第6章塑性應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系01

1、第6章 塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系在20世紀(jì)50年代，經(jīng)典塑性理論有了很大的發(fā)展，表現(xiàn)在：（1）極限分析的基本定理（Drucker等，1952）；（2）Drucker假設(shè)或穩(wěn)定材料的定義（Drucker，1951）；（3）正交性條件的概念或關(guān)聯(lián)流動法則（Drucker，1960）等的建立和發(fā)展。理想塑性體的極限分析理論產(chǎn)生了能更直接地估計結(jié)構(gòu)和土體承載力的實際方法（Chen，1982，Chen和Liu，1990）。穩(wěn)定材料的概念提供了一個統(tǒng)一的方法和塑性體的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的廣義觀點。正交性條件的概念提供了塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的屈服準(zhǔn)則或加載函數(shù)之間的必要聯(lián)系。所有的這些進(jìn)展導(dǎo)出了金屬塑性經(jīng)典理論嚴(yán)格的基礎(chǔ)，也

2、為后來土體、巖石和混凝土類的其他材料的更復(fù)雜的塑性理論發(fā)展打下了基礎(chǔ)（Chen和Han，1988，Chen和Mizuno，1990）。6.1 加載準(zhǔn)則在應(yīng)力空間上的屈服面確定了當(dāng)前的彈性區(qū)的邊界。如果一個應(yīng)力點在屈服面的里面，就稱之為彈性狀態(tài)而且只有彈性特性；如果一個應(yīng)力點在屈服面上，其應(yīng)力狀態(tài)為塑性狀態(tài)，產(chǎn)生彈性或者彈塑性特性。在數(shù)學(xué)上，彈性狀態(tài)和塑性狀態(tài)作如下定義：時，彈性狀態(tài)時，塑性狀態(tài)這里，就是在應(yīng)力空間定義了屈服面的屈服函數(shù)。對于強化材料，如果應(yīng)力狀態(tài)趨向于移出屈服面的趨勢，則可獲得一個加載過程，而且能觀察到彈塑性變形；會產(chǎn)生附加的塑性應(yīng)變且當(dāng)前的屈服（或加載）面構(gòu)形也會發(fā)生改變，使

3、應(yīng)力狀態(tài)總保持在后繼加載面上。如果應(yīng)力狀態(tài)有移進(jìn)屈服面以內(nèi)的趨向，則稱為卸載過程，此時只有彈性變形發(fā)生，加載面仍然保持原樣。應(yīng)力從塑性狀態(tài)開始改變的另一種可能就是應(yīng)力點沿著當(dāng)前屈服面移動，這個過程叫做中性變載，與其相關(guān)的變形是彈性的。區(qū)分這些現(xiàn)象的數(shù)學(xué)表達(dá)式就叫做加載準(zhǔn)則，可用下列式子表示 且 時，加載 且 時，中性變載（6-1） 且 時，卸載通常，函數(shù)形式是這樣定義的，使得梯度矢量的方向總是沿著屈服面向外的法線方向。因此，這些加載準(zhǔn)則能用圖6-1作簡單的說明。 （） （）圖6-1 加工強化材料的加載準(zhǔn)則（）單軸情況； （）多軸情況對于理想塑性材料，當(dāng)應(yīng)力點沿著屈服面移動時，能觀察到彈塑性變形

4、。但是，它并不總是引起塑性變形而有可能被歸到中性變載情況，因此對這種材料的加載準(zhǔn)則給出定義如下 且 時，加載或中性變載 且 時，卸載（6-2）應(yīng)當(dāng)指出，加載和中性變載過程不能用上述準(zhǔn)則加以區(qū)別。已經(jīng)有人提出表述加載準(zhǔn)則的不同的形式，可以用應(yīng)變增量代替應(yīng)力增量作出判斷 且 時，加載 且 時，中性變載（6-3） 且 時，卸載在這里，是彈性剛度張量。在Chen等（Chen和Zhang，1991）的論文中可以找到關(guān)于上述加載準(zhǔn)則的進(jìn)一步討論。對于理想塑性材料來說，這種形式更具普遍性也更適用。例如即將在后面6.3.1節(jié)中看到的，對于理想塑性材料，即使當(dāng)時也能找到塑性應(yīng)變增量的值為零，也就是在式（6-4）

