-1）有無(wú)窮多個(gè)解，則稱(chēng)無(wú)窮多個(gè)解中范數(shù)最小的解0 x，即0minax bxx為線(xiàn)性方程組（ 6-1）的極小范數(shù)解（本節(jié)所涉及的范數(shù)均指2- 范數(shù)） 。定理 3 相容線(xiàn)性方程組（ 6-1）的唯一極小范數(shù)解為0 xa b。證明 對(duì)于等式（ 6-4）給出的線(xiàn)性方程組（ 6-1）的通解x，有2() () hhnnxx xa bea a ya bea a y22()() ()()nhhhhnna bea a ybaea a yyea aa b22()()()nhhhnna bea a ybea a ayyea a a b22()na b

25、ea a y由此可見(jiàn)，xa b ，即0 xa b是相容線(xiàn)性方程組（ 6-1）的極小范數(shù)解；唯一性。設(shè)1x是相容線(xiàn)性方程組（ 6-1）的極小范數(shù)解，則1xa b ，且存在0nyc，使得10()nxa bea a y，與前面推導(dǎo)過(guò)程類(lèi)似，有22210()nxa bea a y，從而可得20()0nea a y，即0()0nea a y，從而1xa b。當(dāng)線(xiàn)性方程組無(wú)解時(shí)，通常希望求出它的最小二乘解（見(jiàn)等式（6-2） ） 。利用 moore-penrose 逆可以解決這一問(wèn)題。定理 4 不相容線(xiàn)性方程組（ 6-1）的全部最小二乘解為()nza bea a y（6-5）其中nyc為任意向量。證明 由等

26、式（ 6-5）可求得azbaa bb 。對(duì)任意的nxc，有22()()axbaxaa baa bb22() ()() ()hhaxaa baa bbaxaa baa bbaa bbaxaa b22()()()()hhhhmmaxaa baa bbxa baaaebbaaea xa b22axaa baa bb，于是axbaa bbazb由此說(shuō)明等式（ 6-5）給出的z都是 axb的最小二乘解。又設(shè)0nzc是 axb的任一最小二乘解，則有22200azbazaa baa bb從而00azaa b，即0azaa b?？梢?jiàn)0z是線(xiàn)性方程組axaa b的解。由于()aaaa baa b，利用定理 2

27、可知，線(xiàn)性方程組axaa b相容，且通解為()()()nnxaaa bea a ya bea a y其中nyc為任意向量。故00()nza bea a y其中0nyc為任意向量?？梢?jiàn)等式（ 6-5）給出了 axb的全部最小二乘解。由定理 4 的證明過(guò)程可得如下結(jié)論。推論 1 nzc是不相容線(xiàn)性方程組 （6-1） 的最小二乘解的充分必要條件是z是線(xiàn)性方程組axaa b的解。推論 2 nzc是不相容線(xiàn)性方程組 （6-1） 的最小二乘解的充分必要條件是z是線(xiàn)性方程組hha axa b的解。證明 若z是 axb的最小二乘解，利用推論1 可知，z是axaa b的解，于是()()()hhhhhha aza

28、aa baaabaa aba b，即z是線(xiàn)性方程組hha axa b的解。反之，若z是線(xiàn)性方程組hhaaxa b的解，則有()() ()()()hhhhhhazaa azaaazaa azaa baabaa b可見(jiàn)z是線(xiàn)性方程組axaa b的解，從而z是 axb的最小二乘解。由定理 4 可見(jiàn)，不相容線(xiàn)性方程組的最小二乘解一般不是唯一的。定義 2 設(shè)矩陣m nac，mbc，0 x為不相容線(xiàn)性方程組axb的最小二乘解，如果對(duì) axb的任意一個(gè)最小二乘解u均有0| |xu，則稱(chēng)0 x為 axb的極小范數(shù)最小二乘解。定理 5 不相容線(xiàn)性方程組（ 6-1）的唯一極小范數(shù)最小二乘解為0 xa b。證明 由

29、推論 1 可知， axb的極小范數(shù)最小二乘解就是axaa b的唯一極小范數(shù)解，利用定理3 可得0()xaaa ba b。綜上所述，可以得到利用moore-penrose 逆 a 求解線(xiàn)性方程組 axb的如下結(jié)論：（1） axb相容的充分必要條件是aa bb；（2） 設(shè)nyc為任意向量，()nxa bea a y是相容線(xiàn)性方程組axb的通解，或是不相容線(xiàn)性方程組axb的全部最小二乘解；（3）0 xa b是相容線(xiàn)性方程組axb的唯一極小范數(shù)解，或是不相容線(xiàn)性方程組 axb的唯一極小范數(shù)最小二乘解。例 2 利用 moore-penrose 逆方法判斷線(xiàn)性方程組12341234123424322022