5、中定義的。這是在式（6-4）中定義的中性變載過程。在有限元分析中，需要從給出的或已知的應(yīng)變增量中算出應(yīng)力增量，這個計算需要給出或知道發(fā)生的變形是哪種形式。式（6-1）和式（6-2）中慣用的準(zhǔn)則并不很方便，因為要用他們就必須知道應(yīng)力增量，而后面式（6-3）中的準(zhǔn)則能使我們用很直接的方法去解決這個難點。6.2 流動法則在加載過程中會產(chǎn)生塑性應(yīng)變，為了描述彈塑性變形的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，必須定義出塑性應(yīng)變增量矢量的方向和大小，即：（1）各分量的比率；（2）它們相應(yīng)于應(yīng)力增量的大小。下面將以一個類似于理想流體流動問題的方式介紹塑性勢能函數(shù)的概念，我們把流動法則規(guī)定如下：（6-4）其中，是一個貫穿于整個塑性加

6、載歷史的非負(fù)標(biāo)量函數(shù)。梯度矢量規(guī)定了塑性應(yīng)變增量矢量的方向，也就是勢能面在當(dāng)前應(yīng)力點的法線方向，由于這個原因，該流動法則也稱作正交條件。另一方面，塑性應(yīng)變增量矢量的長度或大小由確定。如果塑性勢能面與屈服面有相同的形狀，也就是，那么流動法則與屈服條件是相關(guān)聯(lián)的，可用下式表示為（6-5）在這種情況下，塑性應(yīng)變沿著當(dāng)前加載面的法線方向產(chǎn)生。式(6-5)中的正交條件雖很簡單，但以此為基礎(chǔ)建立的任何應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，對一個給定的邊界值問題有惟一解。6.2.1 von Mises形式的塑性勢能函數(shù)von Mises函數(shù)在應(yīng)力空間中表示為圓柱體，其偏截面如圖6-2所示。這個塑性勢能函數(shù)表示為（6-6）其中，為常

7、數(shù)。因此，由流動法則可得（6-7）此式表明，應(yīng)力主軸和塑性應(yīng)變增量張量相應(yīng)主軸是一致的，從式（6-7）可得到（6-8）所以，對這種類型的材料，體積變化是純彈性的，不能產(chǎn)生塑性體積變化。圖6-2 在偏平面上的Tresca和von Mises準(zhǔn)則由式（6-7）可推出（6-9）上述等量關(guān)系就是PrandtlReuss方程。它是Prandtl在1925年擴(kuò)展了原先的LevyMises方程（式6-10）得到的，而且第一次提出了理想彈塑性材料在平面應(yīng)變情況下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。Reuss在1930年又把Prandtl方程擴(kuò)展到三維情況并給出式（6-9）的一般形式。在大塑性流動的問題中，彈性應(yīng)變可以忽略不計。在

8、這種情況下，材料可以被認(rèn)為是理想剛性塑性體，總的應(yīng)變增量和塑性應(yīng)變增量可以認(rèn)為相等。這種材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可以寫成（6-10）或（6-10）這個等量關(guān)系式就是LevyMises方程。在它們的發(fā)展過程中，St. Venant在1870年第一個提出了應(yīng)變增量主軸與應(yīng)力主軸重合，上面的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系由Levy在1871年和von Mises在1913年分別提出。6.2.2 Tresca形式的塑性勢能函數(shù)在主應(yīng)力空間，Tresca函數(shù)表示為由六個平面組成的正六角棱柱體。這個棱柱的偏平面見圖6-2。假設(shè)主應(yīng)力的大小次序是，那么就能定出相應(yīng)的勢能函數(shù)為（6-11）其中，為常數(shù)。根據(jù)式(6-5)，與Tresc

9、a勢能涵數(shù)相關(guān)聯(lián)的主應(yīng)變增量則為（6-12）對于主應(yīng)力、大小的其他五種代數(shù)順序的組合可以得出類似的結(jié)果。圖6-3 與Tresca屈服準(zhǔn)則函數(shù)相關(guān)的流動法則（）塑性應(yīng)變增量矢量的正則性 （）作為光滑面極限的頂點在一個如圖6-3()所示的主應(yīng)力（主應(yīng)變）增量組合空間里，塑性應(yīng)變增量能用幾何圖形來討論?？梢钥闯鲈诘钠矫嫔系娜魏蔚胤?，塑性應(yīng)變增量的方向都互相平行且垂直于Tresca六角棱柱體的面。對于六角棱柱體的其他平面也能得到類似的關(guān)系。在某些特殊情況下，比如，情況就更復(fù)雜，因為最大剪應(yīng)力值不僅在平行于軸的剪切面上，而且在平行于軸的剪切面上與屈服值相等。因此有兩種塑性應(yīng)變增量的可能：（1）， ，對于

10、（2）， ，對于在這種情況下，假定塑性應(yīng)變增量矢量是前面所給兩個增量的線性組合，即，對于（6-13）這種假定適合于當(dāng)前應(yīng)力狀態(tài)位于塑性勢能面的頂點或奇異點的特殊情況。一般地，塑性應(yīng)變增量矢量必須位于六邊形兩相鄰邊的法線方向之間（圖6-3（）。一般地，在幾個光滑勢能面相交的奇異點處，應(yīng)變增量通?？梢员硎境?，在這點相交的各面的法線方向所確定的增量的線性組合，即(6-14)式（6-13）、式(6-14)表明，在頂點處，塑性應(yīng)變增量的方向是不確定的，要克服這個難點的一個辦法，就是使頂點處光滑而且把Tresca勢能面看作這個光滑面的極限情況。為此，我們采用Tresca函數(shù)的另一種形式（6-15）此處，在

11、與之間取值。當(dāng)或時，上式簡化為（6-16）實際上，上式就是von Mises準(zhǔn)則，而且表明頂點處的塑性應(yīng)變方向由外接Tresca面的von Mises面來確定。相反地，塑性勢能面的頂點能被看作光滑表面的極限情況，而且對于角點處仍作為光滑面可應(yīng)用流動法則。如相應(yīng)于Tresca面的光滑面就是von Mises面，如圖6-2和圖6-3（）中的點所示。6.3 理想塑性材料的增量應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系理想塑性材料的加載準(zhǔn)則要求應(yīng)力增量矢量相切于屈服面，而流動法則要求塑性應(yīng)變增量矢量是在塑性勢能面的法線方向。接著再確定的大小，即，一旦確定，就能建立和之間的關(guān)系。6.3.1 一般形式設(shè)主應(yīng)變增量為彈性應(yīng)變增量與塑性應(yīng)

12、變增量之和，即（6-17）彈性應(yīng)力增量與應(yīng)變增量的關(guān)系通過虎克定律確定（6-18）塑性應(yīng)變從式（6-4）中的流動法則可以得到。在式（6-18）中，是彈性剛度張量。那么對理想彈塑性材料來說，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可以表示成（6-19）其中，是一個特定的非負(fù)標(biāo)量。在塑性變形時，應(yīng)力點停留在屈服面上，這個補充的條件叫一致性條件。用數(shù)學(xué)式子表示成（6-20）或者用增量的形式可以寫成（6-21）正如式（6-2）中所見，在加載或中性變載時上式是滿足的。把彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系式（6-19）代入式（6-21）中解出，有（6-22）其中（6-23）這個等式表明，即使當(dāng)應(yīng)力增量在屈服面上移動，仍能為零。也就是說，只要，就不會產(chǎn)