30、3xxxxxxxxxxxx是否相容如果相容，求通解及極小范數(shù)解；如果不相容， 求全部最小二乘解的通式和極小范數(shù)最小二乘解。解答 設(shè)241112121221a，303b，于是線(xiàn)性方程組為axb。矩陣 a的滿(mǎn)秩分解為afg其中211112f，12010011g。于是112114221()()=15633165hhhhagggfff。因?yàn)?32013aa b，所以線(xiàn)性方程組axb是不相容的。于是，最小二乘解的通式為12434194112432211() =51255111161255yyxa bea a yyy其中1234,yyyyc為任意的。極小范數(shù)最小二乘解為0121=5116xa b。 方陣的

31、譜廣義逆*前面介紹的1 - 逆與 moore-penrose 逆保留了非奇異矩陣之逆矩陣的若干性質(zhì)，它們?cè)诒硎揪€(xiàn)性方程組解的結(jié)構(gòu)時(shí)起著逆矩陣的作用。但這兩種廣義逆不具備逆矩陣的另外一些性質(zhì)， 例如逆矩陣的某些譜性質(zhì)。 本節(jié)討論具有一般非奇異矩陣之逆矩陣的某些譜性質(zhì)的群逆和drazin 逆。6.5.1 群逆定理 1 設(shè)矩陣n nac，則#a 存在的充分必要條件是ind()1a，即2rank()rank()aa；若#a 存在，則#a 是唯一的。證明 若 a為零矩陣，則命題顯然成立，以下假定a不可逆且 a為非零矩陣。充分性。由 a的若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形分解為1apjp，12jjjj，因?yàn)閕nd()1a，所以2

32、rankrankiijj，1,2,i。故 a的零特征值對(duì)應(yīng)的若當(dāng)塊都是 1 階的，故存在可逆陣c 使得1coappoo，不難驗(yàn)證1#1coappoo。必要性。設(shè)#a 存在，則#aa aa，#a aaa ，#aaa a，故#2#2rankrankrankrankrankaaa aa aaa所以2rankrankaa，即ind()1a。下面證明唯一性。設(shè)12,xx為 a的群逆，則111121()xx axxax a x12112()x xax ax ax122122()()xax a xax a x x22222ax xx axx故#a 是唯一的。推論 1 設(shè)矩陣n nac，則#a 存在的充分必要

33、條件是存在可逆矩陣,p c，使得1coappoo；此時(shí)1#1coappoo。證明 由定理 1 的證明易得。定理 2 設(shè)矩陣n nac，其滿(mǎn)秩分解為afg ，其中n rrfc，r nrgc，rank()ar，則#a 存在的充分必要條件是gf 是非奇異矩陣；若#a 存在，則#2()af gfg。證明 由于2afgfg，其中rrgfc，且n rrfc，r nrgc，于是2rank()rank()agf；因此，2rank()rank()aa的充分必要條件是 gf 是非奇異矩陣；利用節(jié)的定義 4，可直接驗(yàn)證#2()af gfg。群逆的一些基本性質(zhì)羅列如下（證明留給讀者）。定理 3 設(shè)n nac，且ind

34、()1a，則（1）#()aa；（2）#()() ,()()tthhaaaa;（3）#()() ,llaal 為任意正整數(shù)。6.5.2 drazin逆下面定理指出， 矩陣n nac的 drazin 逆是唯一存在的， 并且它可以表示為矩陣 a的多項(xiàng)式。定理 4 設(shè)矩陣n nac，ind()ak，且 a的最小多項(xiàng)式為( )(1(),kmcq其中，0c為常數(shù)，( )q為多項(xiàng)式，則 a有唯一的 drazin 逆da ，它可以表示為關(guān)于 a的多項(xiàng)式1( ( )dkkaaq a。證 明唯 一 性。 設(shè) x 與 y 為 a 的 兩個(gè) drazin逆 。 令 eaxxa ，fayya，則 e與 f 皆為冪等矩陣。此時(shí)，kkkkeaxa xaya xfaxfe ，kkkkfayy ay a xayaefe 。因此， ef ，又由于 fxyaxye，所以xexfxyeyfy 。存在性。由()m ao可得，1()kkaq aa。令1( ()kkxaq a，顯然其滿(mǎn)足 axxa，并且2122121( ()()(