13、生塑性應(yīng)變，這是理想塑性材料的中性加載過程，正如式（6-3）所分類的那樣。對于一個給定的應(yīng)變增量，可以利用式（6-19）、式（6-22）計算出應(yīng)力增量，聯(lián)立式（6-19）和式（6-22）可以用數(shù)字方法推導(dǎo)出和之間的明確關(guān)系。（6-24）這里，是彈塑性剛度張量，表示為（6-25）其中（6-26）注意到，與和無關(guān)，我們可以從式（6-21）中發(fā)現(xiàn)，應(yīng)力增量的分量之間存在線性關(guān)系，因為最終應(yīng)力狀態(tài)必須在屈服面上。利用式（6-24）中應(yīng)力增量可由應(yīng)變增量惟一確定。然而，我們不能惟一地建立逆關(guān)系，對于一個給定的應(yīng)力增量，只是在待定因子范圍內(nèi)才能定義應(yīng)變增量。這一點可以通過圖6-4（）中所示的單軸材料特性很

14、好地解釋。 （） （）圖6-4 理想彈塑性材料（）單軸應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系； （）屈服面和加載、卸載準(zhǔn)則的幾何關(guān)系6.3.2 PrandtlReuss模型（理論）在von Mises屈服準(zhǔn)則和與它相關(guān)聯(lián)的流動法則基礎(chǔ)上導(dǎo)出的理想彈塑性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，就是大家所熟悉的PrandtlReuss材料模型。在這種情況下，屈服函數(shù)和勢能函數(shù)定義為（6-27）其中，為常數(shù)，這個模型可能是在工程實際中用得最廣泛，也許是最簡單的理想彈塑性材料的模型。把式（6-27）代入式（6-25）就可以得到PrandtlReuss模型的完整的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系。設(shè)彈性狀態(tài)是線性的和各向同性的，則有（6-28）其中，和都是Lame常數(shù)。如果

15、我們用矢量的形式表示應(yīng)力和應(yīng)變增量，即分別為和，那么就可以用矩陣的形式表示張量為（6-29）其中(6-30)和分別是體積模量和剪切模量。像前面所討論的一樣，應(yīng)變增量不能由應(yīng)力增量惟一確定。這表明的逆陣不存在，或者說矩陣是奇異矩陣。從式（6-4）和式(6-22)，也可得到（6-31）這些等式清楚地說明，塑性應(yīng)變增量取決于偏應(yīng)力狀態(tài)的當(dāng)前值，而不是達(dá)到新的狀態(tài)所需的應(yīng)力（應(yīng)變）增量。對這種材料，可以導(dǎo)出（6-32）因此得（6-33）因此，由確定的塑性應(yīng)變增量的實際值與在塑性變形功中的實際增量大小有關(guān)。把式（6-31）代入式（6-32）可得因此，也被看作是由于畸變所產(chǎn)生的塑性功增量，注意到塑性變形過

16、程中，由于和，所以也可以表示為6.3.3 DruckerPrager模型這里討論具有關(guān)聯(lián)流動法則的DruckerPrager材料模型。DruckerPrager屈服函數(shù)采用下面的形式：其中，和均為正常數(shù)。在主應(yīng)力面中的屈服面是一個正圓錐，其軸與每一個坐標(biāo)軸的傾斜相同而且頂點在靜水軸上。對于線性各向同性的理想彈塑性材料，根據(jù)式（6-25）有（6-34）其中彈塑性本構(gòu)矩陣為根據(jù)流動法則可得（6-35）這里利用式（6-22），可把表示為（6-36）由式（6-35）導(dǎo)出（6-37）因為，和在塑性變形時均為正值，所以這個等式顯示了塑性狀態(tài)的一個非常重要的特性，即塑性變形伴隨著體積的增大，這個特性就是剪脹

17、性。它是與靜水壓力有關(guān)的屈服函數(shù)的推論。對于一種在靜水軸的負(fù)方向上屈服面張開和具有關(guān)聯(lián)流動法則的材料來說，塑性體積膨脹就會在屈服時發(fā)生，如圖6-5所示。圖6-5 與DruckerPrager屈服面相關(guān)的塑性體積膨脹【例6-1】考察在單軸應(yīng)變條件下DruckerPrager材料的特征?！窘狻吭谶@種條件下，應(yīng)變增量和應(yīng)力狀態(tài)如下：， ， 因此屈服準(zhǔn)則簡化為（6-38）在彈性范圍內(nèi)，應(yīng)力應(yīng)變增量關(guān)系給定如下：（6-39）從式（6-38）和式（6-39）可以很容易地確定初始屈服應(yīng)力為（6-40）這里有在上面的等式中，正號對應(yīng)于單軸拉伸情況，負(fù)號對應(yīng)于單軸壓縮的情況。因此，對于達(dá)到屈服面的單軸應(yīng)變應(yīng)力路

18、徑，必須滿足下面的條件：（6-41）注意到由于總是正值，所以第一個條件總是滿足的。從式（6-40）可以看出，在屈服應(yīng)力上的影響，就是在單軸拉伸試驗（上面的正號）中降低屈服時垂直應(yīng)力的值；在單軸壓縮試驗（下面的負(fù)號）中增加屈服時的值。超出這個應(yīng)力狀態(tài)，材料既有彈性變形也有塑性變形。從式（6-34）中得到彈塑性關(guān)系如下：其中上面的正號對應(yīng)于，而下面的負(fù)號對應(yīng)于的情況。因為是正值，所以在塑性變形時曲線的斜率在時大于時的斜率。圖6-6中描述了單軸應(yīng)變壓縮試驗中PrandtlReuss和DruckerPrager材料模型的特性。對于PrandtlReuss模型（圖6-6），在應(yīng)力與成比例情況下，達(dá)到屈服

19、條件之前該曲線是彈性的。在塑性區(qū)域，斜率就是體積模量。卸載也是彈性的，直到達(dá)到屈服面的對立面為止，然后又變?yōu)樗苄裕甭蕿?。?dāng)壓縮應(yīng)力過程完成時，也就留下一個永久（壓）應(yīng)變。對于加載不遠(yuǎn)離彈性區(qū)域的情況，DruckerPrager模型情況是類似的（圖6-6）。但是若材料加載超過彈性區(qū)域之外（圖6-6），則殘余變形是伸長的，這就可以被看做是三維膨脹現(xiàn)象的一維情況。 （） （） （）圖6-6 PrandtlReuss和DruckerPrager模型的單軸應(yīng)變（）PrandtlReuss，彈塑性，大； （）DruckerPrager，應(yīng)力??；（）DruckerPrager，應(yīng)力大利用式（6-36）和式

20、（6-37），可得到單軸應(yīng)變條件下的膨脹或塑性體積應(yīng)變增量如下：其中的正號對應(yīng)于，而負(fù)號對應(yīng)于，注意到式（6-41），可以發(fā)現(xiàn)塑性體積應(yīng)變總是在增加。6.4 強化法則在加載過程中，屈服面不斷改變它的形狀以使應(yīng)力點總是位于它上面。然而，會有無數(shù)個屈服面的演化形式可以滿足這個條件，因此，這不是一個簡單地確定加載面如何發(fā)展的問題。實際上，這是一個塑性加工強化理論中的主要問題之一，這個控制加載面發(fā)展的規(guī)則被稱為強化法則。在前面的塑性分析中提出了幾個這樣的法則，材料響應(yīng)在初期屈服之后會很不相同，這取決于所使用的特定的強化法則。本節(jié)將詳細(xì)討論三個簡單的強化法規(guī)則。6.4.1各向同性強化這個法則建立在以下假

21、設(shè)的基礎(chǔ)上，假設(shè)加載過程中的屈服面均勻膨脹，沒有畸變和移動，如圖6-7所示。因此屈服面的數(shù)學(xué)表達(dá)式可以寫為如下形式：（6-42）其中，是一個強化函數(shù)或增函數(shù)，用來確定屈服面的大小，是一個強化參數(shù)，它的值表示了材料的塑性加載歷史。例如，對于von Mises材料，可以作為，那么可以把屈服面表示為（6-43）圖6-7 各向同性強化材料的后繼屈服面【例6-2】利用具有初始單軸屈服應(yīng)力（）的von Mises模型，隨后的加載試驗過程為假設(shè)這種材料的性質(zhì)遵守各向同性強化法則，畫出初始屈服面和在加載路徑結(jié)束時在空間中的后繼屈服面。注意在每一個加載步驟中均為比例加載。圖6-8 在三個加載路徑末的后繼屈服面【

22、解】初始屈服面（6-44）后繼屈服面在在在這些面表示在圖6-8中。6.4.2 隨動強化隨動強化法則假設(shè)在塑性變形過程中，加載面在應(yīng)力空間作剛體移動而沒有轉(zhuǎn)動，因此初始屈服面的大小、形狀和方向仍然保持不變。這個強化法則提供了一個考慮Bauschinger效應(yīng)的簡單方法，如圖6-9所示。一個隨動強化材料的屈服面一般表示為（6-45）其中，是一個常數(shù)，被稱為反應(yīng)力，它給出加載面中心的坐標(biāo)。反應(yīng)力在塑性加載過程中是變化的，以便說明強化響應(yīng)，連同隨動強化法則，經(jīng)常為了方便起見而用折減應(yīng)力。圖6-9 隨動強化材料的后繼屈服面 Prager強化法則隨動強化法則的關(guān)鍵就是確定反應(yīng)力。最簡單的方法就是假設(shè)與線性

23、相關(guān)，這就是所謂Prager強化法則，其簡單形式為（6-46）這里，為材料常數(shù)，說明一個給定材料的性質(zhì)，也可能是狀態(tài)變量的函數(shù)，如的函數(shù)。如6.2節(jié)中所討論的，如果使用相關(guān)流動法則，平行于應(yīng)力空間中屈服面上的當(dāng)前應(yīng)力點的法線矢量。在這種情況下，Prager強化法則等于假設(shè)矢量是屈服面的法線，當(dāng)Prager強化法則用在應(yīng)力子空間時就會產(chǎn)生一些矛盾，這一點可在下面的例題中看出。【例6-3】對于遵守相關(guān)流動法則和Prager強化法則的von Mises材料，在空間把塑性變形剛開始之后的后繼屈服面和最初的屈服面進(jìn)行比較?！窘狻砍跏记姹硎緸楦鶕?jù)式（6-46）可得令剛好達(dá)到屈服面的應(yīng)力狀態(tài)為（），則后

24、繼屈服面表示為結(jié)果表明，Prager強化法則導(dǎo)致后繼屈服面在加載過程中不僅有平移而且大小也改變，因此這個法則不能遵從隨動強化法則的定義。 Ziegler強化法則為了得到在子空間中也有效的隨動強化法則，Ziegler修改了Prager強化法則，假設(shè)以如下形式沿折減應(yīng)力矢量方向平移。（6-47）其中，是一個正的比例系數(shù)，其與所經(jīng)歷的變形歷史有關(guān)，為簡單起見，這個系數(shù)可假設(shè)有如下的簡單形式（6-48）其中，是正的標(biāo)量，表示給定材料的性質(zhì)，也可能是狀態(tài)變量的函數(shù)，比如的函數(shù)?！纠?-4】用Ziegler強化法則代替Prager法則解例6-3中的問題?！窘狻砍跏记杀硎緸榱钋嫔系膽?yīng)力狀態(tài)剛好達(dá)到（

25、），采用式(6-47)，則后繼屈服面表示為 這些結(jié)果表明，利用Ziegler 強化法則時，屈服面的中心移動了應(yīng)力點（），但初始屈服面的大小、形式和方向均不變。6.4.3 混合強化如果把隨動強化和各向同性強化結(jié)合起來就會得出一個更具一般性的法則，稱為混合強化法則：（6-49）在這種情況下，加載面既有均勻膨脹又有平移，前者用度量，后者用確定（圖6-10）。但它仍然保持最初的形狀。采用混合強化法則，就可以通過調(diào)整和兩個參數(shù)來模擬Bauschinger效應(yīng)的不同程度。圖6-10 混合強化模型的后繼屈服面在結(jié)合兩種強化法則的同時，把塑性應(yīng)變增量分為兩個共線的分量（6-50）其中，與屈服面的膨脹有關(guān)，與屈

26、服面的平移有關(guān)。假設(shè)這兩個應(yīng)變分量為（6-51）其中，為混合強化參數(shù)，其大小范圍為。的值就是調(diào)節(jié)兩種強化法則的貢獻(xiàn)和模擬Bauschinger效應(yīng)的不同程度。當(dāng)時，恢復(fù)為隨動強化；而當(dāng)時，恢復(fù)為各向同性強化。6.5 有效應(yīng)力和有效塑性應(yīng)變在產(chǎn)生塑性變形的過程中可以觀察到強化反應(yīng)，其強化程度取決于塑性加載的歷史。為了描述強化性質(zhì)，需要：記錄塑性加載的歷史；描述強化與塑性加載歷史的關(guān)系。對于前者，已經(jīng)引進(jìn)了強化函數(shù)（或者增長函數(shù)），而對后者，已經(jīng)引進(jìn)了被稱為強化參數(shù)的單調(diào)增長標(biāo)量。強化函數(shù)是關(guān)于強化參數(shù)的函數(shù)，它的函數(shù)形式是與材料有關(guān)的。最普通的材料試驗是單軸加載試驗，我們經(jīng)常用這類試驗來識別在一

27、般加載條件下描述強化性質(zhì)的必要參數(shù)。因此，為方便計，我們定義有效應(yīng)力和有效塑性應(yīng)變，它們是分別折算為單軸應(yīng)力試驗中的應(yīng)力和塑性應(yīng)變。強化函數(shù)與有效應(yīng)力有關(guān)，有效塑性應(yīng)變可能被取為強化參數(shù)本身，是的函數(shù)，函數(shù)的具體形式?jīng)Q定于單軸試驗數(shù)據(jù)。6.5.1有效應(yīng)力對于一個各向同性強化材料，屈服函數(shù)的展開式用式（6-42）表示。換言之，此式與強化特性相關(guān)，因此很自然地利用以如下形式來定義有效塑性應(yīng)力，即其中，和由折算為單軸試驗中應(yīng)力的條件來確定。比如，對于von Mises材料，可以假設(shè)，則有對于在方向的單軸加載試驗，等于，而其他應(yīng)力分量都為零，從這個條件可以得到和，因此因為在塑性變形中，對這種材料的強化

28、函數(shù)用表示為（6-52）【例6-5】求出DruckerPrager材料的的表達(dá)式?！窘狻恳驗?，所以有 因為DruckerPrager模型經(jīng)常用于巖石、土等材料，塑性變形一般都與壓縮加載有關(guān)。因此，要確定和兩個常數(shù)，就要使折算成單軸壓縮試驗的應(yīng)力。那么有從這里得到（6-53）在隨動強化和混合強化準(zhǔn)則中，我們不僅要涉及應(yīng)力張量，也要涉及折算應(yīng)力張量。因此折減有效應(yīng)力也是必需的，且定義為其中，和兩個常數(shù)簡單取為關(guān)于時一樣的那些值，例如，對于von Mises材料有和。應(yīng)當(dāng)注意，折減有效應(yīng)力與屈服面的膨脹有關(guān)。6.5.2有效塑性應(yīng)變?yōu)橛涗洠ㄗ冃危v史提出兩個假設(shè)：一個是假設(shè)強化依賴于塑性功，即屈服的抗

29、力取決于在材料上所做的總塑性功，這被稱為加工強化假設(shè)；另一個假設(shè)稱作應(yīng)變強化假設(shè)，假設(shè)強化與總的塑性變形有關(guān)，同時塑性變形經(jīng)常被表示為所謂的有效塑性應(yīng)變。符合這兩個假設(shè)的材料被分別稱為加工強化材料和應(yīng)變強化材料。和這兩個參數(shù)均可以稱為強化參數(shù)，通常由來表示。從實用的觀點來看，用比更容易。因此，在彈塑性分析中，比用得更多。有效塑性應(yīng)變用塑性應(yīng)變增量的簡單組合來確定，的值總是正的、增大的。最簡單的形式是（6-54）其中，正的常數(shù)將由折算為在方向單軸加載試驗的的絕對值的條件來確定。利用流動法則，得到（6-55）在軸向加載條件下，按定義等于，因此從式（6-55）中可得（6-56）這里各項都應(yīng)取軸向加載

30、條件下的值。【例6-6】采用關(guān)聯(lián)流動法則求出von Mises和DruckerPrager模型的的表達(dá)式?！窘狻靠紤]方向的單軸加載試驗，這里是惟一一個非零應(yīng)力分量。von Mises模型：由式（6-56）導(dǎo)出對于單軸試驗有（6-57）DruckerPrager模型：類似他，從式（6-56）有對于單軸壓縮試驗，有（6-58）注意到上式在時就退化為式（6-57）。在混合強化法則中，如式（6-50）所述，我們把塑性應(yīng)變總的增量分解為兩部分，和。塑性應(yīng)變增量的各向同性部分與屈服面膨脹有關(guān)，用它來定義折算有效塑性應(yīng)變?yōu)閷⑹剑?-51左）代入上式得(6-59)對這種形式的材料，強化函數(shù)是關(guān)于折減的有效塑性

31、應(yīng)變的函數(shù)。同樣地，塑性應(yīng)變增量的隨動部分與屈服面的平移有關(guān)，被用來定義隨動強化法則。因此，考慮到式（6-51右）和（6-59），可以把式（6-46）和式（6-47）重新表示為對Prager法則（6-60）對Ziegler法則（6-61）6.5.3 有效應(yīng)力有效塑性應(yīng)變關(guān)系有效應(yīng)力有效應(yīng)變關(guān)系表示了彈塑性材料強化過程的特性，現(xiàn)在用單軸應(yīng)力試驗來標(biāo)定，它的一般形式為（6-62）微分法給出增量關(guān)系（6-63）其中，稱為塑性模量。對各向同性強化材料，表示屈服面的膨脹率。對于混合強化材料，的變化歸因于屈服面的膨脹和平移。假設(shè)屈服面的膨脹由折減的有效應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系來決定（6-64）對上面的方程進(jìn)行微分可以

32、得到屈服面的膨脹率（6-65）其中，為與屈服面的膨脹有關(guān)的塑性模量。（或者塑性模量）的函數(shù)形式將由試驗數(shù)據(jù)來確定。對于一個混合強化材料，（或）的函數(shù)形式和混合強化參數(shù)也需要確定。但是，這里應(yīng)該注意到和并不是相互獨立的，如果給定，就能根據(jù)來建立函數(shù)。為了證明這一點，首先令（6-66）其中，系數(shù)取決于隨動強化法則和塑性勢能函數(shù)的類型。由式（6-66）和式（6-63）、式（6-65）容易導(dǎo)出（6-67）塑性模量能夠由單調(diào)加載的試驗結(jié)果確定。但是，只是進(jìn)行單調(diào)加載試驗的話，控制在反向加載試驗中觀察的Bauschinger效應(yīng)程度的混合強化參數(shù)則是不確定的或者說是任意的，因此的值不應(yīng)該影響的值。那么式（

33、6-67）要求（6-68）利用式（6-63）和式（6-65），可以把和表示為(6-69)其中，是在單軸加載試驗中的屈服應(yīng)力。根據(jù)式（6-59）和式（6-68右），可以把式（6-69右）重新表示為(6-70)考慮式（6-69左）和式（6-70），可得(6-71)式(6-71)顯然表明，和并不互相獨立。一旦的函數(shù)形式和混合強化參數(shù)由單軸試驗數(shù)據(jù)確定了，也就能通過式（6-71）得到。6.6 加工強化材料的增量應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系在這一節(jié)中，將推導(dǎo)強化材料的增量應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系。對于每一個強化法則，將得到兩組本構(gòu)方程：（1）一個是用應(yīng)力增量的形式表示應(yīng)變增量；（2）另一個是用應(yīng)變增量的形式表示應(yīng)力增量。在6.3節(jié)中我們已經(jīng)推導(dǎo)出了理想塑性材料的應(yīng)力應(yīng)變增量關(guān)系。這里所采取的方法基本上是一樣的。我們將利用式（6-4）（流動法則），式（6-17）（應(yīng)變分解式）和式（6-18）或式（6-19）（虎克定律）。但一致性條件有點不同于式（6-21）。實際上，對不同的材料它采用的形式不同，